गणितीय प्रमाण: Difference between revisions

}}</ref>]]एक '''गणितीय प्रमाण''' एक [[प्रस्ताव|गणितीय कथन]] के लिए एकआनुमानिक तर्क है, जो दर्शाता कि बताई गई मान्यताएँ तार्किक रूप से निष्कर्ष की प्रत्याभुति देती हैं। तर्क पहले से स्थापित अन्य कथनों का उपयोग कर सकता है, जैसे कि [[प्रमेय]], लेकिन हर प्रमाण, सिद्धांत रूप में, केवल कुछ बुनियादी या मूल मान्यताओं का उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है,<ref>{{cite book |author1=Clapham, C.  |author2=Nicholson, J.N.  |name-list-style=amp | title = गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी, चौथा संस्करण|quote = एक कथन जिसका सत्य या तो स्वतः स्पष्ट माना जाना है या माना जाना है। गणित के कुछ क्षेत्रों में स्वयंसिद्धों का एक सेट चुनना और यह पता लगाना शामिल है कि उनसे क्या परिणाम निकाले जा सकते हैं, प्राप्त प्रमेयों के लिए प्रमाण प्रदान करना।}}</ref><ref name="nutsandbolts">{{cite book|title=द नट एंड बोल्ट्स ऑफ़ प्रूफ़्स: एन इंट्रोडक्शन टू मैथेमेटिकल प्रूफ़्स|last=Cupillari |first=Antonella|author-link= Antonella Cupillari |edition=Third |year=2005 |orig-year=2001 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-088509-1 |page=3}}</ref><ref>{{cite book|title=सबूत के साथ असतत गणित|date=July 2009 |first=Eric |last=Gossett |page=86 |quote=परिभाषा 3.1। सबूत: एक अनौपचारिक परिभाषा|publisher=[[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]] |isbn=978-0470457931}}</ref> [[अनुमान]] के स्वीकृत नियमों के साथ। प्रमाण कटौतीत्मक तर्क के उदाहरण हैं जो तार्किक निश्चितता स्थापित करते हैं, [[अनुभवजन्य साक्ष्य]] तर्कों या गैर-संपूर्ण आगमनात्मक तर्क से अलग होने के लिए जो उचित अपेक्षा स्थापित करते हैं। ऐसे कई मामलों को प्रस्तुत करना जिनमें कथन मान्य है, एक प्रमाण के लिए पर्याप्त नहीं है, जो यह प्रदर्शित करे कि कथन सभी संभावित मामलों में सत्य है। एक प्रस्ताव जिसे सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन माना जाता है कि यह सच है, एक अनुमान के रूप में जाना जाता है, या एक परिकल्पना के रूप में जाना जाता है, जिसे आगे के गणितीय कार्यों के लिए अक्सर एक धारणा के रूप में उपयोग किया जाता है।

प्रमाण [[प्राकृतिक भाषा]] के साथ-साथ गणितीय प्रतीकों में व्यक्त तर्क को नियोजित करते हैं जो आमतौर पर कुछ अस्पष्टता को स्वीकार करते हैं। अधिकांश गणितीय साहित्य में, प्रमाणों को कठोरता विषियों में [[अनौपचारिक तर्क|अनौपचारिक तर्कशास्त्र]] के संदर्भ में लिखा जाता है। प्राकृतिक भाषा की भागीदारी के बिना पूरी तरह से [[प्रतीकात्मक भाषा (गणित)]] में लिखे गए विशुद्ध रूप से [[औपचारिक प्रमाण]]ों को प्रमाण सिद्धांत में माना जाता है। [[प्रमाण]] [[सबूत सिद्धांत|सिद्धांत]] # औपचारिक और अनौपचारिक प्रमाण के बीच अंतर ने वर्तमान और ऐतिहासिक [[गणितीय अभ्यास]], [[गणित में अर्ध-अनुभववाद]], और तथाकथित गणितीय लोककथाओं, मुख्यधारा के गणितीय समुदाय या अन्य संस्कृतियों में मौखिक परंपराओं की बहुत अधिक जांच की है। [[गणित का दर्शन]] प्रमाणों में भाषा और तर्क की भूमिका से संबंधित, गणित एक भाषा के रूप में है।

शब्द प्रमाण लैटिन संभावित (परीक्षण करने के लिए) से आता है। संबंधित आधुनिक शब्द अंग्रेजी "जांच", "परिवीक्षा" और "संभाव्यता", स्पेनिश प्रोबार (सूंघने या स्वाद के लिए, या कभी-कभी स्पर्श या परीक्षण करने के लिए),<ref>"proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.</ref> इतालवी प्रोवारे (कोशिश करने के लिए), और जर्मन प्रोबिरेन (कोशिश करने के लिए हैं)। कानूनी शब्द "सत्यनिष्ठा" का अर्थ, अधिकार या विश्वसनीयता, प्रतिष्ठा या स्थिति के व्यक्तियों द्वारा दिए जाने पर तथ्यों को साबित करने की गवाही की शक्ति है।<ref>{{cite book|title = संभाव्यता का उद्भव: प्रायिकता, प्रेरण और सांख्यिकीय अनुमान के बारे में प्रारंभिक विचारों का एक दार्शनिक अध्ययन|first = Ian|last = Hacking|author-link=Ian Hacking |publisher = [[Cambridge University Press]] |year= 1984|orig-year=1975 |isbn=978-0-521-31803-7|url = https://en.wikipedia.org/wiki/The_Emergence_of_Probability}}</ref>

यूक्लिड (300 ईसा पूर्व) द्वारा गणितीय प्रमाण में क्रांति ला दी गई थी, जिसने आज भी उपयोग में आने वाली स्वयंसिद्ध पद्धति की शुरुआत की। यह अपरिभाषित शर्तों और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू होता है, [[अपरिभाषित शब्द]]ों से संबंधित प्रस्ताव जो स्वयं-स्पष्ट रूप से सत्य (ग्रीक "अक्ष" से, कुछ योग्य) माना जाता है। इस आधार से, विधि निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करती है। यूक्लिड की पुस्तक, यूक्लिड के तत्व, 20वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में शिक्षित माने जाने वाले किसी भी व्यक्ति द्वारा पढ़ी गई थी।<ref>{{cite book|title=गणित के इतिहास का एक परिचय (सॉन्डर्स श्रृंखला)|first=Howard W. |last=Eves |author-link=Howard Eves |edition=6th |date=January 1990 |orig-year=1962 |page=141 |quote=बाइबल को छोड़कर कोई भी कार्य अधिक व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया है...|publisher=[[Cengage|Brooks/Cole]] |isbn=978-0030295584}}</ref> ज्यामिति के प्रमेयों के अलावा, जैसे [[पाइथागोरस प्रमेय]], तत्वों में [[संख्या सिद्धांत]] भी शामिल है, जिसमें एक प्रमाण शामिल है कि [[दो का वर्गमूल]] [[अपरिमेय संख्या]] है और एक प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई [[अभाज्य संख्या]]एँ हैं।

[[मध्यकालीन इस्लाम में गणित]] के क्षेत्र में और प्रगति हुई। जबकि पहले ग्रीक प्रमाण बड़े पैमाने पर ज्यामितीय प्रदर्शन थे, इस्लामी गणितज्ञों द्वारा [[अंकगणित]] और [[बीजगणित]] के विकास ने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भरता के बिना अधिक सामान्य प्रमाणों की अनुमति दी थी। 10 वीं शताब्दी सीई में, [[इराकी लोग|इराकी]] गणितज्ञ [[हाशमी|अल-हाशमी]] ने संख्या के साथ काम किया, जिसे "रेखाएं" कहा जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसे ज्यामितीय वस्तुओं के माप के रूप में माना जाए, ताकि अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व सहित गुणन, विभाजन आदि से संबंधित बीजगणितीय प्रस्तावों को साबित किया जा सके। <ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=[[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]]|volume=500|issue=1|pages=253–77 [260]|doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x|bibcode=1987NYASA.500..253M|s2cid=121416910}}</ref> [[गैराज]] द्वारा अल-फखरी (1000) में [[अंकगणितीय प्रगति]] के लिए एक गणितीय आगमन पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग [[द्विपद प्रमेय]] और पास्कल के त्रिकोण के गुणों को साबित करने के लिए किया था। [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] [[समानांतर अभिधारणा]] को साबित करने के पहले प्रयास के रूप में, अल्हज़ेन ने [[विरोधाभास द्वारा प्रमाण]] की विधि भी विकसित की।<ref>{{Citation |last=Eder |first=Michelle |year=2000 |title=Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam |url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html |publisher=[[Rutgers University]] |access-date=January 23, 2008 }}</ref>

आधुनिक प्रमाण सिद्धांत प्रमाणों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित [[Index.php?title= डेटा संरचनाएं|डेटा संरचनाओं]] के रूप में मानता है, इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि स्वयंसिद्ध किसी भी अर्थ में सत्य हैं। यह समानांतर गणितीय सिद्धांतों को दी गई सहज अवधारणा के औपचारिक प्रतिरूप के रूप में अनुमति देता है, जो स्वयंसिद्धों के वैकल्पिक सेटों पर आधारित है, उदाहरण के लिए [[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] और [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]]।

एक औपचारिक प्रमाण की परिभाषा का उद्देश्य गणित के अभ्यास में लिखी गई प्रमाणों की अवधारणा को ग्रहण करना है। इस परिभाषा की मजबूती इस विश्वास के बराबर है कि एक प्रकाशित प्रमाण, सिद्धांत रूप में, एक औपचारिक प्रमाण में परिवर्तित हो सकता है। हालांकि, स्वचालित प्रूफ सहायकों के क्षेत्र के बाहर, व्यवहार में ऐसा शायद ही कभी किया जाता है। दर्शनशास्त्र में एक उत्कृष्ट प्रश्न पूछता है कि क्या गणितीय प्रमाण विश्लेषणात्मक तर्कवाक्य हैं या संश्लिष्ट तर्कवाक्य। [[इम्मैनुएल कांत]], जिन्होंने विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक भेद पेश किया, का मानना ​​​​था कि गणितीय प्रमाण सिंथेटिक हैं, जबकि [[विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन]] ने अपने 1951 के [[अनुभववाद के दो हठधर्मिता]] में तर्क दिया कि ऐसा भेद अस्थिर है।<ref>{{Cite web|url=https://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|title=अनुभववाद के दो हठधर्मिता|last=Quine|first=Willard Van Orman|date=1961|website=Universität Zürich — Theologische Fakultät|page=12|access-date=October 20, 2019}}</ref>     

उनके [[गणितीय सौंदर्य]] के लिए प्रमाणों की प्रशंसा की जा सकती है। गणितज्ञ पॉल एर्डोस उन प्रमाणों का वर्णन करने के लिए जाने जाते थे जिन्हें उन्होंने "द बुक" से आने के रूप में विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण पाया, प्रत्येक प्रमेय को साबित करने के लिए सबसे सुंदर विधि (ओं) से युक्त एक काल्पनिक ग्रंथ। 2003 में प्रकाशित पुस्तक [[पुस्तक से प्रमाण]], 32 प्रमाणों को प्रस्तुत करने के लिए समर्पित है, जो इसके संपादकों को विशेष रूप से भाते हैं।

प्रत्यक्ष प्रमाण में, निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पहले के प्रमेयों को जोड़कर स्थापित किया जाता है।<ref>Cupillari, p. 20.</ref> उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि दो [[समता (गणित)|सम (गणित)]] [[पूर्णांक]]ों का योग हमेशा सम होता है:

अपने नाम के बावजूद, गणितीय आगमन निगमन का एक तरीका है, आगमनात्मक तर्क का एक रूप नहीं। गणितीय आगमन के प्रमाण में, एक एकल "आधार मामला" सिद्ध होता है, और एक "प्रेरण नियम" सिद्ध होता है जो यह स्थापित करता है कि कोई भी मनमाना मामला अगले मामले में दर्शाता है। चूंकि सिद्धांत रूप में आगमन नियम को बार-बार लागू किया जा सकता है (प्रमाणित आधार मामले से शुरू करके), यह इस प्रकार है कि सभी (आमतौर पर असीम रूप से) मामले सिद्ध होते हैं।<ref>Cupillari, p. 46.</ref> यह प्रत्येक मामले को अलग-अलग साबित करने से बचा जाता है। गणितीय प्रेरण का एक प्रकार [[अनंत वंश द्वारा प्रमाण]] है, जिसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, [[दो के वर्गमूल की तर्कहीनता]] को साबित करने के लिए।

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह साबित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है: [17] मान लीजिए N = {1, 2, 3, 4, ...} प्राकृतिक का समुच्चय है संख्याएँ, और P(n) एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n शामिल है |

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह साबित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के लिए धारण करता है:<ref>[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers]</ref>

मान लीजिए{{math|1='''N''' = {1, 2, 3, 4, ...}}} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो, और {{math|''P''(''n'')}} एक गणितीय कथन बनें {{math|''n''}} {{math|'''N'''}} एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n शामिल है कि

:(i) n = 1 के लिए, 2n - 1 = 2(1) - 1 = 1, और 1 विषम है, क्योंकि यह 2 से विभाजित करने पर 1 शेष छोड़ता है। इस प्रकार P(1) सत्य है।                                                                                                             (ii) किसी भी n के लिए, यदि 2n - 1 विषम (P(n)) है, तो (2n - 1) + 2 भी विषम होना चाहिए, क्योंकि किसी विषम संख्या में 2 जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती है। लेकिन (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, इसलिए 2(n+1) − 1 विषम है (P(n+1))। अतः P(n) का तात्पर्य P(n+1) से है।                                         इस प्रकार सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 2n − 1 विषम है।

छोटा वाक्यांश "प्रेरण द्वारा प्रमाण" अक्सर "गणितीय प्रेरण द्वारा सबूत" के बजाय प्रयोग किया जाता है<ref>[http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm Proof by induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120218033011/http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm |date=February 18, 2012 }}, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology</ref>

[[विरोधाभास द्वारा सबूत]] "यदि पी तो क्यू" [[तार्किक रूप से समतुल्य]] [[विरोधाभासी]] बयान की स्थापना करके "यदि क्यू नहीं तो पी नहीं " कथन का अनुमान लगाता है|

: मान लीजिए <math>x</math> सम नहीं है। फिर <math>x</math> विषम है। अतः दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है <math> x^2  = x\cdot x </math> विषम है। इस प्रकार <math> x^2 </math> सम नहीं है। इस प्रकार, यदि <math> x^2 </math> सम है, तो अनुमान झूठा होना चाहिए, इसलिए <math> x </math> सम होना चाहिए।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, जिसे लैटिन वाक्यांश [[रिडक्टियो एड बेतुका]] (बेतुके को कम करके) के रूप में भी जाना जाता है, यह दिखाया गया है कि यदि कुछ कथन को सत्य मान लिया जाता है, तो एक [[विरोधाभास|तार्किक विरोधाभास]] होता है, इसलिए कथन गलत होना चाहिए। एक प्रसिद्ध उदाहरण में यह प्रमाण शामिल है कि <math>\sqrt{2}</math> [[एक अपरिमेय संख्या]] है:  

:मान लो कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या थी। तब इसे निम्नतम शब्दों <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math> में लिखा जा सकता है जहाँ a और b [[सहअभाज्य]] के साथ गैर-शून्य पूर्णांक हैं। इस प्रकार, <math>b\sqrt{2} = a</math>. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2b = a<sup>2 प्राप्त होता है । चूँकि 2 बायीं ओर के व्यंजक को विभाजित करता है, 2 को दायीं ओर के समान व्यंजक को भी विभाजित करना होगा। वह² सम है, जिसका अर्थ है कि a को भी सम होना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिए गए प्रस्ताव में देखा गया है ([[गणितीय प्रमाण#%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%AD%E0%A4%BE%E0%A4%B8%20%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A4%BE%20%E0%A4%B8%E0%A4%AC%E0%A5%82%E0%A4%A4|#विरोधाभास द्वारा सबूत]])। अतः हम a = 2c लिख सकते हैं, जहाँ c भी एक पूर्णांक है। मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से 2b प्राप्त होता है<sup>2</सुप> = (2सी)² = 4सी<sup>2</उप>। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर b प्राप्त होता है<sup>2</सुप> = 2सी<sup>2</उप>। लेकिन फिर, पहले की तरह उसी तर्क से, 2 b को विभाजित करता है², इसलिए b सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि a और b दोनों सम हैं, तो उनके पास 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारे पिछले बयान का खंडन करता है कि ए और बी में कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है।

=== निर्माण द्वारा सबूत ===

निर्माण द्वारा प्रमाण, या उदाहरण के द्वारा प्रमाण, एक संपत्ति के साथ एक ठोस उदाहरण का निर्माण है, यह दिखाने के लिए कि उस संपत्ति में कुछ मौजूद है। उदाहरण के लिए, [[जोसेफ लिउविल]] ने [[लिउविल संख्या]] का निर्माण करके [[पारलौकिक संख्या|पारलौकिक संख्याओं]] के अस्तित्व को सिद्ध किया। इसका उपयोग एक प्रस्ताव का खंडन करने के लिए एक [[विरोध उदाहरण]] बनाने के लिए भी किया जा सकता है कि सभी तत्वों की एक निश्चित संपत्ति होती है।

=== थकावट से सबूत ===