लाई (lie) बीजगणित: Difference between revisions

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गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक सदिश स्थान है <math>\mathfrak g</math> एक साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] के ~~साथ जिसे~~ लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान|जैकोबी समरूपता]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है <math>[x,y]</math>।{{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} सदिश स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य ~~संपत्ति~~ नहीं है।

गणित में, लाई बीजगणित (जिसका उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) वह सदिश स्थान है जिसे <math>\mathfrak g</math> के साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] के रूप में लाई कोष्ठक कहा जाता है, यह वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान|जैकोबी समरूपता]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है, <math>[x,y]</math>। {{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} सदिश स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य गुण नहीं है।

लाई बीजगणित [[Index.php?title=झूठ समूहों|लाई समूह]] से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे [[समूह (गणित)]] हैं जो [[Index.php?title=चिकने विविध|~~चिकने विविध~~]] भी हैं: कोई लाई समूह लाई बीजगणित को ~~जन्म देता~~ है, जो ~~समरूपता~~ पर इसकी स्पर्शरेखा ~~स्थान~~ है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

लाई बीजगणित [[Index.php?title=झूठ समूहों|लाई समूह]] से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे [[समूह (गणित)]] हैं जो [[Index.php?title=चिकने विविध|तिरछा-सममित]] भी हैं, कोई लाई समूह लाई बीजगणित को निर्गत करता है, जो सममित पर इसकी स्पर्शरेखा है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (लाई का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के ~~समरूपता~~ समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (~~समरूपता~~ के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म ~~समरूपता~~ गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।

भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के सममित समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (सममित के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म सममित गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश ~~का स्थान है~~ <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> ~~क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ <math>[x,y]=x\times y.</math>~~ यह तिरछा-सममित है <math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी ~~समरूपता~~ को संतुष्ट करता है:

संकर उत्पाद <math>[x,y]=x\times y</math> द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> का स्थानहै। यह तिरछा-सममित है क्योंकि<math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी सममित को संतुष्ट करता है:

:<math> x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\ y\times(x\times z). </math>

यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश <math>v\in\R^3</math> को अक्ष <math>v</math> के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, <math>v</math> के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक ~~उपाय~~ है: चूँकि एक घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक ~~संपत्ति~~ <math>[x,x]=x\times x = 0</math> है।

यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश <math>v\in\R^3</math> को अक्ष <math>v</math> के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, <math>v</math> के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक माप है: चूँकि घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक गुण <math>[x,x]=x\times x = 0</math> है।

== इतिहास ==

1870 ~~के दशक~~ में [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित ~~की शुरुआत की गई थी~~,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से 1880 ~~के दशक~~ में [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref>। लाई बीजगणित नाम 1930 ~~के दशक~~ में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; ~~पुराने~~ ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।

1870 में [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित को प्रारंभ किया गया था,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से 1880 में [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref>। लाई बीजगणित नाम 1930 में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; प्राचीन ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।

== परिभाषाएँ ==

=== एक लाई बीजगणित की परिभाषा ===

लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि है <math>\,\mathfrak{g}</math> किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक ~~बाइनरी~~ संक्रिया के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}

लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि <math>\,\mathfrak{g}</math> है किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक द्वि-आधारी संक्रिया के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}

* [[बिलिनियर ऑपरेटर|द्विरेखीयता संचालक]],

::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], </math>

::<math> [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>

: सभी ~~स्केलर्स~~ के लिए <math>a</math>, <math>b</math> में <math>F</math> और सभी ~~तत्व~~ <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>में <math>\mathfrak{g}</math>।

: सभी अदिश के लिए <math>a</math>, <math>b</math> में <math>F</math> और सभी तत्वों <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math> में <math>\mathfrak{g}</math>।

* वैकल्पिककरण,

::<math> [x,x]=0\ </math>

:सभी के लिए <math>x</math> में <math>\mathfrak{g}</math>।

* जैकोबी समरूपता,

:: <math> [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \ </math>

:सभी के लिए <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>में <math>\mathfrak{g}</math>।

लाई कोष्ठक <math> [x+y,x+y] </math> का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है

लाई कोष्ठक <math> [x+y,x+y] </math> का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math> में <math>\mathfrak{g}</math>, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है

* [[एंटीकम्यूटेटिविटी|अनुगामी]],

:: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> : सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>। यदि क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो अनुगामी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य है <math>[x,x]=-[x,x].</math><ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1}}</ref>

:: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> : सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math> में <math>\mathfrak{g}</math>। यदि क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो अनुगामी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य <math>[x,x]=-[x,x]</math> है<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1}}</ref>

लाई बीजगणित को न्यून- स्थिति फ़्रेक्टुर अक्षर जैसे <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math> से निरूपित करने की प्रथा है यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का ~~लाईा~~ बीजगणित ~~एसयू (एन)~~ <math>\mathfrak{su}(n)</math> है|

लाई बीजगणित को न्यून- स्थिति फ़्रेक्टुर अक्षर जैसे <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math> से निरूपित करने की प्रथा है यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का लाई बीजगणित <math>\mathfrak{su}(n)</math> है|

=== ~~जनित्र~~ और आयाम ===

=== उत्पादक और आयाम ===

लाई बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे ~~जनित्र~~ (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> है। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम <math>F</math> है। लाई बीजगणित के न्यूनतम उत्पादक समूह की प्रमुखता ~~हमेशा~~ इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।

लाई बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे उत्पादक (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> है। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम <math>F</math> है। लाई बीजगणित के न्यूनतम उत्पादक समूह की प्रमुखता सदैव इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।

अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण देखें।

=== उपबीजगणित, आदर्शों और समरूपता ===

लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि <math>[[x,y],z]</math>को बराबर <math>[x,[y,z]]</math> की आवश्यकता नहीं है। यद्यपि, यह [[लचीला बीजगणित]] है। फिर भी, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली सामान्यतः लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लाई उपबीजगणित एक उपस्थान <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> है जो लाई कोष्ठक के अधीन बंद है। एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक उपबीजगणित है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>

लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि <math>[[x,y],z]</math> को बराबर <math>[x,[y,z]]</math> की आवश्यकता नहीं है। यद्यपि, यह [[लचीला बीजगणित|नम्य बीजगणित]] है। फिर भी, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली सामान्यतः लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लाई उपबीजगणित एक उपस्थान <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> है जो लाई कोष्ठक के अधीन बंद है। इस प्रकार एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक उपबीजगणित है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>

:<math>[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.</math>

एक लाई बीजगणित ~~समरूपता~~ एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:

एक लाई बीजगणित सममित एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:

:<math> \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\

x,y \in \mathfrak g. </math>

साहचर्य ~~छल्लों~~ के लिए, आदर्श ~~समरूपता~~ के ~~कर्नेल_~~ (बीजगणित) हैं;इसमें एक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> दिया गया है, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math> का निर्माण करता है, और पहली तुल्यकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।

साहचर्य वलयों के लिए, आदर्श सममित के कर्नेल (बीजगणित) हैं;इसमें एक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> दिया गया है, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math> का निर्माण करता है, और पहली तुल्यकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।

चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर|दिकपरिवर्तक]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> परिवर्तित करते हैं यदि उनका कोष्ठक: <math>[x,y]=0</math> ~~गायब~~ हो जाता है।

चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर|दिकपरिवर्तक]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> परिवर्तित करते हैं यदि उनका कोष्ठक: <math>[x,y]=0</math> अदृश्य हो जाता है।

एक उपसमुच्चय का [[केंद्रक]] उपबीजगणित <math>S\subset \mathfrak{g}</math> के साथ आने वाले तत्वों <math>S</math>: का वह समूह <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}</math> है। <math>\mathfrak{g}</math> का केंद्रक ही <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math> केंद्र है। इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक उपबीजगणित का <math>S</math> <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}</math> है।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref> समान रूप से, यदि <math>S</math> एक लाई उपबीजगणित है, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> सबसे बड़ा उपबीजगणित <math>S</math> का <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>आदर्श है।

एक उपसमुच्चय का [[केंद्रक]] उपबीजगणित <math>S\subset \mathfrak{g}</math> के साथ आने वाले तत्वों <math>S</math>: का वह समूह <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}</math> है। <math>\mathfrak{g}</math> का केंद्रक ही <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math> केंद्र है। इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक उपबीजगणित का <math>S</math> <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}</math> है। <ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref> समान रूप से, यदि <math>S</math> एक लाई उपबीजगणित है, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> सबसे बड़ा उपबीजगणित <math>S</math> का <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>आदर्श है।

==== उदाहरण ====

सभी के लिए <math>\mathfrak{d}(2) \subset \mathfrak{gl}(2)</math>, दो तत्वों का दिकपरिवर्तक <math>g \in \mathfrak{gl}(2)</math> तथा <math>d \in \mathfrak{d}(2)</math>:

<math>\begin{align}

Line 83:

\end{align}</math>

~~दिखाता है~~ <math>\mathfrak{d}(2)</math> एक उपबीजगणित दिखाता है ,लेकिन एक आदर्श नहीं है। वस्तुतः, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो प्रायः आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।

<math>\mathfrak{d}(2)</math> एक उपबीजगणित दिखाता है ,लेकिन एक आदर्श नहीं है। वस्तुतः, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो प्रायः आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।

=== प्रत्यक्ष योग और अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद ===

Line 91:

ताकि <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> की प्रतियां एक दूसरे के साथ आवागमन करें: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math>

मान लीजिए कि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है और <math>\mathfrak{i}</math> , <math>\mathfrak{g}</math> की एक गुणजावली है। यदि विहित मानचित्र <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (~~यानी~~, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> को <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है। लाई बीजगणित का अर्धप्रत्यक्ष योग भी देखें।

मान लीजिए कि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है और <math>\mathfrak{i}</math> , <math>\mathfrak{g}</math> की एक गुणजावली है। यदि विहित मानचित्र <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (अर्थात्, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> को <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है। लाई बीजगणित का अर्धप्रत्यक्ष योग भी देखें।

लेवी के प्रमेय का कहना है कि एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित इसके मूल और पूरक उपबीजगणित ( [[लेफ्ट सबलजेब्रा|लेवी उपबीजगणित]]) का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।

=== व्युत्पत्ति ===

लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय मानचित्र है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम|लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,

:<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>

<math>x,y\in\mathfrak g</math> सभी के लिए। किसी भी <math>x\in\mathfrak g</math> से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित आसन्न मानचित्रण <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>है। (यह जैकोबी ~~समरूपता~~ के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।

<math>x,y\in\mathfrak g</math> सभी के लिए। किसी भी <math>x\in\mathfrak g</math> से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित आसन्न मानचित्रण <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>है। (यह जैकोबी सममित के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है। ) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।

व्युत्पत्तियाँ एक सदिश स्थान <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक लाई उपबीजगणित दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math> एक लाई उपबीजगणित का निर्माण करती हैं।

व्युत्पत्तियाँ एक सदिश स्थान <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>,जो कि <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक लाई उपबीजगणित दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math> एक लाई उपबीजगणित का निर्माण करती हैं।

==== उदाहरण ====

उदाहरण के लिए, दिए गए एक लाई बीजगणित आदर्श <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>है। लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श <math>\mathfrak{n}_n</math> ~~सख्ती~~ से ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं(जहां केवल गैर-शून्य तत्व आव्यूह के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है

उदाहरण के लिए, दिए गए एक लाई बीजगणित आदर्श <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>है। लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math>ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श <math>\mathfrak{n}_n</math>कठोरता से ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं(जहां केवल गैर-शून्य तत्व आव्यूह के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है

<math>\begin{align}

Line 133:

\end{align}</math>

दिखाता है कि <math>\mathfrak{b}_3</math> से <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math> में बाहरी व्युत्पत्तियाँ स्थित हैं।

दिखाता है कि <math>\mathfrak{b}_3</math>से <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math> में बाहरी व्युत्पत्तियाँ स्थित हैं।

=== भाजित लाई बीजगणित ===

मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> रैखिक परिवर्तन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लाई उपबीजगणित है। फिर <math>\mathfrak{g}</math> को विभाजित कहा जाता है यदि <math>\mathfrak{g}</math> में सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें F आधार क्षेत्र में हैं।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक प्रायः, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन उपबीजगणित है ~~जिसकी छवि~~ [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के अधीन <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित|विभाजित लाई बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (~~सीफ~~ .#वास्तविक रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए विभाजित लाई बीजगणित भी देखें।

मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> रैखिक परिवर्तन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लाई उपबीजगणित है। फिर <math>\mathfrak{g}</math> को विभाजित कहा जाता है यदि <math>\mathfrak{g}</math> में सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें F आधार क्षेत्र में हैं। <ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक प्रायः, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें कार्टन उपबीजगणित है जिसका प्रतिबिम्ब [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के अधीन <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित|विभाजित लाई बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का विभाजित वास्तविक रूप (cf.वास्तविक रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए विभाजित लाई बीजगणित भी देखें।

=== [[वेक्टर अंतरिक्ष आधार|सदिश स्थान आधार]] ===

व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना प्रायः सुविधाजनक होता है। इस आधार ~~के लिए एक~~ सामान्य निर्माण लेख [[संरचना स्थिर|संरचना स्थिरांक]] में चित्रित किया गया है।

व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना प्रायः सुविधाजनक होता है। इस आधार पर इसे सामान्य निर्माण लेख [[संरचना स्थिर|संरचना स्थिरांक]] में चित्रित किया गया है।

=== '''श्रेणी-सैद्धांतिक संकेतन का उपयोग करते हुए परिभाषा''' ===

यद्यपि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी|सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना है। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)

यद्यपि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी|सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना है। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है। )

लाई बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद (टेंसर शक्तियां) और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|A}} एक सदिश स्थान है, पस्पर विनिमय समाकृतिकता <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

Line 148:

चक्रीय-क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग <math>\sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A </math> की तरह परिभाषित किया गया है

:<math>\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),</math>

जहाँ <math>\mathrm{id}</math> ~~समरूपता~~ रूपवाद है।

जहाँ <math>\mathrm{id}</math> सममित रूपवाद है।

समान रूप से, <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.</math>

इस अंकन के साथ, एक लाई बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] <math>A</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है आकृतिवाद के साथ सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में

:<math>[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A</math> जो दो रूपवाद समानता को संतुष्ट करता है

:<math>[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,</math>

तथा

:<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.</math>

:<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.</math><br />

== उदाहरण ==

=== सदिश रिक्त स्थान ===

कोई सदिश स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है,~~सीएफ।अधीन।~~ किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक ~~संपत्ति~~ द्वारा एबेलियन है।

कोई सदिश स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है,सीएफ के अधीन किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक गुण द्वारा एबेलियन है।

=== दिकपरिवर्तक कोष्ठक के साथ साहचर्य बीजगणित ===

* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ कोष्ठक को दिकपरिवर्तक वलय सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>। इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> लाई बीजगणित है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित <math>A</math> को लाई बीजगणित का एक आवरण बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>। हर लाई बीजगणित को एक में अंतर्निहित किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित|सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]] देखें।

* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ कोष्ठक को दिकपरिवर्तक वलय सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>। इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> लाई बीजगणित है। <ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित <math>A</math> को लाई बीजगणित का एक आवरण बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>। हर लाई बीजगणित को एक में अंतर्निहित किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित|सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]] देखें।

* उपरोक्त लाई कोष्ठक के साथ <math>F</math>-सदिश स्थान <math>V</math> के [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|अंत:रूपांतरण वलय]] के सहयोगी बीजगणित को <math>\mathfrak{gl}(V)</math>निरूपित किया गया है।

* एक परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>निरूपित किया गया है,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और कोष्ठक के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता आव्यूह गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का लाई बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह सम्मिलित हैं।

=== विशेष आव्यूह ===

के दो महत्वपूर्ण उपबीजगणित <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> हैं:

* [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math> बनाते हैं, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>।<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>

* [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math> बनाते हैं, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>। <ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>

* तिरछा-हर्मिटियन आव्यूह एकात्मक लाई बीजगणित <math>\mathfrak u(n)</math>बनाते हैं, [[एकात्मक समूह]] U(n) का लाई बीजगणित।

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लाई (lie) बीजगणित: Difference between revisions

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-गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक सदिश स्थान है <math>\mathfrak g</math> एक साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] के साथ जिसे लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र  <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान|जैकोबी समरूपता]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है <math>[x,y]</math>।{{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} सदिश स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।
+गणित में, लाई बीजगणित (जिसका उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) वह सदिश स्थान है जिसे <math>\mathfrak g</math> के साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] के रूप में लाई कोष्ठक कहा जाता है, यह वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान|जैकोबी समरूपता]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है, <math>[x,y]</math>। {{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} सदिश स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य गुण नहीं है।
-लाई बीजगणित [[Index.php?title=झूठ समूहों|लाई समूह]] से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे [[समूह (गणित)]] हैं जो [[Index.php?title=चिकने विविध|चिकने विविध]] भी हैं: कोई लाई समूह लाई बीजगणित को जन्म देता है, जो समरूपता पर इसकी स्पर्शरेखा स्थान है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।
+लाई बीजगणित [[Index.php?title=झूठ समूहों|लाई समूह]] से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे [[समूह (गणित)]] हैं जो [[Index.php?title=चिकने विविध|तिरछा-सममित]] भी हैं, कोई लाई समूह लाई बीजगणित को निर्गत करता है, जो सममित पर इसकी स्पर्शरेखा है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (लाई का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।
-भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (समरूपता के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।
+भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के सममित समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (सममित के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म सममित गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।
-एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश का स्थान है <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ <math>[x,y]=x\times y.</math> यह तिरछा-सममित है <math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है:
+संकर उत्पाद <math>[x,y]=x\times y</math> द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> का स्थानहै। यह तिरछा-सममित है क्योंकि<math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी सममित को संतुष्ट करता है:
 :<math> x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\  y\times(x\times z). </math>
-यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश <math>v\in\R^3</math> को अक्ष <math>v</math> के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, <math>v</math> के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक उपाय है: चूँकि एक घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति  <math>[x,x]=x\times x = 0</math> है।
+यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश <math>v\in\R^3</math> को अक्ष <math>v</math> के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, <math>v</math> के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक माप है: चूँकि घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक गुण <math>[x,x]=x\times x = 0</math> है।
 == इतिहास ==
-के दशक में [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित की शुरुआत की गई थी,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से 1880 के दशक में [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref>। लाई बीजगणित नाम 1930 के दशक में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; पुराने ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।
+में [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित को प्रारंभ किया गया था,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से 1880 में [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref>। लाई बीजगणित नाम 1930 में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; प्राचीन ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।
 == परिभाषाएँ ==
 === एक लाई बीजगणित की परिभाषा ===
-लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि है <math>\,\mathfrak{g}</math> किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक बाइनरी संक्रिया के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}
+लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि <math>\,\mathfrak{g}</math> है किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक द्वि-आधारी संक्रिया के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}
 * [[बिलिनियर ऑपरेटर|द्विरेखीयता संचालक]],
 ::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], </math>
 ::<math> [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>
-: सभी स्केलर्स के लिए <math>a</math>, <math>b</math> में <math>F</math> और सभी तत्व <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>में <math>\mathfrak{g}</math>।
+: सभी अदिश के लिए <math>a</math>, <math>b</math> में <math>F</math> और सभी तत्वों <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math> में <math>\mathfrak{g}</math>।
 * वैकल्पिककरण,
 ::<math> [x,x]=0\ </math>
 :सभी के लिए <math>x</math> में <math>\mathfrak{g}</math>।
 * जैकोबी समरूपता,
 :: <math> [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]]  = 0 \ </math>
 :सभी के लिए <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>में <math>\mathfrak{g}</math>।
-लाई कोष्ठक  <math> [x+y,x+y] </math> का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए  <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है
+लाई कोष्ठक <math> [x+y,x+y] </math> का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math> में <math>\mathfrak{g}</math>, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है
 * [[एंटीकम्यूटेटिविटी|अनुगामी]],
-:: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> : सभी तत्वों के लिए  <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>। यदि क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो अनुगामी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य है <math>[x,x]=-[x,x].</math><ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1}}</ref>
+:: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> : सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math> में <math>\mathfrak{g}</math>। यदि क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो अनुगामी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य <math>[x,x]=-[x,x]</math> है<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1}}</ref>
-लाई बीजगणित को न्यून- स्थिति फ़्रेक्टुर अक्षर जैसे  <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math> से निरूपित करने की प्रथा है यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का लाईा बीजगणित एसयू (एन) <math>\mathfrak{su}(n)</math> है|
+लाई बीजगणित को न्यून- स्थिति फ़्रेक्टुर अक्षर जैसे <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math> से निरूपित करने की प्रथा है यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का लाई बीजगणित <math>\mathfrak{su}(n)</math> है|
-=== जनित्र और आयाम ===
+=== उत्पादक और आयाम ===
-लाई बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे जनित्र (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> है। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम <math>F</math> है। लाई बीजगणित के न्यूनतम उत्पादक समूह की प्रमुखता हमेशा इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।
+लाई बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे उत्पादक (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> है। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम <math>F</math> है। लाई बीजगणित के न्यूनतम उत्पादक समूह की प्रमुखता सदैव इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।
 अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण देखें।
 === उपबीजगणित, आदर्शों और समरूपता ===
-लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि <math>[[x,y],z]</math>को बराबर <math>[x,[y,z]]</math> की आवश्यकता नहीं है। यद्यपि, यह [[लचीला बीजगणित]] है। फिर भी, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली सामान्यतः लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लाई उपबीजगणित एक उपस्थान <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> है जो लाई कोष्ठक के अधीन बंद है। एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक उपबीजगणित है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>
+लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि <math>[[x,y],z]</math> को बराबर <math>[x,[y,z]]</math> की आवश्यकता नहीं है। यद्यपि, यह [[लचीला बीजगणित|नम्य बीजगणित]] है। फिर भी, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली सामान्यतः लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लाई उपबीजगणित एक उपस्थान <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> है जो लाई कोष्ठक के अधीन बंद है। इस प्रकार एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक उपबीजगणित है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>
 :<math>[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.</math>
-एक लाई बीजगणित समरूपता एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:
+एक लाई बीजगणित सममित एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:
 :<math> \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\
 x,y \in \mathfrak g. </math>
-साहचर्य छल्लों के लिए, आदर्श समरूपता के कर्नेल_ (बीजगणित) हैं;इसमें एक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math>  दिया गया है, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math> का निर्माण करता है, और पहली तुल्यकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।
+साहचर्य वलयों के लिए, आदर्श सममित के कर्नेल (बीजगणित) हैं;इसमें एक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> दिया गया है, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math> का निर्माण करता है, और पहली तुल्यकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।
-चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर|दिकपरिवर्तक]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> परिवर्तित करते हैं यदि उनका कोष्ठक: <math>[x,y]=0</math> गायब हो जाता है।
+चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर|दिकपरिवर्तक]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> परिवर्तित करते हैं यदि उनका कोष्ठक: <math>[x,y]=0</math> अदृश्य हो जाता है।
-एक उपसमुच्चय का [[केंद्रक]] उपबीजगणित <math>S\subset \mathfrak{g}</math> के साथ आने वाले तत्वों <math>S</math>: का वह समूह <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}</math> है। <math>\mathfrak{g}</math> का केंद्रक ही <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math> केंद्र है। इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक उपबीजगणित का <math>S</math> <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}</math> है।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref> समान रूप से, यदि <math>S</math> एक लाई उपबीजगणित है, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> सबसे बड़ा उपबीजगणित  <math>S</math> का  <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>आदर्श है।
+एक उपसमुच्चय का [[केंद्रक]] उपबीजगणित <math>S\subset \mathfrak{g}</math> के साथ आने वाले तत्वों <math>S</math>: का वह समूह <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}</math> है। <math>\mathfrak{g}</math> का केंद्रक ही <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math> केंद्र है। इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक उपबीजगणित का <math>S</math> <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}</math> है। <ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref> समान रूप से, यदि <math>S</math> एक लाई उपबीजगणित है, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> सबसे बड़ा उपबीजगणित <math>S</math> का <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>आदर्श है।
 ==== उदाहरण ====
-सभी के लिए  <math>\mathfrak{d}(2) \subset \mathfrak{gl}(2)</math>, दो तत्वों का दिकपरिवर्तक <math>g \in \mathfrak{gl}(2)</math> तथा <math>d \in \mathfrak{d}(2)</math>:
+सभी के लिए <math>\mathfrak{d}(2) \subset \mathfrak{gl}(2)</math>, दो तत्वों का दिकपरिवर्तक <math>g \in \mathfrak{gl}(2)</math> तथा <math>d \in \mathfrak{d}(2)</math>:
 <math>\begin{align}
@@ Line 83: / Line 83: @@
 \end{align}</math>
-दिखाता है <math>\mathfrak{d}(2)</math> एक उपबीजगणित दिखाता है ,लेकिन एक आदर्श नहीं है। वस्तुतः, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो प्रायः आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।
+<math>\mathfrak{d}(2)</math> एक उपबीजगणित दिखाता है ,लेकिन एक आदर्श नहीं है। वस्तुतः, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो प्रायः आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।
 === प्रत्यक्ष योग और अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद ===
@@ Line 91: / Line 91: @@
 ताकि <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> की प्रतियां एक दूसरे के साथ आवागमन करें: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math>
-मान लीजिए कि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है और <math>\mathfrak{i}</math> , <math>\mathfrak{g}</math> की एक गुणजावली है। यदि विहित मानचित्र  <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (यानी, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> को <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है। लाई बीजगणित का अर्धप्रत्यक्ष योग भी देखें।
+मान लीजिए कि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है और <math>\mathfrak{i}</math> , <math>\mathfrak{g}</math> की एक गुणजावली है। यदि विहित मानचित्र <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (अर्थात्, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> को <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है। लाई बीजगणित का अर्धप्रत्यक्ष योग भी देखें।
 लेवी के प्रमेय का कहना है कि एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित इसके मूल और पूरक उपबीजगणित ( [[लेफ्ट सबलजेब्रा|लेवी उपबीजगणित]]) का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 === व्युत्पत्ति ===
-लाई बीजगणित  <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय मानचित्र है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम|लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,
+लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय मानचित्र है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम|लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,
 :<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>
-<math>x,y\in\mathfrak g</math> सभी के लिए। किसी भी <math>x\in\mathfrak g</math> से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति  <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित आसन्न मानचित्रण <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>है। (यह जैकोबी समरूपता के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।
+<math>x,y\in\mathfrak g</math> सभी के लिए। किसी भी <math>x\in\mathfrak g</math> से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित आसन्न मानचित्रण <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>है। (यह जैकोबी सममित के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है। ) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।
-व्युत्पत्तियाँ एक सदिश स्थान  <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि  <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक लाई उपबीजगणित दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math> एक लाई उपबीजगणित का निर्माण करती हैं।
+व्युत्पत्तियाँ एक सदिश स्थान <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>,जो कि <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक लाई उपबीजगणित दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math> एक लाई उपबीजगणित का निर्माण करती हैं।
 ==== उदाहरण ====
-उदाहरण के लिए, दिए गए एक लाई बीजगणित आदर्श <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>है। लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं(जहां केवल गैर-शून्य तत्व आव्यूह के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है
+उदाहरण के लिए, दिए गए एक लाई बीजगणित आदर्श <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>है। लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math>ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श <math>\mathfrak{n}_n</math>कठोरता से ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं(जहां केवल गैर-शून्य तत्व आव्यूह के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है
 <math>\begin{align}
@@ Line 133: / Line 133: @@
 \end{align}</math>
-दिखाता है कि  <math>\mathfrak{b}_3</math> से <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math> में बाहरी व्युत्पत्तियाँ स्थित हैं।
+दिखाता है कि <math>\mathfrak{b}_3</math>से <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math> में बाहरी व्युत्पत्तियाँ स्थित हैं।
 === भाजित लाई बीजगणित ===
-मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> रैखिक परिवर्तन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लाई उपबीजगणित है। फिर <math>\mathfrak{g}</math> को विभाजित कहा जाता है यदि <math>\mathfrak{g}</math> में सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें F आधार क्षेत्र में हैं।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक प्रायः, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन उपबीजगणित है जिसकी छवि [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के अधीन <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित|विभाजित लाई बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (सीफ .#वास्तविक रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए विभाजित लाई बीजगणित भी देखें।
+मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> रैखिक परिवर्तन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लाई उपबीजगणित है। फिर <math>\mathfrak{g}</math> को विभाजित कहा जाता है यदि <math>\mathfrak{g}</math> में सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें F आधार क्षेत्र में हैं। <ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक प्रायः, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें कार्टन उपबीजगणित है जिसका प्रतिबिम्ब [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के अधीन <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित|विभाजित लाई बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का विभाजित वास्तविक रूप (cf.वास्तविक रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए विभाजित लाई बीजगणित भी देखें।
 === [[वेक्टर अंतरिक्ष आधार|सदिश स्थान आधार]] ===
-व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना प्रायः सुविधाजनक होता है। इस आधार के लिए एक सामान्य निर्माण लेख [[संरचना स्थिर|संरचना स्थिरांक]] में चित्रित किया गया है।
+व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना प्रायः सुविधाजनक होता है। इस आधार पर इसे सामान्य निर्माण लेख [[संरचना स्थिर|संरचना स्थिरांक]] में चित्रित किया गया है।
 === '''श्रेणी-सैद्धांतिक संकेतन का उपयोग करते हुए परिभाषा''' ===
-यद्यपि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी|सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना है। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)
+यद्यपि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी|सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना है। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है। )
 लाई बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद (टेंसर शक्तियां) और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|A}} एक सदिश स्थान है, पस्पर विनिमय समाकृतिकता <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
@@ Line 148: / Line 148: @@
 चक्रीय-क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग <math>\sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A </math> की तरह परिभाषित किया गया है
 :<math>\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),</math>
-जहाँ <math>\mathrm{id}</math> समरूपता रूपवाद है।
+जहाँ <math>\mathrm{id}</math> सममित रूपवाद है।
 समान रूप से, <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.</math>
-इस अंकन के साथ, एक लाई बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]]  <math>A</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है आकृतिवाद के साथ सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में
+इस अंकन के साथ, एक लाई बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] <math>A</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है आकृतिवाद के साथ सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में
 :<math>[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A</math> जो दो रूपवाद समानता को संतुष्ट करता है
 :<math>[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,</math>
 तथा
-:<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.</math>
+:<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.</math><br />
 == उदाहरण ==
 === सदिश रिक्त स्थान ===
-कोई सदिश स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है,सीएफ।अधीन। किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक संपत्ति द्वारा एबेलियन है।
+कोई सदिश स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है,सीएफ के अधीन किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक गुण द्वारा एबेलियन है।
 === दिकपरिवर्तक कोष्ठक के साथ साहचर्य बीजगणित ===
-* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ कोष्ठक को दिकपरिवर्तक वलय सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>। इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> लाई बीजगणित है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित <math>A</math> को लाई बीजगणित का एक आवरण बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>। हर लाई बीजगणित को एक में अंतर्निहित किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित|सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]] देखें।
+* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ कोष्ठक को दिकपरिवर्तक वलय सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>। इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> लाई बीजगणित है। <ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित <math>A</math> को लाई बीजगणित का एक आवरण बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>। हर लाई बीजगणित को एक में अंतर्निहित किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित|सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]] देखें।
 * उपरोक्त लाई कोष्ठक के साथ <math>F</math>-सदिश स्थान <math>V</math> के [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|अंत:रूपांतरण वलय]] के सहयोगी बीजगणित को <math>\mathfrak{gl}(V)</math>निरूपित किया गया है।
-* एक परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे  <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>निरूपित किया गया है,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और कोष्ठक के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता आव्यूह गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का लाई बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह सम्मिलित हैं।
+* एक परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>निरूपित किया गया है,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और कोष्ठक के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता आव्यूह गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का लाई बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह सम्मिलित हैं।
 === विशेष आव्यूह ===
-के दो महत्वपूर्ण उपबीजगणित  <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> हैं:
+के दो महत्वपूर्ण उपबीजगणित <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> हैं:
-* [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math> बनाते हैं, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>।<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>
+* [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math> बनाते हैं, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>। <ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>
-* तिरछा-हर्मिटियन आव्यूह एकात्मक लाई बीजगणित  <math>\mathfrak u(n)</math>बनाते हैं, [[एकात्मक समूह]] U(n) का लाई बीजगणित।