घातांक: Difference between revisions
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=== जटिल घातांक === | === जटिल घातांक === | ||
जटिल आधारों के साथ घातांक को परिभाषित करने में कठिनाइयाँ आती हैं जो पिछले अनुभाग में वर्णित के समान हैं, इसको छोड़कर सामान्य रूप से, इसके लिए असीम रूप से कई संभावित मान हैं। या तो एक प्रमुख मूल्य परिभाषित किया गया है, जो {{mvar|z}} के मूल्यों के लिए निरंतर नहीं है जो वास्तविक और सकारात्मक नहीं हैं, या <math DISPLAY=textstyle>z^w</math> एक बहुविकल्पीय | जटिल आधारों के साथ घातांक को परिभाषित करने में कठिनाइयाँ आती हैं जो पिछले अनुभाग में वर्णित के समान हैं, इसको छोड़कर सामान्य रूप से, इसके लिए असीम रूप से कई संभावित मान हैं। या तो एक प्रमुख मूल्य परिभाषित किया गया है, जो {{mvar|z}} के मूल्यों के लिए निरंतर नहीं है जो वास्तविक और सकारात्मक नहीं हैं, या <math DISPLAY=textstyle>z^w</math> एक बहुविकल्पीय प्रकार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
सभी मामलों में, जटिल लघुगणक का उपयोग जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। | सभी मामलों में, जटिल लघुगणक का उपयोग जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। | ||
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यदि {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है, <math>z^w</math> का प्रमुख मूल्य इसके ऊपर परिभाषित सामान्य मूल्य के बराबर है। यदि <math>w=1/n,</math> कहाँ पे {{mvar|n}} एक पूर्णांक है, यह मुख्य मान वही है जो ऊपर परिभाषित किया गया है। | यदि {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है, <math>z^w</math> का प्रमुख मूल्य इसके ऊपर परिभाषित सामान्य मूल्य के बराबर है। यदि <math>w=1/n,</math> कहाँ पे {{mvar|n}} एक पूर्णांक है, यह मुख्य मान वही है जो ऊपर परिभाषित किया गया है। | ||
====बहुमूल्य | ====बहुमूल्य प्रकार्य ==== | ||
कुछ संदर्भों में, {{mvar|z}} के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math>के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है। इस प्रकर्ण में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है। | कुछ संदर्भों में, {{mvar|z}} के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math>के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है। इस प्रकर्ण में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है। | ||
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गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से प्रकार्य (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो प्रकार्य संरचना के तहत एक एकाभ बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के अंतःरूपांतरण सम्मिलित हैं। | गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से प्रकार्य (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो प्रकार्य संरचना के तहत एक एकाभ बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के अंतःरूपांतरण सम्मिलित हैं। | ||
जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, अधिलेख में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना सामान्य है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> | जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, अधिलेख में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना सामान्य है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> प्रकार्य रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है, | ||
:<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math> | :<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math> | ||
तथा | तथा | ||
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तो यदि {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक <math>x\in G</math> और हर पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए परिभाषित किया गया है। | तो यदि {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक <math>x\in G</math> और हर पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए परिभाषित किया गया है। | ||
किसी समूह के किसी तत्व की सभी घात का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व x की सभी घात अंतर्ग्रस्त हैं, x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह है. यदि सभी घात {{mvar|x}} अलग हैं, <math>\Z</math> पूर्णांकों का समूह [[योजक समूह]] के लिए [[समरूप]] | किसी समूह के किसी तत्व की सभी घात का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व x की सभी घात अंतर्ग्रस्त हैं, x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह है. यदि सभी घात {{mvar|x}} अलग हैं, <math>\Z</math> पूर्णांकों का समूह [[योजक समूह]] के लिए [[समरूप]] है। अन्यथा, चक्रीय समूह [[परिमित समूह]] है (इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) {{mvar|x}} है . यदि का {{mvar|x}} संख्या क्रम {{mvar|n}} है , फिर <math>x^n=x^0=1,</math> और x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह में x की n पहली घाताऐं होती हैं (प्रतिपादक 0 या 1 से उदासीन रूप से शुरू). | ||
[[समूह सिद्धांत]] में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण हैं। | [[समूह सिद्धांत]] में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण हैं। | ||
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एक वलय(गणित) में, ऐसा हो सकता है कि कुछ अशून्य तत्व <math>x^n=0</math> कुछ पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए संतुष्ट हों। ऐसे तत्व को शून्य कहा जाता है। एक क्रमविनिमेय वलय में, निलपोटेंट तत्व एक आदर्श बनाते हैं, जिसे वलय का निरमूलक कहा जाता है। | एक वलय(गणित) में, ऐसा हो सकता है कि कुछ अशून्य तत्व <math>x^n=0</math> कुछ पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए संतुष्ट हों। ऐसे तत्व को शून्य कहा जाता है। एक क्रमविनिमेय वलय में, निलपोटेंट तत्व एक आदर्श बनाते हैं, जिसे वलय का निरमूलक कहा जाता है। | ||
यदि निरमूलक को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है(अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), क्रम विनिमेय वलय को [[कम अंगूठी|कम वलय]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए वलय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है। | यदि निरमूलक को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), क्रम विनिमेय वलय को [[कम अंगूठी|कम वलय]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए वलय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है। | ||
अधिक सामान्यतः, एक आदर्श {{mvar|I}} दिया जाता है क्रम विनिमेय वलय {{mvar|R}} में, {{mvar|R}} के तत्वों का समुच्चय जिसमें घात {{mvar|I}} हो एक आदर्श है, जिसे {{mvar|I}} के आदर्श का मूलक कहा जाता है। शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद वलय में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> क्षेत्र(गणित) {{mvar|k}} पर , एक आदर्श कट्टरपंथी है यदि और केवल यदि यह सभी बहुपदों का समुच्चय है जो एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय पर शून्य है(यह हिल्बर्ट के शून्य प्रमेय का परिणाम है)। | अधिक सामान्यतः, एक आदर्श {{mvar|I}} दिया जाता है क्रम विनिमेय वलय {{mvar|R}} में, {{mvar|R}} के तत्वों का समुच्चय जिसमें घात {{mvar|I}} हो एक आदर्श है, जिसे {{mvar|I}} के आदर्श का मूलक कहा जाता है। शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद वलय में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> क्षेत्र (गणित) {{mvar|k}} पर , एक आदर्श कट्टरपंथी है यदि और केवल यदि यह सभी बहुपदों का समुच्चय है जो एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय पर शून्य है (यह हिल्बर्ट के शून्य प्रमेय का परिणाम है)। | ||
=== मैट्रिसेस और रैखिक संचालक === | === मैट्रिसेस और रैखिक संचालक === | ||
यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह घात कहलाता है। <math>A^0</math>भी अस्मिता आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है,<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref> और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>. | यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह घात कहलाता है। <math>A^0</math>भी अस्मिता आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है,<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref> और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>. | ||
आव्यूह घात प्रायः असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां आव्यूह A किसी प्रणाली के अवस्था सदिश x से प्रणाली के अगले अवस्था x में | आव्यूह घात प्रायः असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां आव्यूह A किसी प्रणाली के अवस्था सदिश x से प्रणाली के अगले अवस्था x में परिवर्तन को व्यक्त करता है।<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Chapter 5.</ref> उदाहरण के लिए, यह [[मार्कोव श्रृंखला]] की मानक व्याख्या है। तब <math>A^2x</math> दो समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति है, और आगे भी: <math>A^nx</math> समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति आव्यूह घात <math>A^n</math> भविष्य में एक समय n चरणों में स्तिथि और स्तिथि के बीच परिवर्तन आव्यूह है। इसलिए अभिकलन आव्यूह घात गतिशील प्रणाली के विकास को हल करने के बराबर हैं। कई मामलों में, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का उपयोग करके आव्यूह घात की शीघ्रता से गणना की जा सकती है। | ||
आव्यूह के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालकों]] को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक <math>d/dx</math> है, एक रैखिक संचालक है जो एक नया <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math> कार्य देने के लिए <math>f(x)</math> कार्यों पर कार्य करता है। अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है: | |||
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | :<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | ||
ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ आव्यूह घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले आव्यूह घात की गणना निरंतर गतिकी वाले प्रणाली को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न संचालक को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष प्रकर्ण को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है। | ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ आव्यूह घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले आव्यूह घात की गणना निरंतर गतिकी वाले प्रणाली को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न संचालक को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष प्रकर्ण को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है। | ||
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हर <math>x\in \mathbb F_q</math> के लिए | हर <math>x\in \mathbb F_q</math> के लिए | ||
<math>\mathbb F_q</math> में एक | <math>\mathbb F_q</math> में एक पूर्वग अवयव एक अवयव g है, जो q − 1 का समुच्चय है। ऐसा समुच्चय {{math|''q'' − 1}} की पहली घात {{mvar|g}} (वह है, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) के अशून्य तत्वों के समुच्चय <math>\mathbb F_q</math> के बराबर है। वहाँ <math>\varphi (p-1)</math> आदिम तत्वों में <math>\mathbb F_q</math> हैं, जहाँ <math>\varphi</math> यूलर का कुल कार्य है। | ||
<math>\mathbb F_q</math> में द फ्रेशमैन के सपनों की अस्मिता | <math>\mathbb F_q</math> में द फ्रेशमैन के सपनों की अस्मिता | ||
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== समुच्चय की घात {{Anchor}}== | == समुच्चय की घात {{Anchor}}== | ||
दो समुच्चय(गणित) का कार्तीय गुणनफल {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म|क्रमित युग्मों]] का समुच्चय<math>(x,y)</math> ऐसे है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T</math> है। यह प्रवर्तन ठीक से न क्रम विनिमेय और न ही सहयोगी है, लेकिन ये गुण विहित समरूपता तक हैं, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, <math>(x,(y,z)),</math> <math>((x,y),z),</math> तथा <math>(x,y,z).</math> | दो समुच्चय (गणित) का कार्तीय गुणनफल {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म|क्रमित युग्मों]] का समुच्चय <math>(x,y)</math> ऐसे है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T</math> है। यह प्रवर्तन ठीक से न क्रम विनिमेय और न ही सहयोगी है, लेकिन ये गुण विहित समरूपता तक हैं, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, <math>(x,(y,z)),</math> <math>((x,y),z),</math> तथा <math>(x,y,z).</math> | ||
यह सभी n-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> | यह सभी n-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> {{mvar|S}} के तत्वों के समुच्चय के रूप में समुच्चय S की nवीं घात <math>S^n</math> को परिभाषित करने की अनुमति देता है। | ||
जब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह | जब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः <math>S^n</math> होता है स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः कार्तीय गुणनफल के स्थान पर किया जाता है, और प्रतिपादक उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math>(जहाँ <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्तीय गुणनफल {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R</math> को दर्शाता है साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक]] [[सदिश स्थल|स्थल]], वलय (गणित), आदि। | ||
=== प्रतिपादक के रूप में समुच्चय === | === प्रतिपादक के रूप में समुच्चय === | ||
{{see also| प्रकार्य(गणित )#घातांक संग्रह करें}} | {{see also| प्रकार्य (गणित )#घातांक संग्रह करें}} | ||
{{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> {{mvar|S}} के तत्वों के एक | {{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> {{mvar|S}} के तत्वों के एक प्रकार्य (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है। | ||
दो समुच्चय {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} दिए गए हैं, {{mvar|T}} प्रति {{mvar|S}} के सभी कार्यों का समुच्चय <math>S^T</math> से निरूपित किया जाता है। यह घातीय संकेतन निम्नलिखित विहित समरूपताओं द्वारा उचित है(पहले वाले के लिए, [[करी]]इंग देखें): | दो समुच्चय {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} दिए गए हैं, {{mvar|T}} प्रति {{mvar|S}} के सभी कार्यों का समुच्चय <math>S^T</math> से निरूपित किया जाता है। यह घातीय संकेतन निम्नलिखित विहित समरूपताओं द्वारा उचित है (पहले वाले के लिए, [[करी]]इंग देखें): | ||
:<math>(S^T)^U\cong S^{T\times U},</math> | :<math>(S^T)^U\cong S^{T\times U},</math> | ||
:<math>S^{T\sqcup U}\cong S^T\times S^U,</math> | :<math>S^{T\sqcup U}\cong S^T\times S^U,</math> | ||
जहाँ <math>\times</math> कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ को। | जहाँ <math>\times</math> कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ को। | ||
कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः [[एबेलियन समूह]], सदिश रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)|प्रमात्रक(गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[ | कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः [[एबेलियन समूह]], सदिश रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)|प्रमात्रक (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो {{math|1}} के बराबर होता है, चूँकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न का स्वीकृत सिद्धांत सम्मिलित है)।{{math|1={{abs|''S''<sup>''T''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''T''}}</sup>}}{{math|{{abs|''X''}}}} | ||
इस संदर्भ में, {{math|2}} <math>\{0,1\}.</math>समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इसलिए, <math>2^S</math> के घात {{mvar|S}} समुच्चय को दर्शाता है, जो कि {{mvar|S}} से <math>\{0,1\}</math> कार्यों का समुच्चय है। जिसे {{mvar|S}} के उपसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है, प्रत्येक प्रकार्य को 1 की उलटी छवि में मानचित्र करके। | इस संदर्भ में, {{math|2}} <math>\{0,1\}.</math>समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इसलिए, <math>2^S</math> के घात {{mvar|S}} समुच्चय को दर्शाता है, जो कि {{mvar|S}} से <math>\{0,1\}</math> कार्यों का समुच्चय है। जिसे {{mvar|S}} के उपसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है, प्रत्येक प्रकार्य को 1 की उलटी छवि में मानचित्र करके। | ||
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इसका अर्थ है घात के लिए प्रतिपादक {{mvar|T{{space|thin}}}} प्रकार्यक प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर {{mvar|T{{space|thin}}}} है। | इसका अर्थ है घात के लिए प्रतिपादक {{mvar|T{{space|thin}}}} प्रकार्यक प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर {{mvar|T{{space|thin}}}} है। | ||
यह [[ | यह [[घातीय (श्रेणी सिद्धांत)]] की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद होते हैं: ऐसी श्रेणी में, प्रकार्यक <math>X\to X^T</math> है, यदि यह मौजूद है, तो प्रकार्यक का दाहिना <math>Y\to T\times Y</math> सटा हुआ है। एक श्रेणी को कार्तीय बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद हैं, और प्रकार्यक <math>Y\to X\times Y</math> प्रत्येक {{mvar|T}} के लिए एक सही जोड़ है। | ||
== | == पुनरावर्ती घातांक == | ||
{{Main|टेट्रेशन|अतिसंचालन}} | {{Main|टेट्रेशन|अतिसंचालन}} | ||
जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक | जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक पुनरावर्ती गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह पुनरावर्ती घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है, इस प्रवर्तन को कभी-कभी हाइपर-4 या [[टेट्रेशन]] कहा जाता है। बार बार दोहराने वाली टेट्रेशन एक अन्य प्रवर्तन की ओर जाती है, और इसी तरह, [[हाइपरऑपरेशन|अतिसंचालन]] नाम की एक अवधारणा है। संचालन का यह क्रम [[एकरमैन समारोह|एकरमैन प्रकार्य]] और नुथ के अप-शर संकेतन द्वारा व्यक्त किया गया है। जिस तरह गुणन की तुलना में घातांक तेजी से बढ़ता है, जो कि जोड़ की तुलना में तेजी से बढ़ रहा है, घातांक की तुलना में टेट्रेशन तेजी से बढ़ रहा है। {{math|(3, 3)}} पर मूल्यांकन किया गया, कार्यों के अलावा, गुणन, घातांक, और टेट्रेशन उपज क्रमश 6, 9, 27, और {{val|7625597484987}}({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}) । | ||
== घात की सीमा == | == घात की सीमा == | ||
[[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर प्रकार्य {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु {{math|(0, 0)}} पर कोई सीमा नहीं है। कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस प्रकार्य की सीमा क्या है। | [[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर प्रकार्य {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु {{math|(0, 0)}} पर कोई सीमा नहीं है। कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस प्रकार्य की सीमा क्या है। | ||
अधिक सटीक रूप से, <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math>पर परिभाषित प्रकार्य <math>f(x,y) = x^y</math> पर विचार करें। फिर {{math|''D''}} को {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}}के | अधिक सटीक रूप से, <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math> पर परिभाषित प्रकार्य <math>f(x,y) = x^y</math> पर विचार करें। फिर {{math|''D''}} को {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x''}}, {{math|''y''}} [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] से संबंधित {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद सांस्थिति]] के साथ संपन्न), {{math|''f''}} एक सीमा है जिसमें कार्य करने वाले बिंदु सम्मिलित होंगे। | ||
वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा {{math|''D''}} है, | वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा {{math|''D''}} है, {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}} के अलावा.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को घात {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} को निरंतरता से परिभाषित करने की अनुमति देता है जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>,(+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं। | ||
निरंतरता द्वारा इस परिभाषा के तहत, हम प्राप्त करते हैं: | निरंतरता द्वारा इस परिभाषा के तहत, हम प्राप्त करते हैं: | ||
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* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} तथा {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, जब {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}. | * {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} तथा {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, जब {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}. | ||
ये घातयाँ की सीमा {{math|''x''}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} से लेकर प्राप्त की जाती हैं यह विधि {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} की परिभाषा की अनुमति नहीं देती है जब {{math|''x'' < 0}} है, चूंकि जोड़े(x, y) x < 0 के साथ D के संचय बिंदु नहीं हैं। | ये घातयाँ की सीमा {{math|''x''}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} से लेकर प्राप्त की जाती हैं यह विधि {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} की परिभाषा की अनुमति नहीं देती है जब {{math|''x'' < 0}} है, चूंकि जोड़े (x, y) x < 0 के साथ D के संचय बिंदु नहीं हैं। | ||
वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} {{math|''x''}} के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही नकारात्मक सहित सार्थक है।यह परिभाषा {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} ऋणात्मक n समस्याग्रस्त के ऊपर प्राप्त कर सकता है जब n विषम है, क्योंकि इस प्रकर्ण {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} में जैसे {{math|''x''}} {{math|0}} की ओर सकारात्मक मूल्यों के माध्यम से प्रवृत्त होता है, लेकिन नकारात्मक नहीं। | वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} {{math|''x''}} के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही नकारात्मक सहित सार्थक है।यह परिभाषा {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} ऋणात्मक n समस्याग्रस्त के ऊपर प्राप्त कर सकता है जब n विषम है, क्योंकि इस प्रकर्ण {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} में जैसे {{math|''x''}} {{math|0}} की ओर सकारात्मक मूल्यों के माध्यम से प्रवृत्त होता है, लेकिन नकारात्मक नहीं। | ||
== पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना == | == पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना == | ||
पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करके bn की गणना करने के लिए n − 1 गुणन संक्रियाओं की आवश्यकता होती है , लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। 2<sup>100</sup> की गणना करने के लिए, युग्मक में लिखे | पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करके bn की गणना करने के लिए n − 1 गुणन संक्रियाओं की आवश्यकता होती है, लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। 2<sup>100</sup> की गणना करने के लिए, युग्मक में लिखे प्रतिपादक 100 पर हॉर्नर का नियम लागू करें: | ||
:<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>. | :<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>. | ||
फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें। | फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें। | ||
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चरणों की इस श्रृंखला में 99 के स्थान पर केवल 8 गुणा की आवश्यकता है। | चरणों की इस श्रृंखला में 99 के स्थान पर केवल 8 गुणा की आवश्यकता है। | ||
सामान्यतः, {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} की गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> तक घटाया जा सकता है वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 की संख्या को दर्शाता है। कुछ घातांकों के लिए(100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम {{math|''b''<sup>''n''</sup>}}(प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल कलन विधि ज्ञात नहीं है(उपसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी कलन विधि उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> यद्यपि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है। | सामान्यतः, {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} की गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> तक घटाया जा सकता है वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 की संख्या को दर्शाता है। कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल कलन विधि ज्ञात नहीं है (उपसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी कलन विधि उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> यद्यपि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है। | ||
== पुनरावृत्त कार्य == | == पुनरावृत्त कार्य == | ||
प्रकार्य रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|युग्मक प्रवर्तन]] है जिसे प्रकार्य(गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए प्रकार्य का [[कोडोमेन|सहकार्यक्षेत्र]] बाईं ओर लिखे प्रकार्य के कार्यक्षेत्र में सम्मिलित है। यह निरूपित है और <math>g\circ f</math> के रूप में परिभाषित किया गया है: | प्रकार्य रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|युग्मक प्रवर्तन]] है जिसे प्रकार्य (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए प्रकार्य का [[कोडोमेन|सहकार्यक्षेत्र]] बाईं ओर लिखे प्रकार्य के कार्यक्षेत्र में सम्मिलित है। यह निरूपित है और <math>g\circ f</math> के रूप में परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | :<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | ||
f के प्रांत में प्रत्येक x के लिए .{{mvar|f}}{{mvar|n}} | f के प्रांत में प्रत्येक x के लिए .{{mvar|f}}{{mvar|n}} | ||
यदि किसी प्रकार्य का [[कोडोमेन|सह]]कार्यक्षेत्र {{mvar|f}} इसके कार्यक्षेत्र के बराबर है, कोई भी समय की स्वेच्छाचारी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह संरचना के तहत | यदि किसी प्रकार्य का [[कोडोमेन|सह]]कार्यक्षेत्र {{mvar|f}} इसके कार्यक्षेत्र के बराबर है, कोई भी समय की स्वेच्छाचारी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह संरचना के तहत प्रकार्य की {{mvar|n}}वी घात परिभाषित करता है, इस प्रकार <math>f^n</math> सामान्यतः f के nवें पुनरावृत्ति को दर्शाता है ; उदाहरण के लिए, <math>f^3(x)</math> साधन <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>। | ||
जब गुणन को प्रकार्य के [[कोडोमेन|सह]]कार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है, तो यह प्रकार्य पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः प्रकार्य के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> और नहीं <math>\sin(\sin(x)),</math> जो, किसी भी प्रकर्ण में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन अंकन पद्धति के कई रूपों का उपयोग किया गया था।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/> | जब गुणन को प्रकार्य के [[कोडोमेन|सह]]कार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है, तो यह प्रकार्य पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः प्रकार्य के तर्को | ||