घातांक: Difference between revisions

$b n$
bn
अंकन पद्धति
	आधार b तथा प्रतिपादक n

Revision as of 16:43, 5 December 2022

File:Expo02.svg

के रेखांकन

y = b x

विभिन्न आधारों के लिए b: base 10, base e, base 2, base 12. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है

(0, 1)

क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है

x = 1

, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,^[1] जिसे $b n$ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है और सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

{\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार

b^{0}

1 के बराबर होना चाहिए। किसी

n

के लिए ,

b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}

दोनों पक्षों को

b^{n}

द्वारा विभाजित करना

b^{0}=b^{n}/b^{n}=1

देता है।

यह तथ्य है कि $b^{1}=b$ समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $(b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}$ . दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर $b^{1}=b$ प्राप्त होता है।

नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि $b^{-1}$ का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन $b^{-1}\cdot b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1$ होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा $b^{1}$ को विभाजित करना $b^{-1}=1/b^{1}$ देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम $b Superscript 1 Baseline equals b$

[1]

@@ Line 12: / Line 12: @@
 {{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|base&nbsp;2]],}}}}
 {{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|base&nbsp;{{sfrac|1|2}}.}}}}
-प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन(गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n  सम्मिलित हैं, और "b(उठाया गया) से(की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है
+प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n  सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है
 <math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math>
-प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b(उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।
+प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।
-ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं  <math>b</math>  है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:
+ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं  <math>b</math>  है और सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:
 <math display="block">
@@ Line 25: / Line 25: @@
 \end{align}
 </math>
-दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार <math>b^0</math> 1 के बराबर होना चाहिए। किसी  <math>n</math> के लिए , <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math>.  दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है।
+दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार <math>b^0</math> 1 के बराबर होना चाहिए। किसी  <math>n</math> के लिए , <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math> दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है।
 यह तथ्य है कि <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है।
@@ Line 38: / Line 38: @@
 == अंकन का इतिहास ==
-शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस(ड्यूनामिस, यहां: प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद।<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे  सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, की  घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)|वर्ग(बीजगणित)]] के लिए '''धन'''(माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुस्लिम, उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा(कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)|घन(बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों मीम(एम) और कफ(के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>
+शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद।<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे  सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, की  घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)|वर्ग(बीजगणित)]] के लिए '''धन'''(माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुस्लिम, उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा(कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)|घन(बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों मीम(एम) और कफ(के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>
 वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref>
@@ Line 44: / Line 44: @@
 वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति पुरःस्थापित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref>
 कुछ गणितज्ञों(जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}.

Anonymous

Search

घातांक: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 16:43, 5 December 2022