घातांक: Difference between revisions

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==== गणना ====
==== गणना ====
विहित रूप <math>x+iy</math> का <math>z^w</math> के विहित रूप से गणना की जा सकती है {{mvar|z}} तथा {{mvar|w}}.  यद्यपि यह एक सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन गणना को कई चरणों में विभाजित करना अधिक स्पष्ट है।
<math>z^w</math> का विहित रूप <math>x+iy</math>   {{mvar|z}} तथा {{mvar|w}} के विहित रूप से गणना की जा सकती है। यद्यपि यह एक सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन गणना को कई चरणों में विभाजित करना अधिक स्पष्ट है।


* का ध्रुवीय रूप {{mvar|z}}. यदि <math>z=a+ib</math> का विहित रूप है {{mvar|z}} ({{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} वास्तविक होना), तो इसका ध्रुवीय रूप है <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> कहाँ पे <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> तथा <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (इस प्रकार्य की परिभाषा के लिए [[atan2]] देखें)।
* {{mvar|z}} का ध्रुवीय रूप यदि <math>z=a+ib</math> का विहित रूप {{mvar|z}} है ({{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} वास्तविक होना), तो इसका ध्रुवीय रूप निम्न है:<math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> जहाँ <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> तथा <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (इस प्रकार्य की परिभाषा के लिए [[atan2]] देखें)।
* का जटिल लघुगणक {{mvar|z}}. इस लघुगणक का मुख्य मान है <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> कहाँ पे <math>\ln</math> प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है। लघुगणक के अन्य मान जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं <math>2ik\pi</math> किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}.
* {{mvar|z}} का जटिल लघुगणक, इस लघुगणक का मुख्य मान है <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> जहाँ <math>\ln</math> प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है। लघुगणक के अन्य मान <math>2ik\pi</math> किसी भी पूर्णांक {{mvar|k}} के लिए जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।
* का विहित रूप <math>w\log z.</math>यदि <math>w=c+di</math> साथ {{mvar|c}} तथा {{mvar|d}} वास्तविक, के मूल्य <math>w\log z</math> हैं <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> के अनुरूप मुख्य मूल्य <math>k=0.</math>
* <math>w\log z.</math> का विहित रूप। यदि <math>w=c+di</math> साथ {{mvar|c}} तथा {{mvar|d}} वास्तविक, के मूल्य <math>w\log z</math> हैं <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> मुख्य मूल्य के अनुरूप <math>k=0</math>
*अंतिम परिणाम। पहचानों का उपयोग करना <math>e^{x+y}=e^xe^y</math> तथा <math>e^{y\ln x} =x^y,</math> एक मिलता है <math DISPLAY=block>z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),</math> साथ <math>k=0</math> मुख्य मूल्य के लिए।
*अंतिम परिणाम। सर्वसमिका का उपयोग करना <math>e^{x+y}=e^xe^y</math> तथा <math>e^{y\ln x} =x^y,</math> प्राप्त करता है<math DISPLAY=block>z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),</math> साथ में  मुख्य मूल्य के लिए <math>k=0</math>।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===


* <math>i^i</math> <br>का ध्रुवीय रूप {{mvar|i}} है <math>i=e^{i\pi/2},</math> और के मूल्य <math>\log i</math> इस प्रकार हैं <math DISPLAY=block>\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).</math> यह इस प्रकार है कि  <math DISPLAY=block>i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.</math>तो, के सभी मूल्य <math>i^i</math> वास्तविक हैं, प्रमुख हैं <math DISPLAY=block> e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.</math>
* <math>i^i</math> <br>{{mvar|i}}का ध्रुवीय रूप <math>i=e^{i\pi/2}</math> है  और <math>\log i</math> के मूल्य  इस प्रकार हैं <math display="block">\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).</math> यह इस प्रकार है कि  <math DISPLAY=block>i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.</math>तो, <math>i^i</math> के सभी मूल्य वास्तविक हैं, प्रमुख हैं <math DISPLAY=block> e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.</math>
*<math>(-2)^{3+4i}</math><br>इसी तरह, के ध्रुवीय रूप {{math|−2}} है <math>-2 = 2e^{i \pi}.</math> तो, ऊपर वर्णित विधि मान देती है <math DISPLAY=block>\begin{align}
*<math>(-2)^{3+4i}</math><br>इसी तरह, के ध्रुवीय रूप {{math|−2}} है <math>-2 = 2e^{i \pi}.</math> तो, ऊपर वर्णित विधि मान देती है <math DISPLAY=block>\begin{align}
(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\
(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\
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\end{align}</math>इस प्रकर्ण में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान।
\end{align}</math>इस प्रकर्ण में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान।


दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है यदि और केवल यदि असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है।
दोनों उदाहरणों में, <math>z^w</math> के सभी मान एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है यदि और केवल यदि असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है।


==== घात और लघुगणक पहचान की विफलता ====
==== घात और लघुगणक पहचान की विफलता ====
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{{bulleted list
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| The identity {{math|1=log(''b''<sup>''x''</sup>) = ''x'' ⋅ log ''b''}} holds whenever {{mvar|b}} is a positive real number and {{mvar|x}} is a real number. But for the [[principal branch]] of the complex logarithm one has
| अस्मिता  {{math|1=log(''b''<sup>''x''</sup>) = ''x'' ⋅ log ''b''}} धारण करता है जब भी  {{mvar|b}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है तथा {{mvar|x}} एक वास्तविक संख्या है. लेकिन जटिल लघुगणक का [[ सिद्धांत शाखा]] के लिए किसी के पास
<math display="block"> \log((-i)^2) = \log(-1) = i\pi  \neq 2\log(-i) = 2\log(e^{-i\pi/2})=2\,\frac{-i\pi}{2} = -i\pi</math>
<math display="block"> \log((-i)^2) = \log(-1) = i\pi  \neq 2\log(-i) = 2\log(e^{-i\pi/2})=2\,\frac{-i\pi}{2} = -i\pi</math>


Regardless of which branch of the logarithm is used, a similar failure of the identity will exist. The best that can be said (if only using this result) is that:
भले ही लघुगणक की किस शाखा का उपयोग किया गया हो, पहचान की एक समान विफलता मौजूद होगी। सबसे अच्छा जो कहा जा सकता है (यदि केवल इस परिणाम का उपयोग करते हुए) वह है:
<math display="block">\log w^z \equiv z  \log w \pmod{2 \pi i}</math>
<math display="block">\log w^z \equiv z  \log w \pmod{2 \pi i}</math>


This identity does not hold even when considering log as a multivalued function. The possible values of {{math|log(''w''<sup>''z''</sup>)}} contain those of {{math|''z'' ⋅ log ''w''}} as a [[proper subset]]. Using {{math|Log(''w'')}} for the principal value of {{math|log(''w'')}} and {{mvar|m}}, {{mvar|n}} as any integers the possible values of both sides are:
अभिलेख को एक बहु-मूल्यवान प्रकार्य के रूप में विचार करने पर भी यह पहचान नहीं होती है
{{math|log(''w''<sup>''z''</sup>)}} के संभावित मान इसमें अंतर्ग्रस्त हैं {{math|''z'' ⋅ log ''w''}} [[उचित उपसमुच्चय]].के रूप में Using {{math|Log(''w'')}} के मुख्य मूल्य के लिए उपयोग करते हुए {{math|log(''w'')}} तथा {{mvar|m}}, {{mvar|n}} किसी पूर्णांक के रूप में दोनों पक्षों के संभावित मान हैं:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
       \left\{\log w^z \right\} &= \left\{ z \cdot \operatorname{Log} w + z \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \mid m,n\in\Z\right\} \\
       \left\{\log w^z \right\} &= \left\{ z \cdot \operatorname{Log} w + z \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \mid m,n\in\Z\right\} \\
       \left\{z \log w \right\} &= \left\{ z  \operatorname{Log} w + z \cdot 2 \pi i n \mid n\in \Z\right\}
       \left\{z \log w \right\} &= \left\{ z  \operatorname{Log} w + z \cdot 2 \pi i n \mid n\in \Z\right\}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
| The identities {{math|1=(''bc'')<sup>''x''</sup> = ''b''<sup>''x''</sup>''c''<sup>''x''</sup>}} and {{math|1=(''b''/''c'')<sup>''x''</sup> = ''b''<sup>''x''</sup>/''c''<sup>''x''</sup>}} are valid when {{mvar|b}} and {{mvar|c}} are positive real numbers and {{mvar|x}} is a real number.  But, for the principal values, one has
|सर्वसमिका {{math|1=(''bc'')<sup>''x''</sup> = ''b''<sup>''x''</sup>''c''<sup>''x''</sup>}} तथा {{math|1=(''b''/''c'')<sup>''x''</sup> = ''b''<sup>''x''</sup>/''c''<sup>''x''</sup>}} मान्य हैं जब {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}}धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं तथा {{mvar|x}} एक वास्तविक संख्या है.  लेकिन, प्रमुख मूल्यों के लिए, किसी के पास है
<math display="block">(-1 \cdot -1)^\frac{1}{2} =1 \neq (-1)^\frac{1}{2} (-1)^\frac{1}{2} = -1</math>
<math display="block">(-1 \cdot -1)^\frac{1}{2} =1 \neq (-1)^\frac{1}{2} (-1)^\frac{1}{2} = -1</math>
and
and

Revision as of 15:17, 3 December 2022

"प्रतिपादक" redirects here. For other uses, see प्रतिपादक (disambiguation).

bn
अंकन पद्धति
आधार b तथा प्रतिपादक n
File:Expo02.svg
के रेखांकन y = bx विभिन्न आधारों के लिए b:   base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है (0, 1) क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है x = 1, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,[1] जिसे bn लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए , की घटनाएं है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: