घातांक: Difference between revisions
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एक राशि की घात की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की घात से की जा सकती है | एक राशि की घात की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की घात से की जा सकती है | ||
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | :<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | ||
हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए | हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है। | ||
=== मिश्रित व्याख्या === | === मिश्रित व्याख्या === | ||
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हर अशून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} को ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है। | हर अशून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} को ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है। | ||
:<math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math> | :<math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math> | ||
जहाँ पर <math>\rho</math> का परम मूल्य {{mvar|z}} है, तथा <math>\theta</math> इसका तर्क है (जटिल विश्लेषण)। तर्क को एक पूर्णांक एकाधिक {{math|2{{pi}}}} [[तक]] परिभाषित किया गया है ; इसका मतलब है कि, | जहाँ पर <math>\rho</math> का परम मूल्य {{mvar|z}} है, तथा <math>\theta</math> इसका तर्क है (जटिल विश्लेषण)। तर्क को एक पूर्णांक एकाधिक {{math|2{{pi}}}} [[तक]] परिभाषित किया गया है ; इसका मतलब है कि, यदि <math>\theta</math> एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है, तब <math>\theta +2k\pi</math> समान सम्मिश्र संख्या का भी एक तर्क है। | ||
दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र संख्या के nवें मूल का ध्रुवीय रूप निरपेक्ष मान का nवां मूल लेकर और उसके तर्क को n से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है: | दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र संख्या के nवें मूल का ध्रुवीय रूप निरपेक्ष मान का nवां मूल लेकर और उसके तर्क को n से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
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[[File:One3Root.svg|thumb|right|1 की तीन तिहाई वर्गमूलें]] | [[File:One3Root.svg|thumb|right|1 की तीन तिहाई वर्गमूलें]] | ||
एकता की nवीं जड़ें n सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}}, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे असतत फूरियर रूपांतरण या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान। {{mvar|n}} }} {{mvar|n}} एकता के {{mvar|n}}वें मूल की पहली घातयाँ <math>\omega =e^\frac{2\pi i}{n}</math>, वह है <math>1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.</math><nowiki> n}}हैं। एकता के </nowiki>{{mvar|n}}वें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं; उनके पास रूप है <math>\omega^k=e^\frac{2k\pi i}{n},</math> साथ {{mvar|k}} | एकता की nवीं जड़ें n सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}}, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे असतत फूरियर रूपांतरण या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान। {{mvar|n}} }} {{mvar|n}} एकता के {{mvar|n}}वें मूल की पहली घातयाँ <math>\omega =e^\frac{2\pi i}{n}</math>, वह है <math>1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.</math><nowiki> n}}हैं। एकता के </nowiki>{{mvar|n}}वें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं; उनके पास रूप है <math>\omega^k=e^\frac{2k\pi i}{n},</math> साथ {{mvar|k}} सह अभाज्य के साथ पूर्णांक {{mvar|n}}. एकता का अद्वितीय आदिम वर्गमूल <math>-1</math> है। एकता की आदिम चौथी वर्गमूलें <math>i</math> तथा <math>-i</math> हैं। | ||
एकता की {{mvar|n}} वर्गमूलें सभी को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं एक सम्मिश्र संख्या की {{mvar|n}}वें वर्गमूलें {{mvar|z}} के रूप में {{mvar|n}} किसी दिए गए उत्पाद {{mvar|n}}वें की वर्गमूलें {{mvar|z}} के साथ एकता की {{mvar|n}}वें वर्गमूल। | एकता की {{mvar|n}} वर्गमूलें सभी को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं एक सम्मिश्र संख्या की {{mvar|n}}वें वर्गमूलें {{mvar|z}} के रूप में {{mvar|n}} किसी दिए गए उत्पाद {{mvar|n}}वें की वर्गमूलें {{mvar|z}} के साथ एकता की {{mvar|n}}वें वर्गमूल। | ||
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====बहुमूल्य समारोह ==== | ====बहुमूल्य समारोह ==== | ||
कुछ संदर्भों में, के | कुछ संदर्भों में, {{mvar|z}} के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math>के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है। इस प्रकर्ण में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है। | ||
यदि <math>\log z</math> बहुविकल्पीय लघुगणक (सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं <math>2ik\pi +\log z,</math> | यदि <math>\log z</math> बहुविकल्पीय लघुगणक (सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं <math>2ik\pi +\log z,</math>जहाँ {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। इसी प्रकार यदि <math>z^w</math> घातांक का एक मान है, तो अन्य मान निम्न द्वारा दिए जाते हैं | ||
:<math>e^{w(2ik\pi +\log z)} = z^we^{2ik\pi w},</math> | :<math>e^{w(2ik\pi +\log z)} = z^we^{2ik\pi w},</math> | ||
जहाँ {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। | |||
{{mvar|k}} के विभिन्न मूल्य <math>z^w</math> के विभिन्न मान देते हैं, जब तक कि w एक परिमेय संख्या न हो, अर्थात एक पूर्णांक d है जैसे कि dw एक पूर्णांक है। यह चरघातांकी फलन के आवर्त फलन से उत्पन्न होता है, विशेष रूप से, कि <math>e^a=e^b</math> यदि और केवल यदि <math>a-b</math> का एक पूर्णांक गुणक <math>2\pi i</math> है। | |||
बहुविकल्पी घातांक के लिए | यदि <math>w=\frac mn</math> के साथ एक परिमेय संख्या {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} सह अभाज्य पूर्णांकों <math>n>0</math> के साथ है। तब <math>z^w</math> के बिल्कुल n मान होते हैं। यदि <math>m=1,</math> ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के nवें मूल में वर्णित हैं| यदि {{mvar|w}} एक पूर्णांक है, केवल {{slink|| पूर्णांक प्रतिपादक}} एक मान है जो इससे सहमत है। | ||
बहुविकल्पी घातांक के लिए <math>z\ne 0</math> इस अर्थ में पूर्णसममितिक है कि किसी प्रकार्य के लेखाचित्र में कई पत्रक होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के प्रतिवैस में एक पूर्णसममितिक प्रकार्य को परिभाषित करते हैं। यदि {{mvar|z}} चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार {{math|0}} बदलता रहता है , फिर, एक मोड़ के बाद, <math>z^w</math> का मान पत्रक बदली है। | |||
==== गणना ==== | ==== गणना ==== | ||
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\end{align}</math>इस प्रकर्ण में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान। | \end{align}</math>इस प्रकर्ण में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान। | ||
दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है | दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है यदि और केवल यदि असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है। | ||
==== घात और लघुगणक पहचान की विफलता ==== | ==== घात और लघुगणक पहचान की विफलता ==== | ||
| Line 452: | Line 453: | ||
== तर्कहीनता और अतिक्रमण == | == तर्कहीनता और अतिक्रमण == | ||
{{Main|Gelfond–Schneider theorem}} | {{Main|Gelfond–Schneider theorem}} | ||
यदि {{mvar|b}} एक सकारात्मक वास्तविक [[बीजगणितीय संख्या]] है, और {{mvar|x}} तब एक परिमेय संख्या है {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} एक बीजगणितीय संख्या है। यह [[बीजगणितीय विस्तार]] के सिद्धांत का परिणाम है। यह सच रहता है | यदि {{mvar|b}} एक सकारात्मक वास्तविक [[बीजगणितीय संख्या]] है, और {{mvar|x}} तब एक परिमेय संख्या है {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} एक बीजगणितीय संख्या है। यह [[बीजगणितीय विस्तार]] के सिद्धांत का परिणाम है। यह सच रहता है यदि {{mvar|b}} कोई भी बीजगणितीय संख्या है, जिस स्थिति में, के सभी मान {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} (एक बहुविकल्पीय फलन के रूप में) बीजगणितीय हैं। यदि {{mvar|x}} अपरिमेय संख्या है (अर्थात परिमेय नहीं है), और दोनों {{mvar|b}} तथा {{mvar|x}} बीजगणितीय हैं, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का दावा है कि के सभी मूल्य {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं (अर्थात बीजगणितीय नहीं), यदि को छोड़कर {{mvar|b}} बराबरी {{math|0}} या {{math|1}}. | ||
दूसरे शब्दों में, | दूसरे शब्दों में, यदि {{mvar|x}} तर्कहीन है और <math>b\not\in \{0,1\},</math> तो कम से कम एक {{mvar|b}}, {{mvar|x}} तथा {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} पारलौकिक है। | ||
== बीजगणित में पूर्णांक घात == | == बीजगणित में पूर्णांक घात == | ||
| Line 462: | Line 463: | ||
* <math>x^{n+1} =x x^n</math> प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}. | * <math>x^{n+1} =x x^n</math> प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}. | ||
यदि {{mvar|n}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, <math>x^n</math> केवल | यदि {{mvar|n}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, <math>x^n</math> केवल यदि परिभाषित किया गया है {{mvar|x}} एक गुणक व्युत्क्रम है।<ref>{{cite book |author-first=David M. |author-last=Bloom |title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45]}}</ref> इस प्रकर्ण में, का उलटा {{mvar|x}} निरूपित किया जाता है <math>x^{-1},</math> तथा <math>x^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>\left(x^{-1}\right)^{-n}.</math> | ||
पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} बीजगणितीय संरचना में, और {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} पूर्णांक: | पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} बीजगणितीय संरचना में, और {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} पूर्णांक: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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[[गुणक समूह]] एक ऐसा समुच्चय होता है जिसे साहचर्य संक्रिया के रूप में गुणन के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसमें एक [[पहचान तत्व]] होता है, और ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है। | [[गुणक समूह]] एक ऐसा समुच्चय होता है जिसे साहचर्य संक्रिया के रूप में गुणन के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसमें एक [[पहचान तत्व]] होता है, और ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है। | ||
तो | तो यदि {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है <math>x\in G</math> और हर पूर्णांक {{mvar|n}}. | ||
किसी समूह के किसी तत्व की सभी घात का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व की सभी घातयाँ होती हैं {{mvar|x}} द्वारा उत्पन्न [[चक्रीय समूह]] है {{mvar|x}}. यदि सभी घात {{mvar|x}} अलग हैं, समूह [[योजक समूह]] के लिए [[समरूप]] है <math>\Z</math> पूर्णांकों का। अन्यथा, चक्रीय समूह [[परिमित समूह]] है (इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) है {{mvar|x}}. यदि का आदेश {{mvar|x}} है {{mvar|n}}, फिर <math>x^n=x^0=1,</math> और चक्रीय समूह द्वारा उत्पन्न {{mvar|x}} के होते हैं {{mvar|n}} की पहली घातयाँ {{mvar|x}} (प्रतिपादक से उदासीनता से शुरू {{math|0}} या {{math|1}}). | किसी समूह के किसी तत्व की सभी घात का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व की सभी घातयाँ होती हैं {{mvar|x}} द्वारा उत्पन्न [[चक्रीय समूह]] है {{mvar|x}}. यदि सभी घात {{mvar|x}} अलग हैं, समूह [[योजक समूह]] के लिए [[समरूप]] है <math>\Z</math> पूर्णांकों का। अन्यथा, चक्रीय समूह [[परिमित समूह]] है (इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) है {{mvar|x}}. यदि का आदेश {{mvar|x}} है {{mvar|n}}, फिर <math>x^n=x^0=1,</math> और चक्रीय समूह द्वारा उत्पन्न {{mvar|x}} के होते हैं {{mvar|n}} की पहली घातयाँ {{mvar|x}} (प्रतिपादक से उदासीनता से शुरू {{math|0}} या {{math|1}}). | ||
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यदि नीलमूल को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), कम्यूटेटिव रिंग को [[कम अंगूठी]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए छल्ले महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक एफाइन बीजगणितीय समुच्चय का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है। | यदि नीलमूल को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), कम्यूटेटिव रिंग को [[कम अंगूठी]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए छल्ले महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक एफाइन बीजगणितीय समुच्चय का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है। | ||
अधिक सामान्यतः, एक आदर्श दिया जाता है {{mvar|I}} एक कम्यूटेटिव रिंग में {{mvar|R}}, के तत्वों का समुच्चय {{mvar|R}} जिसमें घात हो {{mvar|I}} एक आदर्श है, जिसे के आदर्श का मूलक कहा जाता है {{mvar|I}}. शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद अंगूठी में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> एक क्षेत्र पर (गणित) {{mvar|k}}, एक आदर्श कट्टरपंथी है | अधिक सामान्यतः, एक आदर्श दिया जाता है {{mvar|I}} एक कम्यूटेटिव रिंग में {{mvar|R}}, के तत्वों का समुच्चय {{mvar|R}} जिसमें घात हो {{mvar|I}} एक आदर्श है, जिसे के आदर्श का मूलक कहा जाता है {{mvar|I}}. शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद अंगूठी में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> एक क्षेत्र पर (गणित) {{mvar|k}}, एक आदर्श कट्टरपंथी है यदि और केवल यदि यह सभी बहुपदों का समुच्चय है जो एक affine बीजगणितीय समुच्चय पर शून्य है (यह हिल्बर्ट के Nullstellensatz का परिणाम है)। | ||
=== मैट्रिसेस और लीनियर ऑपरेटर्स === | === मैट्रिसेस और लीनियर ऑपरेटर्स === | ||
| Line 527: | Line 528: | ||
[[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली घातयाँ (प्रकार्य रचना के तहत)। {{mvar|F}}. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह <math>\mathbb F_q</math> क्रम का चक्रीय समूह है {{mvar|k}}, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न। | [[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली घातयाँ (प्रकार्य रचना के तहत)। {{mvar|F}}. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह <math>\mathbb F_q</math> क्रम का चक्रीय समूह है {{mvar|k}}, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न। | ||
डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन , [[असतत लघुगणक]], कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, | डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन , [[असतत लघुगणक]], कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, यदि {{mvar|g}} में आदिम तत्व है <math>\mathbb F_q,</math> फिर <math>g^e</math> किसी के लिए भी वर्ग करके घातांक के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है {{mvar|e}}, भले ही {{mvar|q}} बड़ा है, जबकि पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात एल्गोरिद्म नहीं है {{mvar|e}} से <math>g^e</math> यदि {{mvar|q}} काफी बड़ा है। | ||
== समुच्चय की घात {{Anchor|Exponentiation over sets}}== | == समुच्चय की घात {{Anchor|Exponentiation over sets}}== | ||
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*जटिल विभेदक | *जटिल विभेदक | ||
*गोलाकार क्रमपरिवर्तन | *गोलाकार क्रमपरिवर्तन | ||
* | *सह अभाज्य पूर्णांक | ||
*यूनिट सर्कल | *यूनिट सर्कल | ||
*सम्मिश्र समतल | *सम्मिश्र समतल | ||
Revision as of 13:26, 3 December 2022
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| आधार b तथा प्रतिपादक n |
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