घातांक: Difference between revisions
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[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|के रेखांकन {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} विभिन्न आधारों के लिए | [[Image:Expo02.svg|thumb|315px|के रेखांकन {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} विभिन्न आधारों के लिए b: | ||
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Powers of ten|base 10]],}}}} | {{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Powers of ten|base 10]],}}}} | ||
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#The exponential function|base ''e'']],}}}} | {{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#The exponential function|base ''e'']],}}}} | ||
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पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता <math>(x^r)^s = x^{rs}</math> तर्कसंगत घातांक के लिए है। | पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता <math>(x^r)^s = x^{rs}</math> तर्कसंगत घातांक के लिए है। | ||
दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या {{mvar|n}} वर्गमूल होती है, जो ऋणात्मक है, यदि {{mvar|n}} [[विषम संख्या]] है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है {{mvar|n}} सम है। बाद के प्रकर्ण में, जो भी जटिल हो {{mvar|n}} वह | दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या {{mvar|n}} वर्गमूल होती है, जो ऋणात्मक है, यदि {{mvar|n}} [[विषम संख्या]] है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है {{mvar|n}} सम है। बाद के प्रकर्ण में, जो भी जटिल हो {{mvar|n}} वह वर्गमूल जिसके लिए कोई <math>x^\frac 1n,</math> चुनता है पहचान <math>(x^a)^b=x^{ab}</math> संतुष्ट नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math> | :<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math> | ||
देखना {{slink|| यथार्थ प्रतिपादक}} तथा {{slink||सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात}} विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है। | देखना {{slink|| यथार्थ प्रतिपादक}} तथा {{slink||सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात}} विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है। | ||
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दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र संख्या के nवें मूल का ध्रुवीय रूप निरपेक्ष मान का nवां मूल लेकर और उसके तर्क को n से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है: | दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र संख्या के nवें मूल का ध्रुवीय रूप निरपेक्ष मान का nवां मूल लेकर और उसके तर्क को n से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n</math> | :<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n</math> | ||
यदि <math>2\pi</math> को <math>\theta</math> में जोड़ा जाता है, तो जटिल संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह <math>2i\pi/n</math> | यदि <math>2\pi</math> को <math>\theta</math> में जोड़ा जाता है, तो जटिल संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह <math>2i\pi/n</math> nवें वर्गमूल के तर्क के लिए जोड़ता है, और एक नया nवें वर्गमूल प्रदान करता है। यह {{mvar|n}} बार संभव है, और सम्मिश्र संख्या {{mvar|n}} की {{mvar|n}}वें मूल प्रदान करता है। | ||
इनमें से किसी एक को | इनमें से किसी एक को {{mvar|n}} मुख्य वर्गमूल के रूप में {{mvar|n}}वें वर्गमूल को चुनना आम बात है। सामान्य विकल्प nवें वर्गमूल को चुनना है जिसके लिए <math>-\pi<\theta\le \pi,</math> यानी nवें वर्गमूल जिसमें सबसे बड़ा वास्तविक भाग, और, यदि वे दो हैं, तो सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला है। यह रेडिकैंड के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर, सिद्धांत nवें वर्गमूल को पूरे सम्मिश्र समतल में एक सतत कार्य बनाता है। यह प्रकार्य धनात्मक वास्तविक मूलांक के लिए सामान्य nवें मूल के बराबर है। ऋणात्मक वास्तविक मूलांक और विषम घातांक के लिए मूलधन {{mvar|n}} वर्गमूल वास्तविक नहीं है, यद्यपि सामान्य {{mvar|n}} वर्गमूल असली है। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] से पता चलता है कि सिद्धांत {{mvar|n}}वें वर्गमूल अद्वितीय जटिल अलग-अलग कार्य है जो सामान्य nवें वर्गमूल को गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के बिना सम्मिश्र समतल तक बढ़ाता है। | ||
यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो | यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो <math>2\pi</math> वृद्धि के बाद जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी {{mvar|n}}वें वर्गमूलें परिपत्र क्रमचय हैं (वे गुणा कर रहे हैं <math display="textstyle">e^{2i\pi/n}</math>). इससे पता चलता है कि एक nवें वर्गमूल प्रकार्य को परिभाषित करना संभव नहीं है जो पूरे सम्मिश्र समतल में निरंतर है। | ||
==== एकता की वर्गमूलें ==== | ==== एकता की वर्गमूलें ==== | ||
{{Main| | {{Main|एकता की वर्गमूलें}} | ||
[[File:One3Root.svg|thumb|right|1 की तीन तिहाई वर्गमूलें]] | [[File:One3Root.svg|thumb|right|1 की तीन तिहाई वर्गमूलें]] | ||
एकता की nवीं जड़ें n सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}}, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे असतत फूरियर रूपांतरण या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान। {{mvar|n}} }} {{mvar|n}} एकता के {{mvar|n}}वें मूल की पहली घातयाँ <math>\omega =e^\frac{2\pi i}{n}</math>, वह है <math>1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.</math><nowiki> n}}हैं। एकता के </nowiki>{{mvar|n}}वें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं; उनके पास रूप है <math>\omega^k=e^\frac{2k\pi i}{n},</math> साथ {{mvar|k}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक {{mvar|n}}. एकता का अद्वितीय आदिम वर्गमूल <math>-1</math> है। एकता की आदिम चौथी वर्गमूलें <math>i</math> तथा <math>-i</math> हैं। | |||
{{mvar|n}} | एकता की {{mvar|n}} वर्गमूलें सभी को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं एक सम्मिश्र संख्या की {{mvar|n}}वें वर्गमूलें {{mvar|z}} के रूप में {{mvar|n}} किसी दिए गए उत्पाद {{mvar|n}}वें की वर्गमूलें {{mvar|z}} के साथ एकता की {{mvar|n}}वें वर्गमूल। | ||
ज्यामितीय रूप से, | एकता की nवीं जड़ें एक जटिल संख्या z की सभी nवीं वर्गमूल को एकता की nवीं जड़ के साथ z की दी गई nवीं वर्गमूल के n उत्पादों के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देती हैं | ||
ज्यामितीय रूप से, एकता की nवीं वर्गमूल वास्तविक संख्या 1 पर एक शीर्ष के साथ एक नियमित n-गॉन के शीर्ष पर जटिल तल के इकाई वृत्त पर स्थित होती हैं। | |||
जैसा कि संख्या <math>e^\frac{2k\pi i}{n}</math> एकता के साथ आदिम nवां मूल है सबसे छोटा सकारात्मक तर्क, इसे एकता का प्रधान आदिम nवां मूल कहा जाता है, कभी-कभी एकता के प्रधान nवें मूल के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, हालांकि इस शब्दावली को <math>1^{1/n}</math> के प्रमुख मान के साथ भ्रमित किया जा सकता है, जो 1 है।<ref>{{cite book |title=एल्गोरिदम का परिचय|edition=second |author-first1=Thomas H. |author-last1=Cormen |author-first2=Charles E. |author-last2=Leiserson |author-first3=Ronald L. |author-last3=Rivest |author-first4=Clifford |author-last4=Stein |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30 }}</ref><ref>{{cite book | title = अंतर समीकरण: खरगोश से कैओस तक| title-link= अंतर समीकरण: खरगोश से कैओस तक| edition = [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-first1=Paul |author-last1=Cull |author-first2=Mary |author-last2=Flahive |author-link2=Mary Flahive |author-first3=Robby |author-last3=Robson |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Defined on p. 351</ref><ref>"[http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html Principal root of unity]", MathWorld.</ref> | |||
=== जटिल घातांक === | === जटिल घातांक === | ||
जटिल आधारों के साथ घातांक को परिभाषित करने में कठिनाइयाँ आती हैं जो पिछले अनुभाग में वर्णित के समान हैं, | जटिल आधारों के साथ घातांक को परिभाषित करने में कठिनाइयाँ आती हैं जो पिछले अनुभाग में वर्णित के समान हैं, इसको छोड़कर सामान्य रूप से, इसके लिए असीम रूप से कई संभावित मान हैं। या तो एक प्रमुख मूल्य परिभाषित किया गया है, जो {{mvar|z}} के मूल्यों के लिए निरंतर नहीं है जो वास्तविक और सकारात्मक नहीं हैं, या <math DISPLAY=textstyle>z^w</math> एक बहुविकल्पीय समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
सभी मामलों में, जटिल लघुगणक का उपयोग जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता | सभी मामलों में, जटिल लघुगणक का उपयोग जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। | ||
:<math>z^w=e^{w\log z},</math> | :<math>z^w=e^{w\log z},</math> | ||
जहाँ <math>\log z</math> उपयोग किए जाने वाले जटिल लघुगणक का भिन्न रूप है, जो कि एक प्रकार्य या बहु-मूल्यवान प्रकार्य है। | |||
:<math>e^{\log z}=z</math> | :<math>e^{\log z}=z</math> | ||
प्रत्येक {{mvar|z}} के लिए उसके कार्यक्षेत्र की परिभाषा में। | |||
==== मूल मूल्य ==== | ==== मूल मूल्य ==== | ||
जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य अद्वितीय कार्य है, जिसे सामान्यतः | जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य अद्वितीय कार्य है, जिसे सामान्यतः <math>\log</math> निरूपित किया जाता है जैसे कि, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या के लिए {{mvar|z}}, | ||
:<math>e^{\log z}=z,</math> | :<math>e^{\log z}=z,</math> | ||
और | और {{mvar|z}} का काल्पनिक हिस्सा संतुष्ट | ||
:<math>-\pi <\mathrm{Im} \le \pi.</math> | :<math>-\pi <\mathrm{Im} \le \pi.</math> | ||
जटिल लघुगणक का मुख्य मान | जटिल लघुगणक का मुख्य मान <math>z=0</math> के लिए परिभाषित नहीं है। यह {{mvar|z}} के ऋणात्मक वास्तविक मानों पर सतत फलन है, और यह कहीं और [[होलोमार्फिक|पूर्णसममितिक]] है (अर्थात, जटिल विभेदक)। यदि {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है, जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य प्राकृतिक लघुगणक है<math>\log z=\ln z.</math> | ||
<math>z^w</math> का मुख्य मूल्य की तरह परिभाषित किया गया है।कहाँ पे <math>\log z</math> लघुगणक का मुख्य मान है। | |||
<math>z^w=e^{w\log z},</math> | <math>z^w=e^{w\log z},</math> | ||
कार्यक्रम <math>(z,w)\to z^w</math> बिंदुओं के पड़ोस को छोड़कर होलोमोर्फिक है {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है। | कार्यक्रम <math>(z,w)\to z^w</math> बिंदुओं के पड़ोस को छोड़कर होलोमोर्फिक है {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है। | ||
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यदि <math>w=\frac mn</math> के साथ एक परिमेय संख्या है {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक <math>n>0,</math> फिर <math>z^w</math> बिल्कुल है {{mvar|n}} मान। यदि <math>m=1,</math> ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के #nवें मूल में वर्णित हैं|§ {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें वर्गमूलें। यदि {{mvar|w}} एक पूर्णांक है, केवल एक मान है जो इससे सहमत है {{slink||Integer exponents}}. | यदि <math>w=\frac mn</math> के साथ एक परिमेय संख्या है {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक <math>n>0,</math> फिर <math>z^w</math> बिल्कुल है {{mvar|n}} मान। यदि <math>m=1,</math> ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के #nवें मूल में वर्णित हैं|§ {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें वर्गमूलें। यदि {{mvar|w}} एक पूर्णांक है, केवल एक मान है जो इससे सहमत है {{slink||Integer exponents}}. | ||
बहुविकल्पी घातांक के लिए होलोमोर्फिक है <math>z\ne 0,</math> इस अर्थ में कि किसी | बहुविकल्पी घातांक के लिए होलोमोर्फिक है <math>z\ne 0,</math> इस अर्थ में कि किसी प्रकार्य के ग्राफ़ में कई शीट होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक होलोमोर्फिक प्रकार्य को परिभाषित करते हैं। यदि {{mvar|z}} चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार बदलता रहता है {{math|0}}, फिर, एक मोड़ के बाद, का मान <math>z^w</math> चादर बदली है। | ||
==== गणना ==== | ==== गणना ==== | ||
विहित रूप <math>x+iy</math> का <math>z^w</math> के विहित रूप से गणना की जा सकती है {{mvar|z}} तथा {{mvar|w}}. | विहित रूप <math>x+iy</math> का <math>z^w</math> के विहित रूप से गणना की जा सकती है {{mvar|z}} तथा {{mvar|w}}. यद्यपि यह एक सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन गणना को कई चरणों में विभाजित करना अधिक स्पष्ट है। | ||
* का ध्रुवीय रूप {{mvar|z}}. यदि <math>z=a+ib</math> का विहित रूप है {{mvar|z}} ({{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} वास्तविक होना), तो इसका ध्रुवीय रूप है <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> कहाँ पे <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> तथा <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (इस | * का ध्रुवीय रूप {{mvar|z}}. यदि <math>z=a+ib</math> का विहित रूप है {{mvar|z}} ({{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} वास्तविक होना), तो इसका ध्रुवीय रूप है <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> कहाँ पे <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> तथा <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (इस प्रकार्य की परिभाषा के लिए [[atan2]] देखें)। | ||
* का जटिल लघुगणक {{mvar|z}}. इस लघुगणक का मुख्य मान है <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> कहाँ पे <math>\ln</math> प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है। लघुगणक के अन्य मान जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं <math>2ik\pi</math> किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}. | * का जटिल लघुगणक {{mvar|z}}. इस लघुगणक का मुख्य मान है <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> कहाँ पे <math>\ln</math> प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है। लघुगणक के अन्य मान जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं <math>2ik\pi</math> किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|k}}. | ||
* का विहित रूप <math>w\log z.</math>यदि <math>w=c+di</math> साथ {{mvar|c}} तथा {{mvar|d}} वास्तविक, के मूल्य <math>w\log z</math> हैं <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> के अनुरूप मुख्य मूल्य <math>k=0.</math> | * का विहित रूप <math>w\log z.</math>यदि <math>w=c+di</math> साथ {{mvar|c}} तथा {{mvar|d}} वास्तविक, के मूल्य <math>w\log z</math> हैं <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> के अनुरूप मुख्य मूल्य <math>k=0.</math> | ||
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(xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.} | (xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से | गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से प्रकार्य (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो प्रकार्य संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] सम्मिलित हैं। | ||
जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है, | जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है, | ||
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& x\mapsto x^p | & x\mapsto x^p | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली घातयाँ ( | [[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली घातयाँ (प्रकार्य रचना के तहत)। {{mvar|F}}. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह <math>\mathbb F_q</math> क्रम का चक्रीय समूह है {{mvar|k}}, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न। | ||
डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन , [[असतत लघुगणक]], कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, अगर {{mvar|g}} में आदिम तत्व है <math>\mathbb F_q,</math> फिर <math>g^e</math> किसी के लिए भी वर्ग करके घातांक के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है {{mvar|e}}, भले ही {{mvar|q}} बड़ा है, जबकि पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात एल्गोरिद्म नहीं है {{mvar|e}} से <math>g^e</math> यदि {{mvar|q}} काफी बड़ा है। | डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन , [[असतत लघुगणक]], कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, अगर {{mvar|g}} में आदिम तत्व है <math>\mathbb F_q,</math> फिर <math>g^e</math> किसी के लिए भी वर्ग करके घातांक के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है {{mvar|e}}, भले ही {{mvar|q}} बड़ा है, जबकि पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात एल्गोरिद्म नहीं है {{mvar|e}} से <math>g^e</math> यदि {{mvar|q}} काफी बड़ा है। | ||
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कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा सम्मिलित है)। | कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा सम्मिलित है)। | ||
इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक | इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक प्रकार्य को मैप करके {{math|1}}. | ||
यह कार्डिनल संख्या#कार्डिनल घातांक के साथ इस अर्थ में फिट बैठता है कि {{math|1={{abs|''S''<sup>''T''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''T''}}</sup>}}, कहाँ पे {{math|{{abs|''X''}}}} की प्रमुखता है {{math|''X''}}. | यह कार्डिनल संख्या#कार्डिनल घातांक के साथ इस अर्थ में फिट बैठता है कि {{math|1={{abs|''S''<sup>''T''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''T''}}</sup>}}, कहाँ पे {{math|{{abs|''X''}}}} की प्रमुखता है {{math|''X''}}. | ||
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== घात की सीमा == | == घात की सीमा == | ||
[[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर | [[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर प्रकार्य {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु पर कोई सीमा नहीं है {{math|(0, 0)}}. कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस प्रकार्य की सीमा क्या है। | ||
अधिक सटीक रूप से, | अधिक सटीक रूप से, प्रकार्य पर विचार करें <math>f(x,y) = x^y</math> पर परिभाषित <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math>. फिर {{math|''D''}} के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x''}}, {{math|''y''}} [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] से संबंधित {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, [[उत्पाद टोपोलॉजी]] के साथ संपन्न), जिसमें कार्य करने वाले बिंदु सम्मिलित होंगे {{math|''f''}} एक सीमा है। | ||
वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा है {{math|''D''}}, के अलावा {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को घात को परिभाषित करने की अनुमति देता है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} निरंतरता से जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं। | वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा है {{math|''D''}}, के अलावा {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को घात को परिभाषित करने की अनुमति देता है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} निरंतरता से जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं। | ||
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चरणों की इस श्रृंखला में 99 के बजाय केवल 8 गुणा की आवश्यकता है। | चरणों की इस श्रृंखला में 99 के बजाय केवल 8 गुणा की आवश्यकता है। | ||
सामान्यतः, गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} तक घटाया जा सकता है <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> की संख्या को दर्शाता है {{math|1}} के [[द्विआधारी प्रतिनिधित्व]] में {{mvar|n}}. कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है (सबसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> | सामान्यतः, गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} तक घटाया जा सकता है <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> की संख्या को दर्शाता है {{math|1}} के [[द्विआधारी प्रतिनिधित्व]] में {{mvar|n}}. कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है (सबसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> यद्यपि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है। | ||
== पुनरावृत्त कार्य == | == पुनरावृत्त कार्य == | ||
प्रकार्य रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|युग्मक प्रवर्तन]] है जिसे प्रकार्य (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए प्रकार्य का [[कोडोमेन|कोकार्यक्षेत्र]] बाईं ओर लिखे प्रकार्य के प्रकार्य के कार्यक्षेत्र में सम्मिलित है। यह निरूपित है <math>g\circ f,</math> और के रूप में परिभाषित किया गया है | |||
:<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | :<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | ||
हरएक के लिए {{mvar|x}} के अधिकार क्षेत्र में {{mvar|f}}. | हरएक के लिए {{mvar|x}} के अधिकार क्षेत्र में {{mvar|f}}. | ||
यदि किसी | |||