घातांक: Difference between revisions
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प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]<डिव क्लास = राइट>{{Calculation results}} | प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]<डिव क्लास = राइट>{{Calculation results}} | ||
'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n | '''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है | ||
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | <math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | ||
प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है। | प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है। | ||
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== वास्तविक घातांक == | == वास्तविक घातांक == | ||
सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, वास्तविक घात के घातांक को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, '''या तो''' तर्कसंगत घात को निरंतरता द्वारा वास्तविक तक विस्तारित करके ({{slink|| | सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, वास्तविक घात के घातांक को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, '''या तो''' तर्कसंगत घात को निरंतरता द्वारा वास्तविक तक विस्तारित करके ({{slink||विवेकपूर्ण प्रतिपादक की सीमा}}, नीचे), या आधार के लघुगणक और घातीय फलन के संदर्भ में ({{section link||लघुगणक के माध्यम से घात}}, नीचे)। परिणाम हमेशा एक सकारात्मक वास्तविक संख्या होती है, और पूर्णांक घातांकों के लिए ऊपर दिखाई गई सर्वसमिका और गुण वास्तविक घातांकों के लिए इन परिभाषाओं के साथ सही रहते हैं। दूसरी परिभाषा अधिक सामान्य रूप से उपयोग की जाती है, क्योंकि यह [[जटिल संख्या]] के घातांकों को सीधी तरह से सामान्य करती है। | ||
दूसरी ओर, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या की वास्तविक घात के लिए घातांक को लगातार परिभाषित करना अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह अवास्तविक हो सकता है और इसके कई मान हो सकते हैं (देखें {{section link|| | दूसरी ओर, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या की वास्तविक घात के लिए घातांक को लगातार परिभाषित करना अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह अवास्तविक हो सकता है और इसके कई मान हो सकते हैं (देखें {{section link|| यथार्थ प्रतिपादक नकारात्मक आधारों के साथ}}). कोई इनमें से किसी एक मूल्य को चुन सकता है, जिसे मुख्य मूल्य कहा जाता है, लेकिन मुख्य मूल्य का कोई विकल्प नहीं है जिसके लिए पहचान है | ||
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math> | :<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math> | ||
सच हैं; देखना {{section link|| | सच हैं; देखना {{section link|| घात और लघुगणक पहचान की विफलता}}. इसलिए, एक आधार के साथ घातांक जो एक सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, को सामान्यतः एक बहुविकल्पीय प्रकार्य के रूप में देखा जाता है। | ||
=== परिमेय घातांकों की सीमाएं === | === परिमेय घातांकों की सीमाएं === | ||
[[File:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|की सीमा {{math|''e''{{sup|1/''n''}}}} है {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}} जब {{mvar|n}} अनंत की ओर जाता है।]]चूँकि किसी भी [[अपरिमेय संख्या]] को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक धनात्मक वास्तविक संख्या का घातांक {{mvar|b}} एक | [[File:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|की सीमा {{math|''e''{{sup|1/''n''}}}} है {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}} जब {{mvar|n}} अनंत की ओर जाता है।]]चूँकि किसी भी [[अपरिमेय संख्या]] को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक धनात्मक वास्तविक संख्या का घातांक {{mvar|b}} एक मनमाने वास्तविक प्रतिपादक के साथ {{mvar|x}} नियम के साथ [[निरंतर कार्य]] द्वारा परिभाषित किया जा सकता है<ref name="Denlinger">{{cite book |title=वास्तविक विश्लेषण के तत्व|last=Denlinger |first=Charles G. |publisher=Jones and Bartlett |date=2011 |pages=278–283 |isbn=978-0-7637-7947-4}}</ref> | ||
:<math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math> | :<math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math> | ||
जहां सीमा के | जहां सीमा केवल r के परिमेय मानों पर ली जाती है। यह सीमा प्रत्येक सकारात्मक {{mvar|b}} और हर यथार्थ {{mvar|x}} के लिए उपस्थित है। | ||
उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, [[गैर-समाप्ति दशमलव]] प्रतिनिधित्व {{math|1=''π'' = 3.14159...}} और तर्कसंगत | उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, [[गैर-समाप्ति दशमलव]] प्रतिनिधित्व {{math|1=''π'' = 3.14159...}} और तर्कसंगत घात के [[मोनोटोन समारोह|दिष्टता]] का उपयोग उन तर्कसंगत घात द्वारा सीमित अंतराल प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो वांछित के रूप में छोटे हैं, और इसमें <math>b^\pi</math>सम्मिलित होना चाहिए: | ||
:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math> | :<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math> | ||
तो, अंतराल की ऊपरी सीमा और निचली सीमा दो [[अनुक्रम (गणित)]] बनाते हैं जिनकी एक ही सीमा | तो, अंतराल की ऊपरी सीमा और निचली सीमा दो [[अनुक्रम (गणित)]] बनाते हैं जिनकी एक ही सीमा निरूपित <math>b^\pi</math> होती है, | ||
यह | |||
यह प्रत्येक धनात्मक b और वास्तविक x के लिए <math>b^x</math> को b और x के सतत फलन के रूप में परिभाषित करता है। पूर्णतः स्पष्ट अभिव्यक्ति भी देखें। | |||
=== चरघातांकी फलन === | === चरघातांकी फलन === | ||
{{Main| | {{Main|चरघातांकी फलन}} | ||
घातीय फलन को प्रायः | |||
घातीय फलन को प्रायः <math>x\mapsto e^x,</math> इस रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ पर <math>e\approx 2.718</math> यूलर संख्या है। [[परिपत्र तर्क|परिपत्र तर्कबुद्धि]] से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, लक्षित <math>\exp(x),</math> और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती है। फिर एक प्रमाण को रेखांकित किया जाता है कि, यदि कोई पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई घातांक की परिभाषा का उपयोग करता है, तो उसके पास है | |||
:<math>\exp(x)=e^x.</math> | :<math>\exp(x)=e^x.</math> | ||
घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है | घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है | ||
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और दूसरे क्रम की अवधि <math>\frac{xy}{n^2}</math> उपज की सीमा को प्रभावित नहीं करता है <math>\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)</math>. | और दूसरे क्रम की अवधि <math>\frac{xy}{n^2}</math> उपज की सीमा को प्रभावित नहीं करता है <math>\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)</math>. | ||
<math>e=\exp(1)</math> यूलर की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह पूर्ववर्ती समीकरणों से अनुसरण करता है <math>\exp(x)=e^x</math> जब {{mvar|x}} एक पूर्णांक है (यह घातांक की बार-बार गुणा करने की परिभाषा का परिणाम है)। यदि {{mvar|x}} वास्तविक का है, <math>\exp(x)=e^x</math> पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई परिभाषाओं से परिणाम, यदि घातीय पहचान का उपयोग करके {{mvar|x}} तर्कसंगत है, अन्यथा घातीय कार्य की निरंतरता। | |||
वह सीमा जो चरघातांकी फलन को परिभाषित करती है, के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरित होती है | वह सीमा जो चरघातांकी फलन को परिभाषित करती है, {{mvar|x}} के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरित होती है, और इसलिए इसकी परिभाषा का विस्तार करने के लिए <math>\exp(z)</math> इसका उपयोग किया जा सकता है, और इस तरह <math>e^z,</math> वास्तविक संख्या से लेकर किसी भी जटिल तर्क {{mvar|z}} तक। यह विस्तारित घातीय कार्य अभी भी घातीय पहचान को संतुष्ट करता है, और सामान्यतः जटिल आधार और घातांक के लिए घातांक को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। | ||
=== लघुगणक के माध्यम से घातयाँ === | === लघुगणक के माध्यम से घातयाँ === | ||
{{math|''e''<sup>''x''</sup>}} की परिभाषा जैसा कि घातीय कार्य परिभाषित करने की अनुमति देता है {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} हर सकारात्मक वा'''स्तविक संख्या के लिए {{mvar|b}},''' चरघातांकी और लघुगणक फलन के संदर्भ में। विशेष रूप से, तथ्य यह है कि [[प्राकृतिक]] लघुगणक {{math|ln(''x'')}} चरघातांकी फलन का प्रतिलोम फलन है {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} इसका मतलब है कि किसी के पास है | |||
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math> | : <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math> | ||
हरएक के लिए {{math|''b'' > 0}}. पहचान बनाए रखने के लिए <math>(e^x)^y=e^{xy},</math> एक होना चाहिए | हरएक के लिए {{math|''b'' > 0}}. पहचान बनाए रखने के लिए <math>(e^x)^y=e^{xy},</math> एक होना चाहिए | ||
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(xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.} | (xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से फ़ंक्शन (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो फ़ंक्शन संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] | गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से फ़ंक्शन (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो फ़ंक्शन संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] सम्मिलित हैं। | ||
जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है, | जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है, | ||
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मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]]ों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, <math>d/dx</math>, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है <math>f(x)</math> एक नया कार्य देने के लिए <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है: | मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]]ों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, <math>d/dx</math>, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है <math>f(x)</math> एक नया कार्य देने के लिए <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है: | ||
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | :<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | ||
ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ मैट्रिक्स घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले मैट्रिक्स घात की गणना निरंतर गतिकी वाले सिस्टम को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण | ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ मैट्रिक्स घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले मैट्रिक्स घात की गणना निरंतर गतिकी वाले सिस्टम को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न ऑपरेटर को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष मामले को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है। | ||
=== परिमित क्षेत्र === | === परिमित क्षेत्र === | ||
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कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ। | कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ। | ||
कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए एक्सपोनेंट के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा | कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए एक्सपोनेंट के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा सम्मिलित है)। | ||
इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके {{math|1}}. | इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके {{math|1}}. | ||
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[[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर फ़ंक्शन {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु पर कोई सीमा नहीं है {{math|(0, 0)}}. कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस फ़ंक्शन की सीमा क्या है। | [[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर फ़ंक्शन {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु पर कोई सीमा नहीं है {{math|(0, 0)}}. कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस फ़ंक्शन की सीमा क्या है। | ||
अधिक सटीक रूप से, फ़ंक्शन पर विचार करें <math>f(x,y) = x^y</math> पर परिभाषित <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math>. फिर {{math|''D''}} के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x''}}, {{math|''y''}} [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] से संबंधित {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, [[उत्पाद टोपोलॉजी]] के साथ संपन्न), जिसमें कार्य करने वाले बिंदु | अधिक सटीक रूप से, फ़ंक्शन पर विचार करें <math>f(x,y) = x^y</math> पर परिभाषित <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math>. फिर {{math|''D''}} के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x''}}, {{math|''y''}} [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] से संबंधित {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, [[उत्पाद टोपोलॉजी]] के साथ संपन्न), जिसमें कार्य करने वाले बिंदु सम्मिलित होंगे {{math|''f''}} एक सीमा है। | ||
वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा है {{math|''D''}}, के अलावा {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को घात को परिभाषित करने की अनुमति देता है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} निरंतरता से जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं। | वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा है {{math|''D''}}, के अलावा {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को घात को परिभाषित करने की अनुमति देता है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} निरंतरता से जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं। | ||
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== पुनरावृत्त कार्य == | == पुनरावृत्त कार्य == | ||
फ़ंक्शन रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|युग्मक प्रवर्तन]] है जिसे फ़ंक्शन (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए फ़ंक्शन का [[कोडोमेन]] बाईं ओर लिखे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन में | फ़ंक्शन रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|युग्मक प्रवर्तन]] है जिसे फ़ंक्शन (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए फ़ंक्शन का [[कोडोमेन]] बाईं ओर लिखे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन में सम्मिलित है। यह निरूपित है <math>g\circ f,</math> और के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | :<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | ||
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== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | == [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | ||
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|ऑपरेटर ( परिकलक प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक परिकलक सिस्टम एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|ऑपरेटर ( परिकलक प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक परिकलक सिस्टम एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | ||
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* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ। | * <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ। | ||
* <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर समुच्चय में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न | * <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर समुच्चय में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न सम्मिलित नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सही]] 7, [[टीसीएल]], [[एबीएपी]], मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट्स के लिए), ट्यूरिंग (प्रोग्रामिंग) भाषा), [[वीएचडीएल]]। | ||
* <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | * <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | ||
* <code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | * <code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | ||
Revision as of 06:16, 3 December 2022
| bn | |
|---|---|
notation | |
| base b and exponent n |
<डिव क्लास = राइट>
| Arithmetic operations | |||||
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