घातांक: Difference between revisions
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{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|base 2]],}}}} | {{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|base 2]],}}}} | ||
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प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की | प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]<डिव क्लास = राइट>{{Calculation results}} | ||
'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या | '''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n शामिल हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है | ||
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | <math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | ||
प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की | प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है। | ||
ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं <math>b</math> है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: | ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं <math>b</math> है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: | ||
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== अंकन का इतिहास == | == अंकन का इतिहास == | ||
शब्द | शब्द घात ({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां: प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद।<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, की घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)]] के लिए '''धन''' (माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुस्लिम, उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा (कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों मीम (एम) और कफ (के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref> | ||
16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> | 16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> | ||
[[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक ([[चौथी शक्ति]]), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी | [[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक ([[चौथी शक्ति|चौथी घात]]), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी घात को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है। | ||
17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति पुरःस्थापित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref> | 17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति पुरःस्थापित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref> | ||
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जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है। | जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है। | ||
उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी | उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी घात भी {{math|3<sup>5</sup>}} केवल 3 से 5 तक, या 3 से 5 तक पढ़ा जा सकता है। इसलिए, घातांक {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} n की घात के लिए b के रूप में, nवें के घात के लिए b के रूप में, nवें के लिए b के रूप में, या संक्षेप में b से n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | ||
नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (जिसका मतलब है {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} न की {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), | नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (जिसका मतलब है {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} न की {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), घात का स्तंभ या केवल एक स्तंभ कहा जाता है।<ref>{{cite book|editor1-last=Kauffman|editor1-first=Louis|editor2-last=J. Lomonaco|editor2-first=Samuel|editor3-last=Chen|editor3-first=Goong|title=क्वांटम संगणना और क्वांटम प्रौद्योगिकी का गणित|date=September 19, 2007|publisher=[[CRC Press]] |isbn=9781584889007|page=105|chapter-url=https://books.google.com/books?id=kd8R_Y10U3oC&pg=PA105|access-date=26 February 2022|language=English|chapter=4.6 Efficient decomposition of Hamiltonian|archive-url=https://web.archive.org/web/20220226160938/https://books.google.com/books?id=kd8R_Y10U3oC&pg=PA105#v=onepage|archive-date=February 26, 2022|url-status=live}}</ref> | ||
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सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है। | सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है। | ||
{{math|0<sup>0</sup>}} प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक | {{math|0<sup>0</sup>}} प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक घात पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} सामान्यतः <math>0^0,</math>को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|अधिक विवरण के लिए, देखें [[शून्य की घात शून्य]].}} | ||
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=== राशि की | === राशि की घात === | ||
एक राशि की | एक राशि की घात की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की घात से की जा सकती है | ||
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | :<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | ||
हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए अगर {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है। | हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए अगर {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है। | ||
| Line 154: | Line 154: | ||
=== विशेष आधार === | === विशेष आधार === | ||
===={{anchor|Base 10}}दस की | ===={{anchor|Base 10}}दस की घातयाँ == | ||
{{See also|Scientific notation}} | {{See also|Scientific notation}} | ||
{{Main|10 की घात}} | {{Main|10 की घात}} | ||
संख्या प्रणाली में आधार दस ([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक | संख्या प्रणाली में आधार दस ([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक {{math|1}} के रूप में घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} तथा {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}. | ||
आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}} (निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}. | आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}} (निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}. | ||
[[एसआई उपसर्ग]] की | [[एसआई उपसर्ग|SI उपसर्ग]] की घात के आधार पर {{math|10}} छोटी या बड़ी मात्रा का वर्णन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपसर्ग [[किलो-]] का अर्थ है {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, तो एक किलोमीटर है {{val|1000|u=metres}}. | ||
===={{anchor|Base 2}}दो की | ===={{anchor|Base 2}}दो की घात ==== | ||
{{Main|Power of two}} | {{Main|Power of two}} | ||
{{math|2}} की पहली नकारात्मक घात सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: [[एक आधा]] और [[4 (संख्या)]]। | |||
{{math|2}} की घात [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक समुच्चय के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक घात समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें {{math|2<sup>''n''</sup>}} सदस्य होते हैं। | |||
{{math|2}} की पूर्णांक घात परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। धनात्मक पूर्णांक घात 2n एक n- द्रव्यंक पूर्णांक युग्मक संख्या के लिए संभावित मानों की संख्या देता है; उदाहरण के लिए, एक अष्ट द्वंयक में {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} विभिन्न मान हो सकते हैं। [[बाइनरी संख्या प्रणाली|युग्मक संख्या प्रणाली]] किसी भी संख्या को घातों {{math|2}} के योग के रूप में व्यक्त करती है, और इसे एक युग्मक बिंदु द्वारा अलग किया गया अनुक्रम {{math|0}} तथा {{math|1}} के रूप में दर्शाता है,, {{math|1}} जहां {{math|2}} की घात को दर्शाता है जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है कि {{math|1}}: अऋणात्मक घातांक की कोटि है बिंदु {{math|1}} के बाईं ओर (से शुरू {{math|0}}), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। | |||
==== एक की | ==== एक की घात ==== | ||
एक की | एक की घात सभी एक हैं: {{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}. | ||
संख्या की पहली | संख्या की पहली घात संख्या ही है: <math>n^1=n.</math> | ||
====शून्य की घात== | ====शून्य की घात== | ||
यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} सकारात्मक है ({{math|''n'' > 0}}), | यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} सकारात्मक है ({{math|''n'' > 0}}), {{mvar|n}} शून्य की घात शून्य है: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}. | ||
यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} नकारात्मक है ({{math|''n'' < 0}}), | यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} नकारात्मक है ({{math|''n'' < 0}}), {{mvar|n}}शून्य की घात {{math|0<sup>''n''</sup>}} अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए <math>1/0^{-n}</math> के साथ {{math|−''n'' > 0}}, और यह <math>1/0</math> उपरोक्त के अनुसार होगा। | ||
शून्य की घात शून्य | शून्य की घात शून्य {{math|0<sup>0</sup>}} या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, या इसे अपरिभाषित छोड़ दिया गया है। | ||
==== नकारात्मक की | ==== नकारात्मक की घात ==== | ||
यदि {{math|''n''}} | यदि {{math|''n''}} एक सम पूर्णांक है तब {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}. | ||
यदि {{math|''n''}} | यदि {{math|''n''}} एक विषम पूर्णांक है तब {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}. | ||
इस वजह से, | इस वजह से, {{math|−1}} की घात वैकल्पिक अनु[[क्रम|क्र]]मों को व्यक्त करने के लिए उपयोगी हैं। सम्मिश्र संख्या i की घातों की इसी तरह की चर्चा के लिए , {{section link||सम्मिश्र संख्याओं की घात}} देखिए। | ||
=== बड़े घातांक === | === बड़े घातांक === | ||
एक से अधिक संख्या की | एक से अधिक संख्या की घात के [[अनुक्रम की सीमा]] भिन्न होती है; दूसरे शब्दों में, अनुक्रम बिना किसी सीमा के बढ़ता है: | ||
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} जब {{math|''b'' > 1}} | :{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} जब {{math|''b'' > 1}} | ||
इसे | इसे इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "b की घात n की प्रवृत्ति +∞ की ओर जाती है क्योंकि जब b एक से बड़ा होता है तब n अनंत की ओर जाता है "। | ||
एक से कम पूर्ण मान वाली संख्या की घात शून्य की ओर प्रवृत्त होती है: | एक से कम पूर्ण मान वाली संख्या की घात शून्य की ओर प्रवृत्त होती है: | ||
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} जब {{math|{{abs|''b''}} < 1}} | :{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} जब {{math|{{abs|''b''}} < 1}} | ||
एक की कोई भी | एक की कोई भी घात हमेशा एक होती है: | ||
:{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} सभी के लिए {{math|''n''}} यदि {{math|1=''b'' = 1}} | :{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} सभी के लिए {{math|''n''}} यदि {{math|1=''b'' = 1}} | ||
की | -1 की घात 1 और -1 के बीच वैकल्पिक होती है क्योंकि n सम और विषम के बीच वैकल्पिक होती है, और इस प्रकार n बढ़ने पर किसी सीमा तक नहीं जाती है। | ||
यदि | यदि b <-1, bn बड़े और बड़े धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच वैकल्पिक होता है क्योंकि n सम और विषम के बीच वैकल्पिक होता है, और इस प्रकार n बढ़ने पर किसी सीमा तक नहीं जाता है। | ||
यदि घातांक संख्या की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है | यदि घातांक संख्या {{math|1}} की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण आवेष्टन है | ||
:{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} | :{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} | ||
देखना{{section link|| | देखना{{section link||घातीय कार्य}}नीचे। | ||
अन्य सीमाएँ, विशेष रूप से वे अभिव्यक्तियाँ जो एक [[अनिश्चित रूप]] धारण करती हैं, | अन्य सीमाएँ, विशेष रूप से वे अभिव्यक्तियाँ जो एक [[अनिश्चित रूप]] धारण करती हैं, नीचे {{section link||घातों की सीमा}} में वर्णित हैं । | ||
=== | === घात प्रकार्य === | ||
[[File:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left| | [[File:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|घात के लिए कार्य करता है <math>n=1,3,5</math>]] | ||
[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb| | [[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|घात के लिए कार्य करता है <math>n=2,4,6</math>]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद हैं: <math>n</math> के लिए यहां तक कि, और के लिए <math>n</math> अजीब। सामान्य तौर पर के लिए <math>c > 0</math>, जब <math>n</math> सम है <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर प्रवृत्त होगा <math>x</math>, और घटते हुए सकारात्मक अनंत की ओर भी <math>x</math>. सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार होता है <math>y=cx^2</math>, के रूप में बीच में अधिक चपटा <math>n</math> बढ़ती है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] के साथ कार्य करता है {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} सम फलन कहलाते हैं। | ||
कब <math>n</math> अजीब है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक से उलट जाता है <math>x</math> नकारात्मक के लिए <math>x</math>. के लिये <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी प्रवृत्त होगा <math>x</math>, लेकिन घटने के साथ नकारात्मक अनंतता की ओर <math>x</math>. विषम | कब <math>n</math> अजीब है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक से उलट जाता है <math>x</math> नकारात्मक के लिए <math>x</math>. के लिये <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी प्रवृत्त होगा <math>x</math>, लेकिन घटने के साथ नकारात्मक अनंतता की ओर <math>x</math>. विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार होता है <math>y=cx^3</math>, के रूप में बीच में अधिक चपटा <math>n</math> के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और सभी समतलता खो देता है <math>n=1</math>. इस तरह की समरूपता के साथ कार्य करता है {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} विषम फलन कहलाते हैं। | ||
के लिये <math>c < 0</math>, प्रत्येक मामले में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/> | के लिये <math>c < 0</math>, प्रत्येक मामले में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/> | ||
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यदि {{mvar|x}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और <math>\frac pq</math> एक [[परिमेय संख्या]] है, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q ≠ 0}} पूर्णांक, फिर <math display="inline">x^{p/q}</math> की तरह परिभाषित किया गया है | यदि {{mvar|x}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और <math>\frac pq</math> एक [[परिमेय संख्या]] है, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q ≠ 0}} पूर्णांक, फिर <math display="inline">x^{p/q}</math> की तरह परिभाषित किया गया है | ||
:<math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math> | :<math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math> | ||
दाईं ओर की समानता | दाईं ओर की समानता समुच्चयिंग द्वारा प्राप्त की जा सकती है <math>y=x^\frac 1q,</math> और लेखन <math>(x^\frac 1q)^p=y^p=\left((y^p)^q\right)^\frac 1q=\left((y^q)^p\right)^\frac 1q=(x^p)^\frac 1q.</math> | ||
यदि {{mvar|r}} एक धनात्मक परिमेय संख्या है, <math>0^r=0,</math> परिभाषा से। | यदि {{mvar|r}} एक धनात्मक परिमेय संख्या है, <math>0^r=0,</math> परिभाषा से। | ||
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== वास्तविक घातांक == | |||