घातांक: Difference between revisions
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=== नकारात्मक घातांक === | === नकारात्मक घातांक === | ||
ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}}: | ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}} धारण करता है: | ||
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" />0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत | :<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" /> | ||
ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( | :0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत (<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}} | ||
ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें). | |||
समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}} (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग मैट्रिक्स)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है | |||
=== पहचान और गुण === | === पहचान और गुण === | ||
{{Redirect|सूचकांकों के नियम|घोड़ा|सूचकांकों के नियम (घोड़ा)}} | {{Redirect|सूचकांकों के नियम|घोड़ा|सूचकांकों के नियम (घोड़ा)}} | ||
निम्नलिखित [[पहचान (गणित)]], | निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका (गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align} | ||
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\ | b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\ | ||
\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\ | \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\ | ||
(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n | (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, | जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या बाया-सहयोगी)। अर्थात् , | ||
:<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math> | :<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math> | ||
जो, सामान्य रूप से, से अलग है | जो, सामान्य रूप से, से अलग है | ||
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एक राशि की शक्तियों की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की शक्तियों से की जा सकती है | एक राशि की शक्तियों की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की शक्तियों से की जा सकती है | ||
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | :<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | ||
हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग | हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए अगर {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है। | ||
=== मिश्रित व्याख्या === | === मिश्रित व्याख्या === | ||
{{See also|# | {{See also|#समुच्चय पर घातांक|l1=समुच्चय पर घातांक}} | ||
गैर-नकारात्मक पूर्णांकों | |||
गैर-नकारात्मक पूर्णांकों {{mvar|n}} तथा {{mvar|m}} के लिए, {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} का मान है {{mvar|m}} तत्व के एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] से {{mvar|n}} तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य (गणित) की संख्या है ( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (या {{mvar|n}}-अक्षर वर्णमाला से {{mvar|m}}-अक्षर शब्द)। {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं: | |||
:{| class="wikitable" | :{| class="wikitable" | ||
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===={{anchor|Base 10}}दस की शक्तियाँ == | ===={{anchor|Base 10}}दस की शक्तियाँ == | ||
{{See also|Scientific notation}} | {{See also|Scientific notation}} | ||
{{Main| | {{Main|10 की घात}} | ||
आधार दस ([[दशमलव]]) | |||
संख्या प्रणाली में आधार दस ([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक के रूप में लिखे जाते हैं {{math|1}} घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले। उदाहरण के लिए, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} तथा {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}. | |||
आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}} (निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}. | आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}} (निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}. | ||
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की शक्तियाँ {{math|2}} [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक सेट के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक शक्ति समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें होता है {{math|2<sup>''n''</sup>}} सदस्य। | की शक्तियाँ {{math|2}} [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक सेट के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक शक्ति समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें होता है {{math|2<sup>''n''</sup>}} सदस्य। | ||
की पूर्णांक शक्तियाँ {{math|2}} | की पूर्णांक शक्तियाँ {{math|2}} परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। सकारात्मक पूर्णांक शक्तियां {{math|2<sup>''n''</sup>}} एक के लिए संभावित मूल्यों की संख्या दें {{math|''n''}}[[काटा]] पूर्णांक [[बाइनरी संख्या]]; उदाहरण के लिए, एक [[बाइट]] लग सकती है {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} विभिन्न मूल्य। [[बाइनरी संख्या प्रणाली]] किसी भी संख्या को घातों के योग के रूप में व्यक्त करती है {{math|2}}, और इसे अनुक्रम के रूप में दर्शाता है {{math|0}} तथा {{math|1}}, एक बाइनरी बिंदु द्वारा अलग किया गया, जहां {{math|1}} की शक्ति को दर्शाता है {{math|2}} जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है {{math|1}}: अऋणात्मक घातांक की कोटि है {{math|1}} बिंदु के बाईं ओर (से शुरू {{math|0}}), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। | ||
==== एक की शक्तियाँ ==== | ==== एक की शक्तियाँ ==== | ||
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== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | == [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | ||
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक | प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|ऑपरेटर ( परिकलक प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक परिकलक सिस्टम एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | ||
नोटेशन में शामिल हैं: | नोटेशन में शामिल हैं: | ||
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश | * <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ। | ||
* <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर सेट में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न शामिल नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सही]] 7, [[टीसीएल]], [[एबीएपी]], मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट्स के लिए), ट्यूरिंग (प्रोग्रामिंग) भाषा), [[वीएचडीएल]]। | * <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर सेट में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न शामिल नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सही]] 7, [[टीसीएल]], [[एबीएपी]], मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट्स के लिए), ट्यूरिंग (प्रोग्रामिंग) भाषा), [[वीएचडीएल]]। | ||
* <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | * <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | ||
| Line 679: | Line 682: | ||
*कार्रवाई के आदेश | *कार्रवाई के आदेश | ||
*क्रमचयी गुणधर्म | *क्रमचयी गुणधर्म | ||
* | *परिकलक बीजगणित प्रणाली | ||
*समारोह (गणित) | *समारोह (गणित) | ||
*प्रकाश कि गति | *प्रकाश कि गति | ||
Revision as of 10:06, 2 December 2022
| bn | |
|---|---|
notation | |
| base b and exponent n |
<डिव क्लास = राइट>
| Arithmetic operations | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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