घातांक: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
|||
| Line 115: | Line 115: | ||
एक राशि की शक्तियों की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की शक्तियों से की जा सकती है | एक राशि की शक्तियों की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की शक्तियों से की जा सकती है | ||
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | :<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | ||
हालाँकि, यह सूत्र | हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग कम्यूट होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। नहीं तो अगर {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} कहते हैं, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार कम्यूट नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के बजाय {{math|^}}) गैर-कम्यूटिंग आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर-कम्यूटेटिव घातांक कहा जाता है। | ||
=== मिश्रित व्याख्या === | === मिश्रित व्याख्या === | ||
| Line 270: | Line 270: | ||
=== चरघातांकी फलन === | === चरघातांकी फलन === | ||
{{Main|Exponential function}} | {{Main|Exponential function}} | ||
घातीय फलन को अक्सर इस रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x\mapsto e^x,</math> कहाँ पे <math>e\approx 2.718</math> यूलर की संख्या है। [[परिपत्र तर्क]] से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, निरूपित <math>\exp(x),</math> और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती | घातीय फलन को अक्सर इस रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x\mapsto e^x,</math> कहाँ पे <math>e\approx 2.718</math> यूलर की संख्या है। [[परिपत्र तर्क]] से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, निरूपित <math>\exp(x),</math> और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती है। फिर एक प्रमाण को रेखांकित किया जाता है कि, यदि कोई पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई घातांक की परिभाषा का उपयोग करता है, तो उसके पास है | ||
:<math>\exp(x)=e^x.</math> | :<math>\exp(x)=e^x.</math> | ||
घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है | घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है | ||
| Line 470: | Line 470: | ||
तो अगर {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है <math>x\in G</math> और हर पूर्णांक {{mvar|n}}. | तो अगर {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है <math>x\in G</math> और हर पूर्णांक {{mvar|n}}. | ||
किसी समूह के किसी तत्व की सभी शक्तियों का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व की सभी शक्तियाँ होती हैं {{mvar|x}} द्वारा उत्पन्न [[चक्रीय समूह]] है {{mvar|x}}. यदि सभी शक्तियां {{mvar|x}} अलग हैं, समूह [[योजक समूह]] के लिए [[ | किसी समूह के किसी तत्व की सभी शक्तियों का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व की सभी शक्तियाँ होती हैं {{mvar|x}} द्वारा उत्पन्न [[चक्रीय समूह]] है {{mvar|x}}. यदि सभी शक्तियां {{mvar|x}} अलग हैं, समूह [[योजक समूह]] के लिए [[समरूप]] है <math>\Z</math> पूर्णांकों का। अन्यथा, चक्रीय समूह [[परिमित समूह]] है (इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) है {{mvar|x}}. यदि का आदेश {{mvar|x}} है {{mvar|n}}, फिर <math>x^n=x^0=1,</math> और चक्रीय समूह द्वारा उत्पन्न {{mvar|x}} के होते हैं {{mvar|n}} की पहली शक्तियाँ {{mvar|x}} (प्रतिपादक से उदासीनता से शुरू {{math|0}} या {{math|1}}). | ||
[[समूह सिद्धांत]] में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में। | [[समूह सिद्धांत]] में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में। | ||
सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग [[संयुग्मन वर्ग]] के लिए भी किया जाता है; वह है, {{math|1=''g''<sup>''h''</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''gh''}}, जहाँ g और h समूह के अवयव हैं। इस अंकन को घातांक के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सुपरस्क्रिप्ट पूर्णांक नहीं है। इस अंकन की प्रेरणा यह है कि संयुग्मन घातांक के कुछ नियमों का पालन करता है, अर्थात् <math>(g^h)^k=g^{hk}</math> तथा <math>(gh)^k=g^kh^k.</math> | |||
| Line 495: | Line 495: | ||
=== परिमित क्षेत्र === | === परिमित क्षेत्र === | ||
{{Main|Finite field}} | {{Main|Finite field}} | ||
एक क्षेत्र (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें गुणन, जोड़, घटाव और भाग को परिभाषित किया जाता है और उन गुणों को संतुष्ट करता है जो गुणन साहचर्य है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है। इसका तात्पर्य है कि पूर्णांक घातांक के साथ घातांक अच्छी तरह से परिभाषित है, की गैर-सकारात्मक शक्तियों को छोड़कर {{math|0}}. सामान्य उदाहरण सम्मिश्र संख्याएँ और | एक क्षेत्र (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें गुणन, जोड़, घटाव और भाग को परिभाषित किया जाता है और उन गुणों को संतुष्ट करता है जो गुणन साहचर्य है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है। इसका तात्पर्य है कि पूर्णांक घातांक के साथ घातांक अच्छी तरह से परिभाषित है, की गैर-सकारात्मक शक्तियों को छोड़कर {{math|0}}. सामान्य उदाहरण सम्मिश्र संख्याएँ और उनके क्षेत्र विस्तार, परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन पर इस लेख में पहले चर्चा की जा चुकी है और ये सभी अनंत समुच्चय हैं। | ||
एक परिमित क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें तत्वों का एक परिमित समूह होता है। तत्वों की यह संख्या या तो [[अभाज्य संख्या]] है या अभाज्य शक्ति है; अर्थात् उसका रूप है <math>q=p^k,</math> कहाँ पे {{mvar|p}} एक प्रमुख संख्या है, और {{mvar|k}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। ऐसे हर के लिए {{mvar|q}}, के साथ फ़ील्ड हैं {{mvar|q}} तत्व। के साथ खेत {{mvar|q}} तत्व सभी आइसोमॉर्फिक हैं, जो सामान्य रूप से काम करने की अनुमति देता है जैसे कि केवल एक ही क्षेत्र था {{mvar|q}} तत्व, निरूपित <math>\mathbb F_q.</math> | एक परिमित क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें तत्वों का एक परिमित समूह होता है। तत्वों की यह संख्या या तो [[अभाज्य संख्या]] है या अभाज्य शक्ति है; अर्थात् उसका रूप है <math>q=p^k,</math> कहाँ पे {{mvar|p}} एक प्रमुख संख्या है, और {{mvar|k}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। ऐसे हर के लिए {{mvar|q}}, के साथ फ़ील्ड हैं {{mvar|q}} तत्व। के साथ खेत {{mvar|q}} तत्व सभी आइसोमॉर्फिक हैं, जो सामान्य रूप से काम करने की अनुमति देता है जैसे कि केवल एक ही क्षेत्र था {{mvar|q}} तत्व, निरूपित <math>\mathbb F_q.</math> | ||
| Line 605: | Line 605: | ||
== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | == [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | ||
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज आमतौर पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन | प्रोग्रामिंग लैंग्वेज आमतौर पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक कंप्यूटर सिस्टम एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | ||
नोटेशन में शामिल हैं: | नोटेशन में शामिल हैं: | ||
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[ | * <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ। | ||
* <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर सेट में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न शामिल नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[ | * <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर सेट में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न शामिल नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सही]] 7, [[टीसीएल]], [[एबीएपी]], मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट्स के लिए), ट्यूरिंग (प्रोग्रामिंग) भाषा), [[वीएचडीएल]]। | ||
* <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | * <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | ||
* <code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | * <code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | ||
| Line 628: | Line 628: | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
{{Portal|Mathematics}} | {{Portal|Mathematics}} | ||
<!-- Please keep entries in alphabetical order & add a short description [[WP:SEEALSO]] --> | |||
{{div col|colwidth=20em}} | {{div col|colwidth=20em}} | ||
* दोहरा घातीय कार्य | * दोहरा घातीय कार्य | ||
| Line 649: | Line 650: | ||
==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची== | |||
*संक्रिया (गणित) | |||
*अंक शास्त्र | |||
*गुणा | |||
*उत्पाद (गणित) | |||
*जटिल आंकड़े | |||
*जीवविज्ञान | |||
*हिलाना | |||
*सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी | |||
*प्राचीन यूनानी | |||
*मध्यकालीन इस्लाम में गणित | |||
*शमूएल जेक | |||
*वे नकली हैं | |||
*इन्वोल्यूशन (गणित) | |||
*अंकगणितीय ऑपरेशन | |||
*गणितीय अधिष्ठापन | |||
*संबद्धता | |||
*गुणक पहचान | |||
*स्क्वायर मैट्रिसेस | |||
*जोड़नेवाला | |||
*कार्रवाई के आदेश | |||
*क्रमचयी गुणधर्म | |||
*कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली | |||
*समारोह (गणित) | |||
*प्रकाश कि गति | |||
*सबसेट | |||
*सत्ता स्थापित | |||
*द्विआधारी बिंदु | |||
*निरपेक्ष मूल्य | |||
*अनंत (गणित) | |||
*यहां तक कि कार्य करता है | |||
*asymptotic | |||
*विषम कार्य | |||
*घातांक प्रकार्य | |||
*लोगारित्म | |||
*प्रमुख मूल्य | |||
*बहुविकल्पी समारोह | |||
*अच्छी परिभाषित अभिव्यक्ति | |||
*घातीय समारोह के लक्षण | |||
*उलटा काम करना | |||
*तर्क (जटिल विश्लेषण) | |||
*प्रमुख जड़ | |||
*जटिल विभेदक | |||
*गोलाकार क्रमपरिवर्तन | |||
*कोप्राइम पूर्णांक | |||
*यूनिट सर्कल | |||
*जटिल विमान | |||
*किसी फ़ंक्शन का डोमेन | |||
*काल्पनिक भाग | |||
*आवधिक समारोह | |||
*एक समारोह का ग्राफ | |||
*वास्तविक भाग | |||
*साहचर्य संचालन | |||
*गुणात्मक प्रतिलोम | |||
*अंगूठी (गणित) | |||
*समारोह रचना | |||
*वास्तविक समारोह | |||
*आदेश (समूह सिद्धांत) | |||
*साइलो प्रमेय | |||
*परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण | |||
*एक अंगूठी का नील-कट्टरपंथी | |||
*आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) | |||
*समन्वय की अंगूठी | |||
*affine बीजगणितीय सेट | |||
*एक आदर्श का कट्टरपंथी | |||
*बहुपद की अंगूठी | |||
*मैट्रिक्स शक्ति | |||
*असतत गतिशील प्रणाली | |||
*यौगिक | |||
*आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स | |||
*आंशिक गणना | |||
*आंशिक व्युत्पन्न | |||
*आंशिक अभिन्न | |||
*अनंत सेट | |||
*फील्ड एक्सटेंशन | |||
*सर्वोच्च शक्ति | |||
*परिमित सेट | |||
*गाल्वा समूह | |||
*वर्ग द्वारा घातांक | |||
*कार्तीय गुणन | |||
*संघ अलग करना | |||
*अनंत क्रम | |||
*हेमल आधार | |||
*दाहिना जोड़ | |||
*अतिरिक्त-श्रृंखला घातांक | |||
*उपसमुच्चय योग समस्या | |||
*कार्यात्मक अंकन | |||
*त्रिकोणमितीय फलन | |||
*आर (प्रोग्रामिंग भाषा) | |||
*जे प्रोग्रामिंग भाषा | |||
*पारा (प्रोग्रामिंग भाषा) | |||
*ट्यूरिंग (प्रोग्रामिंग भाषा) | |||
*एसएएस प्रोग्रामिंग भाषा | |||
*पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) | |||
*ऑपरेटर साहचर्य | |||
*मतलब | |||
*पुस्तकालय (कम्प्यूटिंग) | |||
*Erlang (प्रोग्रामिंग भाषा) | |||
*डबल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन | |||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
{{Reflist|refs= | {{Reflist|refs= | ||
| Line 687: | Line 789: | ||
[[Category: Machine Translated Page]] | [[Category: Machine Translated Page]] | ||
[[Category:Created On | [[Category:Created On 29/11/2022]] | ||
Revision as of 17:42, 29 November 2022
| bn | |
|---|---|
notation | |
| base b and exponent n |
<डिव क्लास = राइट>
| Arithmetic operations | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||