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इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्स(सूचकांक) को सेट/समूह को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी बिंदुओं में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है। | इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्स(सूचकांक) को सेट/समूह को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी बिंदुओं में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है। | ||
=== रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना === | === रिकर्सन(प्रतिवर्तन) द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना === | ||
अनुक्रम जिनके तत्व पिछले तत्वों से सीधे तरीके से संबंधित हैं, उन्हें अक्सर रिकर्सन का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। यह तत्वों के अनुक्रमों को उनकी स्थिति के कार्यों के रूप में परिभाषित करने के विपरीत है। | अनुक्रम जिनके तत्व पिछले तत्वों से सीधे तरीके से संबंधित हैं, उन्हें अक्सर रिकर्सन का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। यह तत्वों के अनुक्रमों को उनकी स्थिति के कार्यों के रूप में परिभाषित करने के विपरीत है। | ||
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एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। | एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। | ||
:<math>a_n=c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math> | :<math>a_n=c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math> | ||
जहाँ पे <math>c_1,\dots, c_k</math> में बहुपद हैं {{mvar|n}}।अधिकांश होलोनोमिक अनुक्रमों के लिए, व्यक्त करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है <math>a_n</math> के एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में {{mvar|n}}। फिर भी, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होलोनोमिक अनुक्रम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, कई विशेष कार्यों में एक टेलर श्रृंखला होती है जिसका गुणांक का अनुक्रम होलोनोमिक होता है। पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग ऐसे विशेष कार्यों के मूल्यों की तेजी से गणना की अनुमति देता है। | |||
सभी अनुक्रम पुनरावर्तन संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं। एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम में अभाज्य संख्याओं का क्रम है (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ) | सभी अनुक्रम पुनरावर्तन संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं। एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम में अभाज्य संख्याओं का क्रम है (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ) | ||
== औपचारिक परिभाषा और | == औपचारिक परिभाषा और आधारिक गुण == | ||
गणित में अनुक्रमों की कई अलग-अलग धारणाएं हैं, जिनमें से कुछ ( उदाहरण के लिए, सटीक अनुक्रम ) नीचे दी गई परिभाषाओं और नोटेशन में शामिल नहीं हैं। | गणित में अनुक्रमों की कई अलग-अलग धारणाएं हैं, जिनमें से कुछ ( उदाहरण के लिए, सटीक अनुक्रम ) नीचे दी गई परिभाषाओं और नोटेशन(अंकन पद्धति) में शामिल नहीं हैं। | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट/समूह होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट/समूह आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट/समूह सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider | इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन(प्रक्षेत्र) पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन(प्रक्षेत्र) को प्राकृतिक संख्याओं का सेट/समूह होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट/समूह आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट/समूह सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider | ||
|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन(फलन) को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है। | |author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन(फलन) को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन(प्रक्षेत्र), या अनुक्रमणिका समूह है। | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट/समूह है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं। | टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट/समूह है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं। | ||
=== परिमित और | === परिमित और अपरिमित === | ||
अनुक्रम की लंबाई को अनुक्रम में शर्तों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। | अनुक्रम की लंबाई को अनुक्रम में शर्तों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple भी कहा जाता है। परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है। | एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple(''n'' -टपल) भी कहा जाता है। परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है। | ||
आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट/समूह में सभी पूर्णांकों के सेट/समूह '''Z''' से एक फ़ंक्शन(फलन), उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math> | आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट/समूह में सभी पूर्णांकों के सेट/समूह '''Z''' से एक फ़ंक्शन(फलन), उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math> | ||
| Line 97: | Line 97: | ||
=== परिबद्ध === | === परिबद्ध === | ||
यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम ( ''a <sub>n</sub>'' ) ऐसा है कि सभी पद किसी वास्तविक संख्या ''M'' से कम हैं, तो अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि | यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम ( ''a <sub>n</sub>'' ) ऐसा है कि सभी पद किसी वास्तविक संख्या ''M'' से कम हैं, तो अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि जैसे कि सभी ''n'', ''a <sub>n</sub>'' ≤ ''M'' के लिए ''M'' मौजूद है। ऐसे किसी भी ''M'' को ''अतिरिक्त परिबद्ध'' कहा जाता है। इसी तरह, यदि, कुछ वास्तविक ''m'' के लिए, ''a <sub>n</sub>'' ''m'' सभी ''n'' के लिए कुछ ''N'' से बड़ा है, तो अनुक्रम नीचे से घिरा हुआ है और ऐसे किसी भी ''m'' को ''निचला परिबद्ध'' कहा जाता है। यदि कोई क्रम ऊपर से आबद्ध और नीचे से आबद्ध हो, तो उस क्रम को आबद्ध कहा जाता है। | ||
=== परवर्ती === | === परवर्ती === | ||
| Line 105: | Line 105: | ||
=== अन्य प्रकार के अनुक्रम === | === अन्य प्रकार के अनुक्रम === | ||
कुछ अन्य प्रकार के अनुक्रम जिन्हें परिभाषित करना आसान है, उनमें शामिल हैं: | कुछ अन्य प्रकार के अनुक्रम जिन्हें परिभाषित करना आसान है, उनमें शामिल इस प्रकार हैं: | ||
* एक पूर्णांक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद पूर्णांक होते हैं। | * एक पूर्णांक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद पूर्णांक होते हैं। | ||
* एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं। | * एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं। | ||
* एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' | * एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' a<sub>nm</sub> = a<sub>n</sub> a<sub>m</sub> जैसे कि n और m सहअभाज्य हों ''<ref>{{cite book|title=Lectures on generating functions|last=Lando|first=Sergei K.|publisher=AMS|isbn=978-0-8218-3481-7|chapter=7.4 Multiplicative sequences|date=2003-10-21}}</ref>'' अन्य उदाहरणों में, अनुक्रमों को अक्सर ''गुणक'' कहा जाता है, यदि सभी ''n'' के लिए''<sub>'' ''</sub>a''<sub>''n''</sub> = ''na'' <sub>1</sub> है। इसके अलावा, एक ''गुणक'' फाइबोनैचि अनुक्रम ''<ref>{{cite journal|title=Fibonacci's multiplicative sequence|first=Sergio|last=Falcon|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=34|issue=2|pages=310–315|doi=10.1080/0020739031000158362|year = 2003|s2cid=121280842}}</ref>''पुनरावर्तन संबंध ''a''<sub>''n''</sub> = ''a''<sub>''n'' −1</sub> ''a''<sub>''n'' −2</sub> को संतु''<sub>''ष''</sub>''्ट क''<sub>''रता''</sub>'' ह''<sub>''ै।''</sub>'' | ||
* एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट/समूह के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह। | * एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट/समूह के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह। | ||
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यदि <math>(a_n)</math> वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के बजाय जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है, इस अंतिम सूत्र का उपयोग अभी भी अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, प्रावधान के साथ <math>|\cdot|</math> जटिल मापांक को दर्शाता है, अर्थात् <math>|z| = \sqrt{z^*z}</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक मीट्रिक स्थान में बिंदुओं का एक अनुक्रम है, तो सूत्र का उपयोग अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यदि अभिव्यक्ति <math>|a_n-L|</math> अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>\operatorname{dist}(a_n, L)</math>, जो बीच की दूरी को दर्शाता है <math>a_n</math> तथा <math>L</math>। | यदि <math>(a_n)</math> वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के बजाय जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है, इस अंतिम सूत्र का उपयोग अभी भी अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, प्रावधान के साथ <math>|\cdot|</math> जटिल मापांक को दर्शाता है, अर्थात् <math>|z| = \sqrt{z^*z}</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक मीट्रिक स्थान में बिंदुओं का एक अनुक्रम है, तो सूत्र का उपयोग अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यदि अभिव्यक्ति <math>|a_n-L|</math> अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>\operatorname{dist}(a_n, L)</math>, जो बीच की दूरी को दर्शाता है <math>a_n</math> तथा <math>L</math>। | ||
=== | === समुपयोग और महत्वपूर्ण परिणाम === | ||
यदि <math>(a_n)</math> तथा <math>(b_n)</math> अभिसरण अनुक्रम हैं, फिर निम्नलिखित सीमाएं मौजूद हैं, और निम्नानुसार गणना की जा सकती है:<ref name="Gaughan" /><ref name="Dawkins">{{cite web |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Sequences.aspx |title=Series and Sequences |last1=Dawikins |first1=Paul |work=Paul's Online Math Notes/Calc II (notes) |access-date=18 December 2012}}</ref> | यदि <math>(a_n)</math> तथा <math>(b_n)</math> अभिसरण अनुक्रम हैं, फिर निम्नलिखित सीमाएं मौजूद हैं, और निम्नानुसार गणना की जा सकती है:<ref name="Gaughan" /><ref name="Dawkins">{{cite web |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Sequences.aspx |title=Series and Sequences |last1=Dawikins |first1=Paul |work=Paul's Online Math Notes/Calc II (notes) |access-date=18 December 2012}}</ref> | ||
* <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math> | * <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math> | ||
| Line 135: | Line 135: | ||
इसके अतिरिक्त: | इसके अतिरिक्त: | ||
* यदि <math>a_n \leq b_n</math> सभी के लिए <math>n</math> कुछ से अधिक <math>N</math>, फिर <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.{{efn|If the inequalities are replaced by strict inequalities then this is false: There are sequences such that <math>a_n < b_n</math> for all <math>n</math>, but <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n </math>.}} | * यदि <math>a_n \leq b_n</math> सभी के लिए <math>n</math> कुछ से अधिक <math>N</math>, फिर <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.{{efn|If the inequalities are replaced by strict inequalities then this is false: There are sequences such that <math>a_n < b_n</math> for all <math>n</math>, but <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n </math>.}} | ||
* ( | * [ अल्प मात्रा प्रमेय(स्क्वीज़ थीरम) ] <br> अगर <math>(c_n)</math> ऐसा अनुक्रम है कि <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> सभी के लिए <math>n > N</math> {{nowrap|and <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>,}}<br> फिर <math>(c_n)</math> अभिसरण है, और <math>\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>। | ||
* यदि एक अनुक्रम बंधे हुए हैं और एकरसता है तो यह अभिसरण है। | * यदि एक अनुक्रम बंधे हुए हैं और एकरसता है तो यह अभिसरण है। | ||
* एक अनुक्रम अभिसरण है यदि और केवल अगर इसके सभी बाद के सभी अभिसरण हैं। | * एक अनुक्रम अभिसरण है यदि और केवल अगर इसके सभी बाद के सभी अभिसरण हैं। | ||
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== श्रृंखला == | == श्रृंखला == | ||
एक श्रृंखला, अनौपचारिक रूप से, एक अनुक्रम की शर्तों का योग है। यही है, यह फॉर्म की अभिव्यक्ति है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> या <math>a_1 + a_2 + \cdots</math>, | एक श्रृंखला, अनौपचारिक रूप से, एक अनुक्रम की शर्तों का योग है। यही है, यह फॉर्म की अभिव्यक्ति है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> या <math>a_1 + a_2 + \cdots</math>, जहां पे <math>(a_n)</math> वास्तविक या जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है। एक श्रृंखला के आंशिक योग एक परिमित संख्या के साथ अनंत प्रतीक को बदलने के परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति हैं, यानी श्रृंखला का आंशिक योग <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> संख्या है। | ||
:<math>S_N = \sum_{n = 1}^N a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_N. </math> | :<math>S_N = \sum_{n = 1}^N a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_N. </math> | ||
आंशिक रूप से स्वयं एक अनुक्रम बनाते हैं <math>(S_N)_{N\in\mathbb N}</math>, जिसे श्रृंखला के आंशिक | आंशिक रूप से स्वयं एक अनुक्रम बनाते हैं <math>(S_N)_{N\in\mathbb N}</math>, जिसे श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुक्रम कहा जाता है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math>। यदि आंशिक योगोंका अनुक्रम अभिसरण करता है, तो हम कहते हैं कि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> अभिसरण है, और सीमा है <math display="inline">\lim_{N\to\infty} S_N</math> श्रृंखला का मूल्य कहा जाता है। एक ही संकेतन का उपयोग एक श्रृंखला और उसके मूल्य को निरूपित करने के लिए किया जाता है, यानी हम लिखते हैं <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N</math>। | ||
== गणित के अन्य क्षेत्रों में उपयोग | == गणित के अन्य क्षेत्रों में उपयोग == | ||
=== सांस्थिति === | === सांस्थिति === | ||
| Line 175: | Line 175: | ||
अनुक्रमों को नेट या फिल्टर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ये सामान्यीकरण एक को उपरोक्त सिद्धांतों में से कुछ को मेट्रिक्स के बिना रिक्त स्थान तक बढ़ाने की अनुमति देता है। | अनुक्रमों को नेट या फिल्टर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ये सामान्यीकरण एक को उपरोक्त सिद्धांतों में से कुछ को मेट्रिक्स के बिना रिक्त स्थान तक बढ़ाने की अनुमति देता है। | ||
==== | ==== गुणनफल सांस्थिति ==== | ||
सांस्थिति रिक्त स्थान के अनुक्रम का सांस्थिति | सांस्थिति रिक्त स्थान के अनुक्रम का सांस्थिति गुणनफल उन रिक्त स्थान का कार्टेशियन गुणनफलहै, जो गुणनफल सांस्थिति नामक एक प्राकृतिक सांस्थिति से सुसज्जित है। | ||
अधिक औपचारिक रूप से, रिक्त स्थान का एक अनुक्रम दिया गया <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>, | अधिक औपचारिक रूप से, रिक्त स्थान का एक अनुक्रम दिया गया <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>, गुणनफल स्थान | ||
:<math>X := \prod_{i\in\mathbb N} X_i, </math> | :<math>X := \prod_{i\in\mathbb N} X_i, </math> | ||
सभी अनुक्रमों के सेट/समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' → ''X<sub>i</sub>'' समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर | सभी अनुक्रमों के सेट/समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' → ''X<sub>i</sub>'' समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर गुणनफल सांस्थिति को सबसे मोटे टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेट/समूह के साथ सांस्थिति) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी अनुमान ''p <sub>i</sub>'' निरंतर हैं। गुणनफल सांस्थिति को कभी-कभी '''टाइकोनॉफ सांस्थिति''' कहा जाता है। | ||
=== विश्लेषण === | === विश्लेषण === | ||
| Line 188: | Line 188: | ||
जो कहना है, प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित तत्वों के अनंत अनुक्रम। | जो कहना है, प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित तत्वों के अनंत अनुक्रम। | ||
एक अनुक्रम 1 या 0. से अलग एक सूचकांक के साथ शुरू हो सकता है। उदाहरण के लिए, | एक अनुक्रम 1 या 0. से अलग एक सूचकांक के साथ शुरू हो सकता है। उदाहरण के लिए, X<sub>n</sub>= 1/log (n) द्वारा परिभाषित अनुक्रम केवल ''n'' ≥ 2 के लिए परिभाषित किया जाएगा। इस तरह के अनंत अनुक्रमों के बारे में बात करते समय, यह आमतौर पर पर्याप्त होता है (और अधिकांश विचारों के लिए बहुत अधिक नहीं बदलता है) यह मानने के लिए कि अनुक्रम के सदस्यों को कम से कम परिभाषित किया गया है सभी सूचकांक काफी बड़े हैं, अर्थात्, कुछ दिए गए ''N'' से अधिक है। | ||
सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ | सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ सदिश समष्टि के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। विश्लेषण में, माना जाता है कि सदिश समष्टि प्रायः फलन समष्टि होते हैं। यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है। | ||
==== अनुक्रम अंतराल ==== | ==== अनुक्रम अंतराल ==== | ||
एक अनुक्रम स्थान एक दिष्ट स्थान है जिसके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनंत अनुक्रम हैं। समान रूप से, यह एक क्रिया स्थान है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से फ़ील्ड k तक कार्य करते हैं, जहां k या तो वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। इस तरह के सभी कार्यों के सेट/समूह को स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के सेट/समूह के साथ पहचाना जाता है, और क्रिया और बिन्दुवार अदिष्ट गुणन के बिन्दुवार जोड़ के संचालन के तहत एक दिष्ट स्पेस में बदल दिया जा सकता है। सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप -समूह हैं। अनुक्रम अंतराल आमतौर पर एक आदर्श, या कम से कम एक सांस्थिति दिष्ट स्थान की संरचना से सुसज्जित होते हैं। | एक अनुक्रम स्थान एक दिष्ट स्थान है जिसके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनंत अनुक्रम हैं। समान रूप से, यह एक क्रिया स्थान है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से फ़ील्ड k तक कार्य करते हैं, जहां k या तो वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। इस तरह के सभी कार्यों के सेट/समूह को स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के सेट/समूह के साथ पहचाना जाता है, और क्रिया और बिन्दुवार अदिष्ट गुणन के बिन्दुवार जोड़ के संचालन के तहत एक दिष्ट स्पेस में बदल दिया जा सकता है। सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप -समूह हैं। अनुक्रम अंतराल आमतौर पर एक आदर्श, या कम से कम एक सांस्थिति दिष्ट स्थान की संरचना से सुसज्जित होते हैं। | ||
विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम ℓ <sup>'' | विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम ℓ <sup>''p''</sup> रिक्त स्थान हैं,जिसमें ''p'' -पावर योग योग्य अनुक्रम शामिल हैं,''p''-मानदंड के साथ। राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर गणना माप के लिए ये L <sup>''p''</sup> रिक्त स्थान के विशेष मामले हैं। अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या शून्य अनुक्रम क्रमशः अनुक्रम रिक्त स्थान बनाते हैं, जिन्हें क्रमशः ''c'' और ''c'' <sub>0</sub>, सुपर मानदंड के साथ दर्शाया जाता है। किसी भी अनुक्रम स्थान को बिंदुवार अभिसरण की सांस्थिति से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह एक विशेष प्रकार का फ़्रेचेट स्पेस बन जाता है जिसे FK-space कहा जाता है। | ||
=== रैखिक बीजगणित === | === रैखिक बीजगणित === | ||
एक क्षेत्र के अनुक्रम को | एक क्षेत्र के अनुक्रम को सदिश समष्टि में सदिश के रूप में भी देखा जा सकता है। विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां ''F'' एक क्षेत्र है) का सेट/समूह प्राकृतिक संख्याओं के सेट/समूह पर ''F''-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन(फलन) समष्टि (वास्तव में, एक गुणनफल समष्टि ) है। | ||
=== सार बीजगणित === | === सार बीजगणित === | ||
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समूहों और समरूपता का अनुक्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है। | समूहों और समरूपता का अनुक्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है। | ||
कुछ अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए एक समान परिभाषा बनाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, किसी के पास | कुछ अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए एक समान परिभाषा बनाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, किसी के पास सदिश समष्टि और रैखिक मानचित्रों, या मॉड्यूल और मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म का एक सटीक अनुक्रम हो सकता है। | ||
==== वर्णक्रमीय अनुक्रम ==== | ==== वर्णक्रमीय अनुक्रम ==== | ||
होमोलॉजिकल बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक वर्णक्रमीय अनुक्रम क्रमिक अनुमान लगाकर होमोलॉजी समूहों की गणना करने का एक साधन है। वर्णक्रमीय अनुक्रम सटीक अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण है, और द्वारा उनके परिचय के बाद से {{harvs|txt|authorlink=Jean Leray|first=Jean|last=Leray|year=1946}}, वे एक महत्वपूर्ण अनुसंधान उपकरण बन गए हैं, विशेष रूप से होमोटोपी सिद्धांत में। | होमोलॉजिकल बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक वर्णक्रमीय अनुक्रम क्रमिक अनुमान लगाकर होमोलॉजी समूहों की गणना करने का एक साधन है। वर्णक्रमीय अनुक्रम सटीक अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण है, और द्वारा उनके परिचय के बाद से {{harvs|txt|authorlink=Jean Leray|first=Jean|last=Leray|year=1946}}, वे एक महत्वपूर्ण अनुसंधान उपकरण बन गए हैं, विशेष रूप से होमोटोपी सिद्धांत में। | ||
=== समुच्चय सिद्धान्त === | === समुच्चय (सेट) सिद्धान्त === | ||
एक क्रमसूचक अनुक्रमित अनुक्रम एक अनुक्रम का सामान्यीकरण है। यदि α एक सीमा क्रमसूचक है और ''X'' एक समुच्चय है, तो ''X'' के तत्वों का α-अनुक्रमित अनुक्रम α से ''X'' तक का एक फलन है। इस शब्दावली में एक ω-अनुक्रमित अनुक्रम एक साधारण अनुक्रम है। | एक क्रमसूचक अनुक्रमित अनुक्रम एक अनुक्रम का सामान्यीकरण है। यदि α एक सीमा क्रमसूचक है और ''X'' एक समुच्चय है, तो ''X'' के तत्वों का α-अनुक्रमित अनुक्रम α से ''X'' तक का एक फलन है। इस शब्दावली में एक ω-अनुक्रमित अनुक्रम एक साधारण अनुक्रम है। | ||
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कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को सूचियां कहा जाता है। संभावित अनंत अनुक्रमों को धाराएं कहा जाता है। वर्णों या अंकों के परिमित अनुक्रमों को शृंखला कहा जाता है। | कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को सूचियां कहा जाता है। संभावित अनंत अनुक्रमों को धाराएं कहा जाता है। वर्णों या अंकों के परिमित अनुक्रमों को शृंखला कहा जाता है। | ||
=== | === स्ट्रीम === | ||
एक परिमित वर्णमाला से खींचे गए अंकों (या वर्ण) के अनंत अनुक्रम सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विशेष रुचि रखते हैं। उन्हें अक्सर केवल अनुक्रम या | एक परिमित वर्णमाला से खींचे गए अंकों (या वर्ण) के अनंत अनुक्रम सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विशेष रुचि रखते हैं। उन्हें अक्सर केवल अनुक्रम या स्ट्रीम के रूप में संदर्भित किया जाता है, जैसा कि परिमित तार के विपरीत होता है।उदाहरण के लिए, अनंत द्विआधारी अनुक्रम, बिट्स के अनंत अनुक्रम हैं (वर्णमाला {0, 1} से खींचे गए वर्ण)।सेट/समूह c = {0, 1} सभी अनंत दोहरा अनुक्रमों के सेट/समूह सी = {0, 1} को कभी-कभी कैंटर स्पेस कहा जाता है। | ||
एक अनंत दोहरा अनुक्रम ''n'' सेट/समूह करके एक औपचारिक भाषा (शृंखला का एक सेट/समूह) का प्रतिनिधित्व कर सकता है अनुक्रम का वां बिट 1 यदि और केवल यदि ''n'' वां शृंखला ( शॉर्टलेक्स क्रम में) भाषा में है। यह निरूपण प्रमाण के लिए विकर्णीकरण विधि में उपयोगी है।<ref name=Oflazer2011>{{cite web|last1=Oflazer|first1=Kemal|title=FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY|url=http://www.andrew.cmu.edu/user/ko/pdfs/lecture-15.pdf|website=cmu.edu|publisher=Carnegie-Mellon University|access-date=24 April 2015}}</ref> | एक अनंत दोहरा अनुक्रम ''n'' सेट/समूह करके एक औपचारिक भाषा (शृंखला का एक सेट/समूह) का प्रतिनिधित्व कर सकता है अनुक्रम का वां बिट 1 यदि और केवल यदि ''n'' वां शृंखला ( शॉर्टलेक्स क्रम में) भाषा में है। यह निरूपण प्रमाण के लिए विकर्णीकरण विधि में उपयोगी है।<ref name=Oflazer2011>{{cite web|last1=Oflazer|first1=Kemal|title=FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY|url=http://www.andrew.cmu.edu/user/ko/pdfs/lecture-15.pdf|website=cmu.edu|publisher=Carnegie-Mellon University|access-date=24 April 2015}}</ref> | ||
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