क्रम: Difference between revisions

गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।<ref name=":0">{{Cite web|title=Sequences|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Sequence|url=https://mathworld.wolfram.com/Sequence.html|access-date=2020-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं।अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और पैटर्न या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। चूंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को नोट करना अस्पष्टता की ओर जाता है, पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए लिस्टिंग सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, {{Pi}}, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है। एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक।ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है।यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका nth तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>।उदाहरण के लिए:

विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> से भिन्न क्रम हो सकता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: <math>((a_{m, n})_{n\in\mathbb N})_{m\in\mathbb N}</math> एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका ''m'' वां पद अनुक्रम है <math>(a_{m, n})_{n\in\mathbb N}</math> .

ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है। <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए। अक्सर, सूचकांक k 1 से अनंत तक होता है, जिसे अंतिम माना जाता है वह भिन्न होता है। हालांकि, अनुक्रमों को अक्सर शून्य से शुरू करके अनुक्रमित किया जाता है। जैसे

कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इन मामलों में, सूचकांक सेट को पहले कुछ सार तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से दर्शाया जा सकता है।

इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्सिंग सेट को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी बिंदुओं में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है।

=== रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना ===

रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, प्रत्येक तत्व को उसके पहले के संदर्भ के साथ बनाने के लिए एक नियम की आवश्यकता होती है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इसके अलावा, पर्याप्त प्रारंभिक तत्व प्रदान किए जाने चाहिए ताकि अनुक्रम के सभी बाद के तत्वों की गणना पुनरावृत्ति संबंध के क्रमिक अनुप्रयोगों द्वारा की जा सके।

प्रारंभिक शर्तों के साथ <math>a_0 = 0</math> तथा <math>a_1 = 1</math>।इससे, एक साधारण गणना से पता चलता है कि इस अनुक्रम के पहले दस शब्द 0, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 8, 13, 21 और 34 हैं।

पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित एक अनुक्रम का एक जटिल उदाहरण पुनरावृत्ति का अनुक्रम है,<ref>{{cite OEIS|1=A005132|2=Recamán's sequence|access-date=26 January 2018}}</ref> पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित

प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math>

निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है

कहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं।सामान्य शब्द को व्यक्त करने के लिए एक सामान्य विधि है <math>a_n</math> के एक समारोह के रूप में इस तरह के अनुक्रम {{mvar|n}};रैखिक पुनरावृत्ति देखें।फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है।

एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

कहाँ पे <math>c_1,\dots, c_k</math> में बहुपद हैं {{mvar|n}}।अधिकांश होलोनोमिक अनुक्रमों के लिए, व्यक्त करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है   <math>a_n</math> के एक समारोह के रूप में {{mvar|n}}।फिर भी, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होलोनोमिक अनुक्रम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।उदाहरण के लिए, कई विशेष कार्यों में एक टेलर श्रृंखला होती है जिसका गुणांक का अनुक्रम होलोनोमिक होता है।पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग ऐसे विशेष कार्यों के मूल्यों की तेजी से गणना की अनुमति देता है।

सभी अनुक्रमों को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है।एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) में प्रमुख संख्याओं का अनुक्रम है।

== औपचारिक परिभाषा और बुनियादी गुण ==

गणित में अनुक्रमों की कई अलग -अलग धारणाएं हैं, जिनमें से कुछ (जैसे, सटीक अनुक्रम) नीचे दी गई परिभाषाओं और सूचनाओं द्वारा कवर नहीं किए गए हैं।

इस लेख में, एक अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांक का अंतराल है।यह परिभाषा शब्द अनुक्रम के कई अलग-अलग उपयोगों को शामिल करती है, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (इस प्रकार के अनुक्रमों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें)।हालांकि, कई लेखक प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने के लिए अनुक्रम के डोमेन की आवश्यकता करके एक संकीर्ण परिभाषा का उपयोग करते हैं।इस संकीर्ण परिभाषा में नुकसान है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत दृश्यों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है।एक और नुकसान यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो किसी को इस परिभाषा को फिट करने के लिए शेष शर्तों को फिर से चलाने की आवश्यकता है।कुछ संदर्भों में, एक्सपोज़िशन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट आर होने की आवश्यकता होती है,<ref name="Gaughan" />जटिल संख्याओं का सेट सी,<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider

|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref> या एक टोपोलॉजिकल स्पेस।<ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>

यद्यपि अनुक्रम एक प्रकार का फ़ंक्शन है, वे आमतौर पर कार्यों से नोटिस रूप से प्रतिष्ठित होते हैं, जिसमें इनपुट कोष्ठक के बजाय एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात्, {{math|''a_n''}} इसके बजाय {{math|''a''(''n'')}}।साथ ही शब्दावली अंतर भी हैं: सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम का मूल्य अनुक्रम का पहला तत्व कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) पर मान को दूसरा तत्व, आदि भी कहा जाता है, आदि, भी,जबकि इसके इनपुट से अमूर्त एक फ़ंक्शन आमतौर पर एक ही अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, उदा।एफ, इसके इनपुट से अमूर्त एक अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहां {{math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या इंडेक्स सेट है।

अनुक्रम और उनकी सीमाएं (नीचे देखें) टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं।अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण नेट्स की अवधारणा है।एक नेट एक (संभवतः बेशुमार) से एक फ़ंक्शन है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित है।अनुक्रमों के लिए उल्लेखनीय सम्मेलन आम तौर पर नेट्स पर भी लागू होते हैं।

=== परिमित और अनंत ===

एक परिमित लंबाई '' n '' का एक अनुक्रम एक n-tuple भी कहा जाता है। '' n ''-tuple।परिमित अनुक्रमों में खाली अनुक्रम & nbsp; (& nbsp;) शामिल हैं, जिनके कोई तत्व नहीं हैं।

आम तौर पर, अनंत अनुक्रम शब्द एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत होता है, और दूसरे में परिमित होता है - अनुक्रम का पहला तत्व होता है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं होता है।इस तरह के अनुक्रम को 'सिंगली अनंत अनुक्रम' या 'एक-तरफा अनंत अनुक्रम' कहा जाता है जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है - यानी।इसका न तो पहला और न ही एक अंतिम तत्व है-जिसे 'द्वि-अनंत अनुक्रम', 'टू-वे अनंत अनुक्रम', या 'दोगुना अनंत अनुक्रम' कहा जाता है।सेट में सभी पूर्णांक के सेट 'z' से एक फ़ंक्शन, जैसे कि उदाहरण के लिए सभी पूर्णांक का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), द्वि-अनंत है।इस अनुक्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math>।

=== बढ़ाना और घटाना ===

एक अनुक्रम कहा जाता है कि यदि प्रत्येक शब्द इससे पहले या उसके बराबर या उसके बराबर है, तो एक नीरस रूप से बढ़ रहा है।उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n=1}^{\infty} </math> यदि और केवल अगर और केवल एक मोनोटोनिक रूप से बढ़ रहा है_''n''+1 <math>\geq</math> a_''n'' सभी n ∈ 'n' के लिए।यदि प्रत्येक लगातार शब्द पिछले शब्द से (>) से अधिक सख्ती से अधिक है, तो अनुक्रम को 'कड़ाई से मोनोटोनिक रूप से बढ़ते' कहा जाता है।एक अनुक्रम 'मोनोटोनिक रूप से कम हो रहा है' यदि प्रत्येक लगातार शब्द पिछले एक से कम या उसके बराबर है, और यदि प्रत्येक पिछले की तुलना में कड़ाई से कम है, तो 'सख्ती से नीरस रूप से कम हो रहा है।यदि कोई अनुक्रम या तो बढ़ रहा है या घट रहा है, तो इसे 'मोनोटोन' अनुक्रम कहा जाता है।यह एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन की अधिक सामान्य धारणा का एक विशेष मामला है।