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गणित में, एक अनुक्रम उन वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह है जिसमें पुनरावृत्ति की अनुमति दी जाती है और ऑर्डर मामलों में। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिसे '' तत्व '', या '' शब्द '' भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) को अनुक्रम की 'लंबाई' 'कहा जाता है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक अनुक्रम में विभिन्न पदों पर कई बार दिखाई दे सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, एक अनुक्रम को प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (m, a, r, y) अक्षर 'm' पहले और 'y' के साथ अक्षरों का एक क्रम है। यह अनुक्रम (a, r, m, y) से भिन्न होता है। इसके अलावा, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग -अलग पदों पर नंबर 1 होता है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम '' परिमित '' हो सकते हैं, जैसा कि इन उदाहरणों में, या '' अनंत '', जैसे कि सभी सकारात्मक पूर्णांक (2, 4, 6, ...) का अनुक्रम।

एक अनुक्रम में एक तत्व की स्थिति इसकी '' रैंक '' या '' सूचकांक '' है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है, जो संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर है। गणितीय विश्लेषण में, एक अनुक्रम अक्सर के रूप में अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है <math>a_n</math>, <math>b_n</math> तथा <math>c_n</math>, जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के nth तत्व को संदर्भित करता है;उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का nth तत्व<math>F</math>आम तौर पर के रूप में निरूपित है<math>F_n</math>।

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी -कभी स्ट्रिंग्स, शब्द या सूचियाँ कहा जाता है, आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए अलग -अलग तरीकों से अलग -अलग नाम;अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है. The empty sequence&nbsp;(&nbsp;) is included in most notions of sequence, but may be excluded depending on the context.[[Image:Cauchy sequence illustration2.svg|right|thumb|350px|वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।]]

एक अनुक्रम को किसी विशेष आदेश के साथ तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।<ref name=":0">{{Cite web|title=Sequences|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Sequence|url=https://mathworld.wolfram.com/Sequence.html|access-date=2020-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अनुक्रम अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में उपयोगी हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला के लिए आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और पैटर्न या पहेलियों के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसे कि प्राइम नंबरों के अध्ययन में।

एक अनुक्रम को निरूपित करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहले चार विषम संख्या अनुक्रम (1, 3, 5, 7) का निर्माण करते हैं। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक विषम पूर्णांक का अनंत अनुक्रम (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा गया है। क्योंकि एलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को नोट करने से अस्पष्टता होती है, लिस्टिंग प्रथागत अनंत अनुक्रमों के लिए सबसे उपयोगी है जिसे आसानी से उनके पहले कुछ तत्वों से पहचाना जा सकता है। एक अनुक्रम को दर्शाने के अन्य तरीकों पर उदाहरणों के बाद चर्चा की जाती है।

प्राइम नंबर 1 से अधिक प्राकृतिक संख्याएं हैं जिनमें कोई दिव्य नहीं है, लेकिन 1 और खुद हैं।इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से अनुक्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) मिलता है।प्राइम नंबरों का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में जहां उनसे संबंधित कई परिणाम मौजूद हैं।

फाइबोनैचि संख्या में पूर्णांक अनुक्रम शामिल है, जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग हैं।पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) हो।<ref name=":0" />

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में तर्कसंगत संख्या, वास्तविक संख्या और जटिल संख्याओं से बने लोग शामिल हैं।उदाहरण के लिए, अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...), उदाहरण के लिए, नंबर 1 पर पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को तर्कसंगत संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (जैसे कि इसके माध्यम सेदशमलव विस्तार)।एक अन्य उदाहरण के रूप में,{{pi}}अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है।एक संबंधित अनुक्रम दशमलव अंकों का अनुक्रम है {{pi}}, वह है, (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...)।पूर्ववर्ती अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई भी पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से समझ में आता है।

अन्य सूचनाएं उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकती हैं जिनके पैटर्न को आसानी से अनुमानित नहीं किया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनके पास कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि अंक{{pi}}।ऐसा एक संकेतन एन के एक फ़ंक्शन के रूप में nth शब्द की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र को लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करता है, और एक सबस्क्रिप्ट शामिल करता है जो मानों के सेट को दर्शाता है जो n ले सकता है।उदाहरण के लिए, इस संकेतन में सम संख्याओं के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>।वर्गों के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math>।चर n को एक सूचकांक कहा जाता है, और मूल्यों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है।यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका nth तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>।उदाहरण के लिए:

कोई अलग -अलग चर का उपयोग करके एक ही समय में कई अनुक्रमों पर विचार कर सकता है;उदा। <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> की तुलना में एक अलग अनुक्रम हो सकता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>।यहां तक कि अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार कर सकते हैं: <math>((a_{m, n})_{n\in\mathbb N})_{m\in\mathbb N}</math> एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका mth शब्द अनुक्रम है <math>(a_{m, n})_{n\in\mathbb N}</math>।

सबस्क्रिप्ट में एक अनुक्रम के डोमेन को लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की सीमा को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम कानूनी मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकते हैं।उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि के अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math>।सीमा <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति दी जाती है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, क्रमशः ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या अनंत।उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, और अनंत पर एक अतिरिक्त शब्द नहीं है।क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और के रूप में भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math>।

ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है।वह है, एक बस लिखता है <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए।अक्सर, इंडेक्स k को 1 से the से चलाने के लिए समझा जाता है।हालाँकि, अनुक्रम अक्सर शून्य से शुरू होते हैं, जैसे

कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांक के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न को आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।इन मामलों में, सूचकांक सेट को पहले कुछ अमूर्त तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से निरूपित किया जा सकता है।

इसके अलावा, यदि अनुक्रमण सेट को प्राकृतिक संख्याओं के बारे में समझा जाता है, तो सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें नोटेशन में छोड़ दिया जा सकता है।दूसरी और तीसरी गोलियों में, एक अच्छी तरह से परिभाषित अनुक्रम है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह अभिव्यक्ति द्वारा निरूपित अनुक्रम के समान नहीं है।

=== पुनरावृत्ति द्वारा एक अनुक्रम को परिभाषित करना ===

अनुक्रम जिनके तत्व पिछले तत्वों से सीधे तरीके से संबंधित हैं, अक्सर पुनरावृत्ति का उपयोग करके परिभाषित किए जाते हैं।यह उनके पदों के कार्यों के रूप में तत्वों के अनुक्रमों की परिभाषा के विपरीत है।

पुनरावृत्ति द्वारा एक अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक नियम की आवश्यकता होती है, जिसे पहले के संदर्भ में प्रत्येक तत्व का निर्माण करने के लिए पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है।इसके अलावा, पर्याप्त प्रारंभिक तत्व प्रदान किए जाने चाहिए ताकि अनुक्रम के सभी बाद के तत्वों को पुनरावृत्ति संबंध के क्रमिक अनुप्रयोगों द्वारा गणना की जा सके।

फाइबोनैचि अनुक्रम एक सरल शास्त्रीय उदाहरण है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

प्रारंभिक शर्तों के साथ <math>a_0 = 0</math> तथा <math>a_1 = 1</math>।इससे, एक साधारण गणना से पता चलता है कि इस अनुक्रम के पहले दस शब्द 0, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 8, 13, 21 और 34 हैं।

पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित एक अनुक्रम का एक जटिल उदाहरण पुनरावृत्ति का अनुक्रम है,<ref>{{cite OEIS|1=A005132|2=Recamán's sequence|access-date=26 January 2018}}</ref> पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित

प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math>

निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है

कहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं।सामान्य शब्द को व्यक्त करने के लिए एक सामान्य विधि है <math>a_n</math> के एक समारोह के रूप में इस तरह के अनुक्रम {{mvar|n}};रैखिक पुनरावृत्ति देखें।फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है।

एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

कहाँ पे <math>c_1,\dots, c_k</math> में बहुपद हैं {{mvar|n}}।अधिकांश होलोनोमिक अनुक्रमों के लिए, व्यक्त करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है   <math>a_n</math> के एक समारोह के रूप में {{mvar|n}}।फिर भी, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होलोनोमिक अनुक्रम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।उदाहरण के लिए, कई विशेष कार्यों में एक टेलर श्रृंखला होती है जिसका गुणांक का अनुक्रम होलोनोमिक होता है।पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग ऐसे विशेष कार्यों के मूल्यों की तेजी से गणना की अनुमति देता है।

सभी अनुक्रमों को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है।एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) में प्रमुख संख्याओं का अनुक्रम है।

== औपचारिक परिभाषा और बुनियादी गुण ==

गणित में अनुक्रमों की कई अलग -अलग धारणाएं हैं, जिनमें से कुछ (जैसे, सटीक अनुक्रम) नीचे दी गई परिभाषाओं और सूचनाओं द्वारा कवर नहीं किए गए हैं।

इस लेख में, एक अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांक का अंतराल है।यह परिभाषा शब्द अनुक्रम के कई अलग-अलग उपयोगों को शामिल करती है, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (इस प्रकार के अनुक्रमों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें)।हालांकि, कई लेखक प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने के लिए अनुक्रम के डोमेन की आवश्यकता करके एक संकीर्ण परिभाषा का उपयोग करते हैं।इस संकीर्ण परिभाषा में नुकसान है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत दृश्यों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है।एक और नुकसान यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो किसी को इस परिभाषा को फिट करने के लिए शेष शर्तों को फिर से चलाने की आवश्यकता है।कुछ संदर्भों में, एक्सपोज़िशन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट आर होने की आवश्यकता होती है,<ref name="Gaughan" />जटिल संख्याओं का सेट सी,<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider