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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

File:Cauchy sequence illustration2.svg

वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस(शब्दलोप) के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

File:Fibonacci blocks.svg

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न(आकृति) नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न(आकृति) का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट/समूह को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल(परिवर्ती) n को एक इंडेक्स(सूचकांक) कहा जाता है और मानों का सेट/समूह जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह कहा जाता है।

यह प्रायः इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ । उदाहरण के लिए:

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ से भिन्न क्रम हो सकता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका m वां पद अनुक्रम है $(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }$

अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन $(k^{2})_{k=1}^{10}$ वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है $(1,4,9,\ldots ,100)$ . सीमाएं $\infty$ तथा $-\infty$ अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $left parenthesis a Subscript n Baseline right parenthesis Subscript n equals 1 Superscript normal infinity$

[1]

[2]

[3]

@@ Line 164: / Line 164: @@
 आंशिक रूप से स्वयं एक अनुक्रम बनाते हैं <math>(S_N)_{N\in\mathbb N}</math>, जिसे श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुक्रम कहा जाता है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math>। यदि आंशिक योगोंका अनुक्रम अभिसरण करता है, तो हम कहते हैं कि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> अभिसरण है, और सीमा है <math display="inline">\lim_{N\to\infty} S_N</math> श्रृंखला का मूल्य कहा जाता है। एक ही संकेतन का उपयोग एक श्रृंखला और उसके मूल्य को निरूपित करने के लिए किया जाता है, यानी हम लिखते हैं <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N</math>।
-== गणित के अन्य क्षेत्रों में उपयोग करें ==
+== गणित के अन्य क्षेत्रों में उपयोग ==
 === सांस्थिति ===
@@ Line 175: / Line 175: @@
 अनुक्रमों को नेट या फिल्टर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ये सामान्यीकरण एक को उपरोक्त सिद्धांतों में से कुछ को मेट्रिक्स के बिना रिक्त स्थान तक बढ़ाने की अनुमति देता है।
-==== उत्पाद सांस्थिति ====
+==== गुणनफल सांस्थिति ====
-सांस्थिति रिक्त स्थान के अनुक्रम का सांस्थिति उत्पाद उन रिक्त स्थान का कार्टेशियन उत्पाद है, जो उत्पाद सांस्थिति नामक एक प्राकृतिक सांस्थिति से लैस है।
+सांस्थिति रिक्त स्थान के अनुक्रम का सांस्थिति  गुणनफल  उन रिक्त स्थान का कार्टेशियन  गुणनफलहै, जो  गुणनफल सांस्थिति नामक एक प्राकृतिक सांस्थिति से सुसज्जित है।
-अधिक औपचारिक रूप से, रिक्त स्थान का एक अनुक्रम दिया गया <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>, उत्पाद स्थान
+अधिक औपचारिक रूप से, रिक्त स्थान का एक अनुक्रम दिया गया <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>,  गुणनफल  स्थान
 :<math>X := \prod_{i\in\mathbb N} X_i, </math>
-सभी अनुक्रमों के सेट/समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' &#x2192; ''X<sub>i</sub>''  समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर उत्पाद सांस्थिति को सबसे मोटे टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेट/समूह के साथ सांस्थिति) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी अनुमान ''p <sub>i</sub>'' निरंतर हैं। उत्पाद सांस्थिति को कभी-कभी '''टाइकोनॉफ सांस्थिति''' कहा जाता है।
+सभी अनुक्रमों के सेट/समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' &#x2192; ''X<sub>i</sub>''  समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर  गुणनफल सांस्थिति को सबसे मोटे टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेट/समूह के साथ सांस्थिति) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी अनुमान ''p <sub>i</sub>'' निरंतर हैं।  गुणनफल सांस्थिति को कभी-कभी '''टाइकोनॉफ सांस्थिति''' कहा जाता है।
 === विश्लेषण ===
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 === रैखिक बीजगणित ===
-एक क्षेत्र के अनुक्रम को वेक्टर स्थान में वैक्टर के रूप में भी देखा जा सकता है।विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां एफ एक क्षेत्र है) का सेट/समूह प्राकृतिक संख्याओं के सेट/समूह पर एफ-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन(फलन) स्पेस (वास्तव में, एक उत्पाद स्थान) है।
+एक क्षेत्र के अनुक्रम को वेक्टर स्थान में वैक्टर के रूप में भी देखा जा सकता है।विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां एफ एक क्षेत्र है) का सेट/समूह प्राकृतिक संख्याओं के सेट/समूह पर एफ-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन(फलन) स्पेस (वास्तव में, एक  गुणनफलस्थान) है।
 === सार बीजगणित ===

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