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Revision as of 13:07, 1 August 2022

गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट/समूह को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल n को एक इंडेक्स(सूचकांक) कहा जाता है और मानों का सेट/समूह जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ । उदाहरण के लिए:

\begin{aligned} a_{1} & = 1 st element of {(a_{n})}_{n \in N} \\ a_{2} & = 2 nd element \\ a_{3} & = 3 rd element \\ ⋮ \\ a_{n - 1} & = (n - 1) th element \\ a_{n} & = n th element \\ a_{n + 1} \end{aligned}

[1]

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-गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है।
+गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है।
 उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )
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 प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math> निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है।
 :<math>a_n=c_0 +c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math>
-जहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं।  इस तरह के अनुक्रम के सामान्य शब्द को n के एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका है। फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है।
+जहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं।  इस तरह के अनुक्रम के सामान्य शब्द को n के एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका है। फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है।
 एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।
 :<math>a_n=c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math>
-कहाँ पे <math>c_1,\dots, c_k</math> में बहुपद हैं {{mvar|n}}।अधिकांश होलोनोमिक अनुक्रमों के लिए, व्यक्त करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है <math>a_n</math> के एक समारोह के रूप में {{mvar|n}}। फिर भी, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होलोनोमिक अनुक्रम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, कई विशेष कार्यों में एक टेलर श्रृंखला होती है जिसका गुणांक का अनुक्रम होलोनोमिक होता है। पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग ऐसे विशेष कार्यों के मूल्यों की तेजी से गणना की अनुमति देता है।
+कहाँ पे <math>c_1,\dots, c_k</math> में बहुपद हैं {{mvar|n}}।अधिकांश होलोनोमिक अनुक्रमों के लिए, व्यक्त करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है <math>a_n</math> के एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में {{mvar|n}}। फिर भी, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होलोनोमिक अनुक्रम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, कई विशेष कार्यों में एक टेलर श्रृंखला होती है जिसका गुणांक का अनुक्रम होलोनोमिक होता है। पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग ऐसे विशेष कार्यों के मूल्यों की तेजी से गणना की अनुमति देता है।
 सभी अनुक्रम पुनरावर्तन संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं। एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम में अभाज्य संख्याओं का क्रम है (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . )
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 === परिभाषा ===
-इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट/समूह होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट/समूह आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट/समूह सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider
+इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट/समूह होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट/समूह आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट/समूह सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider
-|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन/ फलन को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है।
+|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन(फलन) को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है।
 टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट/समूह है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं।
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 एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple भी कहा जाता है।  परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है।
-आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट/समूह में सभी पूर्णांकों के सेट/समूह '''Z''' से एक फ़ंक्शन/ फलन, उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math>
+आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट/समूह में सभी पूर्णांकों के सेट/समूह '''Z''' से एक फ़ंक्शन(फलन), उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math>
 === बढ़ना और घटना ===
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 एक अनुक्रम 1 या 0. से अलग एक सूचकांक के साथ शुरू हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक्स द्वारा परिभाषित अनुक्रम<sub>n</sub>= 1/लॉग (n) केवल n of के लिए परिभाषित किया जाएगा। 2. इस तरह के अनंत अनुक्रमों के बारे में बात करते समय, यह आमतौर पर पर्याप्त होता है (और अधिकांश विचारों के लिए बहुत अधिक नहीं बदलता है) यह मानने के लिए कि अनुक्रम के सदस्यों को कम से कम परिभाषित किया गया हैसभी सूचकांक काफी बड़े हैं, अर्थात्, कुछ दिए गए एन से अधिक है।
-सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।विश्लेषण में, माना जाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान अक्सर फ़ंक्शन/ फलन स्पेस होते हैं।यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है।
+सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।विश्लेषण में, माना जाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान अक्सर फ़ंक्शन(फलन) स्पेस होते हैं।यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है।
 ==== अनुक्रम अंतराल ====
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 === रैखिक बीजगणित ===
-एक क्षेत्र के अनुक्रम को वेक्टर स्थान में वैक्टर के रूप में भी देखा जा सकता है।विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां एफ एक क्षेत्र है) का सेट/समूह प्राकृतिक संख्याओं के सेट/समूह पर एफ-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन/ फलन स्पेस (वास्तव में, एक उत्पाद स्थान) है।
+एक क्षेत्र के अनुक्रम को वेक्टर स्थान में वैक्टर के रूप में भी देखा जा सकता है।विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां एफ एक क्षेत्र है) का सेट/समूह प्राकृतिक संख्याओं के सेट/समूह पर एफ-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन(फलन) स्पेस (वास्तव में, एक उत्पाद स्थान) है।
 === सार बीजगणित ===

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