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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

File:Cauchy sequence illustration2.svg

वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं।अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और पैटर्न या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। चूंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को नोट करना अस्पष्टता की ओर जाता है, पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए लिस्टिंग सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

File:Fibonacci blocks.svg

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल n को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है।यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका nth तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ । उदाहरण के लिए:

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ से भिन्न क्रम हो सकता है

[1]

[2]

[3]

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 फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)<ref name=":0" />
-अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, {{Pi}}, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है। एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।
+अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, {{Pi}}, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।
 पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।<ref>[https://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS Index to OEIS], On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 2020-12-03</ref>
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 === अनुक्रमण ===
-अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक।ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।
+अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।
 यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है।यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका nth तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>। उदाहरण के लिए:
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 &\;\; \vdots
 \end{align}</math>
-विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> से भिन्न क्रम हो सकता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: <math>((a_{m, n})_{n\in\mathbb N})_{m\in\mathbb N}</math> एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका ''m'' वां पद अनुक्रम है <math>(a_{m, n})_{n\in\mathbb N}</math> .
+विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> से भिन्न क्रम हो सकता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: <math>((a_{m, n})_{n\in\mathbb N})_{m\in\mathbb N}</math> एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका ''m'' वां पद अनुक्रम है <math>(a_{m, n})_{n\in\mathbb N}</math>
 अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math> . सीमाएं <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> और इसमें "अनंत पर" एक अतिरिक्त शब्द नहीं है। क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math> .
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 === परिभाषा ===
-इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकीर्ण परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकीर्ण परिभाषा का नुकसान यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। '''एक और नु'''कसान यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो किसी को इस परिभाषा को फिट करने के लिए शेष शर्तों को फिर से चलाने की आवश्यकता है। कुछ संदर्भों में, एक्सपोज़िशन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट आर होने की आवश्यकता होती है,<ref name="Gaughan" />जटिल संख्याओं का सेट सी,<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider
+इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider
-|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref> या एक टोपोलॉजिकल स्पेस। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>यद्यपि अनुक्रम एक प्रकार का फ़ंक्शन है, वे आमतौर पर कार्यों से नोटिस रूप से प्रतिष्ठित होते हैं, जिसमें इनपुट कोष्ठक के बजाय एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात्, {{math|''a<sub>n</sub>''}} इसके बजाय {{math|''a''(''n'')}}। साथ ही शब्दावली अंतर भी हैं: सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम का मूल्य अनुक्रम का पहला तत्व कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) पर मान को दूसरा तत्व, आदि भी कहा जाता है, आदि, भी,जबकि इसके इनपुट से अमूर्त एक फ़ंक्शन आमतौर पर एक ही अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, उदा। एफ, इसके इनपुट से अमूर्त एक अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहां {{math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या इंडेक्स सेट है।
+|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है।
-अनुक्रम और उनकी सीमाएं (नीचे देखें) टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं।अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण नेट्स की अवधारणा है।एक नेट एक (संभवतः बेशुमार) से एक फ़ंक्शन है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित है।अनुक्रमों के लिए उल्लेखनीय सम्मेलन आम तौर पर नेट्स पर भी लागू होते हैं।
+टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं।
 === परिमित और अनंत ===

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