गणित: Difference between revisions
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*सदिश समष्टि, जिसका अध्ययन अनिवार्य रूप से रैखिक बीजगणित के समान है; | *सदिश समष्टि, जिसका अध्ययन अनिवार्य रूप से रैखिक बीजगणित के समान है; | ||
*वलय सिद्धांत; | *वलय सिद्धांत; | ||
*कम्यूटेटिव बीजगणित, जो कम्यूटेटिव | *क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) बीजगणित, जो क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) वलय का अध्ययन है, इसमें बहुपदों का अध्ययन शामिल है, और यह बीजगणितीय ज्यामिति का एक आधारभूत हिस्सा है; | ||
*समजातीय बीजगणित | *समजातीय बीजगणित | ||
* | *मृषोति बीजगणित और मृषोति समूह सिद्धांत; | ||
*बूलियन बीजगणित, जो कंप्यूटर की तार्किक संरचना के अध्ययन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | *बूलियन बीजगणित, जो कंप्यूटर की तार्किक संरचना के अध्ययन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत का उद्देश्य है। उत्तरार्द्ध प्रत्येक गणितीय संरचना पर लागू होता है (न केवल बीजीय वाले)। इसके मूल में, गैर-बीजीय वस्तुओं जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय अध्ययन की अनुमति देने के लिए, समरूप बीजगणित के साथ इसे | गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत का उद्देश्य है। उत्तरार्द्ध प्रत्येक गणितीय संरचना पर लागू होता है (न केवल बीजीय वाले)। इसके मूल में, गैर-बीजीय वस्तुओं जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय अध्ययन की अनुमति देने के लिए, समरूप बीजगणित के साथ इसे प्रस्तावित किया गया था, अनुप्रयोग के इस विशेष क्षेत्र को बीजगणितीय सांस्थिति (टोपोलॉजी) कहा जाता है। | ||
=== कलन और विश्लेषण === | === कलन और विश्लेषण === | ||
{{Main|Calculus|Mathematical analysis}} | {{Main|Calculus|Mathematical analysis}} | ||
कलन, जिसे पहले | कलन, जिसे पहले अतिसूक्ष्म कलन कहा जाता था, को स्वतंत्र रूप से और साथ ही साथ 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञ न्यूटन और लाइबनिज़ द्वारा प्रस्तावित किया गया था। यह मूल रूप से एक दूसरे पर निर्भर चरों के संबंध का अध्ययन है। कलन का विस्तार 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा एक फलन की अवधारणा और कई अन्य परिणामों के साथ किया गया था। वर्तमान में, "कलन" मुख्य रूप से इस सिद्धांत के प्रारंभिक भाग को संदर्भित करता है, और "विश्लेषण" का उपयोग आमतौर पर उन्नत भागों के लिए किया जाता है। | ||
विश्लेषण को वास्तविक विश्लेषण में और उप-विभाजित किया जाता है, जहां चर वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जटिल विश्लेषण, जहां चर जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषण में गणित के अन्य क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए कई उपक्षेत्र शामिल हैं जिनमें निम्न शामिल हैं: | विश्लेषण को वास्तविक विश्लेषण में और उप-विभाजित किया जाता है, जहां चर वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जटिल विश्लेषण, जहां चर जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषण में गणित के अन्य क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए कई उपक्षेत्र शामिल हैं जिनमें निम्न शामिल हैं: | ||
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=== विविक्त गणित === | === विविक्त गणित === | ||
{{main|Discrete mathematics}} | {{main|Discrete mathematics}} | ||
असतत गणित, मोटे तौर पर, परिमित गणितीय वस्तुओं का अध्ययन है। क्योंकि यहां अध्ययन की वस्तुएं असतत हैं, | असतत गणित, मोटे तौर पर, परिमित गणितीय वस्तुओं का अध्ययन है। क्योंकि यहां अध्ययन की वस्तुएं असतत हैं, कलन और गणितीय विश्लेषण के तरीके सीधे लागू नहीं होते हैं।{{efn|However, some advanced methods of analysis are sometimes used; for example, methods of [[complex analysis]] applied to [[generating series]].}} एल्गोरिदम – विशेष रूप से उनके कार्यान्वयन और अभिकलनात्मक जटिलता – असतत गणित में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। | ||
असतत गणित में शामिल हैं: | असतत गणित में शामिल हैं: | ||
* | * साहचर्य, गणितीय वस्तुओं की गणना करने की कला जो कुछ दी गई बाधाओं को संतुष्ट करती है। मूल रूप से, ये वस्तुएँ किसी दिए गए समुच्चय के तत्व या उपसमुच्चय थे, इसे विभिन्न वस्तुओं तक बढ़ाया गया है, जो संयोजन और असतत गणित के अन्य भागों के बीच एक मजबूत संबंध स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, असतत ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों की गिनती विन्यास शामिल हैं | ||
* ग्राफ सिद्धांत और हाइपरग्राफ | * ग्राफ सिद्धांत और हाइपरग्राफ | ||
* | * संकेतन सिद्धांत, जिसमें त्रुटि सुधार कोड और बीज लेखन (क्रिप्टोग्राफी) का एक भाग शामिल है | ||
* मैट्रॉइड सिद्धांत | * मैट्रॉइड सिद्धांत | ||
* असतत ज्यामिति | * असतत ज्यामिति | ||
* असतत प्रायिकता बंटन | * असतत प्रायिकता बंटन | ||
* | * खेल सिद्धांत (हालांकि निरंतर खेलों का भी अध्ययन किया जाता है, शतरंज और पोकर जैसे अधिकांश सामान्य खेल असतत होते हैं) | ||
* असतत अनुकूलन, जिसमें संयोजन अनुकूलन, पूर्णांक प्रोग्रामिंग, बाधा प्रोग्रामिंग शामिल हैं | * असतत अनुकूलन, जिसमें संयोजन अनुकूलन, पूर्णांक प्रोग्रामिंग, बाधा प्रोग्रामिंग शामिल हैं | ||
<!--असतत गणित (जर्नल) की गुंजाइश [https://www.journals.elsevier.com/discrete-mathematics के अनुसार। सेट, एक्सट्रीमल सेट थ्योरी, मैटॉइड थ्योरी, बीजीय को कॉम्बिनेटरिक्स, असतत ज्यामिति, मैट्रिस, असतत संभावना और क्रिप्टोग्राफी के कुछ हिस्सों। | <!--असतत गणित (जर्नल) की गुंजाइश [https://www.journals.elsevier.com/discrete-mathematics के अनुसार। सेट, एक्सट्रीमल सेट थ्योरी, मैटॉइड थ्योरी, बीजीय को कॉम्बिनेटरिक्स, असतत ज्यामिति, मैट्रिस, असतत संभावना और क्रिप्टोग्राफी के कुछ हिस्सों। | ||
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चार रंग प्रमेय और इष्टतम क्षेत्र पैकिंग 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में असतत गणित की दो प्रमुख समस्याएं हल की गईं। P बनाम NP समस्या, जो आज भी | चार रंग प्रमेय और इष्टतम क्षेत्र पैकिंग 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में असतत गणित की दो प्रमुख समस्याएं हल की गईं। P बनाम NP समस्या, जो आज भी है, असतत गणित के लिए भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका समाधान इसे बहुत प्रभावित करेगा।{{Further explanation needed|reason=explain why P vs NP is so important|date=June 2022}} | ||
<!--अनुभाग ज्यामिति के समान एक गैलरी उपयोगी होगी, लेकिन अधिक सुविधाजनक चित्रण की आवश्यकता है। | <!--अनुभाग ज्यामिति के समान एक गैलरी उपयोगी होगी, लेकिन अधिक सुविधाजनक चित्रण की आवश्यकता है। | ||
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गणित की नींव के इस दृष्टिकोण को 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के दौरान ब्रौवर के नेतृत्व में गणितज्ञों द्वारा चुनौती दी गई थी, जिन्होंने अंतर्ज्ञानवादी तर्क को बढ़ावा दिया था, जिसमें स्पष्ट रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून का अभाव था। | गणित की नींव के इस दृष्टिकोण को 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के दौरान ब्रौवर के नेतृत्व में गणितज्ञों द्वारा चुनौती दी गई थी, जिन्होंने अंतर्ज्ञानवादी तर्क को बढ़ावा दिया था, जिसमें स्पष्ट रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून का अभाव था। | ||
इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और | इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और अभिकलनात्मक जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले प्रस्तावित किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref> | ||
=== अनुप्रयुक्त गणित === | === अनुप्रयुक्त गणित === | ||
{{Main|Applied mathematics}}{{Expand section|the connections between mathematics proper and the other sciences (enough for an entire first-level section)|date=June 2022}} | {{Main|Applied mathematics}}{{Expand section|the connections between mathematics proper and the other sciences (enough for an entire first-level section)|date=June 2022}} | ||
अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। | अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। अनुप्रयुक्त गणित शब्द उस प्रस्तावितेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक प्रस्ताविते के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}} | ||
अतीत में, | अतीत में, प्रायोगिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}} | ||
=== सांख्यिकी और अन्य निर्णय विज्ञान === | === सांख्यिकी और अन्य निर्णय विज्ञान === | ||
{{Main|Statistics}} | {{Main|Statistics}} | ||
अनुप्रयुक्त गणित में सांख्यिकी के अनुशासन के साथ महत्वपूर्ण ओवरलैप है, जिसका सिद्धांत गणितीय रूप से तैयार किया गया है, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत।{{Definition needed|define statistics|date=June 2022}} सांख्यिकीविद (एक शोध परियोजना के हिस्से के रूप में काम कर रहे हैं) यादृच्छिक नमूने और यादृच्छिक प्रयोगों के साथ "डेटा बनाएं जो समझ में आता है";<ref>[[C.R. Rao|Rao, C.R.]] (1997) ''Statistics and Truth: Putting Chance to Work'', World Scientific. {{isbn|978-981-02-3111-8}}</ref> सांख्यिकीय नमूने या प्रयोग का डिजाइन डेटा के विश्लेषण को निर्दिष्ट करता है (डेटा उपलब्ध होने से पहले)। प्रयोगों और नमूनों से डेटा पर पुनर्विचार करते समय या अवलोकन संबंधी अध्ययनों से डेटा का विश्लेषण करते समय, सांख्यिकीविद मॉडलिंग की कला और अनुमान के सिद्धांत का उपयोग करके मॉडल चयन और अनुमान के साथ "डेटा का अर्थ बनाते हैं", नए डेटा पर अनुमानित मॉडल और परिणामी भविष्यवाणियों का परीक्षण किया जाना चाहिए।{{Clarification needed|reason=clarify this paragraph (not the footnote!) - too wordy and unclear|date=June 2022}}{{efn|Like other mathematical sciences such as [[physics]] and [[computer science]], statistics is an autonomous discipline rather than a branch of applied mathematics. Like research physicists and computer scientists, research statisticians are mathematical scientists. Many statisticians have a degree in mathematics, and some statisticians are also mathematicians.}} | |||
सांख्यिकीय सिद्धांत निर्णय की समस्याओं का अध्ययन करता है जैसे कि सांख्यिकीय कार्रवाई के जोखिम (अपेक्षित नुकसान) को कम करना, जैसे कि एक प्रक्रिया का उपयोग करना, उदाहरण के लिए, पैरामीटर अनुमान, परिकल्पना परीक्षण, और सर्वोत्तम का चयन करना। गणितीय आँकड़ों के इन पारंपरिक क्षेत्रों में, विशिष्ट बाधाओं के तहत, अपेक्षित हानि या लागत जैसे एक उद्देश्य समारोह को कम करके एक सांख्यिकीय-निर्णय समस्या तैयार की जाती है: उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षण को डिजाइन करने में अक्सर किसी दिए गए जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने की लागत को कम करना शामिल होता है आत्मविश्वास का स्तर।<ref name="RaoOpt">{{cite book |editor1-last=Arthanari |editor1-first=T.S. |editor2-last=Dodge |editor2-first=Yadolah |editor2-link=Yadolah Dodge |last=Rao |first=C.R. |author-link=C.R. Rao |chapter=Foreword |title=Mathematical programming in statistics |series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |publisher=Wiley |location=New York |year=1981 |pages=vii–viii |isbn=978-0-471-08073-2 |mr=607328 }}</ref> इसके अनुकूलन के उपयोग के कारण, सांख्यिकी का गणितीय सिद्धांत अन्य निर्णय विज्ञानों, जैसे संचालन अनुसंधान, नियंत्रण सिद्धांत और गणितीय अर्थशास्त्र के साथ अतिव्याप्त है।<ref name="Whittle">{{harvtxt|Whittle|1994|pp=10–11, 14–18}}: {{cite book |first=Peter |last=Whittle |author-link=Peter Whittle (mathematician) |chapter=Almost home |editor-link=Frank Kelly (mathematician) |editor-first=F.P. |editor-last=Kelly |year=1994 |title=Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle |location=Chichester |publisher=John Wiley |isbn=978-0-471-94829-2 |pages=1–28 |chapter-url=http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |edition=previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20131219080017/http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |archive-date=December 19, 2013 |df=mdy-all }}</ref> | सांख्यिकीय सिद्धांत निर्णय की समस्याओं का अध्ययन करता है जैसे कि सांख्यिकीय कार्रवाई के जोखिम (अपेक्षित नुकसान) को कम करना, जैसे कि एक प्रक्रिया का उपयोग करना, उदाहरण के लिए, पैरामीटर अनुमान, परिकल्पना परीक्षण, और सर्वोत्तम का चयन करना। गणितीय आँकड़ों के इन पारंपरिक क्षेत्रों में, विशिष्ट बाधाओं के तहत, अपेक्षित हानि या लागत जैसे एक उद्देश्य समारोह को कम करके एक सांख्यिकीय-निर्णय समस्या तैयार की जाती है: उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षण को डिजाइन करने में अक्सर किसी दिए गए जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने की लागत को कम करना शामिल होता है आत्मविश्वास का स्तर।<ref name="RaoOpt">{{cite book |editor1-last=Arthanari |editor1-first=T.S. |editor2-last=Dodge |editor2-first=Yadolah |editor2-link=Yadolah Dodge |last=Rao |first=C.R. |author-link=C.R. Rao |chapter=Foreword |title=Mathematical programming in statistics |series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |publisher=Wiley |location=New York |year=1981 |pages=vii–viii |isbn=978-0-471-08073-2 |mr=607328 }}</ref> इसके अनुकूलन के उपयोग के कारण, सांख्यिकी का गणितीय सिद्धांत अन्य निर्णय विज्ञानों, जैसे संचालन अनुसंधान, नियंत्रण सिद्धांत और गणितीय अर्थशास्त्र के साथ अतिव्याप्त है।<ref name="Whittle">{{harvtxt|Whittle|1994|pp=10–11, 14–18}}: {{cite book |first=Peter |last=Whittle |author-link=Peter Whittle (mathematician) |chapter=Almost home |editor-link=Frank Kelly (mathematician) |editor-first=F.P. |editor-last=Kelly |year=1994 |title=Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle |location=Chichester |publisher=John Wiley |isbn=978-0-471-94829-2 |pages=1–28 |chapter-url=http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |edition=previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20131219080017/http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |archive-date=December 19, 2013 |df=mdy-all }}</ref> | ||
=== अभिकलन गणित === | === अभिकलन गणित === | ||
{{Main|Computational mathematics}} | {{Main|Computational mathematics}} | ||
अभिकलनात्मक गणित गणितीय समस्याओं का अध्ययन है जो आम तौर पर मानव, संख्यात्मक क्षमता के लिए बहुत बड़ी होती है। कार्यात्मक विश्लेषण और सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग करके विश्लेषण में समस्याओं के लिए संख्यात्मक विश्लेषण अध्ययन विधियों, संख्यात्मक विश्लेषण में मोटे तौर पर सन्निकटन और विवेकीकरण का अध्ययन शामिल है, जिसमें गोल करने वाली त्रुटियों पर विशेष ध्यान दिया जाता है। संख्यात्मक विश्लेषण और, अधिक व्यापक रूप से, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग गणितीय विज्ञान के गैर-विश्लेषणात्मक विषयों, विशेष रूप से एल्गोरिथम-आव्यूह-और-ग्राफ सिद्धांत का भी अध्ययन करती है। अभिकलनात्मक गणित के अन्य क्षेत्रों में कंप्यूटर बीजगणित और प्रतीकात्मक संगणना शामिल है। | |||
<!--टैग में बताए गए कारणों के लिए इन छवियों को टिप्पणी करना, लेकिन उन्हें रखने के बाद से कुछ बेहतर जगह पर उपयोगी हो सकते हैं, एक बेहतर कैप्शन के साथ | <!--टैग में बताए गए कारणों के लिए इन छवियों को टिप्पणी करना, लेकिन उन्हें रखने के बाद से कुछ बेहतर जगह पर उपयोगी हो सकते हैं, एक बेहतर कैप्शन के साथ | ||
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गणित का इतिहास अमूर्तन की एक निरंतर बढ़ती श्रृंखला है। विकास की दृष्टि से, अब तक खोजा जाने वाला पहला अमूर्तन, कई जानवरों द्वारा साझा किया गया,<ref>{{cite journal |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |date=Aug 1998 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent|s2cid=17414557 }}</ref> शायद संख्याओं का था: यह अहसास कि, उदाहरण के लिए, दो सेबों का एक संग्रह और दो संतरे का संग्रह (जैसे) में कुछ है सामान्य, अर्थात् उनमें से दो हैं। जैसा कि हड्डी पर पाए जाने वाले टांगों से प्रमाणित होता है, भौतिक वस्तुओं की गणना करने के तरीके को पहचानने के अलावा, प्रागैतिहासिक लोगों को यह भी पता हो सकता है कि समय-दिन, मौसम या वर्षों जैसी अमूर्त मात्राओं की गणना कैसे की जाती है।<ref>See, for example, [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=May 29, 2020|archive-date=March 31, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref> | गणित का इतिहास अमूर्तन की एक निरंतर बढ़ती श्रृंखला है। विकास की दृष्टि से, अब तक खोजा जाने वाला पहला अमूर्तन, कई जानवरों द्वारा साझा किया गया,<ref>{{cite journal |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |date=Aug 1998 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent|s2cid=17414557 }}</ref> शायद संख्याओं का था: यह अहसास कि, उदाहरण के लिए, दो सेबों का एक संग्रह और दो संतरे का संग्रह (जैसे) में कुछ है सामान्य, अर्थात् उनमें से दो हैं। जैसा कि हड्डी पर पाए जाने वाले टांगों से प्रमाणित होता है, भौतिक वस्तुओं की गणना करने के तरीके को पहचानने के अलावा, प्रागैतिहासिक लोगों को यह भी पता हो सकता है कि समय-दिन, मौसम या वर्षों जैसी अमूर्त मात्राओं की गणना कैसे की जाती है।<ref>See, for example, [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=May 29, 2020|archive-date=March 31, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref> | ||
[[File:Plimpton 322.jpg|thumb|बेबीलोनियन गणितीय टैबलेट प्लिम्पटन 322, दिनांकित 1800 & nbsp; bc]] | [[File:Plimpton 322.jpg|thumb|बेबीलोनियन गणितीय टैबलेट प्लिम्पटन 322, दिनांकित 1800 & nbsp; bc]] | ||
अधिक जटिल गणित के प्रमाण लगभग 3000 ईसा पूर्व तक प्रकट नहीं होते, जब बेबीलोनियों और मिस्रवासियों ने कराधान और अन्य वित्तीय गणनाओं के लिए, भवन और निर्माण और खगोल विज्ञान के लिए अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करना शुरू किया।{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} मेसोपोटामिया और मिस्र के सबसे पुराने गणितीय ग्रंथ 2000 से 1800 ई.पू. के हैं। कई प्रारंभिक ग्रंथों में पाइथागोरस त्रिगुणों का उल्लेख है और इसलिए, अनुमान से, पाइथागोरस प्रमेय बुनियादी अंकगणित और ज्यामिति के बाद सबसे प्राचीन और व्यापक गणितीय अवधारणा प्रतीत होती है। यह बेबीलोन के गणित में है कि प्रारंभिक अंकगणित (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पहले पुरातात्विक रिकॉर्ड में दिखाई देते हैं। बेबीलोनियाई लोगों के पास एक स्थान-मूल्य प्रणाली भी थी और उन्होंने एक | अधिक जटिल गणित के प्रमाण लगभग 3000 ईसा पूर्व तक प्रकट नहीं होते, जब बेबीलोनियों और मिस्रवासियों ने कराधान और अन्य वित्तीय गणनाओं के लिए, भवन और निर्माण और खगोल विज्ञान के लिए अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करना शुरू किया।{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} मेसोपोटामिया और मिस्र के सबसे पुराने गणितीय ग्रंथ 2000 से 1800 ई.पू. के हैं। कई प्रारंभिक ग्रंथों में पाइथागोरस त्रिगुणों का उल्लेख है और इसलिए, अनुमान से, पाइथागोरस प्रमेय बुनियादी अंकगणित और ज्यामिति के बाद सबसे प्राचीन और व्यापक गणितीय अवधारणा प्रतीत होती है। यह बेबीलोन के गणित में है कि प्रारंभिक अंकगणित (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पहले पुरातात्विक रिकॉर्ड में दिखाई देते हैं। बेबीलोनियाई लोगों के पास एक स्थान-मूल्य प्रणाली भी थी और उन्होंने एक षाष्टिक अंक प्रणाली का उपयोग किया था जो आज भी कोण और समय को मापने के लिए उपयोग में है।{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" pp. 24–27}} | ||
[[File:Archimedes pi.svg|thumb|left|upright=1.25|आर्किमिडीज ने थकावट की विधि का उपयोग किया, यहां चित्रित, पीआई के मूल्य को अनुमानित करने के लिए।]] | [[File:Archimedes pi.svg|thumb|left|upright=1.25|आर्किमिडीज ने थकावट की विधि का उपयोग किया, यहां चित्रित, पीआई के मूल्य को अनुमानित करने के लिए।]] | ||
छठी शताब्दी ईसा पूर्व में, ग्रीक गणित एक विशिष्ट विषय के रूप में उभरने लगा और कुछ प्राचीन यूनानियों जैसे पाइथागोरस ने इसे अपने आप में एक विषय माना।<ref>{{cite book |last=Heath |first=Thomas Little |url=https://archive.org/details/historyofgreekma0002heat/page/n14 |url-access=registration |page=1 |title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid |location=New York |publisher=Dover Publications |date=1981 |orig-year=1921 |isbn=978-0-486-24073-2}}</ref> लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड ने अभिधारणाओं और पहले सिद्धांतों के माध्यम से गणितीय ज्ञान को व्यवस्थित किया, जो कि स्वयंसिद्ध पद्धति में विकसित हुआ, जिसका उपयोग आज गणित में किया जाता है, जिसमें परिभाषा, अभिगृहीत, प्रमेय और प्रमाण शामिल हैं।{{sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} उनकी पुस्तक, | छठी शताब्दी ईसा पूर्व में, ग्रीक गणित एक विशिष्ट विषय के रूप में उभरने लगा और कुछ प्राचीन यूनानियों जैसे पाइथागोरस ने इसे अपने आप में एक विषय माना।<ref>{{cite book |last=Heath |first=Thomas Little |url=https://archive.org/details/historyofgreekma0002heat/page/n14 |url-access=registration |page=1 |title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid |location=New York |publisher=Dover Publications |date=1981 |orig-year=1921 |isbn=978-0-486-24073-2}}</ref> लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड ने अभिधारणाओं और पहले सिद्धांतों के माध्यम से गणितीय ज्ञान को व्यवस्थित किया, जो कि स्वयंसिद्ध पद्धति में विकसित हुआ, जिसका उपयोग आज गणित में किया जाता है, जिसमें परिभाषा, अभिगृहीत, प्रमेय और प्रमाण शामिल हैं।{{sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} उनकी पुस्तक, तत्व, व्यापक रूप से अब तक की सबसे सफल और प्रभावशाली पाठ्यपुस्तक मानी जाती है। पुरातनता के महानतम गणितज्ञ को अक्सर सिरैक्यूज़ का आर्किमिडीज़ (सी. 287-212 ईसा पूर्व) माना जाता है।{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 120}} उन्होंने सतह क्षेत्र और क्रांति के ठोसों की मात्रा की गणना के लिए सूत्र विकसित किए और एक अनंत श्रृंखला के योग के साथ एक परवलय के चाप के नीचे के क्षेत्र की गणना करने के लिए थकावट की विधि का इस्तेमाल किया, जो आधुनिक कलन से बहुत भिन्न नहीं है।{{sfn|Boyer|1991|loc="Ar | ||