गणित: Difference between revisions
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विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियां, गलत गणित के कारण होने के बजाय, इस्तेमाल किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता का संकेत देती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया। | विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियां, गलत गणित के कारण होने के बजाय, इस्तेमाल किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता का संकेत देती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया। | ||
गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name=wigner1960 /> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था। | गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था। | ||
ऐतिहासिक रूप से, प्रमाण की अवधारणा और उससे जुड़ी गणितीय कठोरता सबसे पहले ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का हेरफेर) में विभाजित किया गया था, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और इनफिनिट्सिमल कैलकुलस को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में पेश किया गया था। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है। | ऐतिहासिक रूप से, प्रमाण की अवधारणा और उससे जुड़ी गणितीय कठोरता सबसे पहले ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का हेरफेर) में विभाजित किया गया था, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और इनफिनिट्सिमल कैलकुलस को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में पेश किया गया था। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है। | ||
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== प्रस्तावित परिभाषाएँ == | == प्रस्तावित परिभाषाएँ == | ||
{{main|Definitions of mathematics|Philosophy of mathematics}} | {{main|Definitions of mathematics|Philosophy of mathematics}} | ||
गणित की सटीक परिभाषा या | गणित की सटीक परिभाषा या ज्ञान-मीमांसा संबंधी स्थिति के बारे में कोई आम सहमति नहीं है।<ref name="Mura">{{cite journal|author=Mura, Roberta|date=Dec 1993|title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences|journal=Educational Studies in Mathematics|volume=25|issue=4|pages=375–85|doi=10.1007/BF01273907|jstor=3482762|s2cid=122351146}}</ref><ref name="Runge">{{cite book|author1=Tobies, Renate|title=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry|author2=Helmut Neunzert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-0348-0229-1|page=9 |url=https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 |quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.|author1-link=Renate Tobies|name-list-style=amp}}</ref> बहुत से पेशेवर गणितज्ञ गणित की परिभाषा में कोई दिलचस्पी नहीं लेते, या इसे अपरिभाषित मानते हैं।<ref name="Mura" /> गणित एक कला है या विज्ञान, इस पर भी आम सहमति नहीं है।<ref name="Runge" /> कुछ लोग कहते हैं, "गणित वही है जो गणितज्ञ करते हैं।"<ref name="Mura" /> | ||
अरस्तू ने गणित को मात्रा | अरस्तू ने गणित को "मात्रा का विज्ञान" के रूप में परिभाषित किया और यह परिभाषा 18 वीं शताब्दी तक प्रचलित थी। हालांकि, अरस्तू ने यह भी नोट किया कि केवल मात्रा पर ध्यान केंद्रित करने से भौतिकी जैसे विज्ञान से गणित को अलग नहीं किया जा सकता है; उनके विचार में, वास्तविक उदाहरणों से "विचार में अलग करने योग्य" संपत्ति के रूप में अमूर्तता और मात्रा का अध्ययन गणित को अलग करता है।<ref name="Franklin">{{Cite book|last=Franklin|first=James|url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104|title=Philosophy of Mathematics|date=2009-07-08|isbn=978-0-08-093058-9|pages=104–106|access-date=July 1, 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20150906134402/https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false|archive-date=September 6, 2015|url-status=live}}</ref> | ||
19वीं शताब्दी में, जब गणित का अध्ययन कठोरता में बढ़ा और समूह सिद्धांत और प्रक्षेपी ज्यामिति जैसे अमूर्त विषयों को संबोधित करना शुरू किया, जिनका मात्रा और माप से कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, गणितज्ञों और दार्शनिकों ने विभिन्न प्रकार की नई परिभाषाओं का प्रस्ताव करना शुरू किया।<ref name="Cajori">{{cite book|author=Cajori, Florian|title=A History of Mathematics|publisher=American Mathematical Society (1991 reprint)|year=1893|isbn=978-0-8218-2102-2|pages=[https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86]|author-link=Florian Cajori}}</ref> आज भी, दार्शनिक गणित के दर्शन में प्रश्नों से निपटना जारी रखते हैं, जैसे कि गणितीय प्रमाण की प्रकृति।<ref>{{cite book |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author1=Gold, Bonnie|author1-link=Bonnie Gold |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref> | |||
== तार्किक | == तार्किक विवेचन == | ||
{{See also|Logic}} | {{See also|Logic}} | ||
गणितज्ञ गलत | गणितज्ञ गलत "प्रमेयों" से बचने के लिए व्यवस्थित तर्क के साथ अपने परिणामों को विकसित करने का प्रयास करते हैं। ये झूठे प्रमाण अक्सर गलत धारणाओं से उत्पन्न होते हैं और गणित के इतिहास में आम हैं। निगमनात्मक तर्क की अनुमति देने के लिए, कुछ बुनियादी मान्यताओं को स्पष्ट रूप से स्वयंसिद्धों के रूप में स्वीकार करने की आवश्यकता है। परंपरागत रूप से, इन स्वयंसिद्धों को सामान्य ज्ञान के आधार पर चुना गया था, लेकिन आधुनिक स्वयंसिद्ध आमतौर पर आदिम धारणाओं के लिए औपचारिक गारंटी व्यक्त करते हैं, जैसे कि साधारण वस्तुएं और संबंध। | ||
गणितीय प्रमाण की वैधता | गणितीय प्रमाण की वैधता मूल रूप से कठोरता का विषय है, और गलतफहमी की कठोरता गणित के बारे में कुछ सामान्य गलत धारणाओं का एक उल्लेखनीय कारण है। गणितीय भाषा साधारण शब्दों की तुलना में या केवल और केवल सामान्य शब्दों की तुलना में अधिक सटीकता दे सकती है। विशिष्ट गणितीय अवधारणाओं के लिए खुले और क्षेत्र जैसे अन्य शब्दों को नए अर्थ दिए गए हैं। कभी-कभी, गणितज्ञ पूरी तरह से नए शब्द भी गढ़ते हैं (उदाहरण के लिए होमोमोर्फिज्म)। यह तकनीकी शब्दावली सटीक और सघन दोनों है, जिससे जटिल विचारों को मानसिक रूप से संसाधित करना संभव हो जाता है। गणितज्ञ भाषा और तर्क की इस सटीकता को "कठोरता" के रूप में संदर्भित करते हैं। | ||
गणित में अपेक्षित कठोरता समय के साथ | गणित में अपेक्षित कठोरता समय के साथ बदलती रही है: प्राचीन यूनानियों को विस्तृत तर्कों की उम्मीद थी, लेकिन आइजैक न्यूटन के समय में, नियोजित तरीके कम कठोर थे (गणित की एक अलग अवधारणा के कारण नहीं, बल्कि गणितीय विधियों की कमी के कारण जो कि हैं कठोरता तक पहुँचने के लिए आवश्यक है)। न्यूटन के दृष्टिकोण में निहित समस्याओं को केवल 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में ही हल किया गया था, वास्तविक संख्याओं, सीमाओं और अभिन्न की औपचारिक परिभाषा के साथ। बाद में 20वीं शताब्दी की शुरुआत में, बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने अपने प्रिंसिपिया मैथमैटिका को प्रकाशित किया, यह दिखाने का प्रयास कि सभी गणितीय अवधारणाओं और बयानों को परिभाषित किया जा सकता है, फिर प्रतीकात्मक तर्क के माध्यम से पूरी तरह से सिद्ध किया जा सकता है। यह एक व्यापक दार्शनिक कार्यक्रम का हिस्सा था जिसे तर्कवाद के रूप में जाना जाता है, जो गणित को मुख्य रूप से तर्क का विस्तार मानता है। | ||
गणित की | गणित की समझ के बावजूद, कई प्रमाणों को व्यक्त करने के लिए सैकड़ों पृष्ठों की आवश्यकता होती है। कंप्यूटर-समर्थित प्रमाणों के उद्भव ने प्रूफ की लंबाई को और अधिक विस्तारित करने की अनुमति दी है। यदि प्रमाणित सॉफ़्टवेयर में खामियां हैं और यदि वे लंबे हैं, तो जांचना मुश्किल है, तो सहायक प्रमाण गलत हो सकते हैं।{{efn|For considering as reliable a large computation occurring in a proof, one generally requires two computations using independent software}}<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|978-0-7167-1953-3}}. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref> दूसरी ओर, प्रूफ असिस्टेंट उन विवरणों के सत्यापन की अनुमति देते हैं जो हस्तलिखित प्रमाण में नहीं दिए जा सकते हैं, और 255-पृष्ठ फीट-थॉम्पसन प्रमेय जैसे लंबे सबूतों की शुद्धता की निश्चितता प्रदान करते हैं।{{efn|The book containing the complete proof has more than 1,000 pages.}} | ||
== प्रतीकात्मक संकेतन == | == प्रतीकात्मक संकेतन == | ||
{{see also|Mathematical notation}} | {{see also|Mathematical notation}} | ||
[[File:Leonhard Euler 2.jpg|upright|thumb|लियोनहार्ड यूलर ने आज इस्तेमाल किए गए गणितीय संकेतन का बहुत कुछ बनाया और लोकप्रिय बनाया।]] | [[File:Leonhard Euler 2.jpg|upright|thumb|लियोनहार्ड यूलर ने आज इस्तेमाल किए गए गणितीय संकेतन का बहुत कुछ बनाया और लोकप्रिय बनाया।]] | ||
विशेष भाषा के | विशेष भाषा के अतिरिक्त, समकालीन गणित विशेष अंकन का अत्यधिक उपयोग करता है। ये प्रतीक गणितीय विचारों की अभिव्यक्ति को सरल बनाने और नियमित नियमों का पालन करने वाले नियमित संचालन की अनुमति देकर, कठोरता में भी योगदान देते हैं। आधुनिक अंकन गणित को निपुण के लिए अधिक कुशल बनाता है, हालांकि शुरुआती इसे कठिन पा सकते हैं। | ||
विशेष रूप से लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) | आज उपयोग में आने वाले अधिकांश गणितीय संकेतन का आविष्कार 15वीं शताब्दी के बाद किया गया था, जिसमें विशेष रूप से लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) के कई योगदान शामिल हैं।<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |access-date=September 14, 2014 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archive-date=February 20, 2016 |df=mdy-all }}</ref>{{Failed verification |date=February 2022 |reason=Source collects facts but never makes direct claim, also includes many counterexamples}} इससे पहले, गणितीय तर्कों को आमतौर पर शब्दों में लिखा जाता था, गणितीय खोज को सीमित करते हुए।{{sfn|Kline|1990|p=140|ps=, on [[Diophantus]]; p. 261, on [[Franciscus Vieta|Vieta]].}} | ||
कर्ट गोडेल ने साबित | 19वीं शताब्दी की शुरुआत में, औपचारिकता के रूप में जानी जाने वाली विचारधारा का विकास हुआ। एक औपचारिकतावादी के लिए, गणित प्राथमिक रूप से प्रतीकों की औपचारिक प्रणालियों और उन्हें संयोजित करने के नियमों के बारे में है। इस दृष्टिकोण से, स्वयंसिद्ध भी एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में केवल विशेषाधिकार प्राप्त सूत्र हैं, जो प्रणाली के अन्य तत्वों से प्रक्रियात्मक रूप से प्राप्त किए बिना दिए गए हैं। औपचारिकता का एक अधिकतम उदाहरण 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में डेविड हिल्बर्ट का आह्वान था, जिसे अक्सर हिल्बर्ट का कार्यक्रम कहा जाता है, इस तरह से सभी गणित को एन्कोड करने के लिए। | ||
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कर्ट गोडेल ने साबित किया कि यह लक्ष्य अपने अपूर्णता प्रमेयों के साथ मौलिक रूप से असंभव था, जिसने दिखाया कि कोई भी औपचारिक प्रणाली इतनी समृद्ध है कि सरल अंकगणित भी अपनी पूर्णता या स्थिरता की गारंटी नहीं दे सकती है। बहरहाल, औपचारिकतावादी अवधारणाएं गणित को बहुत प्रभावित करती हैं, इस बिंदु तक कि डिफ़ॉल्ट रूप से सेट-सैद्धांतिक सूत्रों में व्यक्त होने की उम्मीद है। केवल बहुत ही असाधारण परिणाम स्वीकार किए जाते हैं क्योंकि यह एक स्वयंसिद्ध प्रणाली या दूसरे में फिट नहीं होते हैं।<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{isbn|978-0-486-61630-8}}. p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."</ref> | |||
== विज्ञान के साथ संबंध == | |||
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|footer = [[Isaac Newton]] (left) and [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] developed infinitesimal calculus. | |footer = [[Isaac Newton]] (left) and [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] developed infinitesimal calculus. | ||
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|alt2 = Gottfried Wilhelm von Leibniz}} | |alt2 = Gottfried Wilhelm von Leibniz}} | ||
व्यवहार में, गणितज्ञों को | गणित एक विज्ञान है या नहीं, इस पर अभी भी दार्शनिक बहस चल रही है। हालांकि, व्यवहार में, गणितज्ञों को आम तौर पर वैज्ञानिकों के साथ समूहीकृत किया जाता है, और गणित भौतिक विज्ञानों के साथ बहुत समान है। उनकी तरह, यह मिथ्या है, जिसका अर्थ है कि गणित में, यदि कोई परिणाम या सिद्धांत गलत है, तो इसे एक प्रति-उदाहरण प्रदान करके साबित किया जा सकता है। इसी तरह विज्ञान में भी सिद्धांत और परिणाम (प्रमेय) अक्सर प्रयोग से प्राप्त होते हैं।<ref>{{Cite web|url=https://undsci.berkeley.edu/article/mathematics|title=The science checklist applied: Mathematics|website=undsci.berkeley.edu|access-date=2019-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20191027021023/https://undsci.berkeley.edu/article/mathematics|archive-date=October 27, 2019|url-status=live}}</ref> गणित में, प्रयोग में चयनित उदाहरणों पर गणना या आंकड़ों के अध्ययन या गणितीय वस्तुओं के अन्य प्रतिनिधित्व शामिल हो सकते हैं (अक्सर भौतिक समर्थन के बिना दिमाग का प्रतिनिधित्व)। उदाहरण के लिए, जब उनसे पूछा गया कि वह अपने प्रमेयों के बारे में कैसे आए, तो गॉस (19वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञों में से एक) ने एक बार "डर्च प्लानमासिगेस टैटोनिएरेन" (व्यवस्थित प्रयोग के माध्यम से) का उत्तर दिया।{{Efn|A. L. Mackay ''Dictionary of Scientific Quotations'' (London 1991) p.100 (This contribution stems from Wikipedia's [[Scientific method#Relationship with mathematics]])}} हालांकि, कुछ लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि अनुभवजन्य साक्ष्यों पर भरोसा न करके गणित विज्ञान की आधुनिक धारणा से अलग है।<ref name="Bishop1991">{{cite book | last1 = Bishop | first1 = Alan | year = 1991 | chapter = Environmental activities and mathematical culture | title = Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education | chapter-url = https://books.google.com/books?id=9AgrBgAAQBAJ&pg=PA54 | pages = 20–59 | location = Norwell, Massachusetts | publisher = Kluwer Academic Publishers | isbn = 978-0-792-31270-3 | access-date = April 5, 2020 | archive-date = December 25, 2020 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201225195821/https://books.google.com/books?id=9AgrBgAAQBAJ&pg=PA54 | url-status = live }}</ref><ref>{{cite book |title=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists |author1=Shasha, Dennis Elliot |author2=Lazere, Cathy A. |publi | ||