गणित: Difference between revisions

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=== बीजगणित ===
=== बीजगणित ===
{{Main|Algebra}}
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बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में हेरफेर की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" '''[14]''' जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।
बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में हेरफेर की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।


[[File:Quadratic formula.svg|thumb|द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के समाधानों को व्यक्त करता है]]
[[File:Quadratic formula.svg|thumb|द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के समाधानों को व्यक्त करता है]]
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गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत का उद्देश्य है। उत्तरार्द्ध प्रत्येक गणितीय संरचना पर लागू होता है (न केवल बीजीय वाले)। इसके मूल में, गैर-बीजीय वस्तुओं जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय अध्ययन की अनुमति देने के लिए, समरूप बीजगणित के साथ इसे पेश किया गया था; अनुप्रयोग के इस विशेष क्षेत्र को बीजगणितीय टोपोलॉजी कहा जाता है।
गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत का उद्देश्य है। उत्तरार्द्ध प्रत्येक गणितीय संरचना पर लागू होता है (न केवल बीजीय वाले)। इसके मूल में, गैर-बीजीय वस्तुओं जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय अध्ययन की अनुमति देने के लिए, समरूप बीजगणित के साथ इसे पेश किया गया था; अनुप्रयोग के इस विशेष क्षेत्र को बीजगणितीय टोपोलॉजी कहा जाता है।


=== कैलकुलस और विश्लेषण ===
=== कलन और विश्लेषण ===
{{Main|Calculus|Mathematical analysis}}
{{Main|Calculus|Mathematical analysis}}
कैलकुलस, जिसे पहले इनफिनिटिमल कैलकुलस कहा जाता था, को स्वतंत्र रूप से और एक साथ 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञ न्यूटन और लीबनिज़ द्वारा पेश किया गया था। यह मौलिक रूप से चर के संबंध का अध्ययन है जो एक दूसरे पर निर्भर करता है। कैलकुलस को 18 वीं शताब्दी में यूलर द्वारा एक फ़ंक्शन की अवधारणा की शुरुआत के साथ, और कई अन्य परिणामों के साथ विस्तारित किया गया था। वर्तमान में कैलकुलस मुख्य रूप से इस सिद्धांत के प्राथमिक भाग को संदर्भित करता है, और विश्लेषण आमतौर पर उन्नत भागों के लिए उपयोग किया जाता है।
कैलकुलस, जिसे पहले इनफिनिट्सिमल कैलकुलस कहा जाता था, को स्वतंत्र रूप से और साथ ही साथ 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञ न्यूटन और लाइबनिज़ द्वारा पेश किया गया था। यह मूल रूप से एक दूसरे पर निर्भर चरों के संबंध का अध्ययन है। कैलकुलस का विस्तार 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा एक फलन की अवधारणा और कई अन्य परिणामों के साथ किया गया था। वर्तमान में, "कैलकुलस" मुख्य रूप से इस सिद्धांत के प्रारंभिक भाग को संदर्भित करता है, और "विश्लेषण" का उपयोग आमतौर पर उन्नत भागों के लिए किया जाता है।


विश्लेषण को वास्तविक विश्लेषण में और विभाजित किया जाता है, जहां चर वास्तविक संख्या और जटिल विश्लेषण का प्रतिनिधित्व करते हैं जहां चर जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषण में कई सबरियस शामिल हैं, जो गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ कुछ साझा करते हैं; वे सम्मिलित करते हैं:
विश्लेषण को वास्तविक विश्लेषण में और उप-विभाजित किया जाता है, जहां चर वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जटिल विश्लेषण, जहां चर जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषण में गणित के अन्य क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए कई उपक्षेत्र शामिल हैं जिनमें निम्न शामिल हैं:
* बहु -विचित्र गणना
* बहुचर कलन
* कार्यात्मक विश्लेषण, जहां चर अलग -अलग कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं;
* कार्यात्मक विश्लेषण, जहां चर भिन्न-भिन्न कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं;
* एकीकरण, माप सिद्धांत और संभावित सिद्धांत, सभी दृढ़ता से संभाव्यता सिद्धांत के साथ संबंधित;
* एकीकरण, माप सिद्धांत और संभावित सिद्धांत, सभी संभाव्यता सिद्धांत से दृढ़ता से संबंधित हैं;
* सामान्य अवकल समीकरण;
* सामान्य अवकल समीकरण;
* आंशिक अंतर समीकरण;
* आंशिक अंतर समीकरण;
* संख्यात्मक विश्लेषण, मुख्य रूप से कई अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाले साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के कंप्यूटर पर गणना के लिए समर्पित है।
* संख्यात्मक विश्लेषण, मुख्य रूप से कई अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाले सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के कंप्यूटर पर गणना के लिए समर्पित है।


=== असतत गणित ===
=== विविक्त गणित ===
{{main|Discrete mathematics}}
{{main|Discrete mathematics}}
असतत गणित, मोटे तौर पर बोलना परिमित गणितीय वस्तुओं का अध्ययन है।क्योंकि यहां अध्ययन की वस्तुएं असतत हैं, पथरी और गणितीय विश्लेषण के तरीके सीधे लागू नहीं होते हैं।{{efn|However, some advanced methods of analysis are sometimes used; for example, methods of [[complex analysis]] applied to [[generating series]].}} एल्गोरिदम - विशेष रूप से उनके कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल जटिलता - असतत गणित में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
असतत गणित, मोटे तौर पर, परिमित गणितीय वस्तुओं का अध्ययन है। क्योंकि यहां अध्ययन की वस्तुएं असतत हैं, कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण के तरीके सीधे लागू नहीं होते हैं।{{efn|However, some advanced methods of analysis are sometimes used; for example, methods of [[complex analysis]] applied to [[generating series]].}} एल्गोरिदम - विशेष रूप से उनके कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल जटिलता - असतत गणित में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।


असतत गणित में शामिल हैं:
असतत गणित में शामिल हैं:
* कॉम्बीनेटरिक्स, गणितीय वस्तुओं की गणना करने की कला जो कुछ दी गई बाधाओं को पूरा करती है।मूल रूप से, ये ऑब्जेक्ट किसी दिए गए सेट के तत्व या सबसेट थे;इसे विभिन्न वस्तुओं तक बढ़ाया गया है, जो कॉम्बिनेटरिक्स और असतत गणित के अन्य भागों के बीच एक मजबूत लिंक स्थापित करता है।उदाहरण के लिए, असतत ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों के गिनती विन्यास शामिल हैं
* कॉम्बिनेटरिक्स, गणितीय वस्तुओं की गणना करने की कला जो कुछ दी गई बाधाओं को संतुष्ट करती है। मूल रूप से, ये ऑब्जेक्ट दिए गए सेट के तत्व या सबसेट थे; इसे विभिन्न वस्तुओं तक बढ़ा दिया गया है, जो संयोजन और असतत गणित के अन्य भागों के बीच एक मजबूत संबंध स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, असतत ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों की गिनती विन्यास शामिल हैं
* ग्राफ सिद्धांत और हाइपरग्राफ
* ग्राफ सिद्धांत और हाइपरग्राफ
* कोडिंग सिद्धांत, जिसमें त्रुटि को सुधारने और क्रिप्टोग्राफी का एक हिस्सा शामिल है
* कोडिंग सिद्धांत, जिसमें त्रुटि सुधार कोड और क्रिप्टोग्राफी का एक भाग शामिल है
* मैट्रोइड थ्योरी
* मैट्रॉइड सिद्धांत
* असतत ज्यामिति
* असतत ज्यामिति
* असतत संभावना वितरण
* असतत प्रायिकता बंटन
* गेम थ्योरी (हालांकि निरंतर खेलों का भी अध्ययन किया जाता है, सबसे आम खेल, जैसे कि शतरंज और पोकर असतत हैं)
* गेम थ्योरी (हालांकि निरंतर खेलों का भी अध्ययन किया जाता है, शतरंज और पोकर जैसे अधिकांश सामान्य खेल असतत होते हैं)
* असतत अनुकूलन, जिसमें कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन, पूर्णांक प्रोग्रामिंग, बाधा प्रोग्रामिंग शामिल हैं
* असतत अनुकूलन, जिसमें संयोजन अनुकूलन, पूर्णांक प्रोग्रामिंग, बाधा प्रोग्रामिंग शामिल हैं
<!--असतत गणित (जर्नल) की गुंजाइश [https://www.journals.elsevier.com/discrete-mathematics के अनुसार। सेट, एक्सट्रीमल सेट थ्योरी, मैटॉइड थ्योरी, बीजीय को कॉम्बिनेटरिक्स, असतत ज्यामिति, मैट्रिस, असतत संभावना और क्रिप्टोग्राफी के कुछ हिस्सों।
<!--असतत गणित (जर्नल) की गुंजाइश [https://www.journals.elsevier.com/discrete-mathematics के अनुसार। सेट, एक्सट्रीमल सेट थ्योरी, मैटॉइड थ्योरी, बीजीय को कॉम्बिनेटरिक्स, असतत ज्यामिति, मैट्रिस, असतत संभावना और क्रिप्टोग्राफी के कुछ हिस्सों।


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चार रंग प्रमेय और इष्टतम क्षेत्र पैकिंग 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में हल किए गए असतत गणित की दो प्रमुख समस्याएं थीं।पी बनाम एनपी समस्या, जो आज तक खुली रहती है, असतत गणित के लिए भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका समाधान इसका बहुत कुछ प्रभावित करेगा।{{Further explanation needed|reason=explain why P vs NP is so important|date=June 2022}}
चार रंग प्रमेय और इष्टतम क्षेत्र पैकिंग 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में असतत गणित की दो प्रमुख समस्याएं हल की गईं। P बनाम NP समस्या, जो आज भी खुली है, असतत गणित के लिए भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका समाधान इसे बहुत प्रभावित करेगा।{{Further explanation needed|reason=explain why P vs NP is so important|date=June 2022}}
<!--अनुभाग ज्यामिति के समान एक गैलरी उपयोगी होगी, लेकिन अधिक सुविधाजनक चित्रण की आवश्यकता है।
<!--अनुभाग ज्यामिति के समान एक गैलरी उपयोगी होगी, लेकिन अधिक सुविधाजनक चित्रण की आवश्यकता है।


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गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत के दो विषय दोनों 19 वीं शताब्दी के अंत से गणित से संबंधित हैं। इस अवधि से पहले, सेटों को गणितीय वस्तुएं नहीं माना जाता था, और तर्क, हालांकि गणितीय प्रमाणों के लिए उपयोग किया जाता था, दर्शन से संबंधित था, और विशेष रूप से गणितज्ञों द्वारा अध्ययन नहीं किया गया था।
गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत के दो विषय दोनों 19 वीं शताब्दी के अंत से गणित से संबंधित हैं। इस अवधि से पहले, सेटों को गणितीय वस्तुएं नहीं माना जाता था, और तर्क, हालांकि गणितीय प्रमाणों के लिए उपयोग किया जाता था, दर्शन से संबंधित था, और विशेष रूप से गणितज्ञों द्वारा अध्ययन नहीं किया गया था।


अनंत सेटों के कैंटर के अध्ययन से पहले, गणितज्ञ वास्तव में अनंत संग्रह पर विचार करने के लिए अनिच्छुक थे, और अनंत को अंतहीन गणना का परिणाम माना जाता था। कैंटर के काम ने कई गणितज्ञों को न केवल वास्तव में अनंत सेटों पर विचार करके, बल्कि यह दिखाते हुए कि यह अनंत के विभिन्न आकारों (कैंटर के विकर्ण तर्क देखें) और गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व को दर्शाता है, जिनकी गणना नहीं की जा सकती है, या यहां तक ​​कि स्पष्ट रूप से वर्णित है (उदाहरण के लिए, हामेल बेस तर्कसंगत संख्याओं पर वास्तविक संख्याओं की)। इसके कारण कैंटर के सिद्धांत पर विवाद हुआ। कैंटर के सेट सिद्धांत पर विवाद।
कैंटर के अनंत समुच्चयों के अध्ययन से पहले, गणितज्ञ वास्तव में अनंत संग्रहों पर विचार करने के लिए अनिच्छुक थे, और अनंत को अनंत गणना का परिणाम मानते थे। कैंटर के काम ने कई गणितज्ञों को न केवल वास्तव में अनंत सेटों पर विचार करके, बल्कि यह दिखाते हुए कि यह अनंत के विभिन्न आकारों (कैंटोर के विकर्ण तर्क को देखें) और गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व को दर्शाता है, जिनकी गणना नहीं की जा सकती है, या यहां तक ​​कि स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, हेमल बेस परिमेय संख्याओं की तुलना में वास्तविक संख्याओं का) इससे कैंटर के सेट थ्योरी को लेकर विवाद पैदा हो गया।


इसी अवधि में, गणित के विभिन्न क्षेत्रों ने निष्कर्ष निकाला कि मूल गणितीय वस्तुओं की पूर्व सहज ज्ञान युक्त परिभाषाएँ गणितीय कठोरता सुनिश्चित करने के लिए अपर्याप्त थीं। इस तरह की सहजतापूर्ण परिभाषाओं के उदाहरण एक सेट हैं, वस्तुओं का एक संग्रह है, प्राकृतिक संख्या का उपयोग गिनती के लिए किया जाता है, एक बिंदु हर दिशा में एक शून्य लंबाई के साथ एक आकार है, एक वक्र एक चलती बिंदु द्वारा छोड़ दिया गया एक ट्रेस है, आदि।
इसी अवधि में, गणित के विभिन्न क्षेत्रों ने निष्कर्ष निकाला कि मूल गणितीय वस्तुओं की पूर्व सहज परिभाषाएं गणितीय कठोरता सुनिश्चित करने के लिए अपर्याप्त थीं। ऐसी सहज परिभाषाओं के उदाहरण हैं "एक सेट वस्तुओं का एक संग्रह है", "प्राकृतिक संख्या वह है जो गिनती के लिए उपयोग की जाती है", "एक बिंदु हर दिशा में शून्य लंबाई वाला एक आकार है", "एक वक्र एक निशान है एक गतिमान बिंदु", आदि।


यह गणित का मूलभूत संकट बन गया।<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref> यह अंततः मुख्यधारा के गणित में एक Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत के अंदर स्वयंसिद्ध विधि को व्यवस्थित करके हल किया गया था। औपचारिक सेट सिद्धांत। मोटे तौर पर, प्रत्येक गणितीय वस्तु को सभी समान वस्तुओं और उन गुणों के सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है जो इन वस्तुओं के पास होना चाहिए। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित में, प्राकृतिक संख्याओं को शून्य द्वारा परिभाषित किया गया है, एक संख्या है, प्रत्येक संख्या एक अद्वितीय उत्तराधिकारी के रूप में, प्रत्येक संख्या लेकिन शून्य में एक अद्वितीय पूर्ववर्ती है, और तर्क के कुछ नियम हैं। इस तरह से परिभाषित वस्तुओं की प्रकृति एक दार्शनिक समस्या है जिसे गणितज्ञ दार्शनिकों को छोड़ देते हैं, भले ही कई गणितज्ञों ने इस प्रकृति पर राय दी हो, और उनकी राय का उपयोग करें - कभी -कभी अंतर्ज्ञान नामक अपने अध्ययन और प्रमाणों का मार्गदर्शन करें।
यह गणित का आधारभूत संकट बन गया।<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref> औपचारिक रूप से सेट सिद्धांत के अंदर स्वयंसिद्ध पद्धति को व्यवस्थित करके इसे अंततः मुख्यधारा के गणित में हल किया गया। मोटे तौर पर, प्रत्येक गणितीय वस्तु को सभी समान वस्तुओं के समुच्चय और इन वस्तुओं के गुणों के द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित में, प्राकृतिक संख्याओं को "शून्य एक संख्या है", "प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय उत्तराधिकारी के रूप में", "प्रत्येक संख्या लेकिन शून्य में एक अद्वितीय पूर्ववर्ती है", और तर्क के कुछ नियम हैं। इस तरह से परिभाषित वस्तुओं की "प्रकृति" एक दार्शनिक समस्या है जिसे गणितज्ञ दार्शनिकों के पास छोड़ देते हैं, भले ही कई गणितज्ञों की इस प्रकृति पर राय हो, और अपनी राय का उपयोग करें - कभी-कभी "अंतर्ज्ञान" कहा जाता है - अपने अध्ययन और प्रमाणों का मार्गदर्शन करने के लिए।


यह दृष्टिकोण लॉजिक्स (यानी, अनुमत नियमों के सेट), प्रमेय, प्रमाण आदि को गणितीय वस्तुओं के रूप में, और उनके बारे में प्रमेय साबित करने के लिए अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय दावा करते हैं, मोटे तौर पर यह बोलते हैं कि, हर सिद्धांत में जिसमें प्राकृतिक संख्याएं होती हैं, ऐसे प्रमेय हैं जो सत्य हैं (जो एक बड़े सिद्धांत में साबित होता है), लेकिन सिद्धांत के अंदर साबित नहीं होता है।
यह दृष्टिकोण गणितीय वस्तुओं के रूप में "लॉजिक्स" (अर्थात अनुमत कटौती नियमों के सेट), प्रमेयों, प्रमाणों आदि पर विचार करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय जोर देते हैं, मोटे तौर पर बोलते हुए, हर सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याएं होती हैं, ऐसे प्रमेय होते हैं जो सत्य होते हैं (जो कि एक बड़े सिद्धांत में सिद्ध होता है), लेकिन सिद्धांत के अंदर सिद्ध नहीं होता है।


गणित की नींव के इस दृष्टिकोण को 20 वीं शताब्दी की पहली छमाही के दौरान गणितज्ञों द्वारा एल। ई। जे। ब्रूवर के नेतृत्व में चुनौती दी गई थी।
गणित की नींव के इस दृष्टिकोण को 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के दौरान ब्रौवर के नेतृत्व में गणितज्ञों द्वारा चुनौती दी गई थी, जिन्होंने अंतर्ज्ञानवादी तर्क को बढ़ावा दिया था, जिसमें स्पष्ट रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून का अभाव था।


इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का एक विस्तृत विस्तार किया, जैसे कि मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों की मॉडलिंग), प्रूफ थ्योरी, टाइप थ्योरी, कम्प्यूटिबिलिटी थ्योरी और कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी। यद्यपि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले पेश किया गया था, संकलक डिजाइन, कार्यक्रम प्रमाणन, प्रूफ सहायकों और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref>
इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले पेश किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref>
 
=== अनुप्रयुक्त गणित ===
 
=== एप्लाइड गणित ===
{{Main|Applied mathematics}}{{Expand section|the connections between mathematics proper and the other sciences (enough for an entire first-level section)|date=June 2022}}
{{Main|Applied mathematics}}{{Expand section|the connections between mathematics proper and the other sciences (enough for an entire first-level section)|date=June 2022}}
एप्लाइड गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है।इस प्रकार, लागू गणित विशेष ज्ञान के साथ एक गणितीय विज्ञान है।एप्लाइड गणित शब्द भी पेशेवर विशेषता का वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर काम करते हैं;व्यावहारिक समस्याओं पर ध्यान केंद्रित करने वाले पेशे के रूप में, एप्लाइड गणित गणित मॉडल के सूत्रीकरण, अध्ययन और उपयोग पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}}
अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। व्यावहारिक गणित शब्द उस पेशेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक पेशे के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}}
अतीत में, व्यावहारिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया है, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने स्वयं के लिए विकसित किया जाता है।इस प्रकार, लागू गणित की गतिविधि शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}}
 


अतीत में, व्यावहारिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}}
=== सांख्यिकी और अन्य निर्णय विज्ञान ===
=== सांख्यिकी और अन्य निर्णय विज्ञान ===
{{Main|Statistics}}
{{Main|Statistics}}
एप्लाइड गणित में आंकड़ों के अनुशासन के साथ महत्वपूर्ण ओवरलैप है, जिसका सिद्धांत गणितीय रूप से तैयार किया गया है, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत।{{Definition needed|define statistics|date=June 2022}} सांख्यिकीविद् (एक शोध परियोजना के हिस्से के रूप में काम करना) डेटा बनाते हैं जो यादृच्छिक नमूने के साथ और यादृच्छिक प्रयोगों के साथ समझ में आता है;<ref>[[C.R. Rao|Rao, C.R.]] (1997) ''Statistics and Truth: Putting Chance to Work'', World Scientific. {{isbn|978-981-02-3111-8}}</ref> एक सांख्यिकीय नमूने या प्रयोग का डिज़ाइन डेटा के विश्लेषण को निर्दिष्ट करता है (डेटा उपलब्ध होने से पहले)।जब प्रयोगों और नमूनों से डेटा पर पुनर्विचार किया जाता है या अवलोकन संबंधी अध्ययन से डेटा का विश्लेषण करते समय, सांख्यिकीविद मॉडलिंग की कला और अनुमान के सिद्धांत का उपयोग करके डेटा की समझ बनाते हैं - मॉडल चयन और अनुमान के