गणित: Difference between revisions
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=== ज्यामिति === | === ज्यामिति === | ||
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ज्यामिति गणित की | ज्यामिति गणित की प्राचीनतम शाखाओं में से एक है। यह आकृतियों से संबंधित अनुभवजन्य व्यंजनों के साथ शुरू हुआ, जैसे कि रेखाएं, कोण और मंडल, जिन्हें मुख्य रूप से सर्वेक्षण और वास्तुकला की जरूरतों के लिए विकसित किया गया था, लेकिन तब से कई अन्य उपक्षेत्रों में खिल गए हैं। | ||
एक मौलिक नवाचार प्राचीन यूनानियों द्वारा सबूतों की अवधारणा की शुरूआत | एक मौलिक नवाचार प्राचीन यूनानियों द्वारा सबूतों की अवधारणा की शुरूआत थी, इस आवश्यकता के साथ कि हर दावे को साबित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, माप द्वारा सत्यापित करना पर्याप्त नहीं है कि, मान लीजिए, दो लंबाइयाँ समान हैं; उनकी समानता को पहले स्वीकृत परिणामों (प्रमेय) और कुछ बुनियादी कथनों के तर्क के माध्यम से सिद्ध किया जाना चाहिए। मूल कथन प्रमाण के अधीन नहीं हैं क्योंकि वे स्व-स्पष्ट (अनुमानित) हैं, या वे अध्ययन के विषय (स्वयंसिद्ध) की परिभाषा का हिस्सा हैं। यह सिद्धांत, जो सभी गणित के लिए आधारभूत है, पहले ज्यामिति के लिए विस्तृत किया गया था, और यूक्लिड द्वारा अपनी पुस्तक एलिमेंट्स में लगभग 300 ई.पू. में व्यवस्थित किया गया था। | ||
परिणामी यूक्लिडियन ज्यामिति, यूक्लिडियन तल (प्लेन ज्योमेट्री) और (त्रि-आयामी) यूक्लिडियन स्पेस में रेखाओं, विमानों और वृत्तों से निर्मित आकृतियों और उनकी व्यवस्थाओं का अध्ययन है।{{efn|This includes [[conic section]]s, which are intersections of [[circular cylinder]]s and planes.}} | |||
17 वीं शताब्दी तक यूक्लिडियन ज्यामिति विधियों या दायरे में बदलाव के बिना विकसित की गई थी, जब रेने डेसकार्टेस ने पेश किया जिसे अब कार्टेशियन निर्देशांक कहा जाता है। यह प्रतिमान का एक बड़ा परिवर्तन था, क्योंकि वास्तविक संख्याओं को रेखा खंडों की लंबाई के रूप में परिभाषित करने के बजाय (संख्या रेखा देखें), इसने उनके निर्देशांक (जो संख्याएं हैं) का उपयोग करके बिंदुओं के प्रतिनिधित्व की अनुमति दी। यह किसी को ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित (और बाद में, कैलकुलस) का उपयोग करने की अनुमति देता है। इसने ज्यामिति को दो नए उपक्षेत्रों में विभाजित किया: सिंथेटिक ज्यामिति, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय विधियों का उपयोग करती है, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति, जो व्यवस्थित रूप से निर्देशांक का उपयोग करती है। | |||
विश्लेषणात्मक ज्यामिति उन वक्रों के अध्ययन की अनुमति देती है जो वृत्त और रेखाओं से संबंधित नहीं हैं। इस तरह के वक्रों को कार्यों के ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (जिसके अध्ययन से अंतर ज्यामिति का नेतृत्व किया गया)। उन्हें निहित समीकरणों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर बहुपद समीकरण (जो बीजगणितीय ज्यामिति उत्पन्न करते हैं)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी तीन आयामों से अधिक के रिक्त स्थान पर विचार करना संभव बनाता है। | |||
आजकल, ज्यामिति के | 19वीं सदी में, गणितज्ञों ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज की, जो समानांतर अभिधारणा का पालन नहीं करते हैं। उस अभिधारणा की सत्यता पर प्रश्नचिह्न लगाकर, यह खोज रसेल के विरोधाभास में गणित के मूलभूत संकट को प्रकट करने के रूप में शामिल हो जाती है। संकट के इस पहलू को स्वयंसिद्ध पद्धति को व्यवस्थित करके हल किया गया था, और यह स्वीकार कर लिया गया था कि चुने हुए स्वयंसिद्धों की सच्चाई गणितीय समस्या नहीं है। बदले में, स्वयंसिद्ध विधि या तो स्वयंसिद्धों को बदलकर या अंतरिक्ष के विशिष्ट परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय गुणों पर विचार करके प्राप्त विभिन्न ज्यामिति के अध्ययन की अनुमति देती है। | ||
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* | आजकल, ज्यामिति के उपक्षेत्रों में निम्न शामिल हैं: | ||
*डिफरेंशियल | *16 वीं शताब्दी में गिरार्ड डेसर्गेस द्वारा पेश की गई प्रोजेक्टिव ज्यामिति, अनंत पर बिंदुओं को जोड़कर यूक्लिडियन ज्यामिति का विस्तार करती है जिस पर समानांतर रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं। यह प्रतिच्छेदन और समानांतर रेखाओं के लिए उपचारों को एकीकृत करके शास्त्रीय ज्यामिति के कई पहलुओं को सरल करता है। | ||
* | *एफाइन ज्योमेट्री, समानांतरवाद के सापेक्ष गुणों का अध्ययन और लंबाई की अवधारणा से स्वतंत्र। | ||
* | *डिफरेंशियल ज्योमेट्री, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरणों का अध्ययन, जिन्हें भिन्न कार्यों का उपयोग करके परिभाषित किया गया है | ||
* | *मैनिफोल्ड सिद्धांत, आकृतियों का अध्ययन जो जरूरी नहीं कि एक बड़े स्थान में अंतर्निहित हों | ||
*टोपोलॉजी, गुणों का अध्ययन | *रीमैनियन ज्यामिति, घुमावदार स्थानों में दूरी गुणों का अध्ययन | ||
** बीजगणितीय टोपोलॉजी, | *बीजीय ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरणों का अध्ययन, जिन्हें बहुपदों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है | ||
*असतत ज्यामिति, ज्यामिति में परिमित | *टोपोलॉजी, उन गुणों का अध्ययन जिन्हें निरंतर विकृतियों के तहत रखा जाता है | ||
*उत्तल ज्यामिति, उत्तल | ** बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजीय विधियों की टोपोलॉजी में उपयोग, मुख्यतः समरूप बीजगणित | ||
*जटिल ज्यामिति, | *असतत ज्यामिति, ज्यामिति में परिमित विन्यासों का अध्ययन | ||
*उत्तल ज्यामिति, उत्तल समुच्चयों का अध्ययन, जो अनुकूलन में अपने अनुप्रयोगों से इसका महत्व लेता है | |||
*जटिल ज्यामिति, वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं से प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति | |||
{{Gallery|title=Examples of shapes encountered in geometry | {{Gallery|title=Examples of shapes encountered in geometry | ||
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=== बीजगणित === | === बीजगणित === | ||
{{Main|Algebra}} | {{Main|Algebra}} | ||
बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में हेरफेर | बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में हेरफेर की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" '''[14]''' जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था। | ||
[[File:Quadratic formula.svg|thumb|द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के समाधानों को व्यक्त करता है]] | [[File:Quadratic formula.svg|thumb|द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के समाधानों को व्यक्त करता है]] | ||
बीजगणित केवल | बीजगणित केवल फ्रांकोइस विएते (1540-1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिन्होंने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संक्रियाओं का वर्णन करने की अनुमति देता है जो गणितीय सूत्रों का उपयोग करके प्रदर्शित संख्याओं पर की जानी हैं। | ||
19वीं शताब्दी तक, बीजगणित में मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों (वर्तमान में रैखिक बीजगणित), और एक अज्ञात में बहुपद समीकरणों का अध्ययन शामिल था, जिसे बीजीय समीकरण (एक शब्द जो अभी भी उपयोग में है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है) कहा जाता था। 19वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने संख्याओं के अलावा अन्य चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करना शुरू किया (जैसे कि मैट्रिक्स, मॉड्यूलर पूर्णांक और ज्यामितीय परिवर्तन), जिस पर अंकगणितीय संचालन के सामान्यीकरण अक्सर मान्य होते हैं। बीजगणितीय संरचना की अवधारणा इसे संबोधित करती है, जिसमें एक सेट होता है, जिसके तत्व अनिर्दिष्ट होते हैं, सेट के तत्वों पर कार्य करने वाले संचालन, और नियम जिनका इन संचालनों का पालन करना चाहिए। इस परिवर्तन के कारण, बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन को शामिल करने के लिए बीजगणित के क्षेत्र में वृद्धि हुई। बीजगणित की इस वस्तु को आधुनिक बीजगणित या अमूर्त बीजगणित कहा गया। (उत्तरार्द्ध शब्द मुख्य रूप से एक शैक्षिक संदर्भ में प्रकट होता है, प्राथमिक बीजगणित के विरोध में, जो सूत्रों में हेरफेर करने के पुराने तरीके से संबंधित है।) | |||
[[File:Rubik's cube.svg|thumb|रुबिक क्यूब: द स्टडी ऑफ इट्स टाइटल मूव्स ग्रुप थ्योरी का एक ठोस अनुप्रयोग है]] | [[File:Rubik's cube.svg|thumb|रुबिक क्यूब: द स्टडी ऑफ इट्स टाइटल मूव्स ग्रुप थ्योरी का एक ठोस अनुप्रयोग है]] | ||
गणित के कई क्षेत्रों में कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं में उपयोगी और अक्सर मूलभूत गुण होते हैं। उनका अध्ययन बीजगणित के स्वायत्त हिस्से बन गए, और इसमें शामिल हैं: | |||
*समूह सिद्धांत; | *समूह सिद्धांत; | ||
*क्षेत्र सिद्धांत; | *क्षेत्र सिद्धांत; | ||
* | *सदिश समष्टि, जिसका अध्ययन अनिवार्य रूप से रैखिक बीजगणित के समान है; | ||
* | *वलय सिद्धांत; | ||
*कम्यूटेटिव बीजगणित, जो कम्यूटेटिव | *कम्यूटेटिव बीजगणित, जो कम्यूटेटिव रिंगों का अध्ययन है, इसमें बहुपदों का अध्ययन शामिल है, और यह बीजीय ज्यामिति का एक आधारभूत हिस्सा है; | ||
* | *समजातीय बीजगणित | ||
*झूठ बीजगणित और झूठ समूह सिद्धांत; | *झूठ बीजगणित और झूठ समूह सिद्धांत; | ||
*बूलियन बीजगणित, जो | *बूलियन बीजगणित, जो कंप्यूटर की तार्किक संरचना के अध्ययन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के | गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत का उद्देश्य है। उत्तरार्द्ध प्रत्येक गणितीय संरचना पर लागू होता है (न केवल बीजीय वाले)। इसके मूल में, गैर-बीजीय वस्तुओं जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय अध्ययन की अनुमति देने के लिए, समरूप बीजगणित के साथ इसे पेश किया गया था; अनुप्रयोग के इस विशेष क्षेत्र को बीजगणितीय टोपोलॉजी कहा जाता है। | ||
=== कैलकुलस और विश्लेषण === | === कैलकुलस और विश्लेषण === | ||
