गणित: Difference between revisions

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[[File:Euclid.jpg|thumb|350px|तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}}]]
[[File:Euclid.jpg|thumb|350px|तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}}]]
गणित ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें ऐसे विषय शामिल हैं <!--कृपया, उन लेखों को उन शब्दों से नहीं जोड़ें जो उनके गैर-तकनीकी अर्थ में उपयोग किए जाते हैं, जैसे कि संख्या, मात्रा, सूत्र, संरचना, आकार, स्थान।इस तरह के लेखों को जोड़ने से उन सार के बारे में बहुत अधिक तकनीकी जानकारी मिलेगी। -->संख्या (अंकगणित, संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकृतियाँ और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/>और मात्रा और उनके परिवर्तन (पथरी और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> <!--<<< कृपया चर्चा के बिना उद्घाटन वाक्य न बदलें;इसके वर्तमान रूप में बहुत समय और चर्चा का निवेश किया गया है।-->
गणित ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे समाहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और मात्राएँ और उनके परिवर्तन (कैलकुलस और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या साबित करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्त होते हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी संस्थाएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता के मामले में) कुछ बुनियादी गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।
अधिकांश गणितीय गतिविधि में शुद्ध तर्क द्वारा अमूर्त वस्तुओं के गुणों की खोज और साबित करना शामिल है।ये वस्तुएं या तो प्रकृति से अमूर्त हैं, जैसे कि प्राकृतिक संख्या या रेखाएँ, या {{emdash}} आधुनिक गणित में {{emdash}} कुछ गुणों के साथ निर्धारित की जाती हैं, जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है।एक प्रमाण में पहले से ही ज्ञात परिणामों के लिए कुछ कटौतीत्मक नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार शामिल है, जिसमें पहले से सिद्ध प्रमेय, स्वयंसिद्ध और (प्रकृति से अमूर्तता के मामले में) कुछ बुनियादी गुण शामिल हैं, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सच्चे शुरुआती बिंदुओं के रूप में माना जाता है।एक प्रमाण के परिणाम को एक प्रमेय कहा जाता है। <!--बात पर निम्नलिखित लंबित चर्चा को टिप्पणी करना: भौतिक कानूनों के विपरीत, एक प्रमेय (इसकी सच्चाई) की वैधता किसी भी प्रयोग पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन इसके तर्क की शुद्धता पर (हालांकि प्रयोग अक्सर रुचि के नए सिद्धांत की खोज के लिए उपयोगी होती है)। -->
 
विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियां, गलत गणित के कारण होने के बजाय, इस्तेमाल किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता का संकेत देती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।
 
गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name=wigner1960 /> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था।


मॉडलिंग घटनाओं के लिए विज्ञान में गणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह प्रयोगात्मक कानूनों से मात्रात्मक भविष्यवाणियों की निष्कर्षण को सक्षम करता है। उदाहरण के लिए, गणितीय गणना के साथ संयुक्त रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के कानून का उपयोग करके ग्रहों के आंदोलन की सटीक भविष्यवाणी की जा सकती है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का अर्थ है कि इस तरह की भविष्यवाणियों की सटीकता वास्तविकता का वर्णन करने के लिए मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियों का अर्थ गणितीय मॉडल को सुधारने या बदलने की आवश्यकता है, न कि यह कि गणित स्वयं मॉडल में गलत है। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्ववर्ती को न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा नहीं समझाया जा सकता है, लेकिन आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता द्वारा सटीक रूप से समझाया गया है। आइंस्टीन के सिद्धांत के इस प्रायोगिक सत्यापन से पता चलता है कि न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम केवल एक अनुमान है, हालांकि रोजमर्रा के आवेदन में सटीक है।
ऐतिहासिक रूप से, प्रमाण की अवधारणा और उससे जुड़ी गणितीय कठोरता सबसे पहले ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का हेरफेर) में विभाजित किया गया था, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और इनफिनिट्सिमल कैलकुलस को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में पेश किया गया था। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।


प्राकृतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में गणित आवश्यक है।
गणित के कुछ क्षेत्र, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया जाता है और अक्सर लागू गणित के तहत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए इसे शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name=wigner1960 />एक फिटिंग उदाहरण पूर्णांक कारक की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस चला जाता है, लेकिन आरएसए क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में इसके उपयोग से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था।


गणित के इतिहास में, एक प्रमाण और उसके संबद्ध गणितीय कठोरता की अवधारणा पहली बार ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में सबसे विशेष रूप से। तत्व।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> गणित जब तक पुनर्जागरण तक अपेक्षाकृत धीमी गति से विकसित हुआ, जब बीजगणित और इनफिनिटिमल कैलकुलस को गणित के मुख्य क्षेत्रों के रूप में अंकगणित और ज्यामिति में जोड़ा गया।तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच बातचीत ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है।19 वीं शताब्दी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध विधि का व्यवस्थित किया।यह, बदले में, गणित क्षेत्रों की संख्या और अनुप्रयोगों के उनके क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि को जन्म दिया।इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जो गणित के साठ से अधिक प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों को सूचीबद्ध करता है।


== शब्द व्युत्पत्ति ==
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गणित शब्द की उत्पत्ति [[:hi:प्राचीन यूनानी भाषा|प्राचीन यूनानी]] गणित (μάθημα) से हुई है, जिसका अर्थ है "जो सीखा जाता है,"<ref>{{Cite encyclopedia}}</ref> "जो कुछ भी पता चलता है," इसलिए "अध्ययन" और "विज्ञान" भी। शास्त्रीय काल में भी "गणित" शब्द का संक्षिप्त और अधिक तकनीकी अर्थ "गणितीय अध्ययन" आया।<ref>Both meanings can be found in Plato, the narrower in [[रिपब्लिक (प्लेटो)|''Republic'']] [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 510c] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224152747/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168|date=February 24, 2021}}, but Plato did not use a ''math-'' word; Aristotle did, commenting on it. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}. ''OED Online'', "Mathematics".</ref> इसका [[:hi:विशेषण|विशेषण]] ''Mathēmatikós'' (μαθηματικός) है, जिसका अर्थ है "सीखने से संबंधित" या "अध्ययनशील", जिसका अर्थ "गणितीय" भी है। विशेष रूप से, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ ; लैटिन: ars ''mathematica'') का अर्थ "गणितीय कला" है।
इसी तरह, [[:hi:पाइथागोरसवाद|पाइथागोरसवाद]] में विचार के दो मुख्य विद्यालयों में से एक को गणितज्ञ (''μαθηματικοί'' ) के रूप में जाना जाता था - जो उस समय आधुनिक अर्थों में "गणितज्ञ" के बजाय "शिक्षार्थी" था।
लैटिन में, और अंग्रेजी में लगभग 1700 तक, गणित शब्द का अर्थ "गणित" के बजाय "[[:hi:फलित ज्योतिष|ज्योतिष]]" (या कभी-कभी "[[:hi:खगोल शास्त्र|खगोल विज्ञान]]") से अधिक होता था; अर्थ धीरे-धीरे लगभग 1500 से 1800 तक अपने वर्तमान में बदल गया। इसके परिणामस्वरूप कई गलत अनुवाद हुए हैं। उदाहरण के लिए, [[:hi:हिप्पो का ऍगस्टीन|सेंट ऑगस्टाइन]] की चेतावनी कि ईसाइयों को गणितज्ञ से सावधान रहना चाहिए, जिसका अर्थ है ज्योतिषी, कभी-कभी गणितज्ञों की निंदा के रूप में गलत अनुवाद किया जाता है।<ref name="Boas2">{{Cite book|title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr|publisher=Cambridge University Press|last=Boas, Ralph|author-link=Ralph P. Boas Jr.|year=1995|orig-year=1991|page=257|chapter-url=https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257|chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians|isbn=978-0-88385-323-8|access-date=January 17, 2018|archive-date=May 20, 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200520183837/https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257}}</ref>


अंग्रेजी में स्पष्ट [[:hi:बहुवचन|बहुवचन]] रूप लैटिन [[:hi:लिंग (व्याकरण)|नपुंसक]] बहुवचन गणित ([[:hi:सिसरो|सिसरो]]) में वापस चला जाता है, जो ग्रीक बहुवचन ता गणितिका (τὰ μαθηματικά) पर आधारित है, जिसका उपयोग [[:hi:अरस्तु|अरस्तू]] (384-322 ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था, और इसका अर्थ मोटे तौर पर "सभी चीजें गणितीय" हैं, हालांकि यह प्रशंसनीय है कि अंग्रेजी ने केवल विशेषण गणित (अल) को उधार लिया और ''[[:hi:भौतिक शास्त्र|भौतिकी]]'' और ''[[:hi:तत्त्वमीमांसा|तत्वमीमांसा]]'' के पैटर्न के बाद संज्ञा गणित का गठन किया, जो ग्रीक से विरासत में मिला था।<ref>''[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', ''[[Oxford English Dictionary]]'', ''sub'' "mathematics", "mathematic", "mathematics"</ref> इसे अक्सर गणित या, उत्तरी अमेरिका में, गणित के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।<ref name="maths2">[http://oed.com/view/Entry/114982 "maths, ''n.''"] and [http://oed.com/view/Entry/114962 "math, ''n.3''"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200404201407/http://oed.com/view/Entry/114982|date=April 4, 2020}}. ''Oxford English Dictionary,'' on-line version (2012).</ref>
== गणित के क्षेत्र ==
== गणित के क्षेत्र ==
पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित {{emdash}} संख्याओं के हेरफेर के बारे में, और ज्यामिति {{emdash}} आकृतियों के अध्ययन के बारे में।कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे कि संख्या विज्ञान और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।
पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित {{emdash}} संख्याओं के हेरफेर के बारे में, और ज्यामिति {{emdash}} आकृतियों के अध्ययन के बारे में। कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे अंकशास्त्र और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।


पुनर्जागरण के दौरान, दो और क्षेत्र दिखाई दिए।गणितीय संकेतन ने बीजगणित किया, जो मोटे तौर पर बोलते हुए, अध्ययन और सूत्रों का हेरफेर होता है।कैलकुलस, दो सबफील्ड्स इन्फिनिटिमल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस से मिलकर, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग -अलग मात्रा (चर) के बीच आमतौर पर गैर -संबंध संबंधों को मॉडल करता है।यह विभाजन चार मुख्य क्षेत्रों में है {{emdash}} अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कैलकुलस{{Verification needed|date=April 2022|reason=is this the right set of 4 subfields?}} {{emdash}} 19 वीं शताब्दी के अंत तक समाप्त हो गया। खगोलीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब इसे भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित की भविष्यवाणी करते हैं और संभावना सिद्धांत और संयोजक के रूप में ऐसे क्षेत्रों में विभाजित होते हैं, जिन्हें बाद में केवल स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाता है।
पुनर्जागरण के दौरान दो और क्षेत्र सामने आए। गणितीय संकेतन ने बीजगणित की ओर अग्रसर किया, जो मोटे तौर पर, अध्ययन और सूत्रों के हेरफेर से बना है। कैलकुलस, दो उपक्षेत्रों इनफिनिटसिमल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस से मिलकर बना है, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग-अलग मात्राओं (चर) के बीच आम तौर पर गैर-रेखीय संबंधों को मॉडल करता है। चार मुख्य क्षेत्रों में यह विभाजन {{emdash}} अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कलन{{Verification needed|date=April 2022|reason=is this the right set of 4 subfields?}} {{emdash}} 19वीं शताब्दी के अंत तक बना रहा। आकाशीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब उन्हें भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित से पहले के हैं और ऐसे क्षेत्रों में विभाजित हैं जैसे कि संभाव्यता सिद्धांत और संयोजन, जो बाद में स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाने लगा।


19 वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और स्वयंसिद्ध विधि के परिणामस्वरूप व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ से कम प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने डिवीजन के अनुरूप हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नामों में ज्यामिति होती है या उन्हें आमतौर पर ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कैलकुलस प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों के रूप में दिखाई नहीं देते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20 वीं शताब्दी (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत; होमोलॉजिकल बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे थे या पहले गणित के रूप में नहीं माना जाता था, जैसे कि गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, कम्प्यूटिबिलिटी सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रूफ सहित सिद्धांत, और बीजगणितीय तर्क)।
19वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और परिणामी स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने विभाजन से मेल खाते हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नाम में "ज्यामिति" है या अन्यथा सामान्यतः ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कलन प्रथम-स्तर के क्षेत्रों के रूप में प्रकट नहीं होते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तर के क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20वीं शताब्दी के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत; होमोलॉजिकल बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) या पहले गणित के रूप में नहीं माना गया था, जैसे गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, संगणनीयता सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत और बीजगणितीय तर्क सहित)।


=== संख्या सिद्धांत ===
=== संख्या सिद्धांत ===
{{Main|Number theory}}
{{Main|Number theory}}
[[File:Spirale_Ulam_150.jpg|thumb|250x250px | यह उलम सर्पिल है, जो प्रमुख संख्याओं के वितरण को दर्शाता है।सर्पिल संकेत में अंधेरे विकर्ण रेखाएं प्राइम होने और एक द्विघात बहुपद का मूल्य होने के बीच अनुमानित स्वतंत्रता पर परिकल्पना की गई, एक अनुमान जिसे अब उलम सर्पिल#हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान के रूप में जाना जाता है। हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ।]]
[[File:Spirale_Ulam_150.jpg|thumb|250x250px | यह उलम सर्पिल है, जो प्रमुख संख्याओं के वितरण को दर्शाता है।सर्पिल संकेत में अंधेरे विकर्ण रेखाएं प्राइम होने और एक द्विघात बहुपद का मूल्य होने के बीच अनुमानित स्वतंत्रता पर परिकल्पना की गई, एक अनुमान जिसे अब उलम सर्पिल#हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान के रूप में जाना जाता है। हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ।]]
संख्या सिद्धांत संख्याओं के हेरफेर के साथ शुरू हुआ, यानी प्राकृतिक संख्या <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक तक विस्तारित किया गया <math>(\Z)</math> और तर्कसंगत संख्याएँ <math>(\Q).</math> पूर्व में, संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल यह शब्द ज्यादातर संख्यात्मक गणना के लिए उपयोग किया जाता है।
संख्या सिद्धांत संख्याओं के हेरफेर के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक <math>(\Z)</math> और परिमेय संख्या <math>(\Q).</math> तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।


कई आसानी से बताई गई संख्या की समस्याओं में ऐसे समाधान होते हैं जिनके लिए गणित से परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है।एक प्रमुख उदाहरण फर्माट का अंतिम प्रमेय है। फर्मेट का अंतिम प्रमेय।यह अनुमान 1637 में पियरे डी फर्मेट द्वारा कहा गया था, लेकिन यह फर्मेट के अंतिम प्रमेय का वाइल्स का प्रमाण था। केवल 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा साबित हुआ, जिन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, श्रेणी सिद्धांत और होमोलॉजिकल बीजगणित से योजना सिद्धांत सहित उपकरणों का उपयोग किया था।एक अन्य उदाहरण गोल्डबैक का अनुमान है, जो दावा करता है कि 2 से अधिक पूर्णांक भी दो प्रमुख संख्याओं का योग है।क्रिश्चियन गोल्डबैक द्वारा 1742 में कहा गया है, यह काफी प्रयास के बावजूद आज भी अप्रमाणित है।
कई आसानी से बताई गई संख्या की समस्याओं के समाधान होते हैं जिनके लिए गणित से परिष्कृत विधियों की आवश्यकता होती है। एक प्रमुख उदाहरण फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय है। यह अनुमान 1637 में पियरे डी फ़र्मेट द्वारा कहा गया था, लेकिन यह केवल 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा साबित हुआ था, जिन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, श्रेणी सिद्धांत और समरूप बीजगणित से योजना सिद्धांत सहित उपकरणों का उपयोग किया था। एक अन्य उदाहरण गोल्डबैक का अनुमान है, जिसमें दावा किया गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं का योग होता है। 1742 में क्रिश्चियन गोल्डबैक द्वारा कहा गया, यह काफी प्रयास के बावजूद आज तक अप्रमाणित है।


संख्या सिद्धांत में कई सबरियस शामिल हैं, जिनमें विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, संख्याओं की ज्यामिति (विधि उन्मुख), डायोफेंटाइन समीकरण और पारगमन सिद्धांत (समस्या उन्मुख) शामिल हैं।
संख्या सिद्धांत में विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, संख्याओं की ज्यामिति (विधि उन्मुख), डायोफैंटाइन समीकरण और पारगमन सिद्धांत (समस्या उन्मुख) सहित कई उपक्षेत्र शामिल हैं।


=== ज्यामिति ===
=== ज्यामिति ===

Revision as of 18:24, 8 September 2022

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