टॉर्शन टेंसर: Difference between revisions

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{{Short description|Manner of characterizing a twist or screw of a moving frame around a curve}}
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{{Other uses|आघूर्ण बल (बहुविकल्पी)|आघूर्ण बल क्षेत्र (बहुविकल्पी)}}
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[[File:Torsion along a geodesic.svg|right|thumb|जियोडेसिक के साथ आघूर्ण बल।]][[विभेदक ज्यामिति|अवकलन ज्यामिति]] में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक [[गतिमान]] [[तंत्र]] के मोड़ या [[पेंच]] सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। [[एक वक्र का आघूर्ण बल]], जैसा कि [[फ्रेनेट-सेरेट]] [[सूत्रों]] में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है(या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी ''आघूर्ण बल'' वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। [[वक्रता]] की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।
[[File:Torsion along a geodesic.svg|right|thumb|जियोडेसिक के साथ आघूर्ण बल।]][[विभेदक ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक [[गतिमान]] [[तंत्र]] के मोड़ या [[पेंच]] को चिह्नित करने का एक तरीका है। [[एक वक्र का आघूर्ण बल]], जैसा कि [[फ्रेनेट-सेरेट]] [[सूत्रों]] में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी ''आघूर्ण बल'' वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। [[वक्रता]] की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े एक वक्र के साथ बेल्लन हैं।


आम तौर पर अधिक, [[सजातीय संयोजन]](अर्थात, [[स्पर्शरेखा समूह]] में एक [[संयोजन]](सदिश समूह)) से सुसज्जित एक [[अलग-अलग बहुविध]] पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे [[स्पर्शरेखा समष्टि]] एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे [[समानांतर परिवहन]] करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक [[प्रदिश]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध [[सदिश मूल्यवान 2-विधि]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ [[अवकलनीय बहुविध]] पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र ''X'' और ''Y'' के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।
आम तौर पर अधिक, [[सजातीय संयोजन]] (अर्थात, [[स्पर्शरेखा समूह]] में एक [[संयोजन]]) से सुसज्जित एक [[अलग-अलग बहुविध]] पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे [[स्पर्शरेखा समष्टि]] एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे [[समानांतर परिवहन]] करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक [[प्रदिश]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध पर [[सदिश मूल्यवान 2-विधि]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ [[अवकलनीय बहुविध|अवकल बहुविध]] पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र ''X'' और ''Y'' के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया गया है।
:<math>T(X,Y) = \nabla_XY-\nabla_YX - [X,Y]</math>
:<math>T(X,Y) = \nabla_XY-\nabla_YX - [X,Y]</math>
जहां [X,Y] [[सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट]] है।
जहां [X,Y] [[सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट]] है।


[[अल्पान्तरी]] की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी  की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले सजातीय संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक अनूठा संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, तथा [[लेवी-सिविता संयोजन]] को अन्य, संभवतः गैर-मापीय स्थितियों(जैसे [[फिन्सलर ज्यामिति]]) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे [[विरूपण प्रदिश]] कहा जाता है। [[जी-संरचनाओं]] और [[कार्टन की तुल्यता पद्धति]] के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित [[प्रक्षेप्य संयोजन]] के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। [[सापेक्षता सिद्धांत]] में, इस तरह के विचारों को [[आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत]] के रूप में लागू किया गया है।
[[अल्पान्तरी]] की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी  की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले सजातीय संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक विशिष्ट संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, तथा [[लेवी-सिविता संयोजन]] को अन्य, संभवतः गैर-मापीय स्थितियों (जैसे [[फिन्सलर ज्यामिति]]) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे [[विरूपण प्रदिश]] कहा जाता है। [[जी-संरचनाओं]] और [[कार्टन की तुल्यता पद्धति]] के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित [[प्रक्षेप्य संयोजन]] के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। [[सापेक्षता सिद्धांत]] में, इस तरह के विचारों को [[आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत]] के रूप में लागू किया गया है।


== आघूर्ण बल प्रदिश ==
== आघूर्ण बल प्रदिश ==
M को [[स्पर्शरेखा समूह]](उर्फ [[सहसंयोजक व्युत्पन्न)]] ∇ पर एक [[स]][[जातीय संयोजन]] के साथ बहुविध होने दें। ∇ का 'आघूर्ण बल प्रदिश '(कभी-कभी कार्टन(आघूर्ण बल) प्रदिश कहा जाता है) सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित [[सदिश-मूल्यवान 2-रूप|सदिश-मूल्यवान 2-विधि]] है ,
M को [[स्पर्शरेखा समूह]] (उर्फ [[सहसंयोजक व्युत्पन्न)|सहसंयोजक अवकलज)]] ∇ पर एक [[स]][[जातीय संयोजन]] के साथ बहुविध होने दें। ∇ का 'आघूर्ण बल प्रदिश '(कभी-कभी कार्टन(आघूर्ण बल) प्रदिश भी कहा जाता है) सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित [[सदिश-मूल्यवान 2-रूप|सदिश-मूल्यवान 2-विधि]] है ,


:<math>T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]</math>
:<math>T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]</math>
जहाँ  {{nowrap|1=[''X'', ''Y'']}} दो सदिश क्षेत्रों का [[लाई कोष्ठक]] है। [[लीबनिज नियम]](सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी [[सहज]] [[सुचारू फलन|फलन]] f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) होता है। तो टी [[तन्यता]] है, [[संयोजक]](सदिश समूह) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर प्रचालक है, यह स्पर्शरेखा सदिशो पर 2-विधि देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल सदिश क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।
जहाँ  {{nowrap|1=[''X'', ''Y'']}} दो सदिश क्षेत्रों का [[लाई कोष्ठक]] है। [[लीबनिज नियम]] (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी [[सहज]] [[सुचारू फलन|फलन]] f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) होता है। तो टी [[तन्यता]] है, [[संयोजक]] के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर प्रचालक है, यह स्पर्शरेखा सदिशो पर 2-विधि देता है, जबकि सहसंयोजक अवकलज केवल सदिश क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।


=== आघूर्ण बल प्रदिश के घटक ===
=== आघूर्ण बल प्रदिश के घटक ===
स्पर्शरेखा समूह के [[वर्गों]] के स्थानीय [[आधार]] {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}} के संदर्भ में आघूर्ण बल प्रदिश <math> T^c{}_{ab} </math> के घटकों को  {{nowrap|1=''X'' = '''e'''<sub>''i''</sub>}} ,{{nowrap|1=''Y'' = '''e'''<sub>''j''</sub>}} कम्यूटेटर गुणांक {{nowrap|1=''γ<sup>k</sup><sub>ij</sub>'''''e'''<sub>''k''</sub> := ['''e'''<sub>''i''</sub>, '''e'''<sub>''j''</sub>]}} का परिचय देकर समायोजन करके प्राप्त किया जा सकता है। आघूर्ण बल के घटक तब हैं,
स्पर्शरेखा समूह के [[वर्गों]] के स्थानीय [[आधार]] {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}} के संदर्भ में आघूर्ण बल प्रदिश <math> T^c{}_{ab} </math> के घटक {{nowrap|1=''X'' = '''e'''<sub>''i''</sub>}} ,{{nowrap|1=''Y'' = '''e'''<sub>''j''</sub>}} समायोजन करके और कम्यूटेटर गुणांक {{nowrap|1=''γ<sup>k</sup><sub>ij</sub>'''''e'''<sub>''k''</sub> := ['''e'''<sub>''i''</sub>, '''e'''<sub>''j''</sub>]}} को प्रस्तुत करके प्राप्त किए जा सकते हैं। तब आघूर्ण बल के घटक हैं,


:<math> T^k{}_{ij} := \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>
:<math> T^k{}_{ij} := \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>
यहां <math>{\Gamma^k}_{ij}</math> संयोजन को परिभाषित करने वाले [[संयोजन गुणांक]] हैं। यदि आधार [[होलोनोमिक]] है तो लाई कोष्ठक गायब हो जाते हैं, <math>\gamma^k{}_{ij}=0</math>. इसलिए <math>T^k{}_{ij}=2\Gamma^k{}_{[ij]}</math>। विशेष रूप से(नीचे देखें), जबकि [[अल्पान्तरी संयोजन]] के सममित भाग को निर्धारित करता है, आघूर्ण बल प्रदिश प्रतिसममित भाग को निर्धारित करता है।
यहां <math>{\Gamma^k}_{ij}</math> संयोजन को परिभाषित करने वाले [[संयोजन गुणांक]] हैं। यदि आधार [[होलोनोमिक]]   <math>\gamma^k{}_{ij}=0</math> है तो लाई कोष्ठक गायब हो जाते हैं।  इसलिए <math>T^k{}_{ij}=2\Gamma^k{}_{[ij]}</math>। विशेष रूप से (नीचे देखें), जबकि [[अल्पान्तरी संयोजन]] के सममित भाग को निर्धारित करता है, आघूर्ण बल प्रदिश प्रतिसममित भाग को निर्धारित करता है।


=== आघूर्ण बल रूप ===
=== आघूर्ण बल रूप ===
आघूर्ण बल रूप, आघूर्ण बल का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, कई गुना ''एम'' के [[फ्रेम समूह]] एफ''एम''  पर लागू होता है। यह मुख्य समूह एक कनेक्शन(प्रिंसिपल समूह) ''ω'', a gl(''n'') से लैस है - वैल्यू वन-फॉर्म जो gl(''n' में सही एक्शन के जनरेटर के लिए वर्टिकल वैक्टर को मैप करता है। ') और F''M'' के स्पर्शरेखा समूह पर GL(''n'') की सही क्रिया को समान रूप से परस्पर जोड़ता है, जो कि gl(''n'') पर एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ है। फ्रेम बंडल में एक सोल्डर फॉर्म भी होता है। कैनोनिकल वन-फॉर्म θ, आर में मानों के साथ<sup>n</sup>, एक फ्रेम में परिभाषित {{nowrap|''u'' ∈ F<sub>x</sub>''M''}} (एक रैखिक कार्य के रूप में माना जाता है {{nowrap|''u'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → T<sub>x</sub>''M''}}) द्वारा
आघूर्ण बल रूप, आघूर्ण बल का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन है, जो कई गुना ''एम'' के [[फ्रेम समूह]] एफ''एम''  पर लागू होता है। यह मुख्य समूह एक संयोजन विधि ''ω'', a gl(''n'') एक मूल्यवान विधि से सुसज्जित है - जो लम्बवत सदिश को gl(''n) में सही क्रिया के जनित्र के लिए को मानचित्रित करता है, और F''M'' के स्पर्शरेखा समूह पर GL(''n'') की सही क्रिया को समान रूप से परस्पर जोड़ता है, जो कि gl(''n'') पर एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ है। फ्रेम समूह में एक विहित एक-रूप θ भी होता है। जिसका मान Rn में होता है, जिसे एक फ़्रेम u ∈ FxM पर परिभाषित किया जाता है <sup>n</sup>{{nowrap|''u'' ∈ F<sub>x</sub>''M''}} (एक रैखिक फलन के रूप में माना जाता है {{nowrap|''u'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → T<sub>x</sub>''M''}}) द्वारा
:<math>\theta(X) = u^{-1}(\pi_{*}(X))</math>
:<math>\theta(X) = u^{-1}(\pi_{*}(X))</math>
कहाँ पे {{nowrap|''π''  : F''M'' → ''M''}} प्रिंसिपल समूह के लिए प्रोजेक्शन मैपिंग है और {{nowrap|''π∗'' }} इसका पुश-फॉरवर्ड है। आघूर्ण बल रूप तब है
कहाँ पे {{nowrap|''π''  : F''M'' → ''M''}} प्रिंसिपल समूह के लिए प्रक्षेप मानचित्रण है और {{nowrap|''π∗'' }} इसका '''पुश-फॉरवर्ड''' है। आघूर्ण बल रूप तब है
:<math>\Theta = d\theta + \omega\wedge\theta.</math>
:<math>\Theta = d\theta + \omega\wedge\theta.</math>
समतुल्य रूप से, Θ = Dθ, जहां D संबंध द्वारा निर्धारित बाह्य सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है।
समतुल्य रूप से, Θ = Dθ, जहां D संबंध द्वारा निर्धारित [[बाह्य सहपरिवर्ती अवकलज]] है।


आघूर्ण बल रूप 'आर' में मूल्यों के साथ एक(क्षैतिज) तन्य रूप है<sup>n</sup>, जिसका अर्थ है कि की सही कार्रवाई के तहत {{nowrap|''g'' ∈ GL(''n'')}} यह समान रूप से रूपांतरित होता है:
आघूर्ण बल रूप 'R<sup>n</sup>' में मूल्यों के साथ एक(क्षैतिज) तन्य रूप है, जिसका अर्थ है कि {{nowrap|''g'' ∈ GL(''n'')}} की सही कार्रवाई के तहत यह समान रूप से रूपांतरित होता है,
:<math>R_g^*\Theta = g^{-1}\cdot\Theta</math>
:<math>R_g^*\Theta = g^{-1}\cdot\Theta</math>
जहां जी 'आर' पर अपने आसन्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से दाहिने हाथ की ओर कार्य करता है<sup>एन</sup>.
जहां जी 'R<sup>n</sup>' पर अपने आसन्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से दाहिने हाथ की ओर कार्य करता है।


==== एक फ्रेम में आघूर्ण बल रूप ====
==== एक फ्रेम में आघूर्ण बल रूप ====
{{See also|connection form}}
{{See also|संयोजन प्रपत्र}}
टेंगेंट समूह के एक विशेष फ्रेम में लिखे गए बेस मैनिफोल्ड एम पर एक कनेक्शन फॉर्म के रूप में टॉर्सन फॉर्म को व्यक्त किया जा सकता है {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}}. कनेक्शन प्रपत्र इन बुनियादी वर्गों के बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को व्यक्त करता है:
 
स्पर्शरेखा समूह {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}} के एक विशेष फ्रेम में लिखे गए आधार बहुविध M पर एक [[संयोजन प्रपत्र]] के रूप में आघूर्ण बल का रूप व्यक्त किया जा सकता है। संयोजन प्रपत्र इन बुनियादी वर्गों के बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को व्यक्त करता है,
:<math>D\mathbf{e}_i = \mathbf{e}_j {\omega^j}_i .</math>
:<math>D\mathbf{e}_i = \mathbf{e}_j {\omega^j}_i .</math>
स्पर्शरेखा समूह(इस फ्रेम के सापेक्ष) के लिए सोल्डर फॉर्म दोहरा आधार है {{nowrap|''θ<sup>i</sup>'' ∈ T<sup>∗</sup>''M''}} तुझ से<sub>''i''</sub>, ताकि {{nowrap|1=''θ<sup>i</sup>''('''e'''<sub>j</sub>) = ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>''}}(क्रोनेकर डेल्टा)। फिर आघूर्ण बल 2-रूप में घटक होते हैं
'''स्पर्शरेखा समूह (इस फ्रेम के सापेक्ष)''' के लिए [[सोल्डर फॉर्म e]]<sub>''i''</sub> का [[दोहरा आधार]] है {{nowrap|''θ<sup>i</sup>'' ∈ T<sup>∗</sup>''M''}} है, ताकि {{nowrap|1=''θ<sup>i</sup>''('''e'''<sub>j</sub>) = ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>''}}([[क्रोनेकर डेल्टा)]]। तब आघूर्ण बल 2-रूप में घटक होते हैं
:<math>\Theta^k = d\theta^k + {\omega^k}_j \wedge \theta^j = {T^k}_{ij} \theta^i \wedge \theta^j.</math>
:<math>\Theta^k = d\theta^k + {\omega^k}_j \wedge \theta^j = {T^k}_{ij} \theta^i \wedge \theta^j.</math>
सबसे सही अभिव्यक्ति में,
सबसे सही अभिव्यक्ति में,
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आघूर्ण बल प्रदिश के फ्रेम-घटक हैं, जैसा कि पिछली परिभाषा में दिया गया है।
आघूर्ण बल प्रदिश के फ्रेम-घटक हैं, जैसा कि पिछली परिभाषा में दिया गया है।


यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि Θ<sup>i</sup> अस्थायी रूप से इस अर्थ में रूपांतरित होता है कि यदि कोई भिन्न फ़्रेम है
यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि Θ<sup>i</sup> अस्थायी रूप से इस अर्थ में रूपांतरित होता है कि यदि कोई भिन्न फ़्रेम है, तब
:<math>\tilde{\mathbf{e}}_i = \mathbf{e}_j {g^j}_i</math>
:<math>\tilde{\mathbf{e}}_i = \mathbf{e}_j {g^j}_i</math>
कुछ उलटा मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए(जी<sup>जम्मू<sub>''i''</sub>), फिर
कुछ उलटा आव्यूह-मूल्यवान फलन के लिए(g<sup>j<sub>''i''</sub>), तब
:<math>\tilde{\Theta}^i = {\left(g^{-1}\right)^i}_j\Theta^j.</math>
 
दूसरे शब्दों में, Θ प्रकार का टेंसर है {{nowrap|(1, 2)}}(एक प्रतिपरिवर्ती और दो सहपरिवर्ती सूचकांकों वाला)।
<math>\tilde{\Theta}^i = {\left(g^{-1}\right)^i}_j\Theta^j</math>
 
दूसरे शब्दों में, Θ प्रकार {{nowrap|(1, 2)}} का प्रदिश है (एक प्रतिपरिवर्ती और दो सहपरिवर्ती सूचकांकों को वहन करता है)।


वैकल्पिक रूप से, सोल्डर फॉर्म को फ्रेम-स्वतंत्र फैशन में चित्रित किया जा सकता है क्योंकि एम पर टीएम-वैल्यू वन-फॉर्म θ द्वैत समरूपता के तहत स्पर्शरेखा समूह की पहचान एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप है। {{nowrap|1=End(T''M'') ≈ T''M'' ⊗ T<sup>∗</sup>''M''}}. फिर आघूर्ण बल 2-रूप एक खंड है
वैकल्पिक रूप से, सोल्डर फॉर्म को फ्रेम-स्वतंत्र आचरण  में चित्रित किया जा सकता है क्योंकि एम पर टीएम-वैल्यू वन-फॉर्म θ द्वैत समरूपता के तहत स्पर्शरेखा समूह की पहचान एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप है। {{nowrap|1=End(T''M'') ≈ T''M'' ⊗ T<sup>∗</sup>''M''}}. फिर आघूर्ण बल 2-रूप एक खंड है
:<math>\Theta\in\text{Hom}\left({\textstyle\bigwedge}^2 {\rm T}M, {\rm T}M\right)</math>
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Latest revision as of 17:49, 22 December 2022

For other uses, see आघूर्ण बल (द्विअर्थता निवारण) and आघूर्ण बल क्षेत्र (द्विअर्थता निवारण).
जियोडेसिक के साथ आघूर्ण बल।

अवकल ज्यामिति में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक गतिमान तंत्र के मोड़ या पेंच को चिह्नित करने का एक तरीका है। एक वक्र का आघूर्ण बल, जैसा कि फ्रेनेट-सेरेट सूत्रों में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी आघूर्ण बल वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। वक्रता की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े एक वक्र के साथ बेल्लन हैं।

आम तौर पर अधिक, सजातीय संयोजन (अर्थात, स्पर्शरेखा समूह में एक संयोजन) से सुसज्जित एक अलग-अलग बहुविध पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे समानांतर परिवहन करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक प्रदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध पर सदिश मूल्यवान 2-विधि के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ अवकल बहुविध पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र X और Y के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया गया है।

जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।

अल्पान्तरी की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले सजातीय संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक विशिष्ट संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, तथा लेवी-सिविता संयोजन को अन्य, संभवतः गैर-मापीय स्थितियों (जैसे फिन्सलर ज्यामिति) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे विरूपण प्रदिश कहा जाता है। जी-संरचनाओं और कार्टन की तुल्यता पद्धति के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित प्रक्षेप्य संयोजन के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। सापेक्षता सिद्धांत में, इस तरह के विचारों को आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत के रूप में लागू किया गया है।

आघूर्ण बल प्रदिश

M को स्पर्शरेखा समूह (उर्फ सहसंयोजक अवकलज) ∇ पर एक सजातीय संयोजन के साथ बहुविध होने दें। ∇ का 'आघूर्ण बल प्रदिश '(कभी-कभी कार्टन(आघूर्ण बल) प्रदिश भी कहा जाता है) सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित सदिश-मूल्यवान 2-विधि है ,

जहाँ [X, Y] दो सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सहज फलन f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) होता है। तो टी तन्यता है, संयोजक के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर प्रचालक है, यह स्पर्शरेखा सदिशो पर 2-विधि देता है, जबकि सहसंयोजक अवकलज केवल सदिश क्ष