लाई (lie) बीजगणित: Difference between revisions

Line 3:

गणित में, एक ~~झूठ~~ बीजगणित (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक सदिश स्थान है <math>\mathfrak g</math> एक साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] के साथ जिसे लाई ~~ब्रैकेट~~ कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय नक्शा <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का ~~झूठ~~ कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है <math>[x,y]</math>.{{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} ~~वेक्टर~~ स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह ~~ऑपरेशन~~ एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ ~~ब्रैकेट~~ आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।

गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक सदिश स्थान है <math>\mathfrak g</math> एक साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] के साथ जिसे लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय नक्शा <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान|जैकोबी समरूपता]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है <math>[x,y]</math>.{{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} सदिश स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।

~~झूठ~~ बीजगणित [[झूठ समूह]]ों से निकटता से संबंधित हैं, जो [[समूह (गणित)]] हैं जो [[~~चिकनी कई गुना~~]] भी हैं: कोई ~~झूठ~~ समूह ~~झूठ~~ बीजगणित को जन्म देता है, जो ~~पहचान~~ पर इसकी स्पर्शरेखा ~~जगह~~ है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह ~~झूठ समूह-झूठ बीजगणित~~ पत्राचार ~~एक को झूठ~~ बीजगणित के संदर्भ में ~~झूठ समूहों के सरल झूठ~~ समूहों की संरचना और ~~सूची~~ का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

लाई बीजगणित [[Index.php?title=झूठ समूहों|लाई समूह]] से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे [[समूह (गणित)]] हैं जो [[Index.php?title=चिकने विविध|चिकने विविध]] भी हैं: कोई लाई समूह लाई बीजगणित को जन्म देता है, जो समरूपता पर इसकी स्पर्शरेखा स्थान है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

भौतिक विज्ञान में, ~~झूठ~~ समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके ~~झूठ~~ बीजगणित (~~पहचान~~ के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार ~~अलजेब्रा~~ और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।

भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (समरूपता के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी ~~वैक्टर~~ का स्थान है <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित ~~ब्रैकेट ऑपरेशन~~ के साथ <math>[x,y]=x\times y.</math> यह तिरछा-सममित है <math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के ~~बजाय~~ यह जैकोबी ~~पहचान~~ को संतुष्ट करता है:

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश का स्थान है <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ <math>[x,y]=x\times y.</math> यह तिरछा-सममित है <math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है:

:<math> x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\ y\times(x\times z). </math>

यह ~~3डी रोटेशन समूह~~ के लाई समूह ~~और प्रत्येक सदिश~~ का लाई बीजगणित है <math>v\in\R^3</math> अक्ष के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है <math>v</math>, के परिमाण के बराबर वेग के ~~साथ <math>v</math>.~~ लाइ ~~ब्रैकेट~~ दो घुमावों के बीच गैर-~~कम्यूटेटिविटी~~ का एक उपाय है: ~~चूंकि~~ एक ~~रोटेशन स्वयं के~~ साथ ~~आता~~ है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति है <math>[x,x]=x\times x = 0</math>.

यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश <math>v\in\R^3</math> को अक्ष <math>v</math> के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, <math>v</math> के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक उपाय है: चूँकि एक घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति <math>[x,x]=x\times x = 0</math> है.

== इतिहास ==

1870 के दशक में [[सोफस झूठ]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित की शुरुआत की गई थी,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से [[विल्हेम हत्या]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref> ~~1880 के दशक में।~~ लाई बीजगणित नाम 1930 के दशक में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; पुराने ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।

1870 के दशक में [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित की शुरुआत की गई थी,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से 1880 के दशक में [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref>। लाई बीजगणित नाम 1930 के दशक में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; पुराने ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।

== परिभाषाएँ ==

=== एक ~~झूठ~~ बीजगणित की परिभाषा ===

=== एक लाई बीजगणित की परिभाषा ===

~~झूठ~~ बीजगणित एक सदिश समष्टि है <math>\,\mathfrak{g}</math> किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक बाइनरी ~~ऑपरेशन~~ के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ ~~ब्रैकेट~~ कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}

लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि है <math>\,\mathfrak{g}</math> किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक बाइनरी संक्रिया के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}

* [[बिलिनियर ऑपरेटर]],

* [[बिलिनियर ऑपरेटर|द्विरेखीयता ऑपरेटर]],

::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], </math>

::<math> [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>

Line 29:

:सभी के लिए <math>x</math> में <math>\mathfrak{g}</math>.

* जैकोबी ~~पहचान~~,

* जैकोबी समरूपता,

:: <math> [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \ </math>

:सभी के लिए <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>में <math>\mathfrak{g}</math>.

लाई ~~ब्रैकेट का विस्तार करने के लिए बिलिनियरिटी का उपयोग करना~~ <math> [x+y,x+y] </math> और वैकल्पिकता का उपयोग ~~करने से पता चलता~~ है <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>, ~~दिखा रहा~~ है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता एक साथ का अर्थ है

लाई कोष्ठक <math> [x+y,x+y] </math> का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है

* [[एंटीकम्यूटेटिविटी]],

:: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> : सभी तत्वों के लिए <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>. यदि क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो एंटीकोम्यूटेटिविटी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य है <math>[x,x]=-[x,x].</math><ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1}}</ref>

लाई ~~अलजेब्रा~~ को लोवर-केस फ़्रेक्टुर लेटर जैसे कि निरूपित करने की प्रथा है <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math>. यदि एक ~~झूठ~~ बीजगणित एक ~~झूठ~~ समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का ~~झूठा~~ बीजगणित | एसयू (एन) है <math>\mathfrak{su}(n)</math>.

लाई बीजगणित को लोवर-केस फ़्रेक्टुर लेटर जैसे कि निरूपित करने की प्रथा है <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math>. यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का लाईा बीजगणित | एसयू (एन) है <math>\mathfrak{su}(n)</math>.

=== जनरेटर और आयाम ===

~~झूठ~~ बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे जेनरेटर (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{g}</math> अपने आप। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम है<math>F</math>. ~~झूठ~~ बीजगणित के न्यूनतम जनरेटिंग सेट की कार्डिनैलिटी हमेशा इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।

लाई बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे जेनरेटर (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{g}</math> अपने आप। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम है<math>F</math>. लाई बीजगणित के न्यूनतम जनरेटिंग सेट की कार्डिनैलिटी हमेशा इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।

अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक ~~झूठ~~ बीजगणित का वर्गीकरण देखें।

अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण देखें।

=== Subalgebras, आदर्शों और समरूपता ===

लाइ ~~ब्रैकेट~~ को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है <math>[[x,y],z]</math> बराबर नहीं चाहिए <math>[x,[y,z]]</math>. हालाँकि, यह [[लचीला बीजगणित]] है। बहरहाल, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली आमतौर पर ~~झूठ~~ बीजगणित पर लागू होती है। एक लेट सबलजेब्रा एक सबस्पेस है <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> जो लाई ~~ब्रैकेट~~ के नीचे बंद है। एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक सबलजेब्रा है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>

लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है <math>[[x,y],z]</math> बराबर नहीं चाहिए <math>[x,[y,z]]</math>. हालाँकि, यह [[लचीला बीजगणित]] है। बहरहाल, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली आमतौर पर लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लेट सबलजेब्रा एक सबस्पेस है <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> जो लाई कोष्ठक के नीचे बंद है। एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक सबलजेब्रा है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>

:<math>[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.</math>

एक लाई बीजगणित समरूपता एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई ~~ब्रैकेट~~ के साथ संगत है:

एक लाई बीजगणित समरूपता एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:

:<math> \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\

x,y \in \mathfrak g. </math>

साहचर्य छल्लों के लिए, आदर्श समरूपता के कर्नेल_ (बीजगणित) हैं; एक ~~झूठ~~ बीजगणित दिया <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> इसमें, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित का निर्माण करता है <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math>, और पहली तुल्याकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।

साहचर्य छल्लों के लिए, आदर्श समरूपता के कर्नेल_ (बीजगणित) हैं; एक लाई बीजगणित दिया <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> इसमें, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित का निर्माण करता है <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math>, और पहली तुल्याकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।

चूँकि लाई ~~ब्रैकेट~~ संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> अगर उनका ~~ब्रैकेट~~ गायब हो जाता है तो कम्यूट करें: <math>[x,y]=0</math>.

चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> अगर उनका कोष्ठक गायब हो जाता है तो कम्यूट करें: <math>[x,y]=0</math>.

एक उपसमुच्चय का [[केंद्रक]] सबलजेब्रा <math>S\subset \mathfrak{g}</math> के साथ आने वाले तत्वों का सेट है<math>S</math>: वह है, <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}</math>. का केंद्रक <math>\mathfrak{g}</math> स्वयं केंद्र है <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math>. इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक सबलजेब्रा का<math>S</math>है <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}</math>.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref> समान रूप से, अगर <math>S</math> एक लेट सबलजेब्रा है, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> सबसे बड़ा सबलजेब्रा ऐसा है <math>S</math> का आदर्श है <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>.

Line 79:

\end{bmatrix}

\end{align}</math~~></blockquote~~>दिखाता है <math>\mathfrak{d}(2)</math> एक सबलजेब्रा है, लेकिन एक आदर्श नहीं है। वास्तव में, ~~झूठ~~ बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो आम तौर पर आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।

\end{align}</math>दिखाता है <math>\mathfrak{d}(2)</math> एक सबलजेब्रा है, लेकिन एक आदर्श नहीं है। वास्तव में, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो आम तौर पर आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।

=== प्रत्यक्ष योग और अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद ===

दो ~~झूठ~~ बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g^{}}</math> तथा <math>\mathfrak{g'}</math>, मॉड्यूल का उनका सीधा योग बीजगणित सदिश स्थान है <math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>सभी जोड़ों से मिलकर <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}</math>, ~~ऑपरेशन~~ के साथ

दो लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g^{}}</math> तथा <math>\mathfrak{g'}</math>, मॉड्यूल का उनका सीधा योग बीजगणित सदिश स्थान है <math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>सभी जोड़ों से मिलकर <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}</math>, संक्रिया के साथ

:<math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),</math>

ताकि की प्रतियां <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> एक दूसरे के साथ यात्रा करें: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> होने देना <math>\mathfrak{g}</math> एक ~~झूठ~~ बीजगणित हो और <math>\mathfrak{i}</math> का एक आदर्श <math>\mathfrak{g}</math>. यदि विहित नक्शा <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (यानी, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. लाई ~~अलजेब्रा~~ एक्सटेंशन#बाई सेमीडायरेक्ट योग भी देखें।

ताकि की प्रतियां <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> एक दूसरे के साथ यात्रा करें: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> होने देना <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित हो और <math>\mathfrak{i}</math> का एक आदर्श <math>\mathfrak{g}</math>. यदि विहित नक्शा <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (यानी, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. लाई बीजगणित एक्सटेंशन#बाई सेमीडायरेक्ट योग भी देखें।

लेवी के प्रमेय का कहना है कि एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित इसके मूल और पूरक सबलजेब्रा ([[लेफ्ट सबलजेब्रा]]) का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।

=== व्युत्पत्ति ===

~~झूठ~~ बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)। <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय नक्शा है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,

लाई बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)। <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय नक्शा है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,

:<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>

सभी के लिए <math>x,y\in\mathfrak g</math>. किसी से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>x\in\mathfrak g</math> आसन्न मानचित्रण है <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. (यह जैकोबी ~~पहचान~~ के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो ~~झूठ~~ बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।

सभी के लिए <math>x,y\in\mathfrak g</math>. किसी से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>x\in\mathfrak g</math> आसन्न मानचित्रण है <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. (यह जैकोबी समरूपता के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।

व्युत्पन्न एक सदिश स्थान बनाते हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि लाई सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; ~~ब्रैकेट~~ कम्यूटेटर है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ एक ले सबलजेब्रा का निर्माण करती हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>.

व्युत्पन्न एक सदिश स्थान बनाते हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि लाई सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक कम्यूटेटर है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ एक ले सबलजेब्रा का निर्माण करती हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>.

==== उदाहरण ====

उदाहरण के लिए, एक ~~झूठ~~ बीजगणित आदर्श दिया <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>. ~~झूठ~~ बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श है <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (जहां केवल गैर-शून्य तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के कम्यूटेटर में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है<math>\begin{align}

उदाहरण के लिए, एक लाई बीजगणित आदर्श दिया <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>. लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श है <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (जहां केवल गैर-शून्य तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के कम्यूटेटर में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है<math>\begin{align}

\left[

\begin{bmatrix}

Line 123:

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

\end{align}</math~~></blockquote~~>दिखाता है कि वहाँ से बाहरी व्युत्पत्तियाँ मौजूद हैं <math>\mathfrak{b}_3</math> में <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math>.

\end{align}</math>दिखाता है कि वहाँ से बाहरी व्युत्पत्तियाँ मौजूद हैं <math>\mathfrak{b}_3</math> में <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math>.

=== भाजित लाई बीजगणित ===

मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लेट सबलजेब्रा। फिर <math>\mathfrak{g}</math> कहा जाता है कि अगर सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें विभाजित हो जाती हैं <math>\mathfrak{g}</math> आधार क्षेत्र F में हैं।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी ~~झूठ~~ बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन सबलजेब्रा है जिसकी छवि [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के नीचे है <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल ~~झूठ~~ बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (cf. #Real रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक ~~झूठ~~ बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए स्प्लिट लाई बीजगणित भी देखें।

मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लेट सबलजेब्रा। फिर <math>\mathfrak{g}</math> कहा जाता है कि अगर सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें विभाजित हो जाती हैं <math>\mathfrak{g}</math> आधार क्षेत्र F में हैं।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन सबलजेब्रा है जिसकी छवि [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के नीचे है <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित|विभाजित लाई बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (cf. #Real रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए स्प्लिट लाई बीजगणित भी देखें।

=== [[वेक्टर अंतरिक्ष आधार]] ===

=== [[वेक्टर अंतरिक्ष आधार|सदिश अंतरिक्ष आधार]] ===

व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना अक्सर सुविधाजनक होता है। इस आधार के लिए एक सामान्य निर्माण लेख [[संरचना स्थिर]]ांक में स्केच किया गया है।

=== श्रेणी-सैद्धांतिक संकेतन === का उपयोग करते हुए परिभाषा

हालांकि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में ~~झूठ~~ बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)

हालांकि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी|सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)

~~झूठ~~ बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद # टेंसर शक्तियां और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|A}} एक सदिश स्थान है, इंटरचेंज आइसोमोर्फिज्म <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

लाई बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद # टेंसर शक्तियां और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|A}} एक सदिश स्थान है, इंटरचेंज आइसोमोर्फिज्म <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>\tau(x\otimes y)= y\otimes x.</math>

चक्रीय-क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग <math>\sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A </math> की तरह परिभाषित किया गया है

:<math>\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),</math>

कहाँ पे <math>\mathrm{id}</math> ~~पहचान~~ रूपवाद है।

कहाँ पे <math>\mathrm{id}</math> समरूपता रूपवाद है।

समान रूप से, <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.</math>

इस अंकन के साथ, एक ~~झूठ~~ बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A</math> आकृतिवाद के साथ ~~वेक्टर~~ रिक्त स्थान की श्रेणी में

इस अंकन के साथ, एक लाई बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A</math> आकृतिवाद के साथ सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में

:<math>[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A</math> जो दो रूपवाद समानता को संतुष्ट करता है

:<math>[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,</math>

Line 151:

== उदाहरण ==

=== ~~वेक्टर~~ रिक्त स्थान ===

=== सदिश रिक्त स्थान ===

कोई ~~वेक्टर~~ स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई ~~ब्रैकेट~~ के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे ~~झूठ~~ बीजगणित को एबेलियन ~~झूठ~~ बीजगणित कहा जाता है, सीएफ। नीचे। किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी ~~झूठ~~ बीजगणित ~~झूठ ब्रैकेट~~ की वैकल्पिक संपत्ति द्वारा एबेलियन है।

कोई सदिश स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है, सीएफ। नीचे। किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक संपत्ति द्वारा एबेलियन है।

=== कम्यूटेटर ~~ब्रैकेट~~ के साथ साहचर्य बीजगणित ===

=== कम्यूटेटर कोष्ठक के साथ साहचर्य बीजगणित ===

* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ ~~ब्रैकेट~~ को कम्यूटेटर # रिंग सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>. इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> ~~झूठ~~ बीजगणित है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित ए को लाई बीजगणित का एक लिफाफा बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>. हर ~~झूठ~~ बीजगणित को एक में एम्बेड किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित]] देखें।

* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ कोष्ठक को कम्यूटेटर # रिंग सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>. इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> लाई बीजगणित है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित ए को लाई बीजगणित का एक लिफाफा बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>. हर लाई बीजगणित को एक में एम्बेड किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित]] देखें।

* एफ-~~वेक्टर~~ स्पेस का [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] <math>V</math> उपरोक्त लेट ~~ब्रैकेट~~ के साथ निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.

* एफ-सदिश स्पेस का [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] <math>V</math> उपरोक्त लेट कोष्ठक के साथ निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.

* परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और ~~ब्रैकेट~~ के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता मैट्रिक्स गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का ~~झूठा~~ बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह शामिल हैं।

* परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और कोष्ठक के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता मैट्रिक्स गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का लाईा बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह शामिल हैं।

=== विशेष मैट्रिक्स ===

Line 164:

* [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित बनाते हैं <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math>, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>.<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>

* तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस एकात्मक लाई बीजगणित बनाते हैं <math>\mathfrak u(n)</math>, [[एकात्मक समूह]] U(n) का ~~झूठा~~ बीजगणित।

* तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस एकात्मक लाई बीजगणित बनाते हैं <math>\mathfrak u(n)</math>, [[ए�

Anonymous

Search

लाई (lie) बीजगणित: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

@@ Line 3: / Line 3: @@
 {{Lie groups}}
 {{Ring theory sidebar}}
-गणित में, एक झूठ बीजगणित (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक सदिश स्थान है <math>\mathfrak g</math> एक साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] के साथ जिसे लाई ब्रैकेट कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय नक्शा <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का झूठ कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है <math>[x,y]</math>.{{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} वेक्टर स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह ऑपरेशन एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ ब्रैकेट आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।
+गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक सदिश स्थान है <math>\mathfrak g</math> एक साथ एक [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] के साथ जिसे लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय नक्शा <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g</math>, जो [[जैकोबी पहचान|जैकोबी समरूपता]] को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक <math>x</math> तथा <math>y</math> निरूपित किया जाता है <math>[x,y]</math>.{{efn|The brackets {{math|[,]}} represent bilinear operation <math>\times</math>; often, it is the [[commutator]]: <math>[x,y] =x y - yx</math>, for an associative product on the same vector space. But not necessarily!}} सदिश स्थान <math>\mathfrak g</math> और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।
-झूठ बीजगणित [[झूठ समूह]]ों से निकटता से संबंधित हैं, जो [[समूह (गणित)]] हैं जो [[चिकनी कई गुना]] भी हैं: कोई झूठ समूह झूठ बीजगणित को जन्म देता है, जो पहचान पर इसकी स्पर्शरेखा जगह है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह झूठ समूह-झूठ बीजगणित पत्राचार एक को झूठ बीजगणित के संदर्भ में झूठ समूहों के सरल झूठ समूहों की संरचना और सूची का अध्ययन करने की अनुमति देता है।
+लाई बीजगणित [[Index.php?title=झूठ समूहों|लाई समूह]] से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे [[समूह (गणित)]] हैं जो [[Index.php?title=चिकने विविध|चिकने विविध]] भी हैं: कोई लाई समूह लाई बीजगणित को जन्म देता है, जो समरूपता पर इसकी स्पर्शरेखा स्थान है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित स्थान]] लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।
-भौतिक विज्ञान में, झूठ समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके झूठ बीजगणित (पहचान के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार अलजेब्रा और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।
+भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (समरूपता के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]] और कण भौतिकी में।
-एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी वैक्टर का स्थान है <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित ब्रैकेट ऑपरेशन के साथ <math>[x,y]=x\times y.</math> यह तिरछा-सममित है <math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के बजाय यह जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है:
+एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश का स्थान है <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ <math>[x,y]=x\times y.</math> यह तिरछा-सममित है <math>x\times y = -y\times x</math>, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है:
 :<math> x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\  y\times(x\times z). </math>
-यह 3डी रोटेशन समूह के लाई समूह और प्रत्येक सदिश का लाई बीजगणित है <math>v\in\R^3</math> अक्ष के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है <math>v</math>, के परिमाण के बराबर वेग के साथ <math>v</math>. लाइ ब्रैकेट दो घुमावों के बीच गैर-कम्यूटेटिविटी का एक उपाय है: चूंकि एक रोटेशन स्वयं के साथ आता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति है <math>[x,x]=x\times x = 0</math>.
+यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश <math>v\in\R^3</math> को अक्ष <math>v</math> के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, <math>v</math> के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक उपाय है: चूँकि एक घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति  <math>[x,x]=x\times x = 0</math> है.
 == इतिहास ==
-के दशक में [[सोफस झूठ]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित की शुरुआत की गई थी,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से [[विल्हेम हत्या]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref> 1880 के दशक में। लाई बीजगणित नाम 1930 के दशक में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; पुराने ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।
+के दशक में [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित की शुरुआत की गई थी,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> और स्वतंत्र रूप से 1880 के दशक में [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] द्वारा खोजा गया<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref>। लाई बीजगणित नाम 1930 के दशक में [[हरमन वेइल]] द्वारा दिया गया था; पुराने ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।
 == परिभाषाएँ ==
-=== एक झूठ बीजगणित की परिभाषा ===
+=== एक लाई बीजगणित की परिभाषा ===
-झूठ बीजगणित एक सदिश समष्टि है <math>\,\mathfrak{g}</math> किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ ब्रैकेट कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}
+लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि है <math>\,\mathfrak{g}</math> किसी क्षेत्र में (गणित) <math>F</math> एक साथ एक बाइनरी संक्रिया के साथ <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Section 2.}} allows more generally for a [[Module (mathematics)|module]] over a [[commutative ring]]; in this article, this is called a [[#Lie ring|Lie ring]].}}
-* [[बिलिनियर ऑपरेटर]],
+* [[बिलिनियर ऑपरेटर|द्विरेखीयता ऑपरेटर]],
 ::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], </math>
 ::<math> [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>
@@ Line 29: / Line 29: @@
 :सभी के लिए <math>x</math> में <math>\mathfrak{g}</math>.
-* जैकोबी पहचान,
+* जैकोबी समरूपता,
 :: <math> [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]]  = 0 \ </math>
 :सभी के लिए <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>में <math>\mathfrak{g}</math>.
-लाई ब्रैकेट का विस्तार करने के लिए बिलिनियरिटी का उपयोग करना <math> [x+y,x+y] </math> और वैकल्पिकता का उपयोग करने से पता चलता है <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए  <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>, दिखा रहा है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता एक साथ का अर्थ है
+लाई कोष्ठक  <math> [x+y,x+y] </math> का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि <math> [x,y] + [y,x]=0\ </math> सभी तत्वों के लिए  <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है
 * [[एंटीकम्यूटेटिविटी]],
 :: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> : सभी तत्वों के लिए  <math>x</math>,<math>y</math>में <math>\mathfrak{g}</math>. यदि क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो एंटीकोम्यूटेटिविटी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य है <math>[x,x]=-[x,x].</math><ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1}}</ref>
-लाई अलजेब्रा को लोवर-केस फ़्रेक्टुर लेटर जैसे कि निरूपित करने की प्रथा है <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math>. यदि एक झूठ बीजगणित एक झूठ समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का झूठा बीजगणित | एसयू (एन) है <math>\mathfrak{su}(n)</math>.
+लाई बीजगणित को लोवर-केस फ़्रेक्टुर लेटर जैसे कि निरूपित करने की प्रथा है <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math>. यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का लाईा बीजगणित | एसयू (एन) है <math>\mathfrak{su}(n)</math>.
 === जनरेटर और आयाम ===
-झूठ बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे जेनरेटर (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{g}</math> अपने आप। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम है<math>F</math>. झूठ बीजगणित के न्यूनतम जनरेटिंग सेट की कार्डिनैलिटी हमेशा इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।
+लाई बीजगणित के तत्व <math>\mathfrak{g}</math> इसे जेनरेटर (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{g}</math> अपने आप। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम है<math>F</math>. लाई बीजगणित के न्यूनतम जनरेटिंग सेट की कार्डिनैलिटी हमेशा इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।
-अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक झूठ बीजगणित का वर्गीकरण देखें।
+अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण देखें।
 === Subalgebras, आदर्शों और समरूपता ===
-लाइ ब्रैकेट को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है <math>[[x,y],z]</math> बराबर नहीं चाहिए <math>[x,[y,z]]</math>. हालाँकि, यह [[लचीला बीजगणित]] है। बहरहाल, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली आमतौर पर झूठ बीजगणित पर लागू होती है। एक लेट सबलजेब्रा एक सबस्पेस है <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> जो लाई ब्रैकेट के नीचे बंद है। एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक सबलजेब्रा है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>
+लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है <math>[[x,y],z]</math> बराबर नहीं चाहिए <math>[x,[y,z]]</math>. हालाँकि, यह [[लचीला बीजगणित]] है। बहरहाल, साहचर्य वलय (गणित) और [[साहचर्य बीजगणित]] की अधिकांश शब्दावली आमतौर पर लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लेट सबलजेब्रा एक सबस्पेस है <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> जो लाई कोष्ठक के नीचे बंद है। एक आदर्श <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक सबलजेब्रा है:<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref>
 :<math>[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.</math>
-एक लाई बीजगणित समरूपता एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई ब्रैकेट के साथ संगत है:
+एक लाई बीजगणित समरूपता एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:
 :<math> \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\
 x,y \in \mathfrak g. </math>
-साहचर्य छल्लों के लिए, आदर्श समरूपता के कर्नेल_ (बीजगणित) हैं; एक झूठ बीजगणित दिया <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> इसमें, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित का निर्माण करता है <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math>, और पहली तुल्याकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।
+साहचर्य छल्लों के लिए, आदर्श समरूपता के कर्नेल_ (बीजगणित) हैं; एक लाई बीजगणित दिया <math>\mathfrak{g}</math> और एक आदर्श <math>\mathfrak i</math> इसमें, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित का निर्माण करता है <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math>, और पहली तुल्याकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।
-चूँकि लाई ब्रैकेट संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> अगर उनका ब्रैकेट गायब हो जाता है तो कम्यूट करें: <math>[x,y]=0</math>.
+चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म [[कम्यूटेटर]] है, हम कहते हैं कि दो तत्व <math>x,y\in\mathfrak g</math> अगर उनका कोष्ठक गायब हो जाता है तो कम्यूट करें: <math>[x,y]=0</math>.
 एक उपसमुच्चय का [[केंद्रक]] सबलजेब्रा <math>S\subset \mathfrak{g}</math> के साथ आने वाले तत्वों का सेट है<math>S</math>: वह है, <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}</math>. का केंद्रक <math>\mathfrak{g}</math> स्वयं केंद्र है  <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math>. इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक सबलजेब्रा का<math>S</math>है <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}</math>.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref> समान रूप से, अगर <math>S</math> एक लेट सबलजेब्रा है, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> सबसे बड़ा सबलजेब्रा ऐसा है <math>S</math> का आदर्श है <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>.
@@ Line 79: / Line 79: @@
 \end{bmatrix}
-\end{align}</math></blockquote>दिखाता है <math>\mathfrak{d}(2)</math> एक सबलजेब्रा है, लेकिन एक आदर्श नहीं है। वास्तव में, झूठ बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो आम तौर पर आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।
+\end{align}</math>दिखाता है <math>\mathfrak{d}(2)</math> एक सबलजेब्रा है, लेकिन एक आदर्श नहीं है। वास्तव में, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो आम तौर पर आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।
 === प्रत्यक्ष योग और अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद ===
-दो झूठ बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g^{}}</math> तथा <math>\mathfrak{g'}</math>, मॉड्यूल का उनका सीधा योग बीजगणित सदिश स्थान है <math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>सभी जोड़ों से मिलकर <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}</math>, ऑपरेशन के साथ
+दो लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g^{}}</math> तथा <math>\mathfrak{g'}</math>, मॉड्यूल का उनका सीधा योग बीजगणित सदिश स्थान है <math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>सभी जोड़ों से मिलकर <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}</math>, संक्रिया के साथ
 :<math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),</math>
-ताकि की प्रतियां <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> एक दूसरे के साथ यात्रा करें: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> होने देना <math>\mathfrak{g}</math> एक झूठ बीजगणित हो और <math>\mathfrak{i}</math> का एक आदर्श <math>\mathfrak{g}</math>. यदि विहित नक्शा <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (यानी, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. लाई अलजेब्रा एक्सटेंशन#बाई सेमीडायरेक्ट योग भी देखें।
+ताकि की प्रतियां <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> एक दूसरे के साथ यात्रा करें: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> होने देना <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित हो और <math>\mathfrak{i}</math> का एक आदर्श <math>\mathfrak{g}</math>. यदि विहित नक्शा <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> विभाजित करता है (यानी, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर <math>\mathfrak{g}</math> का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है <math>\mathfrak{i}</math> तथा <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. लाई बीजगणित एक्सटेंशन#बाई सेमीडायरेक्ट योग भी देखें।
 लेवी के प्रमेय का कहना है कि एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित इसके मूल और पूरक सबलजेब्रा ([[लेफ्ट सबलजेब्रा]]) का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 === व्युत्पत्ति ===
-झूठ बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)। <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय नक्शा है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,
+लाई बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)। <math>\mathfrak{g}</math> (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय नक्शा है <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> जो [[जनरल लीबनिज नियम]] का पालन करता है, अर्थात,
 :<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>
-सभी के लिए <math>x,y\in\mathfrak g</math>. किसी से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>x\in\mathfrak g</math> आसन्न मानचित्रण है <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. (यह जैकोबी पहचान के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो झूठ बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।
+सभी के लिए <math>x,y\in\mathfrak g</math>. किसी से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति <math>x\in\mathfrak g</math> आसन्न मानचित्रण है <math>\mathrm{ad}_x</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. (यह जैकोबी समरूपता के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि <math>\mathfrak{g}</math> [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।
-व्युत्पन्न एक सदिश स्थान बनाते हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि लाई सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; ब्रैकेट कम्यूटेटर है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ एक ले सबलजेब्रा का निर्माण करती हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>.
+व्युत्पन्न एक सदिश स्थान बनाते हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, जो कि लाई सबलजेब्रा है <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; कोष्ठक कम्यूटेटर है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ एक ले सबलजेब्रा का निर्माण करती हैं <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>.
 ==== उदाहरण ====
-उदाहरण के लिए, एक झूठ बीजगणित आदर्श दिया <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>. झूठ बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श है <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (जहां केवल गैर-शून्य तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के कम्यूटेटर में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है<math>\begin{align}
+उदाहरण के लिए, एक लाई बीजगणित आदर्श दिया <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> आसन्न प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> का <math>\mathfrak{g}</math> पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है <math>\mathfrak{i}</math> जबसे <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> किसी के लिए <math>x \in \mathfrak{g}</math> तथा <math>i \in \mathfrak{i}</math>. लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{b}_n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस में <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, इसका एक आदर्श है <math>\mathfrak{n}_n</math> सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (जहां केवल गैर-शून्य तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के कम्यूटेटर में <math>\mathfrak{b}_3</math> तथा <math>\mathfrak{n}_3</math> देता है<math>\begin{align}
 \left[
 \begin{bmatrix}
@@ Line 123: / Line 123: @@
 & 0 & 0
 \end{bmatrix}
-\end{align}</math></blockquote>दिखाता है कि वहाँ से बाहरी व्युत्पत्तियाँ मौजूद हैं <math>\mathfrak{b}_3</math> में <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math>.
+\end{align}</math>दिखाता है कि वहाँ से बाहरी व्युत्पत्तियाँ मौजूद हैं <math>\mathfrak{b}_3</math> में <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math>.
 === भाजित लाई बीजगणित ===
-मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लेट सबलजेब्रा। फिर <math>\mathfrak{g}</math> कहा जाता है कि अगर सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें विभाजित हो जाती हैं <math>\mathfrak{g}</math> आधार क्षेत्र F में हैं।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी झूठ बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन सबलजेब्रा है जिसकी छवि [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के नीचे है <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल झूठ बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (cf. #Real रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक झूठ बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए स्प्लिट लाई बीजगणित भी देखें।
+मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन का लाइ बीजगणित और <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> एक लेट सबलजेब्रा। फिर <math>\mathfrak{g}</math> कहा जाता है कि अगर सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें विभाजित हो जाती हैं <math>\mathfrak{g}</math> आधार क्षेत्र F में हैं।<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन सबलजेब्रा है जिसकी छवि [[संलग्न प्रतिनिधित्व]] के नीचे है <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> एक [[विभाजित झूठ बीजगणित|विभाजित लाई बीजगणित]] है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (cf. #Real रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए स्प्लिट लाई बीजगणित भी देखें।
-=== [[वेक्टर अंतरिक्ष आधार]] ===
+=== [[वेक्टर अंतरिक्ष आधार|सदिश अंतरिक्ष आधार]] ===
 व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना अक्सर सुविधाजनक होता है। इस आधार के लिए एक सामान्य निर्माण लेख [[संरचना स्थिर]]ांक में स्केच किया गया है।
 === श्रेणी-सैद्धांतिक संकेतन === का उपयोग करते हुए परिभाषा
-हालांकि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में झूठ बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)
+हालांकि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो [[श्रेणी सिद्धांत]] के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी|सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी]] में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)
-झूठ बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद # टेंसर शक्तियां और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|A}} एक सदिश स्थान है, इंटरचेंज आइसोमोर्फिज्म <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
+लाई बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद # टेंसर शक्तियां और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|A}} एक सदिश स्थान है, इंटरचेंज आइसोमोर्फिज्म <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\tau(x\otimes y)= y\otimes x.</math>
 चक्रीय-क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग <math>\sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A </math> की तरह परिभाषित किया गया है
 :<math>\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),</math>
-कहाँ पे <math>\mathrm{id}</math> पहचान रूपवाद है।
+कहाँ पे <math>\mathrm{id}</math> समरूपता रूपवाद है।
 समान रूप से, <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.</math>
-इस अंकन के साथ, एक झूठ बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A</math> आकृतिवाद के साथ वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में
+इस अंकन के साथ, एक लाई बीजगणित को एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A</math> आकृतिवाद के साथ सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में
 :<math>[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A</math> जो दो रूपवाद समानता को संतुष्ट करता है
 :<math>[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,</math>
@@ Line 151: / Line 151: @@
 == उदाहरण ==
-=== वेक्टर रिक्त स्थान ===
+=== सदिश रिक्त स्थान ===
-कोई वेक्टर स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई ब्रैकेट के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे झूठ बीजगणित को एबेलियन झूठ बीजगणित कहा जाता है, सीएफ। नीचे। किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी झूठ बीजगणित झूठ ब्रैकेट की वैकल्पिक संपत्ति द्वारा एबेलियन है।
+कोई सदिश स्थान <math>V</math> समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है, सीएफ। नीचे। किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक संपत्ति द्वारा एबेलियन है।
-=== कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ साहचर्य बीजगणित ===
+=== कम्यूटेटर कोष्ठक के साथ साहचर्य बीजगणित ===
-* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ ब्रैकेट को कम्यूटेटर # रिंग सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>. इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> झूठ बीजगणित है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित ए को लाई बीजगणित का एक लिफाफा बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>. हर झूठ बीजगणित को एक में एम्बेड किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित]] देखें।
+* एक साहचर्य बीजगणित पर <math>A</math> एक मैदान के ऊपर <math>F</math> गुणन के साथ <math>(x, y) \mapsto xy</math>, एक लाइ कोष्ठक को कम्यूटेटर # रिंग सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>[x,y] = xy - yx</math>. इस कोष्ठक के साथ, <math>A</math> लाई बीजगणित है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> सहयोगी बीजगणित ए को लाई बीजगणित का एक लिफाफा बीजगणित कहा जाता है <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>. हर लाई बीजगणित को एक में एम्बेड किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; [[सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित]] देखें।
-* एफ-वेक्टर स्पेस का [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] <math>V</math> उपरोक्त लेट ब्रैकेट के साथ निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.
+* एफ-सदिश स्पेस का [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] <math>V</math> उपरोक्त लेट कोष्ठक के साथ निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.
-* परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और ब्रैकेट के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता मैट्रिक्स गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का झूठा बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह शामिल हैं।
+* परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए <math>V = F^n</math>, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे निरूपित किया गया है <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> या <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> और कोष्ठक के साथ <math>[X,Y]=XY-YX</math> जहां निकटता मैट्रिक्स गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का लाईा बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह शामिल हैं।
 === विशेष मैट्रिक्स ===
@@ Line 164: / Line 164: @@
 * [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित बनाते हैं <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math>, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>.<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>
-* तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस एकात्मक लाई बीजगणित बनाते हैं <math>\mathfrak u(n)</math>, [[एकात्मक समूह]] U(n) का झूठा बीजगणित।
+* तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस एकात्मक लाई बीजगणित बनाते हैं <math>\mathfrak u(n)</math>, [[ए�