डेडेकाइंड कट

For अमेरिकी रिकॉर्ड निर्माता पेशेवर रूप से डेडेकिंड कट के रूप में जाने जाते हैं, see फ्रेड वार्मस्ले.

डेडेकाइंड ने अपरिमेय संख्या, वास्तविक संख्याओं के निर्माण के लिए अपने कट का उपयोग किया।

गणित में, डेडेकिंड कट, जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड के नाम से जाना जाता है लेकिन इनसे पहले डेडेकिंड कट को जोसेफ बर्ट्रेंड द्वारा जाना जाता था, परिमेय संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के निर्माण की एक विधि है। डेडेकाइंड कट परिमेय संख्याओं के दो समुच्चयों A और B में परिमेय संख्याओं का विभाजन है, जैसे कि A के सभी तत्व B के सभी तत्वों से कम हैं, और A में कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है। समुच्चय B में परिमेय के बीच सबसे छोटा तत्व हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। यदि परिमेय में B का सबसे छोटा तत्व है, तो कट उस परिमेय के समान होती है। अन्यथा, वह कट एक अद्वितीय अपरिमेय संख्या को परिभाषित करता है, जो शिथिल रूप से बोलना, A और B के बीच के अंतर को भरता है। दूसरे शब्दों में, A में कट से कम प्रत्येक परिमेय संख्या होती है, और B में कट से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक परिमेय संख्या होती है। एक अपरिमेय कट एक अपरिमेय संख्या के बराबर होती है जो न तो समुच्चय में होती है। प्रत्येक वास्तविक संख्या, परिमेय हो या नहीं, परिमेय के एक और केवल एक कट के बराबर होती है।

डेडेकाइंड कट्स को परिमेय संख्याओं से किसी भी पूरी तरह से सुव्यवस्थित किए गए समुच्चय तक सामान्यीकृत किया जा सकता है, डेडेकिंड कट को दो गैर-खाली भागों A और B में पूरी तरह से ऑर्डर किए गए समुच्चय के विभाजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि A नीचे की ओर बंद है (जिसका अर्थ है कि सभी A में A, X ≤ A का तात्पर्य है कि X A में भी है) और B ऊपर की तरफ बंद है, और A में कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है। पूर्णता (आदेश सिद्धांत) भी देखें।

यह दिखाना सरल है कि वास्तविक संख्याओं के बीच एक डेडेकाइंड कट को विशिष्ट रूप से परिमेय संख्याओं के बीच संबंधित कट द्वारा परिभाषित किया गया है। इसी तरह, वास्तविक का प्रत्येक कट एक विशिष्ट वास्तविक संख्या (जिसे B समुच्चय के सबसे छोटे तत्व के रूप में पहचाना जा सकता है) द्वारा निर्मित कट के समान है। दूसरे शब्दों में, संख्या रेखा जहां प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय के डेडेकिंड कट के रूप में परिभाषित किया जाता है, बिना किसी और अंतराल के एक पूर्ण मीट्रिक स्थान रैखिक सातत्य है।

परिभाषा

डेडेकाइंड कट परिमेय $\mathbb {Q}$ का दो उपसमुच्चयों $A$ और $B$ में विभाजन है, जैसे कि

1. $A$ खाली नहीं है।
2. $A\neq \mathbb {Q}$ (समान रूप से, $B$ खाली नहीं है)।
3. यदि $x,y\in \mathbb {Q}$, $x<y$, तथा $y\in A$, फिर $x\in A$. ($A$ नीचे बंद है।)
4. यदि $x\in A$, तो वहाँ एक उपस्थित है $y\in A$ ऐसा है कि $y>x$. ($A$ सबसे बड़ा तत्व नहीं है।)

पहली दो आवश्यकताओं को छोड़ कर, हम औपचारिक रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा प्राप्त करते हैं।

प्रतिनिधित्व

डेडेकिंड कट के लिए (ए, बी) संकेत का उपयोग करना अधिक सममित है, लेकिन A और B में से प्रत्येक दूसरे को निर्धारित करता है। यह एक सरलीकरण हो सकता है, संकेत के संदर्भ में, यदि अधिक कुछ नहीं, एक आधे पर ध्यान केंद्रित करने के लिए-कहें, निचला एक-और किसी भी नीचे की ओर बंद समुच्चय A को सबसे बड़े तत्व के बिना डेडेकाइंड कट कहा जाता है।

यदि क्रमित समुच्चय S पूर्ण है, तो, S के प्रत्येक डेडेकिंड कट (A, B) के लिए, समुच्चय B में न्यूनतम अवयव b होना चाहिए,

इसलिए हमारे पास यह होना चाहिए कि A अंतराल (गणित) (−∞, b), और B अंतराल [b, +∞) है।

इस स्थिति में, हम कहते हैं कि b को कट (A, B) द्वारा दर्शाया गया है।

डेडेकाइंड कट का महत्वपूर्ण उद्देश्य उन संख्या समुच्चयों के साथ काम करना है जो पूर्ण नहीं हैं। कट स्वयं संख्याओं के मूल संग्रह में नहीं एक संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकता है (अधिकांश तर्कसंगत संख्याएं)। कट एक संख्या b का प्रतिनिधित्व कर सकता है, भली-भाँति दो समुच्चय A और B में निहित संख्या में वास्तविक में वह संख्या b शामिल नहीं है जो उनका कट दर्शाता है।

उदाहरण के लिए यदि A और B में केवल परिमेय संख्याएँ हैं, तब भी उन्हें A में प्रत्येक ऋणात्मक परिमेय संख्या डालकर, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका वर्ग 2 से कम है, डालकर √2 पर काटा जा सकता है; इसी तरह B में हर सकारात्मक परिमेय संख्या होगी जिसका वर्ग 2 से अधिक या उसके बराबर है। यद्यपि √2 के लिए कोई परिमेय मान नहीं है, यदि परिमेय संख्याओं को A और B में इस तरह विभाजित किया जाता है, तो विभाजन स्वयं एक अपरिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

कट का आदेश

एक डेडेकाइंड कट (A, B) के संबंध में एक और डेडेकिंड कट (C, D) (उसी सुपर समुच्चय के) से कम है यदि A C का एक उचित उपसमूह है। समतुल्य रूप से, यदि D, B का एक उचित उपसमुच्चय है, तो कट (A) , B) फिर से (C, D ) से कम है। इस तरह, संख्याओं के क्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए समुच्चय समावेशन का उपयोग किया जा सकता है, और अन्य सभी संबंध (इससे अधिक, से कम या बराबर, बराबर, और इसी तरह) समुच्चय संबंधों से समान रूप से बनाए जा सकते हैं।

सभी डेडेकाइंड कट्स का समुच्चय अपने आप में एक रैखिक रूप से सुव्यवस्थित किया गया समुच्चय (समुच्चय का) है। इसके अतिरिक्त, डेडेकाइंड कट्स के समुच्चय में सबसे कम से कम ऊपरी बाध्य गुण होता है, अर्थात्, इसका हर गैर-खाली उपसमुच्चय जिसकी कोई ऊपरी सीमा होती है, उसकी ऊपरी सीमा कम से कम होती है। इस प्रकार, डेडेकाइंड कट्स के समुच्चय का निर्माण मूल ऑर्डर किए गए समुच्चय S को अंत: स्थापित करने के उद्देश्य से कार्य करता है, जिसमें कम से कम-ऊपरी-बाध्य गुण नहीं हो सकती है, (सामान्यतः बड़ा) रैखिक रूप से आदेशित समुच्चय के भीतर यह उपयोगी गुण होती है।

वास्तविक संख्या का निर्माण

See also: Construction of the real numbers § Construction by Dedekind cuts

परिमेय संख्याओं का एक प्रारूपिक डेडेकिंड कट $\mathbb {Q}$ विभाजन द्वारा दिया गया है $(A,B)$ साथ

$A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},$

$B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.$

यह कट अपरिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है √2 डेडेकिंड के निर्माण में। आवश्यक विचार यह है कि हम एक समुच्चय का उपयोग करते हैं $A$, जो संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए सभी परिमेय संख्याओं का समूह है, जिनके वर्ग 2 से कम हैं √2, और आगे, इन समुच्चयों (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पर ठीक से अंकगणितीय संकारकों को परिभाषित करके, ये समुच्चय (इन अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ) परिचित वास्तविक संख्याएँ बनाते हैं।

इसे स्थापित करने के लिए, उसे दिखाना होगा $A$ वास्तव में एक कट (परिभाषा के अनुसार) और का वर्ग है $A$, वह है $A\times A$ (कृपया कट्स के गुणन को कैसे परिभाषित किया जाता है, इसकी सटीक परिभाषा के लिए ऊपर दिए गए लिंक को देखें), है $2$ (ध्यान दें कि इस नंबर 2 को सख्ती से बोलते हुए कट द्वारा दर्शाया गया है $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$). पहले भाग को दिखाने के लिए, हम दिखाते हैं कि किसी भी सकारात्मक तर्कसंगत के लिए $x$ साथ $x^{2}<2$, एक तर्कसंगत है $y$ साथ $x<y$ तथा $y^{2}<2$. विकल्प $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ काम करता है, इस प्रकार $A$ वास्तव में एक कट है। अब कट के बीच गुणन से लैस, यह जांचना आसान है