अंकगणित: Difference between revisions
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[[File:Tables generales aritmetique MG 2108.jpg|thumb|बच्चों के लिए अंकगणितीय टेबल, लॉज़ेन, 1835]] | [[File:Tables generales aritmetique MG 2108.jpg|thumb|बच्चों के लिए अंकगणितीय टेबल, लॉज़ेन, 1835]] | ||
'''अंकगणित''' (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - | '''अंकगणित''' (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण जैसे अध्ययन शामिल है। 19 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो (Giuseppe Peano) ने अपने पीनो स्वयंसिद्धों (Peano axioms) के साथ अंकगणित को औपचारिक रूप दिया, जो आज गणितीय तर्क के क्षेत्र के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण हैं। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
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प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी। | प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी। | ||
हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को जोड़ा और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग किया। इसने प्रणाली को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जिसने अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल दिया। छठी शताब्दी ईस्वी ({{nowrap|6th century AD}}) की शुरुआत में, '''भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट''' ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया और विभिन्न नोटेशन के साथ प्रयोग किया। 7वीं शताब्दी में, '''ब्रह्मगुप्त''' ने 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए। उनके समकालीन, सिरिएक बिशप सेवेरस सेबोख्त (650 ईस्वी) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द प्रशस्ति नहीं कर सकता है। गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।<ref>Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929)</ref> अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे हेसब (hesab) कहा। | |||
[[File:Leibniz Stepped Reckoner.png|thumb|200px|Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।]] | [[File:Leibniz Stepped Reckoner.png|thumb|200px|Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।]] | ||
यद्यपि | यद्यपि कोडेक्स विगिलनस (Codex Vigilanus) ने 976 ईस्वी तक और लियोनार्डो ऑफ पीसा ( Leonardo of Pisa (Fibonacci) द्वारा अरबी अंकों (0 को छोड़कर) के प्रारंभिक रूप का वर्णन किया था। उन्होंने लिखा कि भारतीयों की पद्धति (लैटिन मॉडस इंडोरम) गणना करने की किसी भी ज्ञात विधि से आगे है। यह एक अद्भुत तरीका है।वे नौ अंकों और प्रतीक शून्य का उपयोग करके अपनी गणना करते हैं।<ref>Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.</ref> | ||
मध्य युग में, अंकगणित विश्वविद्यालयों में सिखाई गई सात उदार कलाओं में से एक था। | मध्य युग में, अंकगणित विश्वविद्यालयों में सिखाई गई सात उदार कलाओं में से एक था। | ||
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मध्ययुगीन इस्लामी दुनिया में बीजगणित और पुनर्जागरण यूरोप में भी, दशमलव अंकन के माध्यम से गणना के व्यापक सरलीकरण की एक वृद्धि थी। | मध्ययुगीन इस्लामी दुनिया में बीजगणित और पुनर्जागरण यूरोप में भी, दशमलव अंकन के माध्यम से गणना के व्यापक सरलीकरण की एक वृद्धि थी। | ||
विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से संख्यात्मक गणना में सहायता करने के लिए उपयोग किया गया है। ।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के | विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से संख्यात्मक गणना में सहायता करने के लिए उपयोग किया गया है। ।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के ABACI थे। हाल के उदाहरणों में स्लाइड नियम, नोमोग्राम और यांत्रिक कैलकुलेटर शामिल हैं, जैसे पास्कल के कैलकुलेटर। वर्तमान में, उन्हें इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। | ||
== अंकगणितीय संचालन == | == अंकगणितीय संचालन == | ||
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किसी भी मामले में, यदि Minuend और Subtrahend समान हैं, तो अंतर {{math|''D'' {{=}} 0.}} | किसी भी मामले में, यदि Minuend और Subtrahend समान हैं, तो अंतर {{math|''D'' {{=}} 0.}} | ||
घटाव न तो क्रमविनिमेय है और न ही सहयोगी है। इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि जोड़ के तहत स्केच किया गया है ), जहां घटाव को सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम को मिन्यूएंड में जोड़ने के रूप में माना जाता है, अर्थात्, {{math|''a'' − ''b'' {{=}} ''a'' + (−''b'')}}। घटाव के द्विआधारी संक्रिया को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) | घटाव न तो क्रमविनिमेय है और न ही सहयोगी है। इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि जोड़ के तहत स्केच किया गया है ), जहां घटाव को सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम को मिन्यूएंड में जोड़ने के रूप में माना जाता है, अर्थात्, {{math|''a'' − ''b'' {{=}} ''a'' + (−''b'')}}। घटाव के द्विआधारी संक्रिया को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) यूनरी ऑपरेशन (unary operation) की शुरूआत है, जो किसी भी दिए गए संख्या के लिए योगात्मक प्रतिलोम को वितरित करता है, और अंतर की धारणा तक तत्काल ऐक्सेस खो देता है, जो कि ऋणात्मक तर्क शामिल होने पर संभावित रूप से भ्रामक कर देता है । | ||
संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से प्रक्रियाओं का उपयोग करने में हैं, जो एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, छोटे परिवर्तन द्वारा दूसरों के लिए भी फायदेमंद हैं। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़-प्रक्रिया का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटा को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को बचा सकते हैं, योगात्मक प्रतिलोम का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित कर हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है। | संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से प्रक्रियाओं का उपयोग करने में हैं, जो एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, छोटे परिवर्तन द्वारा दूसरों के लिए भी फायदेमंद हैं। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़-प्रक्रिया का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटा को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को बचा सकते हैं, योगात्मक प्रतिलोम का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित कर हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है। | ||
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डिवीजन न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य। इसलिए जैसा कि घटाव में बताया गया है, आधुनिक बीजगणित में विभाजन के निर्माण को गुणन के संबंध में व्युत्क्रम तत्वों के निर्माण के पक्ष में छोड़ दिया जाता है, जैसा कि गुणन में पेश किया गया है। इसलिए विभाजक पारस्परिक कारकों के रूप में विभाजन के लाभांश का गुणन है, अर्थात्, {{math|''a'' ÷ ''b'' {{=}} ''a'' × {{sfrac|1|''b''}}.}}। | डिवीजन न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य। इसलिए जैसा कि घटाव में बताया गया है, आधुनिक बीजगणित में विभाजन के निर्माण को गुणन के संबंध में व्युत्क्रम तत्वों के निर्माण के पक्ष में छोड़ दिया जाता है, जैसा कि गुणन में पेश किया गया है। इसलिए विभाजक पारस्परिक कारकों के रूप में विभाजन के लाभांश का गुणन है, अर्थात्, {{math|''a'' ÷ ''b'' {{=}} ''a'' × {{sfrac|1|''b''}}.}}। | ||
प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, एक अलग धारणा भी है जिसे | प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, एक अलग धारणा भी है जिसे यूक्लिडियन डिवीजन ( Euclidean division) कहा जाता है, जो एक प्राकृतिक D (डेनोमिनेटर) द्वारा एक प्राकृतिक N (नयूमेटर) को डीविडिंग करने के बाद दो संख्याओं का उत्पादन करता है : पहले एक प्राकृतिक {{mvar|Q}} (भागफल), और दूसरा एक प्राकृतिक {{mvar|R}} (रिमैन्डर) जैसे कि {{math|''N'' {{=}} ''D''×''Q'' + ''R''}} तथा {{math|0 ≤ ''R'' < ''Q''.}} | ||
कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और उन्नत अंकगणित सहित कुछ संदर्भों में, विभाजन को शेष के लिए एक और आउटपुट के साथ बढ़ाया जाता है। यह अक्सर एक अलग ऑपरेशन के रूप में माना जाता है, | कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और उन्नत अंकगणित सहित कुछ संदर्भों में, विभाजन को शेष के लिए एक और आउटपुट के साथ बढ़ाया जाता है। यह अक्सर एक अलग ऑपरेशन के रूप में माना जाता है, मोडुलो ऑपरेशन(Modulo operation), <math>%</math>प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है या शब्द <math>mod</math>, हालांकि कभी-कभी एक "डिवमॉड" ऑपरेशन के लिए दूसरा आउटपुट होता है।<ref>{{cite web |title=Python divmod() Function |url=https://www.w3schools.com/python/ref_func_divmod.asp |website=W3Schools |publisher=Refsnes Data |access-date=2021-03-13}}</ref> मॉड्यूलर अंकगणित में विभिन्न प्रकार के उपयोग के मामले हैं। विभाजन के विभिन्न कार्यान्वयन (फ़्लोर्ड, ट्रंक्टेड, यूक्लिडियन आदि) मापांक के विभिन्न कार्यान्वयन के अनुरूप हैं। | ||
== अंकगणित का मौलिक प्रमेय == | == अंकगणित का मौलिक प्रमेय == | ||
{{main|Fundamental theorem of arithmetic}} | {{main|Fundamental theorem of arithmetic}} | ||
अंकगणितीय का '''मूल प्रमेय (fundamental theorem) | अंकगणितीय का '''मूल प्रमेय''' (fundamental theorem) कहता है कि 1 से अधिक किसी भी पूर्णांक में एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड (प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व) होता है, जिसमें कारकों के क्रम को शामिल नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 252 में केवल एक प्रमुख कारक है: | ||
: 252 = 2{{sup|2}} × 3{{sup|2}} × 7{{sup|1}} | : 252 = 2{{sup|2}} × 3{{sup|2}} × 7{{sup|1}} | ||
यूक्लिड के तत्वों (Euclid's Elements) ने पहले इस प्रमेय को पेश किया, और एक आंशिक प्रमाण दिया (जिसे यूक्लिड का प्रमेयिका कहा जाता है)। अंकगणित का मूल प्रमेय पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) द्वारा सिद्ध किया गया था। | |||
अंकगणित की मूल प्रमेय एक कारण है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है। अन्य कारणों में एराटोस्टेनेस की सीव शामिल है, और एक अभाज्य संख्या की परिभाषा स्वयं (1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाई जा सकती है।)। | अंकगणित की मूल प्रमेय एक कारण है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है। अन्य कारणों में एराटोस्टेनेस की सीव शामिल है, और एक अभाज्य संख्या की परिभाषा स्वयं (1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाई जा सकती है।)। | ||
== दशमलव अंकगणित == | == दशमलव अंकगणित == | ||
दशमलव प्रतिनिधित्व (Decimal representation) विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, अरबी अंकों को मूलांक 10 ("दशमलव") स्थितीय संकेतन के अंकों के रूप में नियोजित करने वाली लिखित अंक प्रणाली को संदर्भित करता है हालांकि 10 की शक्तियों के आधार पर किसी भी अंक प्रणाली जैसे ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों को अवधारणात्मक रूप से | दशमलव प्रतिनिधित्व (Decimal representation) विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, अरबी अंकों को मूलांक 10 ("दशमलव") स्थितीय संकेतन के अंकों के रूप में नियोजित करने वाली लिखित अंक प्रणाली को संदर्भित करता है हालांकि 10 की शक्तियों के आधार पर किसी भी अंक प्रणाली जैसे ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों को अवधारणात्मक रूप से "दशमलव संकेतन" या "दशमलव प्रतिनिधित्व" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। | ||
चार मूलभूत क्रियाओं के लिए आधुनिक पद्धतियां | चार मूलभूत क्रियाओं के लिए आधुनिक पद्धतियां (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पहले भारत के '''ब्रह्मगुप्त''' द्वारा बनाई गई थीं। यह मध्ययुगीन यूरोप के दौरान मोडस इंडोरम या भारतीयों की विधि के रूप में जाना जाता था। स्थितीय संकेतन ("स्थान-मूल्य संकेतन" के रूप में भी जाना जाता है) परिमाण के विभिन्न आदेशों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करके संख्याओं के प्रतिनिधित्व या संकेतीकरण (encoding) को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, "इकाई स्थान", "दस स्थान", "सैकड़ों स्थान") और, एक मूलांक बिंदु के साथ, भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हीं प्रतीकों का उपयोग करते हुए (जैसे, "दसवां स्थान", "सौवां स्थान")। उदाहरण के लिए, 507.36 5 सौ (102), प्लस 0 दहाई (101), प्लस 7 यूनिट (100), प्लस 3 दसवां (10-1) प्लस 6 सौवां (10-2) को दर्शाता है। | ||
अन्य मूल अंकों की तुलना में एक संख्या के रूप में 0 की अवधारणा इस संकेतन के लिए आवश्यक है, जैसा कि | अन्य मूल अंकों की तुलना में एक संख्या के रूप में 0 की अवधारणा इस संकेतन के लिए आवश्यक है, जैसा कि प्लेसहोल्डर (placeholder) के रूप में 0 के उपयोग की अवधारणा है, और जैसा कि 0 के साथ गुणा और जोड़ की परिभाषा है। एक प्लेसहोल्डर के रूप में 0 का उपयोग 13 वीं शताब्दी के प्रारंभ में सबसे पहले भारत से जैन पाठ में सत्यापित किया गया है जिसका शीर्षक था लोकवीब हौज, दिनांक 458 ईस्वी और अरबी दुनिया की छात्रवृत्ति, हिंदू-अरबी अंक प्रणाली फिबोनाची द्वारा यूरोप में पेश की गई थी।<ref>[https://www.britannica.com/eb/article-4153/Leonardo-Pisano Leonardo Pisano – p. 3: "Contributions to number theory"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080617154015/https://www.britannica.com/eb/article-4153/Leonardo-Pisano |date=2008-06-17 }}. ''[[Encyclopædia Britannica]]'' Online, 2006. Retrieved 18 September 2006.</ref> | ||
इस प्रकार के लिखित अंक का उपयोग करके अंकगणित गणना करने के लिए | इस प्रकार के लिखित अंक का उपयोग करके अंकगणित गणना करने के लिए एल्गोरिज्म (Algorism) में सभी नियम शामिल हैं। उदाहरण के लिए, जोड़ दो मनमानी संख्याओं का योग पैदा करता है। परिणाम की गणना प्रत्येक संख्या से एकल अंकों के बार -बार जोड़ द्वारा की जाती है जो एक ही स्थिति में होती है, दाएं से बाएं तक आगे बढ़ती है। दस पंक्तियों और दस कॉलम के साथ एक जोड़ तालिका प्रत्येक योग के लिए सभी संभावित मान प्रदर्शित करती है। यदि कोई व्यक्तिगत योग मान 9 से अधिक है, तो परिणाम दो अंकों के साथ दर्शाया जाता है। सबसे दाहिना अंक वर्तमान स्थिति का मान है, और अंक के बाद के अतिरिक्त जोड़ के लिए परिणाम दूसरे (बाईं ओर) अंक के मान से बढ़ जाता है, जो हमेशा एक होता है (यदि शून्य नहीं है)। इस समायोजन को मान 1 का एक कैरी (carry) कहा जाता है। | ||
दो मनमानी संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया जोड़ की प्रक्रिया के समान है। दस पंक्तियों और दस स्तंभों के साथ एक गुणन तालिका अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए परिणामों को सूचीबद्ध करती है। यदि अंकों की एक जोड़ी का एक व्यक्तिगत उत्पाद 9 से अधिक हो जाता है, तो कैरी समायोजन किसी भी बाद के गुणा के परिणाम को अंकों से दूसरे (बाएं) अंक के बराबर मान द्वारा बाईं ओर बढ़ाता है, जो कि कोई भी मान है {{nowrap|1 to 8}} ({{math|9 × 9 {{=}} 81}})। अतिरिक्त चरण अंतिम परिणाम को परिभाषित करते हैं। | दो मनमानी संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया जोड़ की प्रक्रिया के समान है। दस पंक्तियों और दस स्तंभों के साथ एक गुणन तालिका अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए परिणामों को सूचीबद्ध करती है। यदि अंकों की एक जोड़ी का एक व्यक्तिगत उत्पाद 9 से अधिक हो जाता है, तो कैरी समायोजन किसी भी बाद के गुणा के परिणाम को अंकों से दूसरे (बाएं) अंक के बराबर मान द्वारा बाईं ओर बढ़ाता है, जो कि कोई भी मान है {{nowrap|1 to 8}} ({{math|9 × 9 {{=}} 81}})। अतिरिक्त चरण अंतिम परिणाम को परिभाषित करते हैं। | ||
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गुणा के लिए एक सही प्रक्रिया का निर्माण आसन्न अंकों के मूल्यों के बीच संबंध पर निर्भर करता है। एक अंक में किसी भी एकल अंक का मूल्य इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। इसके अलावा, बाईं ओर की प्रत्येक स्थिति दाईं ओर की स्थिति से दस गुना अधिक मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है। गणितीय शब्दों में, 10 के मूलांक (आधार) का घातांक 1 (बाईं ओर) बढ़ जाता है या 1 (दाईं ओर) घट जाता है। इसलिए, किसी भी मनमाना अंक के लिए मान को पूर्णांक n के साथ फॉर्म 10n के मान से गुणा किया जाता है। एक अंक के लिए सभी संभावित स्थितियों के अनुरूप मानों की सूची {..., 102, 10, 1, 10−1, 10−2, ...} के रूप में लिखी जाती है। | गुणा के लिए एक सही प्रक्रिया का निर्माण आसन्न अंकों के मूल्यों के बीच संबंध पर निर्भर करता है। एक अंक में किसी भी एकल अंक का मूल्य इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। इसके अलावा, बाईं ओर की प्रत्येक स्थिति दाईं ओर की स्थिति से दस गुना अधिक मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है। गणितीय शब्दों में, 10 के मूलांक (आधार) का घातांक 1 (बाईं ओर) बढ़ जाता है या 1 (दाईं ओर) घट जाता है। इसलिए, किसी भी मनमाना अंक के लिए मान को पूर्णांक n के साथ फॉर्म 10n के मान से गुणा किया जाता है। एक अंक के लिए सभी संभावित स्थितियों के अनुरूप मानों की सूची {..., 102, 10, 1, 10−1, 10−2, ...} के रूप में लिखी जाती है। | ||
इस सूची में किसी भी मान का बार-बार गुणा 10 सूची में एक और मूल्य का उत्पादन करता है। गणितीय शब्दावली में, इस विशेषता को बंद करने के रूप में परिभाषित किया गया है, और पिछली सूची को गुणा के तहत बंद के रूप में वर्णित किया गया है। यह पिछली तकनीक का उपयोग करके गुणन के परिणामों को सही ढंग से खोजने का आधार है। यह परिणाम | इस सूची में किसी भी मान का बार-बार गुणा 10 सूची में एक और मूल्य का उत्पादन करता है। गणितीय शब्दावली में, इस विशेषता को बंद करने के रूप में परिभाषित किया गया है, और पिछली सूची को गुणा के तहत बंद के रूप में वर्णित किया गया है। यह पिछली तकनीक का उपयोग करके गुणन के परिणामों को सही ढंग से खोजने का आधार है। यह परिणाम संख्या सिद्धांत के उपयोग का एक उदाहरण है। | ||
== यौगिक इकाई अंकगणित== | == यौगिक इकाई अंकगणित== | ||
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|year=1772|title-link=Encyclopædia Britannica | |year=1772|title-link=Encyclopædia Britannica | ||
}}</ref> दशमलव अंकगणित में मूलभूत अंकगणितीय कार्यों के अलावा, यौगिक इकाई अंकगणित तीन और कार्यों को नियोजित करता है: | }}</ref> दशमलव अंकगणित में मूलभूत अंकगणितीय कार्यों के अलावा, यौगिक इकाई अंकगणित तीन और कार्यों को नियोजित करता है: | ||
* '''कमी | * '''कमी''' (Reduction), जिसमें एक यौगिक मात्रा एक मात्रा में घटाया जाता है - उदाहरण के लिए, गज, पैरों और इंच में व्यक्त की गई दूरी का रूपांतरण इंच में व्यक्त किया जाता है।<ref>{{cite web | ||
|url=http://www.lloffion.org.uk/docs/walkingames_arithmetic/walkingames_arithmetic.pdf | |url=http://www.lloffion.org.uk/docs/walkingames_arithmetic/walkingames_arithmetic.pdf | ||
|title=The Tutor's Companion; or, Complete Practical Arithmetic | |title=The Tutor's Companion; or, Complete Practical Arithmetic | ||
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|archive-date=2015-05-04 | |archive-date=2015-05-04 | ||
}}</ref> | }}</ref> | ||
* '''विस्तार | * '''विस्तार''' (Expansion), कटौती के लिए उलटा फ़ंक्शन, एक मात्रा का रूपांतरण है जिसे एक यौगिक इकाई में मापने की एकल इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है, जैसे कि 24 oz को 1 lb 8 oz तक विस्तारित करना। | ||
* '''सामान्यीकरण | * '''सामान्यीकरण''' (Normalization) एक मानक रूप में यौगिक इकाइयों के एक सेट का रूपांतरण है - उदाहरण के लिए, "1 फीट 13 इंच" को "2 फीट 1 इंच" के रूप में फिर से लिखना। | ||
माप की विभिन्न इकाइयों के बीच संबंधों का ज्ञान, उनके गुणकों और उनके उप गुणसूत्रों यौगिक इकाई अंकगणित का एक अनिवार्य हिस्सा है। | माप की विभिन्न इकाइयों के बीच संबंधों का ज्ञान, उनके गुणकों और उनके उप गुणसूत्रों यौगिक इकाई अंकगणित का एक अनिवार्य हिस्सा है। | ||
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=== यौगिक इकाई के सिद्धांत अंकगणित === | === यौगिक इकाई के सिद्धांत अंकगणित === | ||
यौगिक इकाई अंकगणित के लिए दो बुनियादी दृष्टिकोण हैं: | यौगिक इकाई अंकगणित के लिए दो बुनियादी दृष्टिकोण हैं: | ||
* '''कमी-विस्तार विधि | * '''कमी-विस्तार विधि''' (Reduction–expansion method ) जहां सभी यौगिक इकाई चर को एकल इकाई चर में घटा दिया जाता है, गणना की जाती है और परिणाम वापस मिश्रित इकाइयों में विस्तारित होता है।यह दृष्टिकोण स्वचालित गणना के लिए उपयुक्त है। एक विशिष्ट उदाहरण माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल (Microsoft Excel) द्वारा समय की हैंडलिंग है जहां सभी समय अंतराल को आंतरिक रूप से दिन के दिनों और दशमलव अंशों के रूप में संसाधित किया जाता है। | ||
* '''चल रही सामान्यीकरण विधि (On-going normalization method) | * '''चल रही सामान्यीकरण विधि''' (On-going normalization method) जिसमें प्रत्येक इकाई को अलग से व्यवहार किया जाता है और समाधान विकसित होने पर समस्या को लगातार सामान्य किया जाता है। यह दृष्टिकोण, जो व्यापक रूप से शास्त्रीय ग्रंथों में वर्णित है, मैनुअल गणना के लिए सबसे उपयुक्त है। जोड़ के लिए लागू चल रही सामान्यीकरण पद्धति का एक उदाहरण नीचे दिखाया गया है। | ||
[[File:MixedUnitAddition.svg|left|अँगूठा]] | [[File:MixedUnitAddition.svg|left|अँगूठा]] | ||
इसके अतिरिक्त ऑपरेशन को दाएं से बाएं तक किया जाता है; इस मामले में, पेंस को पहले संसाधित किया जाता है, फिर शिलिंग के बाद पाउंड। | इसके अतिरिक्त ऑपरेशन को दाएं से बाएं तक किया जाता है; इस मामले में, पेंस को पहले संसाधित किया जाता है, फिर शिलिंग के बाद पाउंड। "उत्तर लाइन" के नीचे की संख्या मध्यवर्ती परिणाम हैं। | ||
पेंस (pence) कॉलम में कुल 25 है। चूंकि एक शिलिंग (shilling) में 12 पेनी हैं, 25 को 12 से विभाजित करके 2 शेष 1 के साथ देता है। "1" का मान उत्तर पंक्ति में लिखा जाता है और मान "2" को शिलिंग कॉलम में आगे ले जाया जाता है। पेनीज़ कॉलम से आगे ले जाने वाले मान को जोड़ने के अतिरिक्त चरण के साथ, शिलिंग कॉलम में मानों का उपयोग करके इस ऑपरेशन को दोहराया जाता है। मध्यवर्ती योग को 20 से विभाजित किया जाता है क्योंकि एक पाउंड में 20 शिलिंग होते हैं। पाउंड कॉलम को तब संसाधित किया जाता है, लेकिन पाउंड सबसे बड़ी इकाई हैं, इसलिए कोई भी मान पाउंड कॉलम से आगे नहीं ले जाया जाता है। | |||
सरलता के लिए चुने गए उदाहरण में दूरियां नहीं थीं। | सरलता के लिए चुने गए उदाहरण में दूरियां नहीं थीं। | ||
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}}</ref> जो 150 पृष्ठों तक चलती थी, "एक से दस हजार तक विभिन्न कीमतों पर एक से एक पाउंड तक" के गुणकों को सारणीबद्ध करती थी। | }}</ref> जो 150 पृष्ठों तक चलती थी, "एक से दस हजार तक विभिन्न कीमतों पर एक से एक पाउंड तक" के गुणकों को सारणीबद्ध करती थी। | ||
मिश्रित इकाई अंकगणित की जटिल प्रकृति को कई वर्षों से मान्यता दी गई है, | मिश्रित इकाई अंकगणित की जटिल प्रकृति को कई वर्षों से मान्यता दी गई है, 1586 में फ्लेमिश गणितज्ञ साइमन स्टीविन (Flemish mathematician Simon Stevin) ने डे थिएन्ड (दसवाँ)<ref>{{MacTutor|id=Stevin|date=January 2004}}</ref> नामक एक छोटे पर्चे को प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने दशमलव सिक्के, उपायों और वज़न को केवल समय का सवाल बताया। आधुनिक युग में, कई रूपांतरण कार्यक्रम, जैसे कि माइक्रोसॉफ्ट विंडोज 7 ऑपरेटिंग सिस्टम (Microsoft Windows 7 operating system) कैलकुलेटर में शामिल, एक विस्तारित प्रारूप का उपयोग करने के बजाय एक कम दशमलव प्रारूप में मिश्रित इकाइयों को प्रदर्शित करते हैं (उदाहरण के लिए "2 फीट 6" के बजाय "2.5 फीट" प्रदर्शित होता है ")। | ||
== संख्या सिद्धांत == | == संख्या सिद्धांत == | ||
{{main|Number theory}} | {{main|Number theory}} | ||
19 वीं शताब्दी तक, संख्या सिद्धांत | 19 वीं शताब्दी तक, संख्या सिद्धांत अंकगणित का एक पर्याय था। संबोधित समस् | ||