अभिगृहीत

Not to be confused with axion or axon.

Several terms redirect here. For other uses, see अभिगृहीत (बहुविकल्पी) (disambiguation), स्वयंसिद्ध(बहुविकल्पी) (disambiguation) and अभिधारणा (बीजगणितीय ज्यामिति) (disambiguation).

एक अभिगृहीत, अभिधारणा, या पूर्वधारणा एक ऐसा कथनकथन (तर्क) है जिसे आगे के तर्क और तर्कों के लिए एक आधार या प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करने के लिए सत्य माना जाता है। यह शब्द प्राचीन ग्रीक शब्द ἀξίωμα (एक्सिओमा), से आया है जिसका अर्थ है 'वह जो योग्य या उपयुक्त समझा जाता है' या 'वह जो स्वयं को स्पष्ट मानता है'। अध्ययन के विभिन्न क्षेत्रों के संदर्भ में उपयोग किए जाने पर शब्द की परिभाषा में सूक्ष्म अंतर होता है। जैसा कि क्लासिक दर्शन में परिभाषित किया गया है, एक स्वयंसिद्ध कथन एक ऐसा कथन है जो इतना स्व-प्रमाण या अच्छी तरह से स्थापित है कि इसे विवाद या प्रश्न के बिना स्वीकार किया जाता है। जैसा कि आधुनिक तर्क में प्रयोग किया जाता है, एक स्वयंसिद्ध तर्क के लिए एक आधार या प्रारंभिक बिंदु है।जैसा कि गणित में प्रयोग किया जाता है, स्वयंसिद्ध शब्द का उपयोग दो संबंधित लेकिन अलग-अलग अर्थों में किया जाता है: "तार्किक स्वयंसिद्ध" और "गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध"। तार्किक स्वयंसिद्ध आमतौर पर ऐसे कथन होते हैं जिन्हें उनके द्वारा परिभाषित तर्क की प्रणाली के भीतर सत्य माना जाता है और अक्सर प्रतीकात्मक रूप में दिखाया जाता है (जैसे, (A और B ) का तात्पर्य A ), जबकि गैर-तार्किक स्वयंसिद्धों (जैसे, a + b = b + a) वास्तव में एक विशिष्ट गणितीय सिद्धांत (जैसे अंकगणित) के डोमेन के तत्वों के बारे में वास्तविक अभिकथन हैं।

जब बाद के अर्थ में उपयोग किया जाता है, तो "स्वयंसिद्ध", "अभिधारणा", और "अनुमान" का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। ज्यादातर मामलों में, एक गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध केवल एक औपचारिक तार्किक अभिव्यक्ति है जिसका उपयोग गणितीय सिद्धांत बनाने के लिए कटौती में किया जाता है, और प्रकृति में स्व-स्पष्ट हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति में समानांतर अभिधारणा)। ज्ञान की एक प्रणाली को स्वयंसिद्ध करने के लिए यह दिखाना है कि इसके दावों को छोटे, अच्छी तरह से समझे जाने वाले वाक्यों (स्वयंसिद्ध) से प्राप्त किया जा सकता है, और आमतौर पर किसी दिए गए गणितीय डोमेन को स्वयंसिद्ध करने के कई तरीके हैं।

कोई भी स्वयंसिद्ध एक कथन है जो एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है जिससे अन्य कथन तार्किक रूप से प्राप्त होते हैं। क्या यह सार्थक है (और, यदि ऐसा है, तो इसका क्या अर्थ है) एक स्वयंसिद्ध के लिए "सत्य" होना गणित के दर्शन में बहस का विषय है।

व्युत्पत्ति

स्वयंसिद्ध शब्द ग्रीक भाषा के शब्द ἀξίωμα (एक्सिओमा), से आया है क्रिया ἀξιόειν (एक्सिओइन) से एक मौखिक संज्ञा, जिसका अर्थ योग्य समझा जाना है, लेकिन इसकी आवश्यकता भी है, जो बदले में आता है ἄξιος (एक्सिओस), जिसका अर्थ है संतुलन में होना, और इसलिए (समान) मूल्य (जैसा), योग्य, उचित होना। प्राचीन ग्रीस के दार्शनिकों के बीच एक स्वयंसिद्ध दावा था जिसे प्रमाण की आवश्यकता के बिना स्वतः स्पष्ट सत्य के रूप में देखा जा सकता था। अभिधारणा शब्द का मूल अर्थ "मांग" है; उदाहरण के लिए, यूक्लिड मांग करता है कि कोई सहमत हो कि कुछ चीजें की जा सकती हैं (उदाहरण के लिए, किन्हीं दो बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता है) । प्राचीन जियोमीटरों ने अभिगृहीतों और अभिधारणाओं के बीच कुछ अंतर बनाए रखा। यूक्लिड की पुस्तकों पर टिप्पणी करते हुए, प्रोक्लस ने टिप्पणी की कि "जेमिनस का मानना ​​था कि इस [चौथे] अभिधारणा को एक अभिधारणा के रूप में नहीं बल्कि एक स्वयंसिद्ध के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए, क्योंकि यह, पहले तीन अभिधारणाओं की तरह, कुछ निर्माण की संभावना पर जोर नहीं देता है लेकिन एक अभिधारणा को व्यक्त करता है। आवश्यक संपत्ति। बोथियस ने 'पोस्टुलेट' को पेटिटियो के रूप में अनुवादित किया और स्वयंसिद्ध धारणाओं को कम्युनिस कहा लेकिन बाद की पांडुलिपियों में इस प्रयोग को हमेशा सख्ती से नहीं रखा गया।

ऐतिहासिक विकास

प्रारंभिक यूनानी

तार्किक-निगमनात्मक विधि जिसके द्वारा निष्कर्ष (नया ज्ञान) परिसर (पुराने ज्ञान) से ध्वनि तर्कों (न्यायशास्त्र, अनुमान के नियम) के अनुप्रयोग के माध्यम से प्राचीन यूनानियों द्वारा विकसित किया गया था, और आधुनिक गणित का मूल सिद्धांत बन गया है। टॉटोलॉजी (तर्क) को बाहर रखा गया है, अगर कुछ भी नहीं माना जाता है तो कुछ भी नहीं निकाला जा सकता है। इस प्रकार अभिगृहीत और अभिगृहीत निगमनात्मक ज्ञान के दिए गए निकाय के अंतर्गत बुनियादी मान्यताएँ हैं। उन्हें बिना प्रदर्शन के स्वीकार कर लिया जाता है। अन्य सभी अभिकथनों (गणित के मामले में प्रमेय) को इन बुनियादी मान्यताओं की सहायता से सिद्ध किया जाना चाहिए। चूँकि , गणितीय ज्ञान की व्याख्या प्राचीन काल से आधुनिक काल में बदल गई है, और फलस्वरूप वर्तमान समय के गणितज्ञों के लिए अभिगृहीत और स्वयं सिद्ध मान लेना शब्द अरस्तू और यूक्लिड की तुलना में थोड़ा अलग अर्थ रखते हैं।

प्राचीन यूनानियों ने ज्यामिति को कई विज्ञानों में से एक माना और ज्यामिति के प्रमेयों को वैज्ञानिक तथ्यों के समकक्ष रखा। इस प्रकार, उन्होंने त्रुटि से बचने के साधन के रूप में और ज्ञान को संरचित करने और संप्रेषित करने के लिए लॉजिक-डिडक्टिव पद्धति का विकास और उपयोग किया। अरस्तू का पश्च विश्लेषिकी शास्त्रीय दृष्टिकोण का एक निश्चित विवरण है।

एक "स्वयंसिद्ध", शास्त्रीय शब्दावली में, विज्ञान की कई शाखाओं के लिए एक स्व-स्पष्ट धारणा को संदर्भित करता है। एक अच्छा उदाहरण यह दावा होगा कि

जब समान राशि को बराबर से लिया जाता है, तो समान राशि प्राप्त होती है।

विभिन्न विज्ञानों की नींव में कुछ अतिरिक्त परिकल्पनाएँ थीं जिन्हें बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया गया। इस तरह की परिकल्पना को अभिधारणा कहा जाता था। जबकि अभिगृहीत अनेक विज्ञानों के लिए सामान्य थे, प्रत्येक विशेष विज्ञान के सिद्धांत भिन्न थे। वास्तविक दुनिया के अनुभव के माध्यम से उनकी वैधता स्थापित की जानी थी। अरस्तू ने चेतावनी दी है कि यदि शिक्षार्थी सिद्धांतों की सच्चाई के बारे में संदेह में है तो विज्ञान की सामग्री को सफलतापूर्वक संप्रेषित नहीं किया जा सकता है। यूक्लिड के तत्वों द्वारा शास्त्रीय दृष्टिकोण को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है जहां पोस्टुलेट्स की एक सूची दी गई है (हमारे अनुभव से तैयार किए गए सामान्य-संवेदी ज्यामितीय तथ्य), इसके बाद "सामान्य धारणा" (बहुत बुनियादी, स्व-स्पष्ट अभिकथन) की एक सूची है। )

अभिधारणाएँ

1. किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचना संभव है।
2. किसी रेखाखंड को दोनों दिशाओं में लगातार बढ़ाना संभव है।
3. किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या वाले वृत्त का वर्णन करना संभव है।
4. यह सत्य है कि सभी [[समकोण]] एक दूसरे के बराबर होते हैं।
5. (समानांतर अभिधारणा ) यह सत्य है कि, यदि कोई सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर एक ही ओर के बहुभुज को दो समकोणों से कम बनाती है, तो दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित रूप से बढ़ाई जाती हैं, तो उस तरफ रेखा-रेखा का चौराहा बन जाता है। जो दो समकोणों से कम कोण होते हैं।

आम धारणाएं

1. जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे आपस में भी बराबर होती हैं।
2. यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
3. यदि बराबर को बराबर में से घटाया जाए, तो शेषफल बराबर होता है।
4. जो चीजें एक दूसरे से मेल खाती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।
5. संपूर्ण भाग से बड़ा है।

आधुनिक विकास

पिछले 150 वर्षों में गणित द्वारा सीखा गया एक परिणाम यह है कि गणितीय अभिकथनों (स्वयंसिद्ध, अभिधारणाएं, प्रस्तावपरक तर्क, प्रमेय) और परिभाषाओं से अर्थ को अलग करना उपयोगी है। किसी भी अध्ययन में पुरानी धारणाओं, या अपरिभाषित शब्दों या अवधारणाओं की आवश्यकता को स्वीकार करना चाहिए। इस तरह के अमूर्त या औपचारिकता गणितीय ज्ञान को अधिक सामान्य, कई अलग-अलग अर्थों में सक्षम बनाता है, और इसलिए कई संदर्भों में उपयोगी होता है। इस आंदोलन में एलेसेंड्रो पडोआ, मारियो पियरी और जोसेफ पीनो अग्रणी थे।

संरचनावादी गणित और आगे जाता है, और बिना किसी विशेष अनुप्रयोग को ध्यान में रखे सिद्धांतों और स्वयंसिद्ध (जैसे क्षेत्र सिद्धांत (गणित), समूह (गणित), टोपोलॉजिकल स्पेस, रैखिक स्थान) को विकसित करता है। एक स्वयंसिद्ध और अभिधारणा के बीच का अंतर गायब हो जाता है। यूक्लिड की अभिधारणाएँ लाभप्रद रूप से यह कहकर प्रेरित हैं कि वे ज्यामितीय तथ्यों की एक बड़ी संपदा की ओर ले जाती हैं। इन जटिल तथ्यों की सत्यता आधारभूत परिकल्पनाओं की स्वीकृति पर निर्भर करती है। चूँकि, यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा को बाहर निकालकर, ऐसे सिद्धांत प्राप्त किए जा सकते हैं जिनका व्यापक संदर्भों में अर्थ है (जैसे, अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति)। जैसे, किसी को भी अधिक लचीलेपन के साथ लाइन और समानांतर जैसे लेबलों का उपयोग करने के लिए तैयार रहना चाहिए। अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के विकास ने गणितज्ञों को यह सिखाया कि अभिधारणाओं को विशुद्ध रूप से औपचारिक कथनों के रूप में मानना ​​उपयोगी है, न कि अनुभव पर आधारित तथ्यों के रूप में।

जब गणितज्ञ क्षेत्र (गणित) के स्वयंसिद्धों को नियोजित करते हैं, तो इरादे और भी अधिक अमूर्त होते हैं। क्षेत्र सिद्धांत के प्रस्ताव किसी एक विशेष अनुप्रयोग से संबंधित नहीं हैं; गणितज्ञ अब पूर्ण अमूर्तता में काम करता है। खेतों के कई उदाहरण हैं; फील्ड थ्योरी उन सभी के बारे में सही जानकारी देती है।

यह कहना सही नहीं है कि फील्ड थ्योरी के स्वयंसिद्ध ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें बिना प्रमाण के सत्य माना जाता है। बल्कि, फील्ड स्वयंसिद्ध बाधाओं का एक समूह है। यदि जोड़ और गुणा की कोई भी प्रणाली इन बाधाओं को संतुष्ट करती है, तो कोई इस प्रणाली के बारे में अतिरिक्त जानकारी को तुरंत जानने की स्थिति में है।

आधुनिक गणित अपनी नींव को इस हद तक औपचारिक रूप देता है कि गणितीय सिद्धांतों को गणितीय वस्तुओं के रूप में माना जा सकता है, और स्वयं गणित को तर्क की एक शाखा के रूप में माना जा सकता है। फ्रीज, बर्ट्रेंड रसेल , पॉइंकेयर, डेविड हिल्बर्ट और गोडेल इस विकास के कुछ प्रमुख व्यक्ति हैं।

आधुनिक गणित में सीखा गया एक और प्रमाण छिपी धारणाओं के लिए कथित परिणामो की सावधानी से जांच करना है।

आधुनिक समझ में, स्वयंसिद्धों का एक सेट औपचारिक रूप से घोषित अभिकथनों का कोई भी वर्ग (सेट सिद्धांत) है जिससे अन्य औपचारिक रूप से कथित अभिकथनों का पालन होता है - कुछ अच्छी तरह से परिभाषित नियमों के अनुप्रयोग द्वारा। इस दृष्टि से तर्क मात्र एक अन्य औपचारिक प्रणाली बन जाता है। स्वयंसिद्धों का एक सेट सुसंगत होना चाहिए; स्वयंसिद्धों से विरोधाभास प्राप्त करना असंभव होना चाहिए। स्वयंसिद्धों का एक सेट गैर-निरर्थक भी होना चाहिए; एक अभिकथन जिसे अन्य अभिगृहीतों से निकाला जा सकता है, उसे अभिगृहीत नहीं माना जाना चाहिए।

यह आधुनिक तर्कशास्त्रियों की प्रारंभिक आशा थी कि गणित की विभिन्न शाखाएँ, शायद गणित की सभी शाखाएँ, बुनियादी स्वयंसिद्धों के एक सुसंगत संग्रह से प्राप्त की जा सकती हैं। औपचारिक कार्यक्रम की प्रारंभिक सफलता हिल्बर्ट की औपचारिकता थी यूक्लिडियन ज्यामिति का, और उन सूक्तियों की संगति का संबंधित प्रदर्शन।

एक व्यापक संदर्भ में, सभी गणित को जॉर्ज कैंटर | कैंटर के सेट सिद्धांत पर आधारित करने का प्रयास किया गया था। यहां, रसेल के विरोधाभास और भोली सेट सिद्धांत के समान विरोधाभासों के उद्भव ने इस संभावना को बढ़ा दिया कि ऐसी कोई भी प्रणाली असंगत हो सकती है।

औपचारिकतावादी परियोजना को एक निर्णायक झटका लगा, जब 1931 में गोडेल ने दिखाया कि यह संभव है, पर्याप्त रूप से पर्याप्त स्वयंसिद्धों के बड़े सेट के लिए (पीनो अंकगणित | पियानो के स्वयंसिद्ध, उदाहरण के लिए) एक बयान का निर्माण करने के लिए जिसकी सच्चाई स्वयंसिद्धों के उस सेट से स्वतंत्र है। एक परिणाम के रूप में, गोडेल ने साबित किया कि पीनो अंकगणित जैसे सिद्धांत की निरंतरता उस सिद्धांत के दायरे में एक अप्रमाणित अभिकथन है। पीनो अंकगणित की निरंतरता में विश्वास करना उचित है क्योंकि यह प्राकृतिक संख्याओं की प्रणाली से संतुष्ट है, एक अनंत सेट लेकिन सहज रूप से सुलभ औपचारिक प्रणाली है। चूँकि , वर्तमान में, सेट सिद्धांत के लिए आधुनिक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की निरंतरता को प्रदर्शित करने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है। इसके अलावा, जबरदस्ती (गणित) (पॉल कोहेन) की तकनीकों का उपयोग करके कोई भी दिखा सकता है कि सातत्य परिकल्पना (कैंटर) ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है। इस प्रकार, अभिगृहीतों के इस अति सामान्य समुच्चय को भी गणित का निश्चित आधार नहीं माना जा सकता है।

अन्य विज्ञान

प्रायोगिक विज्ञान - गणित और तर्क के विपरीत - में सामान्य संस्थापक अभिकथन भी होते हैं जिससे एक निगमनात्मक तर्क का निर्माण किया जा सकता है ताकि उन प्रस्तावों को व्यक्त किया जा सके जो गुणों की भविष्यवाणी करते हैं - या तो अभी भी सामान्य या एक विशिष्ट प्रयोगात्मक संदर्भ के लिए बहुत अधिक विशिष्ट हैं। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी में न्यूटन के नियम, शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में मैक्सवेल के समीकरण, सामान्य सापेक्षता में आइंस्टीन के समीकरण, जेनेटिक्स के मेंडल के नियम, डार्विन के प्राकृतिक चयन कानून, आदि। इन संस्थापक अभिकथनों को सामान्यतः सिद्धांत कहा जाता है ताकि गणितीय स्वयंसिद्धों से अलग किया जा सके।

तथ्यों की बात करें तो गणित में अभिगृहीतों की भूमिका और प्रयोगात्मक विज्ञानों में अभिधारणाओं की भूमिका अलग-अलग है। गणित में कोई स्वयंसिद्ध को न तो सिद्ध करता है और न ही असिद्ध करता है। गणितीय स्वयंसिद्धों का एक सेट नियमों का एक सेट देता है जो एक वैचारिक क्षेत्र को ठीक करता है, जिसमें प्रमेय तार्किक रूप से अनुसरण करते हैं। इसके विपरीत, प्रायोगिक विज्ञानों में, अभिधारणाओं का एक सेट उन परिणामों को निकालने की अनुमति देगा जो प्रयोगात्मक परिणामों से मेल खाते हैं या मेल नहीं खाते हैं। यदि अभिधारणाएं प्रयोगात्मक भविष्यवाणियों को निकालने की अनुमति नहीं देती हैं, तो वे एक वैज्ञानिक वैचारिक रूपरेखा निर्धारित नहीं करते हैं और उन्हें पूर्ण या अधिक सटीक बनाना पड़ता है। यदि अभिगृहीत प्रायोगिक परिणामों के पूर्वानुमान निकालने की अनुमति देते हैं, तो प्रयोगों के साथ तुलना उस सिद्धांत को मिथ्या सिद्ध करने (मिथ्याकरण) की अनुमति देती है जिसे अभिधारणा स्थापित करती है। एक सिद्धांत को तब तक मान्य माना जाता है जब तक कि उसे गलत साबित नहीं किया गया हो।

अब, गणितीय स्वयंसिद्धों और वैज्ञानिक अभिधारणाओं के बीच संक्रमण हमेशा थोड़ा धुंधला होता है, विशेष रूप से भौतिकी में। यह भौतिक सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए गणितीय उपकरणों के भारी उपयोग के कारण है। उदाहरण के लिए, न्यूटन के नियमों का परिचय शायद ही कभी एक पूर्वापेक्षा के रूप में स्थापित होता है न तो यूक्लिडियन ज्यामिति या अंतर कलन जो कि वे लागू करते हैं। यह और अधिक स्पष्ट हो गया जब अल्बर्ट आइंस्टीन ने पहली बार विशेष सापेक्षता का परिचय दिया जहां अपरिवर्तनीय मात्रा यूक्लिडियन लंबाई $l$ $l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (के रूप में परिभाषित किया गया है ) से अधिक नहीं है लेकिन मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय अंतराल $s$ $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$(के रूप में परिभाषित किया गया है ), और फिर सामान्य सापेक्षता जहां फ्लैट मिन्कोस्कीयन ज्यामिति को घुमावदार कई गुना पर छद्म-रीमैनियन ज्यामिति के साथ बदल दिया गया है।

क्वांटम भौतिकी में, अभिधारणाओं के दो समुच्चय कुछ समय के लिए सह-अस्तित्व में रहे हैं, जो मिथ्याकरण का एक बहुत अच्छा उदाहरण प्रदान करते हैं। 'कोपेनहेगन व्याख्या' (नील्स बोह्र, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न) ने एक पूर्ण गणितीय औपचारिकता के साथ एक परिचालन दृष्टिकोण विकसि�