प्रत्यावर्तन (गणित)

For इस शब्द का प्राचीन प्रयोग, see घातांक.

एक इनवॉल्यूशन एक फंक्शन है $f:X\to X$ कि, जब दो बार लगाया जाता है, तो एक को शुरुआती बिंदु पर वापस लाता है।

गणित में, एक इनवोल्यूशन, इनवोल्यूशनरी फंक्शन, या सेल्फ-इनवर्स फंक्शन एक ऐसा फंक्शन f होता है जो इसका अपना व्युत्क्रम होता है,

f(f(x)) = x

f के क्षेत्र में सभी x के लिए। समान रूप से, f को दो बार लगाने से मूल मान मिलता है।

सामान्य गुण

कोई भी प्रत्यावर्तन एक द्विभाजन है।

एक पहचान मानचित्र समावेशन का एक छोटा उदाहरण है। अंकगणित में गैर-तुच्छ संयुग्मन के उदाहरणों में नकारात्मकता ($x\mapsto -x$), व्युत्क्रम ($x\mapsto 1/x$), और जटिल संयुग्मन ($z\mapsto {\bar {z}}$) सम्मिलित हैं; ज्यामिति में परावर्तन, अर्ध-मोड़ घूर्णन और ज्यामिति में वृत्त व्युत्क्रमण; समुच्चय सिद्धांत में पूरक (सेट सिद्धांत); और पारस्परिक सिफर जैसे ROT13 परिवर्तन और ब्यूफोर्ट सिफर पॉलीअल्फाबेटिक सिफर।

संयोजन g ∘ f दो अंतर्वलन f और g का एक अंतर्वलन है यदि और केवल यदि वे परिवर्तन करते हैं: g ∘ f = f ∘ g

परिमित समुच्चय पर अंतर्वलन

n = 0, 1, 2, ... तत्वों के साथ एक समुच्चय पर समरूपता सम्मिलित करने सहित सम्मिलित होने की संख्या, 1800 में हेनरिक अगस्त रोथ द्वारा पाया गया पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया गया है:

$a_{0}=a_{1}=1$ तथा $a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ के लिये $n>1.$

इस अनुक्रम के पहले कुछ पद 1 (संख्या), 1, 2 (संख्या), 4 (संख्या), 10 (संख्या), 26 (संख्या), 76 (संख्या), 232 (संख्या) हैं। (sequence A000085 in the OEIS); इन नंबरों को टेलीफोन नंबर (गणित) कहा जाता है, और वे दी गई सेल की संख्या के साथ नई सारणी की संख्या भी गिनते हैं। जो नंबर $a_{n}$ योग जैसे गैर-पुनरावर्ती सूत्रों द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है।

$$a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.$$

परिमित समुच्चय पर एक अंतर्वलन के निश्चित बिंदुओं की संख्या और इसकी प्रमुखता में समान समानता (गणित) है। इस प्रकार किसी दिए गए परिमित समुच्चय पर सभी आक्रमणों के निश्चित बिंदुओं की संख्या समान समानता है। विशेष रूप से, विषम संख्या में तत्वों पर प्रत्येक समावेशन में कम से कम एक निश्चित बिंदु (गणित) होता है। इसका उपयोग फर्मेट के दो-वर्ग प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

गणित के क्षेत्र में समावेश

पूर्व-कलन

सम्मिलित होने के कुछ बुनियादी उदाहरणों में कार्य शामिल हैं I

$${\begin{alignedat}{4}f_{1}(x)&=-x,\\f_{2}(x)&={\frac {1}{x,}}\\f_{3}(x)&={\frac {x}{x-1}},\\\end{alignedat}}$$

रचना $f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},$ और अधिक सामान्यतया पर फ़ंक्शन

$$g(x)={\frac {b-x}{1+cx}}$$

स्थिरांक $b$ और $c$ संतुष्ट करने वाले $bc\neq -1$ के लिए एक प्रक्षेप है।

ये सिर्फ प्री-कैलकुलस सम्मिलित नहीं है। धनात्मक श्रेणी में एक और है

$$f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right).$$

इनवोल्यूशन (वास्तविक संख्याओं पर) का ग्राफ रेखा $y=x$ के पार सममित है। यह इस तथ्य के कारण है कि किसी सामान्य फलन का व्युत्क्रम रेखा $y=x$ पर उसका प्रतिबिंब होगा। इसे $x$ को $y$ से "गमागमन" करके देखा जा सकता है। यदि, विशेष रूप से, फलन एक अंतर्वलन है, तो इसका ग्राफ स्वयं का प्रतिबिंब है। अन्य प्रारंभिक निवेश कार्यात्मक समीकरणों को हल करने में उपयोगी होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति

त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस को शामिल करने का एक सरल उदाहरण एक समतल के माध्यम से प्रतिबिंब है। एक प्रतिबिंब को दो बार करने से एक बिंदु अपने मूल निर्देशांक पर वापस आ जाता है।

एक अन्य अंतर्वलन उत्पत्ति के माध्यम से प्रतिबिंब है; उपरोक्त अर्थ में प्रतिबिंब नहीं है, और इसलिए, एक अलग उदाहरण।

ये परिवर्तन एफ़िन इनवोल्यूशन के उदाहरण हैं।

प्रक्षेपीय ज्यामिति

एक समावेशन अवधि 2 की एक प्रोजेक्टिविटी है, यानी एक प्रोजेक्टिविटी जो बिंदुओं के जोड़े को अन्तर्विनिमय कर देती है।

• कोई भी प्रोजेक्टिविटी जो दो बिंदुओं को प्रतिच्छेद करती है, एक इनवॉल्यूशन है।
• एक पूर्ण चतुर्भुज के विपरीत भुजाओं के तीन जोड़े किसी भी रेखा (शीर्ष के माध्यम से नहीं) के तीन जोड़े में एक अंतर्वलन से मिलते हैं। इस प्रमेय को डेसरग्यूस इन्वोल्यूशन प्रमेय कहा गया है। इसकी उत्पत्ति एलेक्जेंड्रिया के पप्पस के संग्रह के खंड VII में यूक्लिड के पोरिज्म के लेम्मा के लेम्मा IV में देखी जा सकती है।
• यदि किसी अंतर्वलन का एक निश्चित बिंदु है, तो इसका दूसरा और इन दो बिंदुओं के संबंध में हार्मोनिक संयुग्म के बीच एक पत्राचार है। इस उदाहरण में शामिल होने को "अतिशयोक्तिपूर्ण" कहा जाता है, जबकि यदि कोई निश्चित बिंदु नहीं हैं तो यह "दीर्घवृत्त" है। प्रोजेक्टिविटी के संदर्भ में, निश्चित बिंदुओं को डबल पॉइंट (दोहरे बिंदु) कहा जाता है।

प्रक्षेपी ज्यामिति में होने वाला एक अन्य प्रकार का समावेशन एक ध्रुवीयता है जो 2 अवधि का एक सहसंबंध है।

रेखीय बीजगणित

Further information: इन्वॉल्यूटरी मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक इनवोल्यूशन एक सदिश स्थान पर एक रैखिक ऑपरेटर T है, जैसे कि $T^{2}=I$ विशेषता 2 को छोड़कर, ऐसे ऑपरेटर किसी दिए गए आधार के लिए संबंधित मैट्रिक्स के विकर्ण पर सिर्फ 1s और -1s के साथ विकर्ण हैं। यदि ऑपरेटर ओर्थोगोनल (एक ऑर्थोगोनल इनवोल्यूशन) है, तो यह ऑर्थोनॉर्मल डायगोनलेबल है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक सदिश समष्टि V के लिए एक आधार चुना गया है और e₁ और e₂ आधार तत्व हैं। एक रैखिक रूपांतरण f मौजूद है जो e₁ को e₂ भेजता है, और e₂ को e₁ भेजता है, और जो अन्य सभी आधार वैक्टरों पर पहचान है। इसकी जाँच की जा सकती है कि f(f(x)) = x V में सभी x के लिए है। अर्थात, f, V का एक अंतर्वलन है।

एक विशिष्ट आधार के लिए, किसी भी रैखिक ऑपरेटर को एक मैट्रिक्स T द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्रत्येक मैट्रिक्स में एक स्थानान्तरण होता है, जो स्तंभों के लिए पंक्तियों की विनिमय कर के प्राप्त किया जाता है। यह स्थानान्तरण मैट्रिसेस के सेट पर एक इनवॉल्यूशन है।

इनवॉल्यूशन की परिभाषा आसानी से मॉड्यूल तक फैली हुई है। एक रिंग R पर एक मॉड्यूल M दिया गया है, M के एक R एंडोमोर्फिज्म f को एक इनवोल्यूशन कहा जाता है यदि f ² M पर सर्वसमिका समरूपता है।

इनवॉल्यूशन आइडम्पोटन्ट से संबंधित हैं; यदि 2 उलटा है तो वे एक-से-एक तरीके से मेल खाते हैं।

कार्यात्मक विश्लेषण में, बनच * - बीजगणित और सी * - बीजगणित विशेष प्रकार के बनच बीजगणित होते हैं जिनमें शामिल हैं।

चतुर्धातुक बीजगणित, समूह, अर्धसमूह

चतुष्कोणीय बीजगणित में, एक (एंटी-) इनवोल्यूशन निम्नलिखित स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित किया गया है: यदि हम एक परिवर्तन $x\mapsto f(x)$ पर विचार करते हैं तो यह एक इनवोल्यूशन है यदि

• $f(f(x))=x$ (यह स्वयं का प्रतिलोम है)
• $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ तथा $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ (यह रैखिक है)
• $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

एक विरोधी समावेशन पिछले स्वयंसिद्ध से नहीं बल्कि इसके बजाय होता है

• $f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

इस पूर्व नियम को कभी-कभी प्रतिवितरक कहा जाता है। यह समूह में ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ के रूप में भी प्रकट होता है। एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया गया, यह अंतर्वलन के साथ अर्धसमूह की धारणा की ओर ले जाता है, जिनमें से ऐसे प्राकृतिक उदाहरण हैं जो समूह नहीं बनाते हैं, के लिए उदाहरण के लिए, वर्ग मैट्रिक्स गुणन (अर्थात पूर्ण रेखीय मोनोइड) जिसमें अंतर्वलन के रूप में स्थानान्तरण होता है।

वलय सिद्धांत

Further information: * - बीजगणित

रिंग थ्योरी में, इनवोल्यूशन शब्द को सामान्यतया पर प्रतिसमरूपता के अर्थ में लिया जाता है जो कि इसका अपना उलटा कार्य है।

सामान्य रिंग्स में शामिल होने के उदाहरण:

• जटिल समतल पर जटिल संयुग्मन
• स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबरों में j से गुणा करना
• एक मैट्रिक्स रिंग में स्थानान्तरण लेना।

समूह सिद्धांत

समूह सिद्धांत में, समूह का एक तत्व एक समावेशन है यदि इसका क्रम 2 है; यानी एक इनवोल्यूशन एक ऐसा तत्व है जिसमें $a\neq e$ और a² = e, जहां e पहचान तत्व है।

मूल रूप से, यह परिभाषा ऊपर दी गई पहली परिभाषा से सहमत थी, क्योंकि समूहों के सदस्य हमेशा एक सेट से अपने आप में आक्षेपित होते थे; यानी, समूह को क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में लिया गया था। 19वीं शताब्दी के अंत तक, समूह को अधिक व्यापक रूप से परिभाषित किया गया था, और तदनुसार यह शामिल था।

एक क्रमचय एक अंतर्वलन है यदि और केवल यदि इसे असंयुक्त प्रतिस्थापनों के परिमित उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।

किसी समूह में शामिल होने से समूह की संरचना पर बड़ा प्रभाव पड़ता है। अंतर्विरोधों के अध्ययन से परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में सहायता मिली।

समूह $G$ का एक अवयव $x$ प्रबल रूप से वास्तविक कहलाता है यदि साथ $x^{t}=x^{-1}$ के साथ एक अंतर्वलन $t$ है (जहाँ पे $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$)

कॉक्सेटर समूह ऐसे समूह हैं जो इनवॉल्वमेंट्स द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो केवल उत्पन्न होने वाले इनवॉल्यूशन के जोड़े के लिए दिए गए संबंधों द्वारा निर्धारित होते हैं। कॉक्सेटर समूहों का उपयोग, अन्य बातों के अलावा, संभावित नियमित पॉलीहेड्रा और उनके सामान्यीकरण को उच्च आयामों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

गणितीय तर्क

बूलियन बीजगणित में पूरक की संक्रिया एक अंतर्वलन है। तदनुसार, चिरसम्मत तर्क में निषेध दोहरे निषेध के नियम को संतुष्ट करता है: ¬¬A, A के बराबर है।

आम तौर पर गैर-चिरसम्मत तर्क में, एक निषेध जो दोहरे निषेध के नियम को संतुष्ट करता है, समावेशी कहा जाता है। बीजगणितीय शब्दार्थों में, इस तरह के निषेध को सत्य मूल्यों के बीजगणित पर समावेश के रूप में महसूस किया जाता है। समावेशी निषेध वाले लॉजिक्स के उदाहरण हैं क्लेन और बोचवर थ्री-वैल्यू लॉजिक (तीन-मूल्यवान तर्क), लुकासिविक्ज़ मल्टी-वैल्यू लॉजिक, फज़ी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) आईएमटीएल, आदि। समावेशी निषेध को कभी-कभी गैर-समावेशी निषेध के साथ तर्क के अतिरिक्त संयोजक के रूप में जोड़ा जाता है; यह सामान्य है, उदाहरण के लिए, टी-मानदंड फजी लॉजिक में।

तर्क और बीजगणित की संबंधित विविधता के लिए नकारात्मकता की समावेशिता एक महत्वपूर्ण विशेषता है। उदाहरण के लिए, हेटिंग बीजगणित के बीच समावेशी नकारात्मकता बूलियन बीजगणित की विशेषता है। इसके विपरीत, शास्त्रीय बूलियन तर्क अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए दोहरे निषेध के नियम को जोड़कर उत्पन्न होता है। यही संबंध एमवी-अलजेब्रस और बीएल-एलजेब्रा (और तदनुसार लुकासिविक्ज़ लॉजिक और फज़ी लॉजिक बीएल के बीच), आईएमटीएल और एमटीएल (मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक), और अल्जेब्रा की महत्वपूर्ण किस्मों के अन्य युग्मों (उत्तर. संबंधित लॉजिक्स) के बीच भी होता है।

द्वि-संबंधों के अध्ययन में प्रत्येक संबंध का विलोम संबंध होता है। चूँकि विलोम का विलोम मूल संबंध है, रूपांतरण संक्रिया संबंधों की श्रेणी पर एक अंतर्वलन है। समावेशन (सेट सिद्धांत) के माध्यम से द्विआधारी संबंध आंशिक क्रम हैं। जबकि यह क्रम पूरकता (गणित) के साथ उलटा है, इसे रूपांतरण के तहत संरक्षित किया जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान

एक पैरामीटर के लिए दिए गए मान के साथ एक्सओआर (XOR) बिटवाइज़ ऑपरेशन एक इनवॉल्यूशन है। एक्सओआर मास्क का इस्तेमाल एक बार छवियों पर ग्राफिक्स को इस तरह से करने के लिए किया जाता था कि उन्हें पृष्ठभूमि पर दो बार चित्रित करने से पृष्ठभूमि को अपनी मूल स्थिति में बदल दिया जाता है। नॉट बिटवाइज़ ऑपरेशन भी एक इनवॉल्वमेंट है और XOR ऑपरेशन का एक विशेष मामला है जहाँ एक पैरामीटर में सभी बिट्स 1 पर सेट होते हैं।

एक अन्य उदाहरण एक बिट मास्क और शिफ्ट फ़ंक्शन है जो पूर्णांक के रूप में संग्रहीत रंग मानों पर काम करता है, आरजीबी के रूप में कहते हैं, जो आर और बी को स्वैप करता है, जिसके परिणामस्वरूप बीजीआर बनता है। एफ(एफ(आरजीबी))=आरजीबी, एफ(एफ(बीजीआर))=बीजीआर।

RC4 क्रिप्टोग्राफ़िक सिफर एक इनवॉल्यूशन है, क्योंकि एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन ऑपरेशंस एक ही फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं।

व्यावहारिक रूप से सभी मैकेनिकल सिफर मशीनें एक पारस्परिक सिफर को लागू करती हैं, प्रत्येक टाइप किए गए पत्र पर एक इनवोल्यूशन। दो प्रकार की मशीनों को डिज़ाइन करने के बजाय, एक एन्क्रिप्ट करने के लिए और एक डिक्रिप्टिंग के लिए, सभी मशीनें एक जैसी हो सकती हैं और उन्हें एक ही तरीके से सेट अप (कीड) किया जा सकता है।

व्यावहारिक रूप से सभी यांत्रिक सिफर मशीनें एक पारस्परिक सिफर लागू करती हैं, प्रत्येक टाइप किए गए पत्र पर एक अंतर्वलन। दो प्रकार की मशीनों को डिजाइन करने के बजाय, एक एन्क्रिप्ट करने के लिए और एक डिक्रिप्टिंग के लिए, सभी मशीनें एक जैसी हो सकती हैं और उन्हें एक ही तरीके से सेट (कीड) किया जा सकता है।

यह भी देखें

• ऑटोमोर्फिज्म
• निःशक्तता
• आरओटी13

अग्रिम पठन

• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Quaternion involutions and anti-involutions". Computers & Mathematics with Applications. 53 (1): 137–143. arXiv:math/0506034. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID 45639619.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, vol. 44, With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001
• "Involution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]