बाइनरी संबंध: Difference between revisions

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गणित में, एक द्विआधारी संबंध एक सेट के तत्वों को जोड़ता है, जिसे ''डोमेन'' कहा जाता है, दूसरे सेट के तत्वों के साथ, जिसे ''कोडोमेन'' कहा जाता है।<ref>{{Cite web|last=Meyer|first=Albert|date=17 November 2021|title=कंप्यूटर विज्ञान के लिए MIT 6.042J गणित, व्याख्यान 3T, स्लाइड 2|url=https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/lecture-slides/MIT6_042JS16_Relations.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20211117161447/https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/lecture-slides/MIT6_042JS16_Relations.pdf |archive-date=2021-11-17 }}</ref> सेट पर एक द्विआधारी संबंध (गणित) {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} आदेशित जोड़े का एक नया सेट है {{math|(''x'', ''y'')}} तत्वों से मिलकर {{mvar|x}} में {{mvar|X}} तथा {{mvar|y}} में {{mvar|Y}}.<ref name="Codd1970">{{cite journal |last1=Codd |first1=Edgar Frank
|authorlink=Edgar F. Codd|date=June 1970 |title=बड़े साझा डेटा बैंकों के लिए डेटा का एक संबंधपरक मॉडल|url=https://www.seas.upenn.edu/~zives/03f/cis550/codd.pdf |journal=Communications of the ACM |volume=13 |issue=6 |pages=377–387 |doi=10.1145/362384.362685 |s2cid=207549016 |access-date=2020-04-29}}</ref> यह एक एकात्मक कार्य के अधिक व्यापक रूप से समझे जाने वाले विचार का सामान्यीकरण है, लेकिन कम प्रतिबंधों के साथ। यह संबंध की सामान्य अवधारणा को कूटबद्ध करता है: एक तत्व {{mvar|x}} एक तत्व से संबंधित है {{mvar|y}}, [[अगर और केवल अगर]] जोड़ी {{math|(''x'', ''y'')}} ऑर्डर किए गए जोड़े के सेट से संबंधित है जो बाइनरी रिलेशन को परिभाषित करता है। एक द्विआधारी संबंध सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला विशेष मामला है {{math|1=''n'' = 2}} एक परिमित संबंध का |{{mvar|n}}सेट से अधिक संबंध {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}}, जो [[कार्तीय गुणन]]फल का एक उपसमुच्चय है <math>X_1 \times \cdots \times X_n.</math><ref name="Codd1970"/>


द्विआधारी संबंध का एक उदाहरण [[अभाज्य संख्या]]ओं के समुच्चय पर [[विभाजित]] संबंध है <math>\mathbb{P}</math> और [[पूर्णांक]]ों का समुच्चय <math>\mathbb{Z}</math>, जिसमें प्रत्येक प्रधान {{mvar|p}} प्रत्येक पूर्णांक से संबंधित है {{mvar|z}} यह की एक विभाज्यता है {{mvar|p}}, लेकिन उस पूर्णांक तक नहीं जो का गुणज नहीं है {{mvar|p}}. इस संबंध में, उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 2 संख्याओं से संबंधित है जैसे -4, 0, 6, 10, लेकिन 1 या 9 से नहीं, जैसे अभाज्य संख्या 3 0, 6 और 9 से संबंधित है, लेकिन 4 या 13 तक नहीं।
गणित में, '''द्विआधारी (बाइनरी) सम्बन्ध''' किसी समुच्चय के अवयवों को सम्मिलित करता है, जिसे ''प्रान्त (डोमेन)'' कहा जाता है, तथा किसी अन्य समुच्चय के अवयवों के साथ, ''सहप्रांत (कोडोमेन)'' कहलाता है।<ref>{{Cite web|last=Meyer|first=Albert|date=17 November 2021|title=कंप्यूटर विज्ञान के लिए MIT 6.042J गणित, व्याख्यान 3T, स्लाइड 2|url=https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/lecture-slides/MIT6_042JS16_Relations.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20211117161447/https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/lecture-slides/MIT6_042JS16_Relations.pdf |archive-date=2021-11-17 }}</ref> समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} पर द्विआधारी सम्बन्ध क्रमित युग्म {{math|(''x'', ''y'')}} का एक नवीन समुच्चय है जिसमें {{mvar|X}} में {{mvar|x}} अवयव और {{mvar|Y}} में {{mvar|y}} अवयव सम्मिलित हैं।<ref name="Codd1970">{{cite journal |last1=Codd |first1=Edgar Frank
|authorlink=Edgar F. Codd|date=June 1970 |title=बड़े साझा डेटा बैंकों के लिए डेटा का एक संबंधपरक मॉडल|url=https://www.seas.upenn.edu/~zives/03f/cis550/codd.pdf |journal=Communications of the ACM |volume=13 |issue=6 |pages=377–387 |doi=10.1145/362384.362685 |s2cid=207549016 |access-date=2020-04-29}}</ref> यह एकल फलन के अधिक व्यापक रूप से समझे जाने वाले विचार का सामान्यीकरण है, परन्तु कम प्रतिबंधों के साथ। यह सम्बन्ध की सामान्य अवधारणा को कूटबद्ध करता है: अवयव {{mvar|x}} एक अवयव {{mvar|y}} से सम्बन्धित है, [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] युग्म {{math|(''x'', ''y'')}} क्रमित युग्म के समुच्चय से सम्बन्धित है जो ''द्विआधारी सम्बन्ध'' को परिभाषित करता है। द्विआधारी सम्बन्ध समुच्चय {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}} पर  {{mvar|n}}-आर्य सम्बन्ध का सबसे अधिक अध्ययन किया गया विशेष स्थिति {{math|1=''n'' = 2}} है, जो [[कार्तीय गुणन|कार्तीय गुणनफल]] <math>X_1 \times \cdots \times X_n</math> का उपसमुच्चय है।<ref name="Codd1970" />


विभिन्न प्रकार की अवधारणाओं को मॉडल करने के लिए गणित की कई शाखाओं में द्विआधारी संबंधों का उपयोग किया जाता है। इनमें शामिल हैं, दूसरों के बीच में:
द्विआधारी सम्बन्ध का एक उदाहरण [[अभाज्य संख्या]] <math>\mathbb{P}</math> के समुच्चय और [[पूर्णांक]] <math>\mathbb{Z}</math> के समुच्चय पर "[[विभाजित]]" सम्बन्ध है, जिसमें प्रत्येक अभाज्य {{mvar|p}} प्रत्येक पूर्णांक {{mvar|z}} से सम्बन्धित है जो कि {{mvar|p}} का गुणज है, परन्तु उस पूर्णांक से नहीं जो {{mvar|p}} का गुणज नहीं है। इस सम्बन्ध में, उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 2 −4, 0, 6, 10, जैसी संख्याओं से सम्बन्धित है, परन्तु 1 या 9 से नहीं, ठीक वैसे ही जैसे अभाज्य संख्या 3 0, 6 और 9 से सम्बन्धित है, परन्तु 4 या 13 से नहीं।
* अ[[समानता (गणित)]], समानता (गणित), और [[अंकगणित]] में संबंधों को विभाजित करता है;
* [[ज्यामिति]] में [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] संबंध;
* [[ग्राफ सिद्धांत]] में संबंध के निकट है;
* रैखिक बीजगणित में संबंध के लिए [[ओर्थोगोनल]] है।


एक फलन (गणित) को एक विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://mathinsight.org/definition/relation|title=संबंध परिभाषा - गणित अंतर्दृष्टि|website=mathinsight.org|access-date=2019-12-11}}</ref> [[कंप्यूटर विज्ञान]] में द्विआधारी संबंधों का भी अत्यधिक उपयोग किया जाता है।
विभिन्न प्रकार की अवधारणाओं को प्रतिरूपित करने के लिए गणित की कई शाखाओं में द्विआधारी सम्बन्ध का उपयोग किया जाता है। इनमें अन्य के साथ निम्लिखित भी सम्मिलित हैं:
* [[अंकगणित]] में "से बड़ा है", "बराबर है", और "विभाजित" संबंध;
*[[ज्यामिति]] में "[[सर्वांगसमता (ज्यामिति)|के सर्वांगसम]]" संबंध;
*[[ग्राफ सिद्धांत]] में "निकटवर्ती है" संबंध;
* रैखिक बीजगणित में "के [[ओर्थोगोनल|लंबकोणीय]] है" संबंध।


सेट पर एक द्विआधारी संबंध {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} के [[सत्ता स्थापित]] का एक तत्व है <math>X \times Y.</math> चूंकि बाद वाले सेट को [[समावेशन (सेट सिद्धांत)]] (⊆) द्वारा आदेशित किया गया है, प्रत्येक संबंध में सबसेट के जाली (क्रम) में एक स्थान है <math>X \times Y.</math> X = Y होने पर एक द्विआधारी संबंध को #समरूप संबंध कहा जाता है। एक द्विआधारी संबंध को एक विषम संबंध भी कहा जाता है जब यह आवश्यक नहीं है कि X = Y।
फलन को विशेष प्रकार के द्विआधारी सम्बन्ध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://mathinsight.org/definition/relation|title=संबंध परिभाषा - गणित अंतर्दृष्टि|website=mathinsight.org|access-date=2019-12-11}}</ref> [[कंप्यूटर विज्ञान|संगणक विज्ञान]] में द्विआधारी सम्बन्धों का भी अत्यधिक उपयोग किया जाता है।


चूंकि संबंध सेट हैं, उन्हें सेट संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें [[संघ (सेट सिद्धांत)]], इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत), और [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] शामिल हैं, और सेट के बीजगणित के कानूनों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विलोम संबंध और संबंधों की संरचना जैसे संक्रियाएं उपलब्ध हैं, जो संबंधों की कलन के नियमों को संतुष्ट करती हैं, जिसके लिए अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) द्वारा पाठ्यपुस्तकें हैं। अर्न्स्ट श्रोडर,<ref name="Schroder.1895">[[Ernst Schröder (mathematician)|Ernst Schröder]] (1895) [https://archive.org/details/vorlesungenberd03mlgoog Algebra und Logic der Relative], via [[Internet Archive]]</ref> [[क्लेरेंस लुईस]],<ref name="Lewis.1918">[[C. I. Lewis]] (1918) [https://archive.org/details/asurveyofsymboli00lewiuoft A Survey of Symbolic Logic] , pages 269 to 279, via internet Archive</ref> और [[गुंथर श्मिट]]।<ref name=gs />संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें उपसमुच्चय में विघटित करना शामिल है {{em|concepts}}, और उन्हें एक [[पूर्ण जाली]] में रखकर।
समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} पर एक द्विआधारी सम्बन्ध <math>X \times Y</math> के [[सत्ता स्थापित|पावर समुच्चय]] का अवयव है। चूँकि अनुवर्ती समुच्चय को [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|अंतर्वेशन]] (⊆) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, प्रत्येक सम्बन्ध को <math>X \times Y</math> के उपसमुच्चयों के जालक में स्थान प्राप्त होता है जब X = Y होता है अतः द्विआधारी सम्बन्ध को सजातीय सम्बन्ध कहा जाता है। द्विआधारी सम्बन्ध को विजातीय सम्बन्ध भी कहा जाता है जब यह आवश्यक नहीं है कि X = Y।


[[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] की कुछ प्रणालियों में, संबंध [[वर्ग (गणित)]] तक विस्तारित होते हैं, जो सेट के सामान्यीकरण होते हैं। इस विस्तार की आवश्यकता अन्य बातों के अलावा, रसेल के विरोधाभास जैसी तार्किक विसंगतियों में चलने के बिना, सेट थ्योरी का एक तत्व है या का एक सबसेट है, की अवधारणाओं को मॉडलिंग करना है।
चूंकि सम्बन्ध समुच्चय हैं, उन्हें समुच्चय संक्रिया का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें [[संघ (सेट सिद्धांत)|संश्रय]], उभयनिष्ठ (इंटरसेक्शन) और [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक]] सम्मिलित है, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करना। इसके अतिरिक्त, सम्बन्ध के प्रतिलोम और सम्बन्धों के संघटन जैसे संक्रियाएं उपलब्ध हैं, जो सम्बन्धों की कलन के नियमों को संतुष्ट करती हैं, जिसके लिए अर्नस्ट श्रोडर,<ref name="Schroder.1895">[[Ernst Schröder (mathematician)|Ernst Schröder]] (1895) [https://archive.org/details/vorlesungenberd03mlgoog Algebra und Logic der Relative], via [[Internet Archive]]</ref> [[क्लेरेंस लुईस]],<ref name="Lewis.1918">[[C. I. Lewis]] (1918) [https://archive.org/details/asurveyofsymboli00lewiuoft A Survey of Symbolic Logic] , pages 269 to 279, via internet Archive</ref> और [[गुंथर श्मिट]] द्वारा पाठ्यपुस्तकें हैं।<ref name="gs">[[Gunther Schmidt]], 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-76268-7}}, Chapt. 5</ref> सम्बन्धों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणाओं नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें एक [[पूर्ण जाली|पूर्ण जालक]] में रखना सम्मिलित है।
 
शर्तें {{em|correspondence}},<ref>Jacobson, Nathan (2009), [https://books.google.com/books?id=hn75exNZZ-EC&printsec=frontcover#v=onepage&q=correspondence Basic Algebra II (2nd ed.)] §&nbsp;2.1.</ref> युग्मक संबंध<!---[[Dyadic relation]]---> और दो जगह संबंध<!---[[Two-place relation]]---> द्विआधारी संबंध के पर्यायवाची हैं, हालांकि कुछ लेखक कार्टेशियन उत्पाद के किसी भी सबसेट के लिए द्विआधारी संबंध शब्द का उपयोग करते हैं <math>X \times Y</math> के संदर्भ के बिना {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}}, और संदर्भ के साथ एक द्विआधारी संबंध के लिए शब्द पत्राचार आरक्षित करें {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}}.{{citation needed|reason=Who?|date=June 2021}}


[[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत|स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत]] की कुछ प्रणालियों में, सम्बन्धों को [[वर्ग (गणित)|वर्गों]] तक विस्तारित किया जाता है, जो समुच्चयों का सामान्यीकरण है। रसेल के विरोधाभास जैसे तार्किक विसंगतियों में भाग लिए बिना, अन्य बातों के अतिरिक्त, इस विस्तार की आवश्यकता समुच्चय सिद्धांत में "का एक अवयव है" या "का एक उपसमुच्चय है" की अवधारणाओं को मॉडलिंग करने के लिए है।


संबंध ''समतुल्यता'',<ref>Jacobson, Nathan (2009), [https://books.google.com/books?id=hn75exNZZ-EC&printsec=frontcover#v=onepage&q=correspondence Basic Algebra II (2nd ed.)] §&nbsp;2.1.</ref> '''द्विपदी संबंध''' और '''दो-स्थान सम्बन्ध''' द्विआधारी सम्बन्ध के लिए समानार्थी हैं, हालांकि कुछ लेखक {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} के संदर्भ के बिना कार्तीय गुणन <math>X \times Y</math> के किसी भी उपसमूह के लिए "द्विआधारी सम्बन्ध" शब्द का उपयोग करते हैं, और {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} के संदर्भ में बाइनरी रिलेशन के लिए "समतुल्यता" शब्द आरक्षित करते हैं।{{citation needed|reason=Who?|date=June 2021}}<!---[[Dyadic relation]]---><!---[[Two-place relation]]--->
== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणनफल <math>X \times Y</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>\{ (x, y) : x \in X \text{ and } y \in Y \},</math> और इसके तत्वों को क्रमित युग्म कहा जाता है।
दिए गए समुच्चय ''X'' और ''Y'', कार्तीय गुणनफल <math>X \times Y</math> को <math>\{ (x, y) : x \in X \text{ and } y \in Y \},</math> के रूप में परिभाषित किया गया है और इसके अवयवों को क्रमित युग्म कहा जाता है।


ए {{em|binary relation}} R ओवर सेट X और Y का एक उपसमुच्चय है <math>X \times Y.</math><ref name="Codd1970" /><ref>{{harvnb|Enderton|1977|loc=Ch 3. pg. 40}}</ref> समुच्चय X कहलाता है {{em|domain}}<ref name="Codd1970" />या {{em|set of departure}} आर का, और सेट वाई {{em|codomain}} या {{em|set of destination}} R का। सेट X और Y के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक परिभाषित करते हैं {{em|binary relation}} या {{em|correspondence}} एक आदेशित ट्रिपल के रूप में {{math|(''X'', ''Y'', ''G'')}}, जहां G का उपसमुच्चय है <math>X \times Y</math> इसको कॉल किया गया {{em|graph}} द्विआधारी संबंध का। कथन <math>(x, y) \in R</math> पढ़ता है कि x, R से संबंधित है और इसे xRy द्वारा निरूपित किया जाता है।<ref name="Schroder.1895"/><ref name="Lewis.1918"/><ref name=gs/>{{#tag:ref|Authors who deal with binary relations only as a special case of ''n''-ary relations for arbitrary ''n'' usually write ''Rxy'' as a special case of ''Rx''<sub>1</sub>...''x''<sub>''n''</sub> ([[Polish notation|prefix notation]]).<ref>{{cite book | issn=1431-4657 | isbn=3540058192 | author=Hans Hermes | title=Introduction to Mathematical Logic | location=London | publisher=Springer | series=Hochschultext (Springer-Verlag) | year=1973 }} Sect.II.§1.1.4</ref>|group=note}} {{em|domain of definition}} }} या {{em|active domain}}<ref name="Codd1970" />R का सभी x का ऐसा समुच्चय है कि कम से कम एक y के लिए xRy है। परिभाषा का कोडोमेन, {{em|active codomain}},<ref name="Codd1970" /> {{em|image}} या {{em|range}} का R सभी y का ऐसा समुच्चय है कि xRy कम से कम एक x के लिए। {{em|field}} R का }} परिभाषा के अपने डोमेन और परिभाषा के कोडोमेन का संघ है।<ref name="suppes">
समुच्चय ''X'' और ''Y'' पर द्विआधारी सम्बन्ध ''R'' <math>X \times Y</math><ref name="Codd1970" /><ref>{{harvnb|Enderton|1977|loc=Ch 3. pg. 40}}</ref> का उपसमुच्चय है। समुच्चय ''X'' को ''प्रान्त''<ref name="Codd1970" /> या ''R'' के ''विचलन का समुच्चय'' कहा जाता है, और समुच्चय ''Y'' को सहप्रांत या ''R'' के ''गंतव्य का समुच्चय'' कहा जाता है। समुच्चय ''X'' और ''Y'' के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक ''द्विआधारी सम्बन्ध'' या ''समतुल्यता'' को क्रमित ट्रिपल {{math|(''X'', ''Y'', ''G'')}} के रूप में परिभाषित करते हैं, जहां ''G'' <math>X \times Y</math> का एक उपसमुच्चय है जिसे द्विआधारी सम्बन्ध का ''ग्राफ'' कहा जाता है। प्रकथन <math>(x, y) \in R</math> पढ़ता है "''x'' ''R'' से सम्बन्धित है" और ''xRy'' द्वारा चिह्नित किया गया है।<ref name="Schroder.1895"/><ref name="Lewis.1918"/><ref name=gs/>{{#tag:ref|Authors who deal with binary relations only as a special case of ''n''-ary relations for arbitrary ''n'' usually write ''Rxy'' as a special case of ''Rx''<sub>1</sub>...''x''<sub>''n''</sub> ([[Polish notation|prefix notation]]).<ref>{{cite book | issn=1431-4657 | isbn=3540058192 | author=Hans Hermes | title=Introduction to Mathematical Logic | location=London | publisher=Springer | series=Hochschultext (Springer-Verlag) | year=1973 }} Sect.II.§1.1.4</ref>|group=note}} ''परिभाषा-प्रांत'' या ''R'' का ''सक्रिय प्रान्त''<ref name="Codd1970" /> सभी ''x'' का समुच्चय है जैसे कम से कम एक ''y'' के लिए ''xRy''। ''परिभाषा-सहप्रांत'', ''सक्रिय सहप्रांत'',<ref name="Codd1970" /> छवि या ''R'' की श्रेणी सभी ''y'' का समुच्चय है जैसे कम से कम एक ''x'' के लिए ''xRy''। ''R'' का ''क्षेत्र'' इसके परिभाषा-प्रांत और इसके परिभाषा-सहप्रांत का मिलन है।<ref name="suppes">
{{cite book
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|title=Axiomatic Set Theory
|title=Axiomatic Set Theory
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}}
}}
</ref>
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कब <math>X = Y,</math> एक द्विआधारी संबंध कहा जाता है {{em|[[homogeneous relation]]}} (या {{em|endorelation}}). इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि X और Y को भिन्न होने की अनुमति है, एक द्विआधारी संबंध को एक विषम संबंध भी कहा जाता है।<ref name="Schmidt">{{cite book|last1=Schmidt|first1=Gunther|last2=Ströhlein|first2=Thomas|title=संबंध और रेखांकन: कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए असतत गणित|url={{google books |plainurl=y |id=ZgarCAAAQBAJ|paged=277}}|date=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-77968-8|author-link1=Gunther Schmidt |at=Definition 4.1.1.}}</ref><ref name="FloudasPardalos2008">{{cite book|author1=Christodoulos A. Floudas|author-link1=Christodoulos Floudas|author2=Panos M. Pardalos|title=अनुकूलन का विश्वकोश|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-74758-3|pages=299–300|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=1a6lSRbQ4YsC&q=relation}}</ref><ref name="Winter2007">{{cite book|author=Michael Winter|title=गोगुएन श्रेणियाँ: एल-फ़ज़ी संबंधों के लिए एक स्पष्ट दृष्टिकोण|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-1-4020-6164-6|pages=x-xi}}</ref>
 
एक द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है; यदि <math>x \neq y</math> तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।
जब <math>X = Y,</math> द्विआधारी सम्बन्ध को एक {{em|[[सजातीय संबंध]]}} (या ''अंतःकरण'') कहा जाता है। इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि ''X'' और ''Y'' को अलग-अलग होने की अनुमति है, एक द्विआधारी सम्बन्ध को विजातीय सम्बन्ध भी कहा जाता है।<ref name="Schmidt">{{cite book|last1=Schmidt|first1=Gunther|last2=Ströhlein|first2=Thomas|title=संबंध और रेखांकन: कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए असतत गणित|url={{google books |plainurl=y |id=ZgarCAAAQBAJ|paged=277}}|date=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-77968-8|author-link1=Gunther Schmidt |at=Definition 4.1.1.}}</ref><ref name="FloudasPardalos2008">{{cite book|author1=Christodoulos A. Floudas|author-link1=Christodoulos Floudas|author2=Panos M. Pardalos|title=अनुकूलन का विश्वकोश|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-74758-3|pages=299–300|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=1a6lSRbQ4YsC&q=relation}}</ref><ref name="Winter2007">{{cite book|author=Michael Winter|title=गोगुएन श्रेणियाँ: एल-फ़ज़ी संबंधों के लिए एक स्पष्ट दृष्टिकोण|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-1-4020-6164-6|pages=x-xi}}</ref>
 
द्विआधारी सम्बन्ध में, अवयवों का क्रम महत्वपूर्ण है; यदि <math>x \neq y</math> है तो ''yRx'' ''xRy'' से स्वतंत्र रूप से सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3, 9 को विभाजित करता है, परन्तु 9, 3 को विभाजित नहीं करता।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left:1em; text-align:center;"
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left:1em; text-align:center;"
|+ 2nd example relation
|+ द्वितीय उदाहरण सम्बन्ध
! {{diagonal split header|{{math|''B''{{prime}}}}|{{math|''A''}}}}
! {{diagonal split header|{{math|''B''{{prime}}}}|{{math|''A''}}}}
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! scope="col" | car
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! scope="col" | doll
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! scope="row" | जॉन
| '''+''' || − || − || −
| '''+''' || − || − || −
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! scope="row" | मैरी
| − || − || '''+''' || −
| − || − || '''+''' || −
|-
|-
! scope="row" | Venus
! scope="row" | वीनस
| − || '''+''' || − || −
| − || '''+''' || − || −
|}
|}
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left:1em; text-align:center;"
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left:1em; text-align:center;"
|+ 1st example relation
|+ प्रथम उदाहरण सम्बन्ध
! {{diagonal split header|{{math|''B''}}|{{math|''A''}}}}
! {{diagonal split header|{{math|''B''}}|{{math|''A''}}}}
! scope="col" | ball
! scope="col" | बॉल
! scope="col" | car
! scope="col" | कार
! scope="col" | doll
! scope="col" | डॉल
! scope="col" | cup
! scope="col" | कप
|-
|-
! scope="row" | John
! scope="row" | जॉन
| '''+''' || − || − || −
| '''+''' || − || − || −
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|-
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! scope="row" | मैरी
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| − || − || '''+''' || −
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! scope="row" | इयान
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| − || − || − || −
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|}
|}
1) निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि कोडोमेन का चुनाव महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि चार वस्तुएं हैं <math>A = \{ \text{ball, car, doll, cup} \}</math> और चार लोग <math>B = \{ \text{John, Mary, Ian, Venus} \}.</math> ए और बी पर एक संभावित संबंध, द्वारा दिया गया संबंध है <math>R = \{ (\text{ball, John}), (\text{doll, Mary}), (\text{car, Venus}) \}.</math> यही है, जॉन गेंद का मालिक है, मैरी गुड़िया का मालिक है, और वीनस कार का मालिक है। किसी के पास कप नहीं है और इयान के पास कुछ भी नहीं है; पहला उदाहरण देखें। एक समुच्चय के रूप में, R में इयान शामिल नहीं है, और इसलिए R को एक उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता था <math>A \times \{ \text{John, Mary, Venus} \},</math> यानी ए और से अधिक संबंध <math>\{ \text{John, Mary, Venus} \};</math> दूसरा उदाहरण देखें। जबकि दूसरा उदाहरण संबंध विशेषण है (#विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध देखें), पहला नहीं है।
1) निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि सहप्रांत का चयन महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि चार वस्तुएँ <math>A = \{ \text{ball, car, doll, cup} \}</math> और चार लोग <math>B = \{ \text{John, Mary, Ian, Venus} \}</math> हैं। ''A'' और ''B'' पर एक संभावित सम्बन्ध <math>R = \{ (\text{ball, John}), (\text{doll, Mary}), (\text{car, Venus}) \}</math> द्वारा दिया गया सम्बन्ध "के स्वामित्व में है" है। अर्थात, जॉन बॉल का मालिक है, मैरी डॉल का मालिक है, और वीनस कार का मालिक है। कोई भी कप का मालिक नहीं है और इयान के पास कुछ भी नहीं है; प्रथम उदाहरण देखें। एक समुच्चय के रूप में, ''R'' में इयान सम्मिलित नहीं है, और इसलिए ''R'' को <math>A \times \{ \text{John, Mary, Venus} \},</math> के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता था, अर्थात ''A'' और <math>\{ \text{John, Mary, Venus} \};</math> पर एक सम्बन्ध, द्वितीय उदाहरण देखें। जबकि द्वितीय उदाहरण सम्बन्ध आच्छादक है (नीचे देखें), पहला नहीं है।
 
2) मान लीजिए कि A = {भारतीय, आर्कटिक, अटलांटिक, प्रशांत}, विश्व के [[सागर|महासागर]], और B = {एनए, एसए, एएफ, ईयु, एएस, एयु, एए}, [[महाद्वीप]] हैं। माना ''aRb'' उस महासागर को निरूपित करता है जो महाद्वीप b की सीमा बनाता है। तब इस सम्बन्ध के लिए [[तार्किक मैट्रिक्स|तार्किक आव्यूह]] है:


[[File:Oceans and continents coarse.png|thumb|250px|right|महासागर और महाद्वीप (छोड़े गए द्वीप)]]
[[File:Oceans and continents coarse.png|thumb|250px|right|महासागर और महाद्वीप (छोड़े गए द्वीप)]]
{|  class="wikitable" style="float: right; margin-left:1em; text-align:center;"
{|  class="wikitable" style="float: right; margin-left:1em; text-align:center;"
|+Ocean borders continent
|+महासागर की सीमाएँ महाद्वीप
!
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! scope="col" | NA
! scope="col" | एनए
! scope="col"      | SA
! scope="col"      | एसए
! scope="col"            | AF
! scope="col"            | एएफ
! scope="col"                | EU
! scope="col"                | ईयु
! scope="col"                      | AS
! scope="col"                      | एएस
! scope="col"                            | AU
! scope="col"                            | एयु
! scope="col"                                  | AA
! scope="col"                                  | एए
|-
|-
! scope="row" | Indian
! scope="row" | भारतीय
|0||0||1||0||1||1||1
|0||0||1||0||1||1||1
|-   
|-   
! scope="row" | Arctic
! scope="row" | आर्कटिक
|1||0||0||1||1||0||0  
|1||0||0||1||1||0||0  
|-
|-
! scope="row" | Atlantic
! scope="row" | अटलांटिक
|1||1||1||1||0||0||1
|1||1||1||1||0||0||1
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|-
! scope="row" | Pacific
! scope="row" | प्रशांत
|1||1||0||0||1||1||1
|1||1||0||0||1||1||1
|}
|}
2) माना A = {भारतीय, आर्कटिक, अटलांटिक, प्रशांत}, विश्व के महा[[सागर]], और B = {NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA}, [[महाद्वीप]]। मान लीजिए aRb उस महासागर को निरूपित करता है जिसकी सीमा महाद्वीप b है। तब इस संबंध के लिए [[तार्किक मैट्रिक्स]] है:
 
:<math>R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} .</math>
:<math>R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} .</math>
आर आर के माध्यम से पृथ्वी ग्रह की संयोजकता को देखा जा सकता है<sup>टी</सुप> और आर<sup>टी</sup> आर, पूर्व एक है <math>4 \times 4</math> ए पर संबंध, जो सार्वभौमिक संबंध है (<math>A \times A</math> या सभी का तार्किक मैट्रिक्स)। यह सार्वभौमिक संबंध इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक महासागर दूसरे महाद्वीपों से अधिक से अधिक एक महाद्वीप से अलग होता है। दूसरी ओर, आर<sup>T</sup> R पर संबंध है <math>B \times B</math> जो सार्वभौमिक होने में विफल रहता है क्योंकि [[यूरोप]] से [[ऑस्ट्रेलिया]] तक यात्रा करने के लिए कम से कम दो महासागरों को पार करना पड़ता है।
ग्रह पृथ्वी की संयोजकता को ''R R''<sup>T</sup> और ''R''<sup>T</sup> ''R'' के माध्यम से देखा जा सकता है, पूर्व में ''A'' पर <math>4 \times 4</math> सम्बन्ध है, जो सार्वभौमिक सम्बन्ध (<math>A \times A</math> या सभी का एक तार्किक आव्यूह) है। यह सार्वभौमिक सम्बन्ध इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक महासागर दूसरे महाद्वीपों से अधिक से अधिक एक महाद्वीप से अलग होता है। दूसरी ओर, ''R''<sup>T</sup> ''R'' <math>B \times B</math> पर एक सम्बन्ध है जो सार्वभौमिक होने में ''विफल'' रहता है क्योंकि [[यूरोप]] से [[ऑस्ट्रेलिया]] तक यात्रा करने के लिए कम से कम दो महासागरों की यात्रा करनी चाहिए।


3) संबंधों का चित्रण