फर्मेट बिंदु: Difference between revisions

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{{Short description|Triangle center minimizing sum of distances}}
{{Short description|Triangle center minimizing sum of distances}}
[[Image:Fermat Point.svg|thumb|right|300px|चित्र 1.   पहले आइसोगोनिक केंद्र का निर्माण, X(13)। जब त्रिभुज का कोई कोण 120° से अधिक नहीं होता है, तो यह बिंदु फर्मेट बिंदु होता है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज का फ़र्मेट बिंदु, जिसे टोरिकेली बिंदु या फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदु भी कहा जाता है, एक ऐसा बिंदु है, जहाँ त्रिभुज के तीन शीर्षों में से प्रत्येक से बिंदु तक तीन दूरियों का योग सबसे छोटा संभव है।<ref>[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations]</ref> इसका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इस समस्या को सबसे पहले [[पियरे डी फर्मेट]] ने [[इवेंजलिस्ता  टोरिकेली]] को एक निजी पत्र में उठाया था, जिन्होंने इसे हल किया था।
[[Image:Fermat Point.svg|thumb|right|300px|चित्र 1.   पहले तुल्यकोणी केंद्र का निर्माण, X(13)। जब त्रिभुज का कोई कोण 120° से अधिक नहीं होता है, तो यह बिंदु फर्मेट बिंदु होता है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज का फ़र्मेट बिंदु, जिसे टोरिकेली बिंदु या फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदु भी कहा जाता है, एक ऐसा बिंदु है, जहाँ त्रिभुज के तीन शीर्षों में से प्रत्येक से बिंदु तक तीन दूरियों का योग सबसे छोटा संभव है।<ref>[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations]</ref> इसका नाम इसलिए यह रखा गया है क्योंकि इस समस्या को सबसे पहले [[पियरे डी फर्मेट]] ने [[इवेंजलिस्ता  टोरिकेली]] को एक निजी पत्र में उठाया गया था, जिन्होंने इसे सबसे पहले हल किया था।


फर्मेट बिंदु तीन बिंदुओं के लिए [[ज्यामितीय माध्यिका]] और [[स्टेनर वृक्ष की समस्याओं]] का समाधान देता है।
फर्मेट बिंदु तीन बिंदुओं के लिए [[ज्यामितीय माध्यिका]] और [[स्टेनर वृक्ष की समस्याओं]] का समाधान देता है।
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जब एक त्रिभुज का कोण 120° से अधिक होता है, तो फ़र्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित होता है।
जब एक त्रिभुज का कोण 120° से अधिक होता है, तो फ़र्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित होता है।


निम्नलिखित में "स्थिति 1" का अर्थ है कि त्रिभुज का कोण 120° से अधिक है और "स्थिति 2" का अर्थ है कि त्रिभुज का कोई भी कोण 120° से अधिक नहीं है।
निम्नलिखित में "स्थिति 1" का अर्थ यह है कि त्रिभुज का कोण 120° से अधिक है और "स्थिति 2" का अर्थ है कि त्रिभुज का कोई भी कोण 120° से अधिक नहीं है।


== एक्स (13) का स्थान ==
== X(13) का स्थान ==
[[Image:Fermat Point Proof.svg|thumb|right|300px|चित्र 2.   पहले आइसोगोनिक केंद्र की ज्यामिति।]]चित्र 2 समबाहु त्रिभुज ARB, AQC और CPB को यादृच्छिक त्रिभुज ABC की भुजाओं से जुड़ा हुआ दिखाता है।
[[Image:Fermat Point Proof.svg|thumb|right|300px|चित्र 2.   पहले तुल्यकोणी केंद्र की ज्यामिति।]]चित्र 2 समबाहु त्रिभुज ARB, AQC और CPB को यादृच्छिक त्रिभुज ABC की भुजाओं से जुड़ा हुआ दिखाता है।
यहाँ [[चक्रीय बिंदु|चक्रीय बिंदुओं]] के गुणों का उपयोग करके यह दिखाने का प्रयास गया है कि चित्र 2 में तीन रेखाएँ RC, BQ और AP सभी बिंदु F पर प्रतिच्छेद करती हैं और एक दूसरे को 60° के कोण पर काटती हैं।
यहाँ [[चक्रीय बिंदु|चक्रीय बिंदुओं]] के गुणों का उपयोग करके यह दिखाने का प्रयास गया है कि चित्र 2 में तीन रेखाएँ RC, BQ और AP सभी बिंदु F पर प्रतिच्छेद करती हैं और एक दूसरे को 60° के कोण पर काटती हैं।


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∠ARB = 60°, इसलिए ∠AFB = 120°, [[उत्कीर्ण कोण प्रमेय]] का उपयोग करके। इसी प्रकार, ∠AFC = 120°।
∠ARB = 60°, इसलिए ∠AFB = 120°, [[उत्कीर्ण कोण प्रमेय]] का उपयोग करके। इसी प्रकार, ∠AFC = 120°।


इसलिए ∠BFC = 120°। इसलिए, ∠BFC और ∠BPC का योग 180° होता है। उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, इसका अर्थ है कि बिंदु BPCF चक्रीय हैं। इसलिए, खण्ड BP पर लागू किए गए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, ∠BFP = ∠BCP = 60°। क्योंकि ∠BFP + ∠BFA = 180°, बिंदु F रेखाखंड AP पर स्थित है। इसलिए, रेखाएँ RC, BQ और AP [[समवर्ती रेखाएँ|संगामी]] हैं (वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)। Q.E.D.
इसलिए ∠BFC = 120°। इसलिए, ∠BFC और ∠BPC का योग 180° होता है। उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, इसका अर्थ यह है कि बिंदु BPCF चक्रीय हैं। इसलिए, खण्ड BP पर लागू किए गए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, ∠BFP = ∠BCP = 60°। क्योंकि ∠BFP + ∠BFA = 180°, बिंदु F रेखाखंड AP पर स्थित है। इसलिए, रेखाएँ RC, BQ और AP [[समवर्ती रेखाएँ|संगामी]] हैं (वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)। Q.E.D.


यह प्रमाण सामान्यतः स्थिति 2 में लागू होता है क्योंकि यदि ∠BAC > 120°, बिंदु A, BPC के परिवृत्त के अंदर स्थित है जो A और F की सापेक्ष स्थिति को परिवर्तित कर देता है। चूँकि इसे सरलता से स्थिति 1 को छुपाने के लिए संशोधित किया जाता है। फिर ∠AFB = ∠AFC = 60° इसलिए ∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120° जिसका अर्थ है BPCF चक्रीय है इसलिए ∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA। इसलिए, A, FP पर स्थित है।
यह प्रमाण सामान्यतः स्थिति 2 में लागू होता है क्योंकि यदि ∠BAC > 120°, बिंदु A, BPC के परिवृत्त के अंदर स्थित है जो A और F की सापेक्ष स्थिति को परिवर्तित कर देता है। चूँकि इसे सरलता से स्थिति 1 को छुपाने के लिए संशोधित किया जाता है। फिर ∠AFB = ∠AFC = 60° इसलिए ∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120° जिसका अर्थ है BPCF चक्रीय है इसलिए ∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA। इसलिए, A, FP पर स्थित है।
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'''स्थिति 1. त्रिभुज का कोण ≥ 120° है।'''
'''स्थिति 1. त्रिभुज का कोण ≥ 120° है।'''


व्यापकता में कमी के बिना मान लीजिए कि A पर कोण ≥ 120° है। समबाहु त्रिभुज AFB की रचना करें और त्रिभुज में किसी भी बिंदु P के लिए (स्वयं A को छोड़कर) Q की रचना करें ताकि त्रिभुज AQP समबाहु हो और उसका अभिविन्यास दिखाया गया हो। तब त्रिभुज ABP, त्रिभुज AFQ का A के सापेक्ष 60° का घूर्णन है, इसलिए ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं और यह d(P) = CP+PQ+QF का अनुसरण करता है, जो कि पथ CPQF की लंबाई है। चूंकि P को ABC के अंदर स्थित होने के लिए सीमित किया गया है, डॉगल नियम द्वारा इस पथ की लंबाई AC+AF = d(A) से अधिक हो जाती है। इसलिए, d(A) < d(P) सभी  P є Δ,  P ≠ A के लिए। अब P को त्रिभुज के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस तरह सम्मिलित है कि d(P') <d(P) और d(A) ≤ d (P') के रूप में यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के बाहर सभी P के लिए d(A) <d(P)। इस प्रकार  d(A) < d(P) सभी P ≠ A के लिए जिसका अर्थ है कि A त्रिभुज का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फर्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित है।
विस्तृत स्थिति में बिना किसी कमी किये हुए मान लीजिए कि A पर कोण ≥ 120° है। समबाहु त्रिभुज AFB की रचना करें और त्रिभुज में किसी भी बिंदु P के लिए (स्वयं A को छोड़कर) Q की रचना करें ताकि त्रिभुज AQP समबाहु हो और उसका अभिविन्यास दिखाया गया हो। तब त्रिभुज ABP, त्रिभुज AFQ का A के सापेक्ष 60° का घूर्णन है, इसलिए ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं और यह d(P) = CP+PQ+QF का अनुसरण करता है, जो कि पथ CPQF की लंबाई है। चूंकि P को ABC के अंदर स्थित होने के लिए सीमित किया गया है, डॉगल नियम द्वारा इस पथ की लंबाई AC+AF = d(A) से अधिक हो जाती है। इसलिए, d(A) < d(P) सभी  P є Δ,  P ≠ A के लिए। अब P को त्रिभुज के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस तरह सम्मिलित है कि d(P') <d(P) और d(A) ≤ d (P') के रूप में यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के बाहर सभी P के लिए d(A) <d(P)। इस प्रकार  d(A) < d(P) सभी P ≠ A के लिए जिसका अर्थ है कि A त्रिभुज का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फर्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित है।


'''स्थिति 2. त्रिभुज का कोई कोण ≥ 120° नहीं है।'''
'''स्थिति 2. त्रिभुज का कोई कोण ≥ 120° नहीं है।'''


समबाहु त्रिभुज BCD की रचना करें और मान लें कि P त्रिभुज के अंदर कोई बिंदु है और समबाहु त्रिभुज CPQ की रचना करें। तब CQD, C के सापेक्ष CPB का 60° घूर्णन है, इसलिए d(P) = PA+PB+PC = AP+PQ+QD जो पथ APQD की लंबाई है। मान लें P<sub>0</sub> वह बिंदु है जहां AD और CF प्रतिच्छेदित करते हैं। इस बिंदु को सामान्यतः पहला  तुल्यकोणी केंद्र कहा जाता है। P<sub>0</sub> के साथ भी यही अभ्यास करें जैसा आपने P के साथ किया था, और बिंदु Q<sub>0</sub> ज्ञात कीजिए। कोणीय प्रतिबंध द्वारा P<sub>0</sub> त्रिभुज के अंदर स्थित है इसके अतिरिक्त BCF, B के सापेक्ष BDA का 60° का घूर्णन है इसलिए Q<sub>0</sub>  को  AD पर कहीं स्पर्श करना चाहिए। चूँकि CDB = 60° यह Q का अनुसरण करता है<sub>0</sub> P के बीच स्थित है<sub>0</sub> और D जिसका अर्थ है AP<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>D एक सीधी रेखा है इसलिए d(P<sub>0</sub>) = विज्ञापन। इसके अलावा, यदि पी ≠ पी<sub>0</sub> तो या तो P या Q AD पर स्थित नहीं होगा जिसका अर्थ है d(P<sub>0</sub>) = एडी <डी (पी)। अब P को त्रिभुज के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस प्रकार सम्मिलित है कि d(P') < d(P) और d(P) के रूप में<sub>0</sub>) ≤ डी (पी ') यह इस प्रकार है कि डी (पी<sub>0</sub>) <डी (पी) त्रिभुज के बाहर सभी पी के लिए। यानी पी<sub>0</sub> त्रिभुज का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट बिंदु पहले आइसोगोनिक केंद्र के साथ मेल खाता है।
समबाहु त्रिभुज BCD की रचना करें और मान लें कि P त्रिभुज के अंदर कोई बिंदु है और समबाहु त्रिभुज CPQ की रचना करें। तब CQD, C के सापेक्ष CPB का 60° घूर्णन है, इसलिए d(P) = PA+PB+PC = AP+PQ+QD जो पथ APQD की लंबाई है। मान लें P<sub>0</sub> वह बिंदु है जहां AD और CF प्रतिच्छेदित करते हैं। इस बिंदु को सामान्यतः पहला  तुल्यकोणी केंद्र कहा जाता है। P<sub>0</sub> के साथ भी यही अभ्यास करें जैसा आपने P के साथ किया था, और बिंदु Q<sub>0</sub> ज्ञात कीजिए। कोणीय प्रतिबंध द्वारा P<sub>0</sub> त्रिभुज के अंदर स्थित है इसके अतिरिक्त BCF, B के सापेक्ष BDA का 60° का घूर्णन है इसलिए Q<sub>0</sub>  को  AD पर कहीं स्थित होना चाहिए। चूँकि CDB = 60°, का अर्थ है कि  Q<sub>0</sub>, P<sub>0</sub> और D के बीच स्थित है, जिसका अर्थ है कि  AP<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>D एक सीधी रेखा है इसलिए d(P<sub>0</sub>) = AD। इसके अतिरिक्त, यदि P ≠ P<sub>0</sub> है तो या तो P या Q AD पर स्थित नहीं होगा जिसका अर्थ है d(P<sub>0</sub>) = AD < d(P)। अब P को त्रिभुज के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस प्रकार सम्मिलित है कि d(P') < d(P) और d(P<sub>0</sub>) ≤ d(P') के रूप में इस प्रकार है कि सभी P के लिए d(P<sub>0</sub>) < d(P) के बाहर P<sub>0</sub> त्रिभुज का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट बिंदु पहले तुल्यकोणी केंद्र के साथ मेल खाता है।


=== वेक्टर विश्लेषण ===
=== वेक्टर विश्लेषण ===
मान लीजिए O, A, B, C, X एक समतल में कोई पाँच बिंदु हैं। वैक्टर को निरूपित करें <math>\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \overrightarrow{\mathrm{OX}}</math> क्रमशः a, b, c, x द्वारा, और i, j, k को a, b, c के साथ ''O'' से इकाई वैक्टर होने दें। <br />
मान लीजिए O, A, B, C, X एक समतल में कोई पाँच बिंदु हैं। सदिश <math>\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \overrightarrow{\mathrm{OX}}</math>को क्रमशः a, b, c, x द्वारा,निरूपित करें और जहाँ  i, j, k को a, b, c के साथ ''O'' पर इकाई सदिश होने दें। अब |a| = a ⋅ i = (a - x) ⋅ i + x ⋅ i ≤ |a - x| + x ⋅ i और इसी प्रकार |b| ≤ |b − x| + x ⋅ j और |c| ≤ |c − x| + x ⋅ k.<br />जोड़ने से | |a| + |b| + |c| ≤ |a − x| + |b − x| + |c − x| + x ⋅ (i + j + k)मिलता है<br />यदि a, b, c, 120° के कोण पर O से मिलते हैं तो i + j + k = 0 जहाँ सभी x के लिए |a| + |b| + |c| ≤ |a − x| + |b − x| + |c − x|<br />दूसरे शब्दों में, OA + OB + OC ≤ XA + XB + XC और इसलिए O,  ABC का फर्मेट बिंदु है।<br />यह सुविचारित तथ्य यहाँ गलत हो जाता है और जब त्रिभुज का कोण ∠C > 120° होता है क्योंकि ऐसा कोई बिंदु O नहीं होता है जहाँ a, b, c, 120° के कोण पर मिलते हों। यद्यपि यह सहजता से k = - (i + j) को पुनः परिभाषित करके और O को C पर रखकर इसे सहजता से निर्णय किया जाता है ताकि c = 0 हो। ध्यान दें कि |k| ≤ 1 क्योंकि इकाई सदिशों i और j के बीच का कोण ∠C है जो 120° से अधिक है। चूंकि |0| ≤ |0 - x| + x ⋅ k तीसरी असमानता अभी भी जारी है, अन्य दो असमानताएँ अपरिवर्तित हैं। परिणाम अब ऊपर के रूप में जारी है (तीन असमानताओं को जोड़कर और i + j + k = 0 का उपयोग करके) एक ही निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए कि O (या इस मामले में C) ABC का फर्मेट बिंदु होना चाहिए।
अब |ए| = a⋅i = (a - x)⋅i + x⋅i ≤ |a - x| + x⋅i और इसी प्रकार |b| ≤ |बी - एक्स | + x⋅j और |c| ≤ |सी - एक्स | + x⋅k.<br />
जोड़ने से |a| मिलता है + |बी| + |सी| ≤ |ए - एक्स| + |बी - एक्स| + |सी - एक्स| + x⋅(i + j + k).<br />
यदि a, b, c ''O'' पर 120° के कोण पर मिलते हैं तो i + j + k = 0 तो |a| + |बी| + |सी| ≤ |ए - एक्स| + |बी - एक्स| + |सी - एक्स| सभी के लिए x.<br />
दूसरे शब्दों में, ''OA'' + ''OB'' + ''OC'' ≤ ''XA'' + ''XB'' + ''XC'' और इसलिए ''O'' फर्मेट बिंदु है 'एबीसी' का। <br />
यह तर्क तब विफल हो जाता है जब त्रिभुज का कोण ''∠C'' > 120° होता है क्योंकि कोई बिंदु ''O'' नहीं होता है जहाँ a, b, c 120° के कोण पर मिलते हैं। फिर भी, यह सरलता से k = - (i + j) को फिर से परिभाषित करके और '' O '' को '' C '' पर रख कर तय किया जाता है ताकि c = 0. ध्यान दें कि | k | ≤ 1 क्योंकि यूनिट वैक्टर i और j के बीच का कोण ''∠C'' है जो 120° से अधिक है। चूंकि |0| ≤ |0 - x| + x⋅k तीसरी असमानता अभी भी कायम है, अन्य दो असमानताएँ अपरिवर्तित हैं। सबूत अब ऊपर के रूप में जारी है (तीन असमानताओं को जोड़कर और i + j + k = 0 का उपयोग करके) एक ही निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए कि 'O' (या इस स्थितयों में 'C'') का फर्मेट बिंदु होना चाहिए। 'एबीसी'।''


=== [[लैग्रेंज गुणक]] ===
=== [[लैग्रेंज गुणक]] ===
एक त्रिकोण के भीतर बिंदु खोजने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण, जिसमें त्रिकोण के शीर्ष (ज्यामिति) की दूरियों का योग न्यूनतम है, [[गणितीय अनुकूलन]] विधियों में से एक का उपयोग करना है; विशेष रूप से, लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि और कोसाइन के नियम।
एक त्रिभुज के अंदर बिंदु को ज्ञात करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण यह भी हो सकता है जिससे त्रिभुज के शीर्षों की दूरियों का योग न्यूनतम है, [[गणितीय अनुकूलन]] विधियों में से एक का उपयोग करना है; विशेष रूप से, लैग्रेंज गुणक की विधि और कोसाइन के नियम।


हम त्रिभुज के भीतर बिंदु से उसके शीर्ष तक रेखाएँ खींचते हैं और उन्हें X, Y और Z कहते हैं। इसके अलावा, इन रेखाओं की लंबाई क्रमशः x, y और z होने दें। बता दें कि X और Y के बीच का कोण α, Y और Z के बीच का कोण β है। तब X और Z के बीच का कोण (2π - α - β) है। Lagrange गुणक की विधि का उपयोग करके हमें Lagrangian ''L'' का न्यूनतम ज्ञात करना होगा, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:
हम त्रिभुज के भीतर बिंदु से उसके शीर्ष तक रेखाएँ खींचते हैं और उन्हें X, Y और Z कहते हैं। साथ ही, मान लीजिए कि इन रेखाओं की लंबाई क्रमशः x, y और z है। बता दें कि X और Y के बीच का कोण α, Y और Z के बीच का कोण β है। तब X और Z के बीच का कोण (2π - α - β) है। लैग्रेंज गुणक की विधि का उपयोग करके हमें लाग्रंगियन ''L'' का न्यूनतम ज्ञात करना होगा, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:


: ''एल'' = ''एक्स'' + ''वाई'' + ''जेड'' + ''λ''<sub>1</sub> (एक्स<sup>2</sup> + और<sup>2</sup> − 2xy cos(α) − a<sup>2</sup>) + एल<sub>2</sub> (वाई<sup>2</sup> + के साथ<sup>2</sup> − 2yz cos(β) − b<sup>2</sup>) + एल<sub>3</sub> (साथ<sup>2</sup> + एक्स<sup>2</sup> − 2zx cos(α + β) - c<sup>2</sup>)
: ''L'' = ''x'' + ''y'' + ''z'' + ''λ''<sub>1</sub> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> − 2''xy'' cos(''α'') − ''a''<sup>2</sup>) + ''λ''<sub>2</sub> (''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> − 2''yz'' cos(β) − ''b''<sup>2</sup>) + ''λ''<sub>3</sub> (''z''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> − 2''zx'' cos(''α'' + ''β'') − ''c''<sup>2</sup>)


जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।
जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।


पांच आंशिक डेरिवेटिव त्रिभुजL/त्रिभुजx, त्रिभुजL/त्रिभुजy, त्रिभुजL/त्रिभुजz, त्रिभुजL/त्रिभुजα, त्रिभुजL/त्रिभुजβ को शून्य से बराबर करना और λ को हटाना<sub>1</sub>, एल<sub>2</sub>, एल<sub>3</sub> अंततः sin(α) = sin(β) और sin(α + β) = - sin(β) तो α = β = 120° देता है। चूँकि निष्कासन एक लंबा और थकाऊ व्यवसाय है, और अंतिम परिणाम केवल केस 2 को कवर करता है।
पांच आंशिक  व्युत्पन्न δL/δx, δL/δy, δL/δz, δL/δα, δL/δβ को शून्य से बराबर करना और λ1, λ2, λ3 को हटाना अंततः sin(α) = sin(β) और sin(α) देता है + β) = − sin(β) तो α = β = 120°। सामान्यतः निष्कासन एक लंबा और थकाऊ कार्य होता है, और अंतिम परिणाम केवल स्थिति 2 को छिपाता है।


== गुण ==
== गुण ==
[[File:Isogonic centres and vesicae piscis.png|thumb|300px|दो आइसोगोनिक केंद्र तीन [[मछली मूत्राशय]] के प्रतिच्छेदन हैं जिनके युग्मित शीर्ष त्रिभुज के शीर्ष हैं]]* जब त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण 120° से बड़ा न हो, तो X(13) फर्मेट बिंदु होता है।
[[File:Isogonic centres and vesicae piscis.png|thumb|300px|दो तुल्यकोणी केंद्र तीन [[मछली मूत्राशय]] के प्रतिच्छेदन हैं जिनके युग्मित शीर्ष त्रिभुज के शीर्ष हैं]]* जब त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण 120° से बड़ा न हो, तो X(13) फर्मेट बिंदु होता है।
* त्रिभुज की भुजाओं द्वारा X(13) पर बनाए गए सभी कोण 120° (स्थिति 2), या 60°, 60°, 120° (स्थिति 1) के बराबर हैं।
* त्रिभुज की भुजाओं द्वारा X(13) पर बनाए गए सभी कोण 120° (स्थिति 2), या 60°, 60°, 120° (स्थिति 1) के बराबर हैं।
* तीन निर्मित समबाहु त्रिभुजों के [[परिवृत्त]] X(13) पर समवर्ती हैं।
* तीन निर्मित समबाहु त्रिभुजों के [[परिवृत्त]] X(13) पर संगामी हैं।
* पहले आइसोगोनिक केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक, X(13):
* पहले X(13) तुल्यकोणी केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
:सीएससी(ए + π/3) : सीएससी(बी + π/3) : सीएससी(सी + π/3), या, समकक्ष,
:जहाँ cos(''A'' + π/3) : cos(''B'' + π/3) : cos(''C'' + π/3), या समकक्ष,
:sec(A − π/6) : sec(B − π/6) : sec(C − π/6).<ref>Entry X(13) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
:sec(A − π/6) : sec(B − π/6) : sec(C − π/6).<ref>Entry X(13) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* दूसरे आइसोगोनिक केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक, X(14):
* दूसरे X(14) के तुल्यकोणी केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
:csc(A − π/3) : csc(B − π/3) : csc(C − π/3), या, इसके समकक्ष,
:जहाँ cos(A − π/3) : cos(B − π/3) : cos(C − π/3), या, इसके समकक्ष,
: सेकेंड (ए + π/6) : सेकेंड (बी + π/6) : सेकेंड (सी + π/6)।<ref>Entry X(14) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
: sec(''A'' + π/6) : sec(''B'' + π/6) : sec(''C'' + π/6)।<ref>Entry X(14) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* फर्मेट बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
* फर्मेट बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
:1 − u + uvw sec(A − π/6) : 1 − v + uvw sec(B − π/6) : 1 − w + uvw sec(C − π/6)
:1 − u + uvw sec(A − π/6) : 1 − v + uvw sec(B − π/6) : 1 − w + uvw sec(C − π/6)
: जहाँ u, v, w क्रमशः [[बूलियन डोमेन]] को निरूपित करते हैं (A<120°), (B<120°), (C<120°).
: जहाँ u, v, w क्रमशः [[बूलियन डोमेन|बूलियन डोमेन  (A<120°), (B<120°), (C<120°)]] को निरूपित करते हैं, अतः
* X(13) का आइसोगोनल संयुग्म [[आइसोडायनामिक बिंदु]] है, X(15):
* यहाँ X(13) का तुल्यकोणी संयुग्म X(15) का  [[आइसोडायनामिक बिंदु]] है:
: पाप (ए + π/3) : पाप (बी + π/3) : पाप (सी + π/3)।<ref>Entry X(15) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
: sin(''A'' + π/3) : sin(''B'' + π/3) : sin(''C'' + π/3)।<ref>Entry X(15) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* X(14) का आइसोगोनल संयुग्म आइसोडायनामिक बिंदु है, X(16):
* यहाँ X(14) का तुल्यकोणी संयुग्म X(16) का आइसोडायनामिक बिंदु है:
:sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3).<ref>Entry X(16) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
:sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3).<ref>Entry X(16) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* निम्नलिखित त्रिभुज समबाहु हैं:
* निम्नलिखित त्रिभुज समबाहु हैं:
: एक्स (13) का [[पेडल त्रिकोण]]
: X(13) का [[पेडल त्रिकोण|पेडल त्रिभुज]]
: एक्स (14) का एंटीपेडल त्रिकोण
: X(14) का एंटीपेडल त्रिभुज
: एक्स (15) का पेडल त्रिकोण
: X(15) का पेडल त्रिभुज
: एक्स (16) का पेडल त्रिकोण
: X(16) का पेडल त्रिभुज
: X(15) का सर्कमसेवियन त्रिकोण
: X(15) का सर्कमसेवियन त्रिभुज
: X(16) का सर्कमसेवियन त्रिकोण
: X(16) का सर्कमसेवियन त्रिभुज
* रेखाएँ X(13)X(15) और X(14)X(16) यूलर रेखा के समानांतर हैं। तीन रेखाएँ यूलर अनंत बिंदु, X(30) पर मिलती हैं।
* रेखाएँ X(13)X(15) और X(14)X(16) यूलर रेखा के समानांतर हैं। तीन रेखाएँ यूलर अनंत बिंदु, X(30) पर मिलती हैं।
* बिंदु X(13), X(14), परिवृत्त, और नौ-बिंदु वृत्त|नौ-बिंदु केंद्र एक लेस्टर प्रमेय पर स्थित हैं।
* बिंदु X(13), X(14), परिकेंद्र और नौ-बिंदु केंद्र एक लेस्टर वृत पर स्थित हैं।
* रेखा X(13)X(14) यूलर रेखा से X(2) और X(4) के मध्य बिंदु पर मिलती है।<ref name=ETC>{{cite web|last=Kimberling|first=Clark|title=त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X381}}</ref>
* रेखा X(13)X(14) यूलर रेखा से X(2) और X(4) के मध्य बिंदु पर मिलती है।<ref name=ETC>{{cite web|last=Kimberling|first=Clark|title=त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X381}}</ref>
* फर्मेट बिंदु खुली [[ऑर्थोसेंट्रोइडल डिस्क]] में स्थित होता है जो अपने स्वयं के केंद्र में छिद्रित होता है, और उसमें कोई भी बिंदु हो सकता है।<ref name=Bradley>Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''Forum Geometricorum'' 6 (2006), 57--70.  http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html</ref>
* फर्मेट बिंदु खुली [[ऑर्थोसेंट्रोइडल डिस्क]] में स्थित होता है जो अपने स्वयं के केंद्र में छिद्रित होता है, और उसमें कोई भी बिंदु हो सकता है।<ref name=Bradley>Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''Forum Geometricorum'' 6 (2006), 57--70.  http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html</ref>
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== उपनाम ==
== उपनाम ==
आइसोगोनिक केंद्र ''X''(13) और ''X''(14) को क्रमशः पहले फर्मेट बिंदु और दूसरे फर्मेट बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। विकल्प सकारात्मक फर्मेट बिंदु और नकारात्मक फर्मेट बिंदु हैं। हालाँकि ये अलग-अलग नाम भ्रमित करने वाले हो सकते हैं और शायद इनसे बचना ही सबसे अच्छा है। समस्या यह है कि अधिकांश साहित्य फ़र्मेट बिंदु और पहले फ़र्मेट बिंदु के बीच के अंतर को धुंधला कर देता है, जबकि उपरोक्त केस 2 में ही वे वास्तव में समान हैं।
तुल्यकोणी केंद्र ''X''(13) और ''X''(14) को क्रमशः पहले फर्मेट बिंदु और दूसरे फर्मेट बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ यह दोनों विकल्प सकारात्मक फर्मेट बिंदु और नकारात्मक फर्मेट बिंदु के लिए उपयोग किये गए हैं। सामान्यतः  ये अलग-अलग नाम अस्पष्ट करने वाले हो सकते हैं और यद्यपि इनसे बचना ही सबसे उचित बात है। समस्या यह है कि अधिकांश साहित्य फ़र्मेट बिंदु और पहले फ़र्मेट बिंदु के बीच के अंतर को अस्पष्ट कर देता है, जबकि उपरोक्त स्थिति 2 में ही वे वास्तव में समान हैं।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
यह प्रश्न इवेंजेलिस्ता टोर्रिकेली के लिए एक चुनौती के रूप में फर्मेट द्वारा प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने समस्या को फ़र्मेट के समान तरीके से हल किया, यद्यपि इसके बजाय तीन नियमित त्रिभुजों के परिवृत्तों के प्रतिच्छेदन का उपयोग किया। उनके शिष्य, विवियानी ने 1659 में समाधान प्रकाशित किया।<ref>{{MathWorld|urlname=FermatPoints |title=Fermat Points}}</ref>
यह प्रश्न इवेंजेलिस्ता टोर्रिकेली के लिए एक तथ्य के रूप में फर्मेट द्वारा प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने समस्या को फ़र्मेट के समान विधियों से हल किया, यद्यपि इसके अतिरिक्त तीन नियमित त्रिभुजों के परिवृत्तों के प्रतिच्छेदन का उपयोग किया। उनके शिष्य, विवियानी ने 1659 में समाधान प्रकाशित किया।<ref>{{MathWorld|urlname=FermatPoints |title=Fermat Points}}</ref>




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*ज्यामितीय माध्यिका या फ़र्मेट-वेबर बिंदु, वह बिंदु जो दिए गए तीन से अधिक बिंदुओं की दूरियों के योग को न्यूनतम करता है।
*ज्यामितीय माध्यिका या फ़र्मेट-वेबर बिंदु, वह बिंदु जो दिए गए तीन से अधिक बिंदुओं की दूरियों के योग को न्यूनतम करता है।
* लेस्टर की प्रमेय
* लेस्टर की प्रमेय
*त्रिकोण केंद्र
*त्रिभुज केंद्र
* नेपोलियन अंक
* नेपोलियन अंक
* [[वेबर समस्या]]
* [[वेबर समस्या]]
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==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==


*त्रिकोण
*त्रिभुज
*स्टाइनर ट्री की समस्या
*स्टाइनर ट्री की समस्या
*समभुज त्रिकोण
*समभुज त्रिभुज
*समद्विबाहु त्रिकोण
*समद्विबाहु त्रिभुज
*खुदा हुआ कोण
*खुदा हुआ कोण
*कोसाइन का कानून
*कोसाइन का कानून
*ट्रिलिनियर निर्देशांक
*ट्रिलिनियर निर्देशांक
*यूलर लाइन
*यूलर लाइन
*परिमित त्रिकोण
*परिमित त्रिभुज
*नौ-बिंदु चक्र
*नौ-बिंदु चक्र
*नेपोलियन इशारा करता है
*नेपोलियन इशारा करता है
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{{Pierre de Fermat}}
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