फर्मेट बिंदु: Difference between revisions

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[[Image:Fermat Point.svg|thumb|right|300px|चित्र 1.   पहले आइसोगोनिक केंद्र का निर्माण, X(13)। जब त्रिभुज का कोई कोण 120° से अधिक नहीं होता है, तो यह बिंदु फर्मेट बिंदु होता है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज का फ़र्मेट बिंदु, जिसे टोरिकेली बिंदु या फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदु भी कहा जाता है, एक ऐसा बिंदु है, जहाँ त्रिभुज के तीन शीर्षों में से प्रत्येक बिंदु से तीन दूरियों का योग सबसे छोटा संभव है।<ref>[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations]</ref> इसका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इस समस्या को सबसे पहले [[पियरे डी फर्मेट]] ने एक निजी पत्र में [[इवेंजलिस्ता टोरिकेली]] को उठाया था, जिन्होंने इसे हल किया था।
[[Image:Fermat Point.svg|thumb|right|300px|चित्र 1.   पहले तुल्यकोणी केंद्र का निर्माण, X(13)। जब त्रिभुज का कोई कोण 120° से अधिक नहीं होता है, तो यह बिंदु फर्मेट बिंदु होता है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज का फ़र्मेट बिंदु, जिसे टोरिकेली बिंदु या फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदु भी कहा जाता है, एक ऐसा बिंदु है, जहाँ त्रिभुज के तीन शीर्षों में से प्रत्येक से बिंदु तक तीन दूरियों का योग सबसे छोटा संभव है।<ref>[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations]</ref> इसका नाम इसलिए यह रखा गया है क्योंकि इस समस्या को सबसे पहले [[पियरे डी फर्मेट]] ने [[इवेंजलिस्ता टोरिकेली]] को एक निजी पत्र में उठाया गया था, जिन्होंने इसे सबसे पहले हल किया था।


फर्मेट बिंदु तीन बिंदुओं के लिए [[ज्यामितीय माध्यिका]] और स्टेनर वृक्ष की समस्याओं का समाधान देता है।
फर्मेट बिंदु तीन बिंदुओं के लिए [[ज्यामितीय माध्यिका]] और [[स्टेनर वृक्ष की समस्याओं]] का समाधान देता है।


== निर्माण ==
== निर्माण ==
अधिकतम 120° के सबसे बड़े कोण वाले त्रिभुज का फर्मेट बिंदु केवल इसका पहला समद्विबाहु केंद्र या X(13) है, जिसका निर्माण निम्न प्रकार से किया गया है:
अधिकतम 120° के सबसे बड़े कोण वाले त्रिभुज का फर्मेट बिंदु केवल इसका पहला समद्विबाहु केंद्र या X(13) है, जिसका निर्माण निम्न प्रकार से किया गया है:


# दिए गए त्रिभुज की दो मनमाने ढंग से चुनी गई भुजाओं में से प्रत्येक पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना करें।
# दिए गए त्रिभुज की दो यादृच्छिक विधियों से चुनी गई भुजाओं में से प्रत्येक पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना करें।
# प्रत्येक नए [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] से मूल त्रिभुज के विपरीत शीर्ष तक एक रेखा खींचें।
# प्रत्येक नए [[शीर्ष (ज्यामिति)]] से मूल त्रिभुज के विपरीत शीर्ष तक एक रेखा खींचें।
# दो रेखाएँ Fermat बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
# दो रेखाएँ फर्मेट बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
एक वैकल्पिक तरीका निम्नलिखित है:
एक वैकल्पिक विधि निम्नलिखित है:
# मनमाने ढंग से चुने गए दो पक्षों में से प्रत्येक पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें, जिसका आधार प्रश्न में है, आधार पर 30-डिग्री कोण, और प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज का तीसरा शीर्ष मूल त्रिभुज के बाहर स्थित है।
# यादृच्छिक विधियों से चुने गए दो भुजाओं में से प्रत्येक पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें, जिसका आधार सम्बन्धित भुजा हो, आधार पर 30-डिग्री कोण हो, और प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज का तीसरा शीर्ष मूल त्रिभुज के बाहर स्थित हो।
# प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए एक वृत्त बनाएं, प्रत्येक मामले में समद्विबाहु त्रिभुज के नए शीर्ष पर केंद्र के साथ और उस समद्विबाहु त्रिभुज की दो नई भुजाओं में से प्रत्येक के बराबर त्रिज्या के साथ।
# प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए एक वृत्त बनाएं, प्रत्येक स्थितयों में समद्विबाहु त्रिभुज के नए शीर्ष पर केंद्र के साथ और उस समद्विबाहु त्रिभुज की दो नई भुजाओं में से प्रत्येक के बराबर त्रिज्या के साथ।
# दो वृत्तों के बीच मूल त्रिभुज के अंदर का चौराहा Fermat बिंदु है।
# दो वृत्तों के बीच मूल त्रिभुज के आन्तरिक प्रतिच्छेदन फर्मेट बिंदु है।


जब एक त्रिभुज का कोण 120° से अधिक होता है, तो फ़र्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित होता है।
जब एक त्रिभुज का कोण 120° से अधिक होता है, तो फ़र्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित होता है।


निम्नलिखित स्थिति में 1 का अर्थ है कि त्रिभुज का कोण 120° से अधिक है। स्थिति 2 का अर्थ है कि त्रिभुज का कोई भी कोण 120° से अधिक नहीं है।
निम्नलिखित में "स्थिति 1" का अर्थ यह है कि त्रिभुज का कोण 120° से अधिक है और "स्थिति 2" का अर्थ है कि त्रिभुज का कोई भी कोण 120° से अधिक नहीं है।


== एक्स (13) == का स्थान
== X(13) का स्थान ==
[[Image:Fermat Point Proof.svg|thumb|right|300px|चित्र 2.   पहले आइसोगोनिक केंद्र की ज्यामिति।]]चित्र 2 समबाहु त्रिभुज ARB, AQC और CPB को मनमाना त्रिभुज ABC की भुजाओं से जुड़ा हुआ दिखाता है।
[[Image:Fermat Point Proof.svg|thumb|right|300px|चित्र 2.   पहले तुल्यकोणी केंद्र की ज्यामिति।]]चित्र 2 समबाहु त्रिभुज ARB, AQC और CPB को यादृच्छिक त्रिभुज ABC की भुजाओं से जुड़ा हुआ दिखाता है।
यहाँ [[चक्रीय बिंदु]]ओं के गुणों का उपयोग करके यह दिखाने के लिए एक प्रमाण दिया गया है कि चित्र 2 में तीन रेखाएँ RC, BQ और AP सभी बिंदु F पर प्रतिच्छेद करती हैं और एक दूसरे को 60° के कोण पर काटती हैं।
यहाँ [[चक्रीय बिंदु|चक्रीय बिंदुओं]] के गुणों का उपयोग करके यह दिखाने का प्रयास गया है कि चित्र 2 में तीन रेखाएँ RC, BQ और AP सभी बिंदु F पर प्रतिच्छेद करती हैं और एक दूसरे को 60° के कोण पर काटती हैं।


त्रिभुज RAC और BAQ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं क्योंकि दूसरा, A के बारे में पहले का 60° का घूर्णन है। इसलिए ∠ARF = ∠ABF और ∠AQF = ∠ACF। खंड AF पर लागू किए गए खुदे हुए कोण के व्युत्क्रम से, बिंदु ARBF चक्रीय बिंदु हैं (वे एक वृत्त पर स्थित हैं)। इसी प्रकार, बिंदु AFCQ चक्रीय हैं।
त्रिभुज RAC और BAQ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं क्योंकि दूसरा, A के सापेक्ष पहले का 60° का घूर्णन है। इसलिए ∠ARF = ∠ABF और ∠AQF = ∠ACF। खंड AF पर लागू [[उत्कीर्ण कोण प्रमेय]] के व्युत्क्रम से, बिंदु ARBF चक्रीय बिंदु हैं (वे एक वृत्त पर स्थित हैं)। इसी प्रकार, बिंदु AFCQ चक्रीय हैं।


∠ARB = 60°, इसलिए ∠AFB = 120°, खुदे हुए कोण#अनुप्रयोगों का उपयोग करके। इसी प्रकार, ∠AFC = 120°।
∠ARB = 60°, इसलिए ∠AFB = 120°, [[उत्कीर्ण कोण प्रमेय]] का उपयोग करके। इसी प्रकार, ∠AFC = 120°।


अतः ∠BFC = 120°। इसलिए, ∠BFC और ∠BPC का योग 180° होता है। खुदे हुए कोण#अनुप्रयोगों का उपयोग करना, इसका अर्थ है कि बिंदु BPCF चक्रीय हैं। इसलिए, खण्ड BP पर लागू किए गए अंतःकोण का उपयोग करते हुए, ∠BFP = ∠BCP = 60°। क्योंकि ∠BFP + ∠BFA = 180°, बिंदु F रेखाखंड AP पर स्थित है। इसलिए, रेखाएँ RC, BQ और AP [[समवर्ती रेखाएँ]] हैं (वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)। Q.E.D.
इसलिए ∠BFC = 120°। इसलिए, ∠BFC और ∠BPC का योग 180° होता है। उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, इसका अर्थ यह है कि बिंदु BPCF चक्रीय हैं। इसलिए, खण्ड BP पर लागू किए गए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, ∠BFP = ∠BCP = 60°। क्योंकि ∠BFP + ∠BFA = 180°, बिंदु F रेखाखंड AP पर स्थित है। इसलिए, रेखाएँ RC, BQ और AP [[समवर्ती रेखाएँ|संगामी]] हैं (वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)। Q.E.D.


यह प्रमाण केवल स्थिति 2 में लागू होता है क्योंकि यदि ∠BAC > 120°, बिंदु A, BPC के परिवृत्त के अंदर स्थित है जो A और F की सापेक्ष स्थिति को बदल देता है। हालांकि इसे आसानी से स्थिति 1 को कवर करने के लिए संशोधित किया जाता है। फिर ∠AFB = ∠AFC = 60° इसलिए ∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120° जिसका अर्थ है BPCF चक्रीय है इसलिए ∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA। इसलिए, A, FP पर स्थित है।
यह प्रमाण सामान्यतः स्थिति 2 में लागू होता है क्योंकि यदि ∠BAC > 120°, बिंदु A, BPC के परिवृत्त के अंदर स्थित है जो A और F की सापेक्ष स्थिति को परिवर्तित कर देता है। चूँकि इसे सरलता से स्थिति 1 को छुपाने के लिए संशोधित किया जाता है। फिर ∠AFB = ∠AFC = 60° इसलिए ∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120° जिसका अर्थ है BPCF चक्रीय है इसलिए ∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA। इसलिए, A, FP पर स्थित है।


चित्र 2 में वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखाएँ रेखाखंडों AP, BQ और CR पर लंब हैं। उदाहरण के लिए, ARB वाले वृत्त के केंद्र और AQC वाले वृत्त के केंद्र को मिलाने वाली रेखा, खंड AP के लंबवत होती है। अतः, वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखाएँ भी 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, वृत्तों के केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इसे नेपोलियन की प्रमेय के नाम से जाना जाता है।
चित्र 2 में वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखाएँ रेखाखंडों AP, BQ और CR पर लंब हैं। उदाहरण के लिए, ARB वाले वृत्त के केंद्र और AQC वाले वृत्त के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा, खंड AP के लंबवत होती है। इसलिए, वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखाएँ भी 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, वृत्तों के केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इसे [[नेपोलियन की प्रमेय]] के नाम से जाना जाता है।


== फर्मेट बिंदु का स्थान ==
== फर्मेट बिंदु का स्थान ==


=== पारंपरिक ज्यामिति ===
=== पारंपरिक ज्यामिति ===
[[Image:Fermat Point Scope.svg|thumb|right|300px|चित्र 3.   फर्मेट बिंदु की ज्यामिति]]किसी भी यूक्लिडियन त्रिभुज ABC और एक मनमाने बिंदु P को देखते हुए d(P) = PA+PB+PC दिया गया है, जिसमें PA P और A के बीच की दूरी को दर्शाता है। इस खंड का उद्देश्य एक बिंदु P की पहचान करना है।<sub>0</sub> ऐसा है कि डी (पी<sub>0</sub>) <d(P) सबके लिए P ≠ P<sub>0</sub>. यदि ऐसा कोई बिंदु मौजूद है तो वह फर्मेट बिंदु होगा। निम्नलिखित में Δ त्रिभुज के अंदर के बिंदुओं को निरूपित करेगा और इसकी सीमा Ω को शामिल करने के लिए लिया जाएगा।
[[Image:Fermat Point Scope.svg|thumb|right|300px|चित्र 3.   फर्मेट बिंदु की ज्यामिति]]किसी भी यूक्लिडियन त्रिभुज ABC और एक यादृच्छिक बिंदु P को देखते हुए d(P) = PA+PB+PC, PA के साथ P और A के बीच की दूरी को दर्शाता है। इस खंड का उद्देश्य एक बिंदु P की पहचान करना है। जैसा कि d (P<sub>0</sub>) <d(P) सभी P ≠ P<sub>0</sub> के लिए। यदि ऐसा कोई बिंदु सम्मिलित है तो वह फर्मेट बिंदु होगा। निम्नलिखित में त्रिभुज के अंदर के बिंदुओं को निरूपित करेगा और इसकी सीमा Ω को सम्मिलित करने के लिए लिया जाएगा।


एक महत्वपूर्ण परिणाम जिसका उपयोग किया जाएगा वह डॉगल नियम है जो यह दावा करता है कि यदि एक त्रिभुज और बहुभुज का एक पक्ष उभयनिष्ठ है और शेष त्रिभुज बहुभुज के अंदर है तो त्रिभुज की परिधि बहुभुज की तुलना में छोटी है। <br />[अगर AB कॉमन साइड है तो बहुभुज को X पर काटने के लिए AC को एक्सटेंड करें। फिर त्रिकोण असमानता से पॉलीगॉन परिधि > AB + AX + XB = AB + AC + CX + XB ≥ AB + AC + BC।]
एक महत्वपूर्ण परिणाम जिसका उपयोग किया जाएगा वह डॉगल नियम है जो यह पुष्टि करता है कि यदि एक त्रिभुज और बहुभुज का एक पक्ष उभयनिष्ठ है और शेष त्रिभुज बहुभुज के अंदर है तो त्रिभुज की परिधि बहुभुज की तुलना में छोटी है। <br />[यदि AB उभयनिष्ठ भुजा है तो बहुभुज को X पर काटने के लिए AC को विस्तार करें। फिर त्रिभुज असमानता द्वारा बहुभुज परिधि > AB + AX + XB = AB + AC + CX + XB ≥ AB + AC + BC।]


माना P, Δ के बाहर कोई बिंदु है। प्रत्येक शीर्ष को उसके दूरस्थ क्षेत्र से संबद्ध करें; वह है, (विस्तारित) विपरीत दिशा से परे आधा विमान। ये 3 जोन Δ को छोड़कर पूरे विमान को कवर करते हैं और P स्पष्ट रूप से उनमें से एक या दो में स्थित है। यदि P दो में है (बी और सी ज़ोन चौराहे कहते हैं) तो डॉगल नियम द्वारा P' = A को सेट करने से d(P') = d(A) <d(P) का तात्पर्य है। वैकल्पिक रूप से यदि P केवल एक क्षेत्र में है, मान लीजिए A-क्षेत्र, तो d(P') < d(P) जहां P' AP और BC का प्रतिच्छेदन है। अतः Δ के बाहर प्रत्येक बिंदु P के लिए Ω में एक बिंदु P' मौजूद है जैसे कि d(P') < d(P)।
माना P, त्रिभुज के बाहर कोई बिंदु है। प्रत्येक शीर्ष को उसके दूरस्थ क्षेत्र से संबद्ध करें; वह है, विपरीत दिशा से परे(विस्तारित) आधा समतल। ये 3 क्षेत्र  त्रिभुज  को छोड़कर पूरे समतल को छिपाते हैं और P स्पष्ट रूप से उनमें से एक या दो में स्थित है। यदि P दो में है (B और C क्षेत्र प्रतिछेदन कहलाते है) तो डॉगल नियम द्वारा P' = A को व्यवस्थित करने से d(P') = d(A) <d(P) का तात्पर्य है। वैकल्पिक रूप से यदि P केवल एक क्षेत्र में है, मान लीजिए A-क्षेत्र, तो d(P') < d(P) जहां P', AP और BC का प्रतिच्छेदन है। इसलिए त्रिभुज के बाहर प्रत्येक बिंदु P के लिए Ω में एक बिंदु P' सम्मिलित है जैसे कि d(P') < d(P)।


स्थिति 1. त्रिभुज का कोण ≥ 120° है।
'''स्थिति 1. त्रिभुज का कोण ≥ 120° है।'''


सामान्यता में कमी के बिना मान लीजिए कि A पर कोण ≥ 120° है। समबाहु त्रिभुज AFB की रचना करें और Δ में किसी भी बिंदु P के लिए (स्वयं A को छोड़कर) Q की रचना करें ताकि त्रिभुज AQP समबाहु हो और उसका अभिविन्यास दिखाया गया हो। तब त्रिभुज ABP, त्रिभुज AFQ का A के बारे में 60° का घूर्णन है, इसलिए ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं और यह d(P) = CP+PQ+QF का अनुसरण करता है, जो कि पथ CPQF की लंबाई है। चूंकि P को ABC के भीतर स्थित होने के लिए विवश किया गया है, डॉगल नियम द्वारा इस पथ की लंबाई AC+AF = d(A) से अधिक हो जाती है। इसलिए, d(A) < d(P) सभी P Δ Δ, P ≠ A के लिए। अब P को Δ के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस तरह मौजूद है कि d(P') <d(P) और d(A) ≤ d (P') के रूप में यह इस प्रकार है कि Δ के बाहर सभी P के लिए d(A) <d(P) . इस प्रकार डी (ए) <डी (पी) सभी पी ≠ ए के लिए जिसका मतलब है कि ए Δ का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फर्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित है।
विस्तृत स्थिति में बिना किसी कमी किये हुए मान लीजिए कि A पर कोण ≥ 120° है। समबाहु त्रिभुज AFB की रचना करें और त्रिभुज में किसी भी बिंदु P के लिए (स्वयं A को छोड़कर) Q की रचना करें ताकि त्रिभुज AQP समबाहु हो और उसका अभिविन्यास दिखाया गया हो। तब त्रिभुज ABP, त्रिभुज AFQ का A के सापेक्ष 60° का घूर्णन है, इसलिए ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं और यह d(P) = CP+PQ+QF का अनुसरण करता है, जो कि पथ CPQF की लंबाई है। चूंकि P को ABC के अंदर स्थित होने के लिए सीमित किया गया है, डॉगल नियम द्वारा इस पथ की लंबाई AC+AF = d(A) से अधिक हो जाती है। इसलिए, d(A) < d(P) सभी P є Δ, P ≠ A के लिए। अब P को त्रिभुज के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस तरह सम्मिलित है कि d(P') <d(P) और d(A) ≤ d (P') के रूप में यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के बाहर सभी P के लिए d(A) <d(P)। इस प्रकार d(A) < d(P) सभी P ≠ A के लिए जिसका अर्थ है कि A त्रिभुज का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फर्मेट बिंदु अधिक कोण वाले शीर्ष पर स्थित है।


स्थिति 2. त्रिभुज का कोई कोण ≥ 120° नहीं है।
'''स्थिति 2. त्रिभुज का कोई कोण ≥ 120° नहीं है।'''


समबाहु त्रिभुज BCD की रचना करें और मान लें कि P Δ के अंदर कोई बिंदु है और समबाहु त्रिभुज CPQ की रचना करें। तब CQD, C के बारे में CPB का 60° घूर्णन है, इसलिए d(P) = PA+PB+PC = AP+PQ+QD जो पथ APQD की लंबाई है। चलो पी<sub>0</sub> वह बिंदु हो जहां AD और CF प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को आमतौर पर पहला आइसोगोनिक केंद्र कहा जाता है। P के साथ भी यही अभ्यास करें<sub>0</sub> जैसा आपने P के साथ किया था, और बिंदु Q ज्ञात कीजिए<sub>0</sub>. कोणीय प्रतिबंध द्वारा पी<sub>0</sub> Δ के अंदर स्थित है इसके अलावा BCF, B के बारे में BDA का 60° का घूर्णन है इसलिए Q<sub>0</sub> AD पर कहीं झूठ बोलना चाहिए। चूँकि CDB = 60° यह Q का अनुसरण करता है<sub>0</sub> P के बीच स्थित है<sub>0</sub> और D जिसका अर्थ है AP<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>D एक सीधी रेखा है इसलिए d(P<sub>0</sub>) = विज्ञापन। इसके अलावा, अगर पी ≠ पी<sub>0</sub> तो या तो P या Q AD पर स्थित नहीं होगा जिसका अर्थ है d(P<sub>0</sub>) = एडी <डी (पी)। अब P को Δ के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस प्रकार मौजूद है कि d(P') < d(P) और d(P) के रूप में<sub>0</sub>) ≤ डी (पी ') यह इस प्रकार है कि डी (पी<sub>0</sub>) <डी (पी) Δ के बाहर सभी पी के लिए। यानी पी<sub>0</sub> Δ का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट बिंदु पहले आइसोगोनिक केंद्र के साथ मेल खाता है।
समबाहु त्रिभुज BCD की रचना करें और मान लें कि P त्रिभुज के अंदर कोई बिंदु है और समबाहु त्रिभुज CPQ की रचना करें। तब CQD, C के सापेक्ष CPB का 60° घूर्णन है, इसलिए d(P) = PA+PB+PC = AP+PQ+QD जो पथ APQD की लंबाई है। मान लें P<sub>0</sub> वह बिंदु है जहां AD और CF प्रतिच्छेदित करते हैं। इस बिंदु को सामान्यतः पहला तुल्यकोणी केंद्र कहा जाता है। P<sub>0</sub> के साथ भी यही अभ्यास करें जैसा आपने P के साथ किया था, और बिंदु Q<sub>0</sub> ज्ञात कीजिए। कोणीय प्रतिबंध द्वारा P<sub>0</sub> त्रिभुज के अंदर स्थित है इसके अतिरिक्त BCF, B के सापेक्ष BDA का 60° का घूर्णन है इसलिए Q<sub>0</sub> को  AD पर कहीं स्थित होना चाहिए। चूँकि CDB = 60°, का अर्थ है कि  Q<sub>0</sub>, P<sub>0</sub> और D के बीच स्थित है, जिसका अर्थ है कि  AP<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>D एक सीधी रेखा है इसलिए d(P<sub>0</sub>) = AD। इसके अतिरिक्त, यदि P ≠ P<sub>0</sub> है तो या तो P या Q AD पर स्थित नहीं होगा जिसका अर्थ है d(P<sub>0</sub>) = AD < d(P)। अब P को त्रिभुज के बाहर की सीमा की अनुमति दें। ऊपर से एक बिंदु P' Ω इस प्रकार सम्मिलित है कि d(P') < d(P) और d(P<sub>0</sub>) ≤ d(P') के रूप में इस प्रकार है कि सभी P के लिए d(P<sub>0</sub>) < d(P) के बाहर P<sub>0</sub> त्रिभुज का फर्मेट बिंदु है। दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट बिंदु पहले तुल्यकोणी केंद्र के साथ मेल खाता है।


=== वेक्टर विश्लेषण ===
=== वेक्टर विश्लेषण ===
मान लीजिए O, A, B, C, X एक समतल में कोई पाँच बिंदु हैं। वैक्टर को निरूपित करें <math>\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \overrightarrow{\mathrm{OX}}</math> क्रमशः a, b, c, x द्वारा, और i, j, k को a, b, c के साथ ''O'' से इकाई वैक्टर होने दें। <br />
मान लीजिए O, A, B, C, X एक समतल में कोई पाँच बिंदु हैं। सदिश <math>\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \overrightarrow{\mathrm{OX}}</math>को क्रमशः a, b, c, x द्वारा,निरूपित करें और जहाँ  i, j, k को a, b, c के साथ ''O'' पर इकाई सदिश होने दें। अब |a| = a ⋅ i = (a - x) ⋅ i + x ⋅ i ≤ |a - x| + x ⋅ i और इसी प्रकार |b| ≤ |b − x| + x ⋅ j और |c| ≤ |c − x| + x ⋅ k.<br />जोड़ने से | |a| + |b| + |c| ≤ |a − x| + |b − x| + |c − x| + x ⋅ (i + j + k)मिलता है<br />यदि a, b, c, 120° के कोण पर O से मिलते हैं तो i + j + k = 0 जहाँ सभी x के लिए |a| + |b| + |c| ≤ |a − x| + |b − x| + |c − x|<br />दूसरे शब्दों में, OA + OB + OC ≤ XA + XB + XC और इसलिए O,  ABC का फर्मेट बिंदु है।<br />यह सुविचारित तथ्य यहाँ गलत हो जाता है और जब त्रिभुज का कोण ∠C > 120° होता है क्योंकि ऐसा कोई बिंदु O नहीं होता है जहाँ a, b, c, 120° के कोण पर मिलते हों। यद्यपि यह सहजता से k = - (i + j) को पुनः परिभाषित करके और O को C पर रखकर इसे सहजता से निर्णय किया जाता है ताकि c = 0 हो। ध्यान दें कि |k| ≤ 1 क्योंकि इकाई सदिशों i और j के बीच का कोण ∠C है जो 120° से अधिक है। चूंकि |0| ≤ |0 - x| + x ⋅ k तीसरी असमानता अभी भी जारी है, अन्य दो असमानताएँ अपरिवर्तित हैं। परिणाम अब ऊपर के रूप में जारी है (तीन असमानताओं को जोड़कर और i + j + k = 0 का उपयोग करके) एक ही निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए कि O (या इस मामले में C) ABC का फर्मेट बिंदु होना चाहिए।
अब |ए| = a⋅i = (a - x)⋅i + x⋅i ≤ |a - x| + x⋅i और इसी प्रकार |b| ≤ |बी - एक्स | + x⋅j और |c| ≤ |सी - एक्स | + x⋅k.<br />
जोड़ने से |a| मिलता है + |बी| + |सी| ≤ |ए - एक्स| + |बी - एक्स| + |सी - एक्स| + x⋅(i + j + k).<br />
यदि a, b, c ''O'' पर 120° के कोण पर मिलते हैं तो i + j + k = 0 तो |a| + |बी| + |सी| ≤ |ए - एक्स| + |बी - एक्स| + |सी - एक्स| सभी के लिए x.<br />
दूसरे शब्दों में, ''OA'' + ''OB'' + ''OC'' ≤ ''XA'' + ''XB'' + ''XC'' और इसलिए ''O'' Fermat बिंदु है 'एबीसी' का। <br />
यह तर्क तब विफल हो जाता है जब त्रिभुज का कोण ''∠C'' > 120° होता है क्योंकि कोई बिंदु ''O'' नहीं होता है जहाँ a, b, c 120° के कोण पर मिलते हैं। फिर भी, यह आसानी से k = - (i + j) को फिर से परिभाषित करके और '' O '' को '' C '' पर रख कर तय किया जाता है ताकि c = 0. ध्यान दें कि | k | ≤ 1 क्योंकि यूनिट वैक्टर i और j के बीच का कोण ''∠C'' है जो 120° से अधिक है। चूंकि |0| ≤ |0 - x| + x⋅k तीसरी असमानता अभी भी कायम है, अन्य दो असमानताएँ अपरिवर्तित हैं। सबूत अब ऊपर के रूप में जारी है (तीन असमानताओं को जोड़कर और i + j + k = 0 का उपयोग करके) एक ही निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए कि 'O' (या इस मामले में 'C'') का Fermat बिंदु होना चाहिए। 'एबीसी'।


=== [[लैग्रेंज गुणक]] ===
=== [[लैग्रेंज गुणक]] ===
एक त्रिकोण के भीतर बिंदु खोजने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण, जिसमें त्रिकोण के शीर्ष (ज्यामिति) की दूरियों का योग न्यूनतम है, [[गणितीय अनुकूलन]] विधियों में से एक का उपयोग करना है; विशेष रूप से, लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि और कोसाइन के नियम।
एक त्रिभुज के अंदर बिंदु को ज्ञात करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण यह भी हो सकता है जिससे त्रिभुज के शीर्षों की दूरियों का योग न्यूनतम है, [[गणितीय अनुकूलन]] विधियों में से एक का उपयोग करना है; विशेष रूप से, लैग्रेंज गुणक की विधि और कोसाइन के नियम।


हम त्रिभुज के भीतर बिंदु से उसके शीर्ष तक रेखाएँ खींचते हैं और उन्हें X, Y और Z कहते हैं। इसके अलावा, इन रेखाओं की लंबाई क्रमशः x, y और z होने दें। बता दें कि X और Y के बीच का कोण α, Y और Z के बीच का कोण β है। तब X और Z के बीच का कोण (2π - α - β) है। Lagrange गुणक की विधि का उपयोग करके हमें Lagrangian ''L'' का न्यूनतम ज्ञात करना होगा, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:
हम त्रिभुज के भीतर बिंदु से उसके शीर्ष तक रेखाएँ खींचते हैं और उन्हें X, Y और Z कहते हैं। साथ ही, मान लीजिए कि इन रेखाओं की लंबाई क्रमशः x, y और z है। बता दें कि X और Y के बीच का कोण α, Y और Z के बीच का कोण β है। तब X और Z के बीच का कोण (2π - α - β) है। लैग्रेंज गुणक की विधि का उपयोग करके हमें लाग्रंगियन ''L'' का न्यूनतम ज्ञात करना होगा, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:


: ''एल'' = ''एक्स'' + ''वाई'' + ''जेड'' + ''λ''<sub>1</sub> (एक्स<sup>2</sup> + और<sup>2</sup> − 2xy cos(α) − a<sup>2</sup>) + एल<sub>2</sub> (वाई<sup>2</sup> + के साथ<sup>2</sup> − 2yz cos(β) − b<sup>2</sup>) + एल<sub>3</sub> (साथ<sup>2</sup> + एक्स<sup>2</sup> − 2zx cos(α + β) - c<sup>2</sup>)
: ''L'' = ''x'' + ''y'' + ''z'' + ''λ''<sub>1</sub> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> − 2''xy'' cos(''α'') − ''a''<sup>2</sup>) + ''λ''<sub>2</sub> (''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> − 2''yz'' cos(β) − ''b''<sup>2</sup>) + ''λ''<sub>3</sub> (''z''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> − 2''zx'' cos(''α'' + ''β'') − ''c''<sup>2</sup>)


जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।
जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।


पांच आंशिक डेरिवेटिव δL/δx, δL/δy, δL/δz, δL/δα, δL/δβ को शून्य से बराबर करना और λ को हटाना<sub>1</sub>, एल<sub>2</sub>, एल<sub>3</sub> अंततः sin(α) = sin(β) और sin(α + β) = - sin(β) तो α = β = 120° देता है। हालांकि निष्कासन एक लंबा और थकाऊ व्यवसाय है, और अंतिम परिणाम केवल केस 2 को कवर करता है।
पांच आंशिक  व्युत्पन्न δL/δx, δL/δy, δL/δz, δL/δα, δL/δβ को शून्य से बराबर करना और λ1, λ2, λ3 को हटाना अंततः sin(α) = sin(β) और sin(α) देता है + β) = − sin(β) तो α = β = 120°। सामान्यतः निष्कासन एक लंबा और थकाऊ कार्य होता है, और अंतिम परिणाम केवल स्थिति 2 को छिपाता है।


== गुण ==
== गुण ==
[[File:Isogonic centres and vesicae piscis.png|thumb|300px|दो आइसोगोनिक केंद्र तीन [[मछली मूत्राशय]] के प्रतिच्छेदन हैं जिनके युग्मित शीर्ष त्रिभुज के शीर्ष हैं]]* जब त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण 120° से बड़ा न हो, तो X(13) फर्मेट बिंदु होता है।
[[File:Isogonic centres and vesicae piscis.png|thumb|300px|दो तुल्यकोणी केंद्र तीन [[मछली मूत्राशय]] के प्रतिच्छेदन हैं जिनके युग्मित शीर्ष त्रिभुज के शीर्ष हैं]]* जब त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण 120° से बड़ा न हो, तो X(13) फर्मेट बिंदु होता है।
* त्रिभुज की भुजाओं द्वारा X(13) पर बनाए गए सभी कोण 120° (स्थिति 2), या 60°, 60°, 120° (स्थिति 1) के बराबर हैं।
* त्रिभुज की भुजाओं द्वारा X(13) पर बनाए गए सभी कोण 120° (स्थिति 2), या 60°, 60°, 120° (स्थिति 1) के बराबर हैं।
* तीन निर्मित समबाहु त्रिभुजों के [[परिवृत्त]] X(13) पर समवर्ती हैं।
* तीन निर्मित समबाहु त्रिभुजों के [[परिवृत्त]] X(13) पर संगामी हैं।
* पहले आइसोगोनिक केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक, X(13):
* पहले X(13) तुल्यकोणी केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
:सीएससी(ए + π/3) : सीएससी(बी + π/3) : सीएससी(सी + π/3), या, समकक्ष,
:जहाँ cos(''A'' + π/3) : cos(''B'' + π/3) : cos(''C'' + π/3), या समकक्ष,
:sec(A − π/6) : sec(B − π/6) : sec(C − π/6).<ref>Entry X(13) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
:sec(A − π/6) : sec(B − π/6) : sec(C − π/6).<ref>Entry X(13) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* दूसरे आइसोगोनिक केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक, X(14):
* दूसरे X(14) के तुल्यकोणी केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
:csc(A − π/3) : csc(B − π/3) : csc(C − π/3), या, इसके समकक्ष,
:जहाँ cos(A − π/3) : cos(B − π/3) : cos(C − π/3), या, इसके समकक्ष,
: सेकेंड (ए + π/6) : सेकेंड (बी + π/6) : सेकेंड (सी + π/6)।<ref>Entry X(14) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
: sec(''A'' + π/6) : sec(''B'' + π/6) : sec(''C'' + π/6)।<ref>Entry X(14) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* फर्मेट बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
* फर्मेट बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक:
:1 − u + uvw sec(A − π/6) : 1 − v + uvw sec(B − π/6) : 1 − w + uvw sec(C − π/6)
:1 − u + uvw sec(A − π/6) : 1 − v + uvw sec(B − π/6) : 1 − w + uvw sec(C − π/6)
: जहाँ u, v, w क्रमशः [[बूलियन डोमेन]] को निरूपित करते हैं (A<120°), (B<120°), (C<120°).
: जहाँ u, v, w क्रमशः [[बूलियन डोमेन|बूलियन डोमेन  (A<120°), (B<120°), (C<120°)]] को निरूपित करते हैं, अतः
* X(13) का आइसोगोनल संयुग्म [[आइसोडायनामिक बिंदु]] है, X(15):
* यहाँ X(13) का तुल्यकोणी संयुग्म X(15) का  [[आइसोडायनामिक बिंदु]] है:
: पाप (ए + π/3) : पाप (बी + π/3) : पाप (सी + π/3)।<ref>Entry X(15) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
: sin(''A'' + π/3) : sin(''B'' + π/3) : sin(''C'' + π/3)।<ref>Entry X(15) in the [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=April 19, 2012 }}</ref>
* X(14) का आइसोगोनल संयुग्म आइसोडायनामिक बिंदु है, X(16):