ट्रेस ऑपरेटर: Difference between revisions
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[[File:Trace_operator_illustration.png|right|thumb|एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका | [[File:Trace_operator_illustration.png|right|thumb|एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका ट्रेस (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।]]गणित में, ट्रेस ऑपरेटर [[सोबोलेव स्पेस]] में सामान्यीकृत फलनों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह निर्धारित सीमा स्थितियों ([[सीमा मूल्य समस्या|सीमा मान समस्याओं]]) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां [[कमजोर समाधान]] फलनों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं। | ||
== प्रेरणा == | == प्रेरणा == | ||
एक | एक परिबद्ध, चिकने डोमेन (गणितीय विश्लेषण) <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^n</math> पर, विषम के साथ पॉइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें डिरिचलेट सीमा शर्तें: | ||
:<math>\begin{alignat}{2} | :<math>\begin{alignat}{2} | ||
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u &= g &&\text{on } \partial \Omega | u &= g &&\text{on } \partial \Omega | ||
\end{alignat}</math> | \end{alignat}</math> | ||
दिए गए | दिए गए फलन <math display="inline">f</math> और <math display="inline">g</math> के साथ नियमितता के साथ नीचे दिए गए एप्लिकेशन सेक्शन में चर्चा की गई है। इस समीकरण के कमजोर समाधान <math display="inline">u \in H^1(\Omega)</math> को संतुष्ट करना चाहिए | ||
:'''<math>\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \varphi \,\mathrm dx = \int_\Omega f \varphi \,\mathrm dx</math> सभी के लिए <math display="inline">\varphi \in H^1_0(\Omega)</math>. <math display="inline">H^1(\Omega)</math> | :'''<math>\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \varphi \,\mathrm dx = \int_\Omega f \varphi \,\mathrm dx</math> सभी के लिए <math display="inline">\varphi \in H^1_0(\Omega)</math> .''' | ||
: | |||
:''' <math display="inline">H^1(\Omega)</math> <math display="inline">u</math> की नियमितता इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। चूँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि <math display="inline">u</math> किस अर्थ में सीमा शर्त <math display="inline">u = g</math> पर <math display="inline">\partial \Omega</math>: को संतुष्ट कर सकते हैं परिभाषा के अनुसार, <math display="inline">u \in H^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)</math> फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिसका <math display="inline">\partial \Omega</math> पर मनमाना मान हो सकता है चूंकि यह n-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।''' | |||
यदि <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^1</math> | यदि <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^1</math> में <math display="inline">H^1(\Omega) \hookrightarrow C^0(\bar \Omega)</math> रखने पर, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि <math display="inline">u</math> पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात <math display="inline">u</math> से आंशिक <math display="inline">\partial \Omega</math> का प्रतिबंध फलन <math display="inline">g</math> से सहमत हैं (अधिक उपयुक्त रूप से: <math display="inline">C(\bar \Omega)</math> में <math display="inline">u</math> का एक प्रतिनिधि उपस्थित है इस गुण के साथ)। <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^n</math> के लिये <math display="inline">n > 1</math> के साथ ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और यहां प्रस्तुत ट्रेस ऑपरेटर <math display="inline">T</math> का प्रयोग <math display="inline">u |_{\partial \Omega}</math> का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर <math display="inline">u \in H^1(\Omega)</math> के साथ <math display="inline">T u = g</math> को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित <math display="inline">u</math> के लिए <math display="inline">T u = u |_{\partial \Omega}</math> करना आवश्यक है। | | ||
== ट्रेस प्रमेय == | == ट्रेस प्रमेय == | ||
ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस | ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस <math display="inline">W^{1,p}(\Omega)</math> में <math display="inline">1 \leq p < \infty</math> के साथ फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। माना <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^n</math> के लिये <math display="inline">n \in \mathbb N</math> लिप्सचिट्ज़ सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। तब<ref name="Gagliardo1957" /> वहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर उपस्थित है | ||
: <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)</math> | : <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)</math> | ||
जैसे कि <math display="inline">T</math> पारम्परिक ट्रेस का विस्तार करता है, अर्थात | |||
: <math>T u = u |_{\partial \Omega}</math> सभी के लिए <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega) \cap C(\bar \Omega)</math>. | : <math>T u = u |_{\partial \Omega}</math> सभी के लिए <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega) \cap C(\bar \Omega)</math>. | ||
<math display="inline">T</math> की निरंतरता का तात्पर्य है कि | |||
<math>\| T u \|_{L^p(\partial \Omega)} \leq C \| u \|_{W^{1,p}(\Omega)}</math> सभी के लिए <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega)</math> | |||
निरंतर के साथ केवल <math display="inline">p</math> और <math display="inline">\Omega</math> पर निर्भर करता है। फलन <math display="inline">T u</math> को <math display="inline">u</math> का ट्रेस कहा जाता है और अधिकांश इसे केवल <math display="inline">u |_{\partial \Omega}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। और <math display="inline">T</math> के लिए अन्य सामान्य प्रतीकों में <math display="inline">tr</math> और <math display="inline">\gamma</math> सम्मालित हैं। | |||
=== निर्माण === | === निर्माण === | ||
यह पैराग्राफ इवांस का अनुसरण करता है,<ref name="Evans1998,traces" />जहां अधिक विवरण | यह पैराग्राफ इवांस का अनुसरण करता है,<ref name="Evans1998,traces" /> और जहां से अधिक विवरण प्राप्त किया जा सकता है, और यह मान ले कि <math display="inline">\Omega</math> की एक <math display="inline">C^1</math>-सीमा है। लिप्सचिट्ज़ डोमेन के लिए ट्रेस प्रमेय का एक प्रमाण (एक मजबूत संस्करण का) गगलियार्डो में प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="Gagliardo1957" /> <math display="inline">C^1</math>-डोमेन पर, ट्रेस ऑपरेटर को ऑपरेटर के [[निरंतर रैखिक विस्तार]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है | ||
: <math>T:C^\infty(\bar \Omega)\to L^p(\partial \Omega)</math> | : <math>T:C^\infty(\bar \Omega)\to L^p(\partial \Omega)</math> | ||
स्पेस के लिए <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>. के घने सेट द्वारा <math display="inline">C^\infty(\bar \Omega)</math> में <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> ऐसा विस्तार संभव है यदि <math display="inline">T</math> <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>-आदर्श के संबंध में निरंतर है। इसका प्रमाण, अर्थात् <math display="inline">C > 0</math> कि उपस्थित है (इस पर निर्भर करते हुए <math display="inline">\Omega</math> और <math display="inline">p</math>) जैसे कि | |||
: <math>\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega)}\le C \|u\|_{W^{1, p}(\Omega)}</math> सभी के लिए <math>u \in C^\infty(\bar \Omega).</math> | : <math>\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega)}\le C \|u\|_{W^{1, p}(\Omega)}</math> सभी के लिए <math>u \in C^\infty(\bar \Omega).</math> | ||
ट्रेस ऑपरेटर के निर्माण में केंद्रीय घटक है। | ट्रेस ऑपरेटर के निर्माण में केंद्रीय घटक है। <math display="inline">C^1(\bar \Omega)</math> के लिए इस अनुमान का एक स्थानीय संस्करण पहले सिद्ध किया गया है [[विचलन प्रमेय]] का प्रयोग करते हुए स्थानीय रूप से सपाट सीमा के लिए -फलन पहले सिद्ध होते हैं। परिवर्तन द्वारा, एक सामान्य <math display="inline">C^1</math>-इस स्थिति को कम करने के लिए सीमा को स्थानीय रूप से सीधा किया जा सकता है, जहां <math display="inline">C^1</math>-रूपांतरण की नियमितता के लिए आवश्यक है कि स्थानीय अनुमान <math display="inline">C^1(\bar \Omega)</math>-फलन को धारण करे। | ||
ट्रेस ऑपरेटर की इस निरंतरता के साथ <math display="inline">C^\infty(\bar \Omega)</math> के लिए एक विस्तार <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> सार तर्कों से | ट्रेस ऑपरेटर की इस निरंतरता के साथ <math display="inline">C^\infty(\bar \Omega)</math> के लिए एक विस्तार <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> सार तर्कों से उपस्थित है और <math display="inline">Tu</math> के लिये <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega)</math> निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है। मान ले <math display="inline">u_k \in C^\infty(\bar \Omega)</math> घनत्व द्वारा <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega)</math> का अनुमान लगाने वाला अनुक्रम हो। <math display="inline">T</math> की <math display="inline">C^\infty(\bar \Omega)</math> अनुक्रम <math display="inline">u_k |_{\partial \Omega}</math> में एक कॉशी अनुक्रम है <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> और <math display="inline">T u = \lim_{k \to \infty} u_k |_{\partial \Omega}</math> सीमा में <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> लिया गया . | ||
इसके अतिरिक्त गुण <math display="inline">T u = u |_{\partial \Omega}</math> के लिए रखता है <math display="inline">u \in C^{\infty}(\bar \Omega)</math> निर्माण द्वारा, लेकिन किसी के लिए <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega) \cap C(\bar \Omega)</math> एक क्रम होता है <math display="inline">u_k \in C^\infty(\bar \Omega)</math> जो <math display="inline">\bar \Omega</math> से <math display="inline">u</math> समान रूप से अभिसरण करता है, <math display="inline">W^{1, p}(\Omega) \cap C(\bar \Omega)</math> बड़े सेट पर अतिरिक्त गुण की पुष्टि करता है। | |||
=== | === स्थिति पी = ∞ === | ||
यदि <math display="inline">\Omega</math> | यदि <math display="inline">\Omega</math> परिबद्ध है और उसकी एक <math display="inline">C^1</math>-सीमा है तब मोरे की असमानता से एक सतत एम्बेडिंग उपस्थित है <math display="inline">W^{1, \infty}(\Omega) \hookrightarrow C^{0, 1}(\Omega)</math>, जहाँ <math display="inline">C^{0, 1}(\Omega)</math> लिप्सचिट्ज़ निरंतरता फलनों के स्थान को दर्शाता है। विशेष रूप से, किसी भी फलन <math display="inline">u \in W^{1, \infty}(\Omega)</math>में एक पारम्परिक ट्रेस है <math display="inline">u |_{\partial \Omega} \in C(\partial \Omega)</math> और वहाँ रखती है | ||
: <math>\| u |_{\partial \Omega} \|_{C(\partial \Omega)} \leq \| u \|_{C^{0, 1}(\Omega)} \leq C \| u \|_{W^{1, \infty}(\Omega)}.</math> | : <math>\| u |_{\partial \Omega} \|_{C(\partial \Omega)} \leq \| u \|_{C^{0, 1}(\Omega)} \leq C \| u \|_{W^{1, \infty}(\Omega)}.</math> | ||
== ट्रेस शून्य के साथ | == ट्रेस शून्य के साथ फलन == | ||
<math display="inline">1 \leq p < \infty</math> के लिये सोबोलेव स्पेस <math display="inline">W^{1,p}_0(\Omega)</math> कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सेट के बंद होने के रूप में परिभाषित किया गया है फलन <math display="inline">C^\infty_c(\Omega)</math> <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>-आदर्श के संबंध में। निम्नलिखित वैकल्पिक लक्षण वर्णन धारण करता है: | |||
: <math>W^{1, p}_0(\Omega) = \{ u \in W^{1, p}(\Omega) \mid T u = 0 \} = \ker(T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)),</math> | : <math>W^{1, p}_0(\Omega) = \{ u \in W^{1, p}(\Omega) \mid T u = 0 \} = \ker(T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)),</math> | ||
जहाँ <math display="inline">\ker(T)</math> का <math display="inline">T</math> [[कर्नेल (रैखिक बीजगणित)]] है, अर्थात <math display="inline">W^{1, p}_0(\Omega)</math> में फलनों का उप-स्थान है <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> ट्रेस जीरो के साथ है। | |||
== ट्रेस ऑपरेटर की छवि == | == ट्रेस ऑपरेटर की छवि == | ||
| Line 55: | Line 59: | ||
=== पी> 1 === के लिए | === पी> 1 === के लिए | ||
ट्रेस ऑपरेटर | ट्रेस ऑपरेटर <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> पर विशेषण नहीं है यदि <math display="inline">p > 1</math>, अर्थात् <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> हर फलन में नहीं <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> में एक फलन का ट्रेस है. जैसा कि नीचे दी गई छवि में ऐसे फलन सम्मालित हैं जो होल्डर निरंतरता के <math display="inline">L^p</math> -संस्करण को संतुष्ट करते हैं। | ||
==== | ==== संक्षेप में लक्षण वर्णन ==== | ||
<math display="inline">T</math> की [[छवि (गणित)]] का एक संक्षेप निरूपण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। [[समरूपता प्रमेय|समरूपता प्रमेयों]] द्वारा वहाँ धारण किया जाता है | |||
: <math>T(W^{1,p}(\Omega)) \cong W^{1, p}(\Omega) / \ker(T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)) = W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega)</math> | : <math>T(W^{1,p}(\Omega)) \cong W^{1, p}(\Omega) / \ker(T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)) = W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega)</math> | ||
जहाँ <math display="inline">X / N</math> उप-स्थान <math display="inline">N \subset X</math> द्वारा बानाच स्थान <math display="inline">X</math> के [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] को दर्शाता है और अंतिम पहचान ऊपर से <math display="inline">W^{1, p}_0(\Omega)</math> के लक्षण वर्णन से होती है।द्वारा परिभाषित भागफल स्थान को भागफल मानदंड से लैस करना | |||
: <math>\|u\|_{W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega)} = \inf_{u_0 \in W^{1, p}_0(\Omega)} \|u - u_0\|_{W^{1, p}(\Omega)}</math> | : <math>\|u\|_{W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega)} = \inf_{u_0 \in W^{1, p}_0(\Omega)} \|u - u_0\|_{W^{1, p}(\Omega)}</math> | ||
ट्रेस ऑपरेटर <math display="inline">T</math> तब एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक | ट्रेस ऑपरेटर <math display="inline">T</math> तब एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है | ||
: <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega) </math>. | : <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega) </math>. | ||
==== सोबोलेव-स्लोबोडेकिज | ==== सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस का प्रयोग करते हुए अभिलक्षणन ==== | ||
<math display="inline">T</math> की छवि का अधिक ठोस प्रतिनिधित्व सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान का उपयोग करके दिया जा सकता है जो होल्डर के निरंतर कार्यों की अवधारणा को <math display="inline">L^p</math> सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस जो धारक के निरंतर फलनों की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है। चूंकि <math display="inline">\partial \Omega</math> एक (n-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] <math display="inline">\mathbb R^n</math> इन स्थानों का एक स्पष्ट लक्षण वर्णन तकनीकी रूप से शामिल है सरलता के लिए पहले एक समतलीय डोमेन <math display="inline">\Omega' \subset \mathbb R^{n-1}</math> पर विचार करें. <math display="inline">v \in L^p(\Omega')</math> के लिये (संभवतः अनंत) मानदंड को परिभाषित करें | |||
: <math>\| v \|_{W^{1-1/p, p}(\Omega')} = \left( \|v\|_{L^p(\Omega')}^p + \int_{\Omega' \times \Omega'} \frac{ | v(x) - v(y) |^p }{|x - y|^{(1 - 1/p) p + (n-1)}}\,\mathrm d(x, y) \right)^{1/p} </math> | : <math>\| v \|_{W^{1-1/p, p}(\Omega')} = \left( \|v\|_{L^p(\Omega')}^p + \int_{\Omega' \times \Omega'} \frac{ | v(x) - v(y) |^p }{|x - y|^{(1 - 1/p) p + (n-1)}}\,\mathrm d(x, y) \right)^{1/p} </math> | ||
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: <math>W^{1-1/p, p}(\Omega') = \left\{ v \in L^p(\Omega') \;\mid\; \| v \|_{W^{1-1/p, p}(\Omega')} < \infty \right\}</math> | : <math>W^{1-1/p, p}(\Omega') = \left\{ v \in L^p(\Omega') \;\mid\; \| v \|_{W^{1-1/p, p}(\Omega')} < \infty \right\}</math> | ||
पिछले मानदंड से लैस एक | पिछले मानदंड से लैस एक बानाच स्पेस है (गैर-पूर्णांक के लिए <math display="inline">W^{s,p}(\Omega')</math> एक सामान्य परिभाषा <math display="inline">s > 0</math> सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान के लिए आलेख में पाया जा सकता है)। (N-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड <math display="inline">\partial \Omega</math> के लिए परिभाषित करना <math display="inline">W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)</math> स्थानीय रूप से सीधा करके <math display="inline">\partial \Omega</math> और की परिभाषा <math display="inline">W^{1-1/p, p}(\Omega')</math> के अनुसार आगे बढ़ें . | ||
स्पेस <math display="inline">W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)</math> को तब पहचाना जा सकता है ट्रेस ऑपरेटर की छवि और वहां है<ref name="Gagliardo1957" /> | |||
: <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to W^{1 - 1/p, p}(\partial \Omega)</math> | : <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to W^{1 - 1/p, p}(\partial \Omega)</math> | ||
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=== पी = 1 === के लिए | === पी = 1 === के लिए | ||
<math display="inline">p = 1</math>के लिये ट्रेस ऑपरेटर की छवि <math display="inline">L^1(\partial \Omega)</math> है और वहाँ है<ref name="Gagliardo1957" /> | |||
: <math>T\colon W^{1, 1}(\Omega) \to L^1(\partial \Omega)</math> | : <math>T\colon W^{1, 1}(\Omega) \to L^1(\partial \Omega)</math> | ||
एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है। | एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है। | ||
== | == दायां-इनवर्स: ट्रेस विस्तार ऑपरेटर == | ||
ट्रेस ऑपरेटर | ट्रेस ऑपरेटर इंजेक्शन नहीं है क्योंकि <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> में कई फलन एक ही ट्रेस (या समकक्ष, <math display="inline">W^{1, p}_0(\Omega) \neq 0</math>). चूंकि ट्रेस ऑपरेटर के पास एक अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला दायां-इनवर्स है, जो सीमा पर परिभाषित फलन को पूरे डोमेन तक बढ़ाता है। विशेष तौर पर <math display="inline">1 < p < \infty</math> एक परिबद्ध, रैखिक ट्रेस विस्तार ऑपरेटर उपस्थित है<ref name="Necas1967" /> | ||
: <math>E\colon W^{1-1/p, p}(\partial \Omega) \to W^{1, p}(\Omega)</math>, | : <math>E\colon W^{1-1/p, p}(\partial \Omega) \to W^{1, p}(\Omega)</math>, | ||
| Line 100: | Line 104: | ||
: <math>T (E v) = v</math> सभी के लिए <math display="inline">v \in W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)</math> | : <math>T (E v) = v</math> सभी के लिए <math display="inline">v \in W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)</math> | ||
और, निरंतरता से, | और, निरंतरता से, <math display="inline">C > 0</math> के साथ उपस्थित है | ||
: <math>\| E v \|_{W^{1, p}(\Omega)} \leq C \| v \|_{W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)}</math>. | : <math>\| E v \|_{W^{1, p}(\Omega)} \leq C \| v \|_{W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)}</math>. | ||
उल्लेखनीय मात्र अस्तित्व नहीं है बल्कि सही व्युत्क्रम की रैखिकता और निरंतरता है। | उल्लेखनीय मात्र अस्तित्व नहीं है बल्कि सही व्युत्क्रम की रैखिकता और निरंतरता है। होल-स्पेस विस्तार ऑपरेटर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math display="inline">W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p}(\mathbb R^n)</math> जो सोबोलेव स्पेस के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं। | ||
== अन्य | == अन्य स्पेस का विस्तार == | ||
=== उच्च डेरिवेटिव === | === उच्च डेरिवेटिव === | ||
पिछले कई परिणामों को | पिछले कई परिणामों को <math display="inline">W^{m, p}(\Omega)</math> तक उच्च भिन्नता <math display="inline">m = 2, 3, \ldots</math> के साथ बढ़ाया जा सकता है यदि डोमेन पर्याप्त रूप से नियमित है। मान लें कि <math display="inline">N</math> <math display="inline">\partial \Omega</math> बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र को निरूपित करें. | ||
चूंकि <math display="inline">u |_{\partial \Omega}</math> केवल सामान्य व्युत्पन्न <math display="inline">\partial_N u |_{\partial \Omega}</math> स्पर्शरेखा दिशा में विभेदीकरण गुणों को सांकेतिक शब्दों म | |||