घन समतल वक्र: Difference between revisions

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एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के विलक्षण बिंदु बहुत सीमित हैं: एक [[दोहरा बिंदु]], या एक [[पुच्छ (विलक्षणता)|अंतराल]]। एक लघुकरणीय समतल घनीय वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और उसके अनुसार दो दोहरे बिंदु या एक [[fancode|टेकनोद]] (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन पंक्तियाँ हो तो तीन दोहरे बिंदु या एकल तिहरा बिंदु ([[समवर्ती रेखाएँ]]) तक होते हैं।  
एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के विलक्षण बिंदु बहुत सीमित हैं: एक [[दोहरा बिंदु]], या एक [[पुच्छ (विलक्षणता)|अंतराल]]। एक लघुकरणीय समतल घनीय वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और उसके अनुसार दो दोहरे बिंदु या एक [[fancode|टेकनोद]] (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन पंक्तियाँ हो तो तीन दोहरे बिंदु या एकल तिहरा बिंदु ([[समवर्ती रेखाएँ]]) तक होते हैं।  


== त्रिभुज के तल में घन वक्र ==
== त्रिभुज के तल में घनीय वक्र ==
मान लीजिए कि ABC भुजाओं वाला एक त्रिभुज है {{nowrap|1=''a'' = {{abs|''BC''}}}}, {{nowrap|1=''b'' = {{abs|''CA''}}}}, {{nowrap|1=''c'' = {{abs|''AB''}}}}. एबीसी के सापेक्ष, अनेक नामित घन प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)]]।
मान लीजिए कि ABC , ''a'' भुजा वाला एक त्रिभुज है जहाँ {{nowrap|1=''a'' = {{abs|''BC''}}}}, {{nowrap|1=''b'' = {{abs|''CA''}}}}, {{nowrap|1=''c'' = {{abs|''AB''}}}}.


क्यूबिक इक्वेशन में ट्रिलिनियर से बेरिकेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार प्रतिस्थापित करें:
''ABC'' के सापेक्ष, अनेक नामित घन भली- भांति पहचाने हुए बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)|बैरीसेंट्रिक निर्देशांक]]।


:x ↦ बीसीएक्स, y ↦ रेती, z ↦ abz;
घनीय समीकरण में, त्रिरेखीय निर्देशांक को बैरीसेंट्रिक निर्देशांक में बदलने के लिए, निम्न प्रतिस्थापन का प्रयोग करें:


बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें
:''x'' ↦ ''bcx'', ''y'' ↦ ''cay'', ''z'' ↦ ''abz'';
 
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक से त्रिरेखीय निर्देशांक मे बदलने के लिए, निम्न  प्रतिस्थापन का प्रयोग करें :


:x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.
:x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.


घन के लिए अनेक समीकरणों का रूप है
घन के लिए अनेक समीकरणों का रूप इस प्रकार है


: एफ (ए, बी, सी, एक्स, वाई, जेड) + एफ (बी, सी, ए, वाई, जेड, एक्स) + एफ (सी, ए, बी, जेड, एक्स, वाई) = 0।
: ''f''(''a'', ''b'', ''c'', ''x'', ''y'', ''z'') + ''f''(''b'', ''c'', ''a'', ''y'', ''z'', ''x'') + ''f''(''c'', ''a'', ''b'', ''z'', ''x'', ''y'') = 0.


नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में चक्रीय योग अंकन में लिखा गया है, जैसे:
नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में "चक्रीय योग अंकन " में लिखा गया है, जैसे:


:<math>\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 </math>.
:<math>\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 </math>.


नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X* द्वारा निरूपित किया जाता है, एक बिंदु X जो ABC के किनारे पर नहीं है। X* की रचना इस प्रकार है। चलो एल<sub>A</sub>कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L को परिभाषित करें<sub>B</sub>और मैं<sub>C</sub>समान रूप से। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = {{sfrac|''x''}}:{{sfrac|''y''}}:{{sfrac|''z''}}.
नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X*, X का एक बिंदु जो ABC के किनारे पर नहीं है, द्वारा निरूपित किया जाता है। X* की रचना इस प्रकार है। माना ''L<sub>A</sub>''  कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के सापेक्ष रेखा XA का प्रतिबिंब है, L<sub>B</sub> और ''L<sub>C</sub>''  भी उसी प्रकार से परिभाषित है। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = {{sfrac|''x''}}:{{sfrac|''y''}}:{{sfrac|''z''}}.
 
=== न्यूबर्ग घन ===
[[File:NeubergCurve.png|thumb|त्रिभुज ABC का न्युबर्ग घन: X का बिंदुपथ ऐसा है जिसमे <math>X_A, X_B, X_C</math> A, B, C के किनारे  BC, CA, AB फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं <math>AX_A, BX_B, CX_C</math> समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>[[न्युबर्ग क्यूबिक|न्युबर्ग घन]] ( [[जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग]] के नाम पर रखा गया ) बिंदु X का  इस प्रकार का बिन्दुपथ जिसमे  X* रेखा ''EX'' पर गति करता है, जहाँ ''E''  यूलर इन्फिनिटी बिन्दु है ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में X(30) )। साथ ही, घनाकार X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि त्रिभुज X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub> , ABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub> क्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है।


=== न्यूबर्ग क्यूबिक ===
न्यूबर्ग घन निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों [[फर्मेट बिंदु]], दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, बाह्ययकेंद्र,  ABC के किनारे ''A'', ''B'', ''C'' के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर बनाए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।
[[File:NeubergCurve.png|thumb|त्रिभुज ABC का न्युबर्ग क्यूबिक: X का स्थान ऐसा है कि यदि <math>X_A, X_B, X_C</math> ए, बी, सी के किनारे बीसी, सीए, एबी फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं <math>AX_A, BX_B, CX_C</math> समवर्ती हैं।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
[[न्युबर्ग क्यूबिक]] ([[जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग]] के नाम पर रखा गया) बिंदु एक्स का लोकस (गणित) है जैसे कि एक्स * लाइन ईएक्स पर है, जहां ई यूलर इन्फिनिटी पॉइंट है (त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में एक्स (30)) . साथ ही, यह घनाकार X का स्थान इस प्रकार है कि त्रिभुज X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>ABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>क्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है


न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों [[फर्मेट बिंदु]], दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर खड़े किए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।
एक आलेखनीय प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग घन के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html त्रिभुज तल में बर्नहार्ड गिल्बर्ट के घन' को]  [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html 'K001'] में देखें।


एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html 'K001' को बर्हार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्राएंगल प्लेन'] में देखें।
===थॉमसन घन===
[[File:Thomson cubic.svg|thumb|right|थॉमसन घन (काला वक्र) का उदाहरण। X घन पर है, जैसे कि X (X') का समकोणीय संयुग्मी रेखा X(2) - X पर है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math> थॉमसन घन बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहाँ G केंद्रक है।


===थॉमसन क्यूबिक===
थॉमसन घन निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, बाह्ययकेंद्र, भुजाओं BC, CA, AB के मध्य बिंदु ,और ABC की ऊँचाई के मध्य बिंदु। घन पर स्थित प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समकोणीय संयुग्मी भी घन पर है।
[[File:Thomson cubic.svg|thumb|right|थॉमसन क्यूबिक (काला वक्र) का उदाहरण। X क्यूबिक पर है, जैसे कि X (X') का आइसोगोनल कॉन्जुगेट लाइन X(2) - X पर है।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केंद्रक है।


थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, एक्सेंटर, भुजाओं के मध्य बिंदु BC, CA, AB, और मध्य बिंदु एबीसी की ऊंचाई। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।
आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html 'K002' को 'त्रिभुजीय तल में घन में' पर देखें]।


ग्राफ़ और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html 'K002' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें]।
=== डार्बौक्स घन ===
[[File:DarbouxCubic.png|thumb|त्रिभुज  ABC का डार्बौक्स घन: X का बिन्दुपथ इस तरह है कि यदि  D, E, F, X से किनारे BC, CA, AB के लंबवत के पैर हैं तो AD, BE,CF समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>डार्बौक्स घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X* रेखा LX पर है, जहाँ L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अतिरिक्त, यह घन X का लोकस इस प्रकार है कि X का पेडल त्रिभुज, किसी बिंदु का सीवियन त्रिभुज है (जो लुकास घन पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जैसे कि X का पेडल त्रिभुज और X का एंटीसेवियन त्रिभुज परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन घन पर स्थित है।


=== डार्बौक्स क्यूबिक ===
डार्बौक्स घन अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, [[लॉन्गचैम्प्स बिंदु से]], अन्य त्रिभुज केंद्रों, शीर्ष ''A'', ''B'', ''C'', बाह्ययकेंद्र और परिवृत्त पर ''A'', ''B'', ''C'', के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समकोणीय संयुग्मी भी घन पर है।
[[File:DarbouxCubic.png|thumb|त्रिभुज एबीसी का डार्बौक्स क्यूबिक: एक्स का स्थान इस तरह है कि यदि डी, ई, एफ एक्स से किनारे बीसी, सीए, एबी के लंबवत के पैर हैं तो एडी, बीई, सीएफ समवर्ती हैं।]]ट्रिलिनियर समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
डार्बौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का ठिकाना है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का लोकस है जैसे एक्स का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सीवियन त्रिकोण है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण और X का एंटीसेवियन त्रिकोण परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।


डार्बौक्स क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, [[लॉन्गचैम्प्स बिंदु से]], अन्य त्रिकोण केंद्रों, वर्टिकल ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।
आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html 'K004' को 'त्रिकोण तल में घन' पर देखें]


ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html 'K004' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें]।
===नेपोलियन–फायरबैक घन===
त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 </math>


===नेपोलियन–फायरबैक क्यूबिक===
ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है * रेखा NX पर है, जहां N नौ-बिंदु केंद्र है, (त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5)।


नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर खड़े समबाहु त्रिभुज।
नेपोलियन-फायरबैक घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X* रेखा NX पर है, जहाँ N नौ-बिंदु केंद्र है ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5) )।
 
नेपोलियन-फायरबैक घन, अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, पहला और दूसरा नेपोलियन बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, ''A'', ''B'', ''C'', बाह्ययकेंद्र, ऊंचाई पर केन्द्रक के प्रक्षेप और ABC की भुजाओं पर बने 6 समबाहु त्रिभुजो के केंद्रों से होकर गुजरता है। ।


ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k005.html 'K005' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k005.html 'K005' पर '][http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html त्रिकोण तल में घन]'।


===लुकास क्यूबिक===
===लुकास घन===
[[File:LucasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का लुकास क्यूबिक: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>
[[File:LucasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का लुकास घन: एक बिंदु X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स घन पर स्थित है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
लुकास क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का सीवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।


लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागल पॉइंट, डी लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिभुज केंद्रों, एंटीकोम्प्लीमेंट्री त्रिकोण के कोने और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।
लुकास घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X का सीवियन त्रिभुज, किसी दूसरे बिंदु का पेडल त्रिभुज है और बिंदु डार्बौक्स घन पर स्थित है।
 
लुकास घन केन्द्रक, लंबकेन्द्र, गेर्गोन बिन्दु, नागल बिन्दु, डी लॉन्गचैम्प्स बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, प्रतिपूरक त्रिभुज त्रिभुज के शीर्ष और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फोकस से होकर गुजरता है।
 
आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html 'K007' को 'त्रिकोण तल में घन']।
 
===पहला ब्रोकेड घन===
[[File:FirstBrocardCubic.png|thumb|पहला ब्रोकार्ड घन: यह X का बिन्दुपथ है जिसमे XA′, XB′, XC′ का  BC, CA, AB  के साथ  प्रतिच्छेदन बिन्दु क्रमशः  X<sub>A</sub>, X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub>, जहाँ ''A''′''B''′''C''′ त्रिभुज  ABC का पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:  <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण:  <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
 
माना कि ''A''′''B''′''C''′  पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है। किसी बिंदु X के लिए,  माना X<sub>A</sub>, X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub> क्रमशः रेखाओं XA′, XB′, XC′ की भुजाओं BC, CA, AB के साथ प्रतिच्छेदन बिन्दु है। पहला ब्रोकार्ड घन,    X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु  X<sub>A</sub>, X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub> संरेख हैं।


ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
पहला ब्रोकार्ड घन केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु, स्टेनर बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिभुज के शीर्ष से होकर गुजरता है।


===पहला ब्रोकेड क्यूबिक===
आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k017.html 'K017' को '][http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html त्रिकोण तल] में घन' पर देखें।
[[File:FirstBrocardCubic.png|thumb|पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक: यह एक्स का लोकस है जैसे एक्सए', एक्सबी', एक्ससी' के चौराहे बीसी, सीए, सीबी के साथ, जहां ए'बी'सी' त्रिभुज एबीसी का पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।]]ट्रिलिनियर समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
बता दें कि AB'C' पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है। मनमाना बिंदु X के लिए, X दें<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>रेखाओं XA′, XB′, XC′ के प्रतिच्छेदन क्रमशः भुजाओं BC, CA, AB के साथ हों। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु X है<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>संरेख हैं।


पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के शीर्ष से होकर गुजरता है।
===दूसरा ब्रोकार्ड घन===
त्रिरेखीय समीकरण:    <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>


ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k017.html 'K017' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें]।
बेरसेंट्रिक समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>


===दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक===
दूसरा ब्रोकार्ड घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में रेखा XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (मतलब, ब्रोकार्ड अक्ष ) की रेखा पर स्थित है। घन केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु, दोनों फ़र्मेट बिन्दु, दोनों आइसोडायनामिक बिन्दु, पैरी बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिभुज के शीर्षों से होकर गुजरता है।
ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (यानी, ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, दोनों फ़र्मेट पॉइंट्स, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट्स, पैरी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।


ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k018.html 'K018' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें]।
आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k018.html 'K018' को '][http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html त्रिकोण तल में घन]' पर देखें।


===पहला बराबर क्षेत्रफल घन===
===पहला बराबर क्षेत्रफल घन===
[[File:FirstEqualAreasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
[[File:FirstEqualAreasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।]]त्रिरेखीय समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिकोण के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का ठिकाना है जिसके लिए एक्स * लाइन एस * एक्स पर है, जहां एस स्टेनर पॉइंट है। (एस = एक्स (99) त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में)।


पहला बराबर क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड पॉइंट और एक्सेंटर से होकर गुजरता है।
पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अतिरिक्त, यह घन X का बिन्दुपथ है जिसके लिए  X* रेखा ''S''*''X'' पर है, जहाँ ''S'' स्टेनर बिन्दु है। ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में ''S'' = X (99) )


ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k021.html 'K021' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
पहला बराबर क्षेत्र घन अंत:केंद्र, स्टेनर बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड बिन्दु और बाह्ययकेंद्र से होकर गुजरता है।
 
आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k021.html 'K021' को 'त्रिकोण तल में घन']।


=== दूसरा बराबर क्षेत्र घन ===
=== दूसरा बराबर क्षेत्र घन ===
ट्रिलिनियर समीकरण: <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>
त्रिरेखीय समीकरण : <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>
बेरसेंट्रिक समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>
किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X<sub>Y</sub>= वाई: जेड: एक्स और एक्स<sub>Z</sub>= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूबिक एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स के सेवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल<sub>Y</sub>X के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है<sub>Z</sub>.


एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में दूसरा समान क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स (1453), एक्स (1931), एक्स (2053), और अन्य।
बेरसेंट्रिक समीकरण :  <math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>


ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k155.html 'K155' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए ''X<sub>Y</sub>'' = ''y'':''z'':''x'' और ''X<sub>Z</sub>'' = ''z'':''x'':''y''। दूसरा बराबर क्षेत्र घन X का बिन्दुपथ है जिसमे X<sub>Y</sub> के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X<sub>Z</sub> के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
 
दूसरा समान क्षेत्र घन अंत:केंद्र, केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु और  त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिन्दु  ''X''(31), ''X''(105), ''X''(238), ''X''(292), ''X''(365), ''X''(672), ''X''(1453), ''X''(1931), ''X''(2053) और अन्य बिन्दु से होकर गुजरता है।
 
आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k155.html 'K155' को 'त्रिकोण तल में घन']।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* केली-बचराच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
* दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर, केली-बछराच प्रमेय
* [[मुड़ घन]], एक क्यूबिक स्पेस कर्व
* [[मुड़ घन]], एक घन त्रिविम वक्र
* अण्डाकार वक्र
* अण्डाकार वक्र
* [[अगनेसी की चुड़ैल]]
* [[अगनेसी की चुड़ैल|अगनेसी का जादू]]
* [[त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची]]
* [[त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची|त्रिभुज घनो की सूची]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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*{{Citation |first=Clark |last=Kimberling |title=Cubics associated with triangles of equal areas |journal=Forum Geometricorum |volume=1 |year=2001 |pages=161–171 }}.
*{{Citation |first=Clark |last=Kimberling |title=Cubics associated with triangles of equal areas |journal=Forum Geometricorum |volume=1 |year=2001 |pages=161–171 }}.
*{{Citation |first=Fred |last=Lang |title=Geometry and group structures of some cubics |journal=Forum Geometricorum |volume=2 |year=2002 |pages=135–146 }}.
*{{Citation |first=Fred |last=Lang |title=Geometry and group structures of some cubics |journal=Forum Geometricorum |volume=2 |year=2002 |pages=135–146 }}.
*{{Citation |first=Guido M. |last=Pinkernell |title=Cubic curves in the triangle plane |journal=Journal of Geometry |volume=55 |issue=1–2 |year=1996 |pages=142–161 |doi=10.1007/BF01223040 |s2cid=123411561 }}.
*{{Citation |first=Guido M. |last=Pinkernell |title=Cubic curves in the triangle plane |journal=Journal of Geometry |volume=55 |issue=1–2 |year=1996 |pages=142–161 |doi=10.1007/BF01223040 |s2cid=123411561 }}
*{{Citation |first=George |last=Salmon |title=Higher Plane Curves |edition=3rd |publisher=Chelea |location=New York |year=1879 }}.