घन समतल वक्र: Difference between revisions

Latest revision as of 09:33, 13 December 2022

घनीय वक्र का चयन। विवरण के लिए सूचना पृष्ठ देखने के लिए छवि पर क्लिक करें।

गणित में, एक घनीय समीकरण द्वारा परिभाषित, एक घनीय समतल वक्र एक समतल बीजगणितीय वक्र $C$ होता है।

F(x,y,z)=0

प्रक्षेप्य गति के लिए सजातीय निर्देशांक $(x:y:z)$ पर लागू होता है। या $z = 1$ निर्धारित करके सेटिंग द्वारा affine स्थान के लिए विषम संस्करण ऐसे समीकरण में यहाँ $F$ तृतीय कोटि के एकपदीयों का शून्येतर रैखिक संयोजन है।

x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz

ये संख्या में दस हैं। इसलिए किसी दिए गए क्षेत्र $K$ पर, घनीय वक्र आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। यदि हम यह कहे कि $C$ , $P$ से होकर गुजरता है, तो $P$ का प्रत्येक बिंदु $F$ पर एक एकल रेखीय शर्त आरोपित करता है। इसलिए, हम किन्ही दिए हुए नौ बिंदुओं से होकर जाने वाले कुछ घनीय वक्र प्राप्त कर सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, तो वे अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और कैसे पांच बिंदु एक वक्र का निर्धारण करते हैं। यदि दो घन, नौ बिंदुओं के एक दिए गए समूह से होकर गुजरते हैं, तो वास्तव में घन की एक पेंसिल करती है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं। ( केली-बछराच प्रमेय देखें )

विलक्षण घन

y 2 = x 2 \cdot (x + 1)

. एक पैरामीट्रिजेशन दिया जाता है

t \mapsto (t 2 - 1, t \cdot (t 2 - 1))

.

एक घन वक्र में एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, इस स्थिति में प्रक्षेपी रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। इसके अतिरिक्त, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जैसे कि जटिल संख्या के ऊपर, एक गैर-विलक्षण घनीय वक्र को, विभक्ति बिंदु के नौ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। यह हेसियन आव्यूह के सजातीय संस्करण को लेकर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक घन को परिभाषित करता है, और इसे $C$ के साथ प्रतिच्छेद करता है ;तब प्रतिच्छेद बिन्दुओ की गणना बेजाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु ही वास्तविक हो सकते हैं, जिससे कि अन्य को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में वक्र बनाकर न देखा जा सके। एक गैर-विलक्षण घन के नौ मोड़ बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से किन्ही दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में, ठीक तीन मोड़ बिंदु होते हैं।

घनीय वक्र के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन आइजैक न्यूटन ने किया था। एक गैर-विलक्षण प्रक्षेप्य घन के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अण्डवक्र' में प्राप्त होते हैं। इन अण्डवक्र में से एक, प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेपी रेखा को पार करता है और इस प्रकार यूक्लिडियन क्षेत्र में घन खींचा जाने पर कभी भी बाध्यता नहीं होती है; तीन वास्तविक विभक्ति बिंदुओ को सम्मलित किए हुए यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होती हैं। अन्य अण्डवक्र, यदि वह उपस्थित है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं होता है और वह या तो एक अण्डवक्र या दो अनंत शाखाओं के रूप में दिखाई देता है। शंक्वाकार वर्गों की तरह, एक रेखा इस अण्डवक्र को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।

एक गैर-विलक्षण समतल घन किसी भी क्षेत्र $K$ पर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है जिसके लिए इसमें एक बिंदु परिभाषित है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार फलनो के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो घन के वर्गमूल को निकालकर बनाए गए परिमेय फलनों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह $K$ -परिमेय बिंदुओ पर निर्भर करता है, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत के बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे अनेक घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं होता है, उदाहरण के लिए जब परिमेय संख्या क्षेत्र $K$ है।

एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के विलक्षण बिंदु बहुत सीमित हैं: एक दोहरा बिंदु, या एक अंतराल। एक लघुकरणीय समतल घनीय वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और उसके अनुसार दो दोहरे बिंदु या एक टेकनोद (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन पंक्तियाँ हो तो तीन दोहरे बिंदु या एकल तिहरा बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) तक होते हैं।

त्रिभुज के तल में घनीय वक्र

मान लीजिए कि ABC , a भुजा वाला एक त्रिभुज है जहाँ a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|.

ABC के सापेक्ष, अनेक नामित घन भली- भांति पहचाने हुए बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक।

घनीय समीकरण में, त्रिरेखीय निर्देशांक को बैरीसेंट्रिक निर्देशांक में बदलने के लिए, निम्न प्रतिस्थापन का प्रयोग करें:

x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक से त्रिरेखीय निर्देशांक मे बदलने के लिए, निम्न प्रतिस्थापन का प्रयोग करें :

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

घन के लिए अनेक समीकरणों का रूप इस प्रकार है

f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.

नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में "चक्रीय योग अंकन " में लिखा गया है, जैसे:

\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0

.

नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X*, X का एक बिंदु जो ABC के किनारे पर नहीं है, द्वारा निरूपित किया जाता है। X* की रचना इस प्रकार है। माना L_A कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के सापेक्ष रेखा XA का प्रतिबिंब है, L_B और L_C भी उसी प्रकार से परिभाषित है। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = 1/x:1/y:1/z.

न्यूबर्ग घन

File:NeubergCurve.png

त्रिभुज ABC का न्युबर्ग घन: X का बिंदुपथ ऐसा है जिसमे

X_{A},X_{B},X_{C}

A, B, C के किनारे BC, CA, AB फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं

AX_{A},BX_{B},CX_{C}

समवर्ती हैं।

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ न्युबर्ग घन ( जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर रखा गया ) बिंदु X का इस प्रकार का बिन्दुपथ जिसमे X* रेखा EX पर गति करता है, जहाँ E यूलर इन्फिनिटी बिन्दु है ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में X(30) )। साथ ही, घनाकार X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि त्रिभुज X_AX_BX_C , ABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X_AX_BX_C क्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है।

न्यूबर्ग घन निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों फर्मेट बिंदु, दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, बाह्ययकेंद्र, ABC के किनारे A, B, C के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर बनाए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।

एक आलेखनीय प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग घन के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, त्रिभुज तल में बर्नहार्ड गिल्बर्ट के घन' को 'K001' में देखें।

थॉमसन घन

File:Thomson cubic.svg

थॉमसन घन (काला वक्र) का उदाहरण। X घन पर है, जैसे कि X (X') का समकोणीय संयुग्मी रेखा X(2) - X पर है।

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ थॉमसन घन बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहाँ G केंद्रक है।

थॉमसन घन निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, बाह्ययकेंद्र, भुजाओं BC, CA, AB के मध्य बिंदु ,और ABC की ऊँचाई के मध्य बिंदु। घन पर स्थित प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समकोणीय संयुग्मी भी घन पर है।

आलेख और गुणों के लिए, 'K002' को 'त्रिभुजीय तल में घन में' पर देखें।

डार्बौक्स घन

File:DarbouxCubic.png

त्रिभुज ABC का डार्बौक्स घन: X का बिन्दुपथ इस तरह है कि यदि D, E, F, X से किनारे BC, CA, AB के लंबवत के पैर हैं तो AD, BE,CF समवर्ती हैं।

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ डार्बौक्स घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X* रेखा LX पर है, जहाँ L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अतिरिक्त, यह घन X का लोकस इस प्रकार है कि X का पेडल त्रिभुज, किसी बिंदु का सीवियन त्रिभुज है (जो लुकास घन पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जैसे कि X का पेडल त्रिभुज और X का एंटीसेवियन त्रिभुज परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन घन पर स्थित है।

डार्बौक्स घन अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, लॉन्गचैम्प्स बिंदु से, अन्य त्रिभुज केंद्रों, शीर्ष A, B, C, बाह्ययकेंद्र और परिवृत्त पर A, B, C, के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समकोणीय संयुग्मी भी घन पर है।

आलेख और गुणों के लिए, 'K004' को 'त्रिकोण तल में घन' पर देखें

नेपोलियन–फायरबैक घन

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

नेपोलियन-फायरबैक घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X* रेखा NX पर है, जहाँ N नौ-बिंदु केंद्र है ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5) )।

नेपोलियन-फायरबैक घन, अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, पहला और दूसरा नेपोलियन बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, A, B, C, बाह्ययकेंद्र, ऊंचाई पर केन्द्रक के प्रक्षेप और ABC की भुजाओं पर बने 6 समबाहु त्रिभुजो के केंद्रों से होकर गुजरता है। ।

आलेख और गुणों के लिए, देखें 'K005' पर 'त्रिकोण तल में घन'।

लुकास घन

File:LucasCubic.png

त्रिभुज ABC का लुकास घन: एक बिंदु X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स घन पर स्थित है।

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

लुकास घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X का सीवियन त्रिभुज, किसी दूसरे बिंदु का पेडल त्रिभुज है और बिंदु डार्बौक्स घन पर स्थित है।

लुकास घन केन्द्रक, लंबकेन्द्र, गेर्गोन बिन्दु, नागल बिन्दु, डी लॉन्गचैम्प्स बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, प्रतिपूरक त्रिभुज त्रिभुज के शीर्ष और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फोकस से होकर गुजरता है।

आलेख और गुणों के लिए, देखें 'K007' को 'त्रिकोण तल में घन'।

पहला ब्रोकेड घन

File:FirstBrocardCubic.png

पहला ब्रोकार्ड घन: यह X का बिन्दुपथ है जिसमे XA′, XB′, XC′ का BC, CA, AB के साथ प्रतिच्छेदन बिन्दु क्रमशः X_A, X_B, X_C, जहाँ A′B′C′ त्रिभुज ABC का पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

माना कि A′B′C′ पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है। किसी बिंदु X के लिए, माना X_A, X_B, X_C क्रमशः रेखाओं XA′, XB′, XC′ की भुजाओं BC, CA, AB के साथ प्रतिच्छेदन बिन्दु है। पहला ब्रोकार्ड घन, X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु X_A, X_B, X_C संरेख हैं।

पहला ब्रोकार्ड घन केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु, स्टेनर बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिभुज के शीर्ष से होकर गुजरता है।

आलेख और गुणों के लिए, 'K017' को 'त्रिकोण तल में घन' पर देखें।

दूसरा ब्रोकार्ड घन

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

दूसरा ब्रोकार्ड घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में रेखा XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (मतलब, ब्रोकार्ड अक्ष ) की रेखा पर स्थित है। घन केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु, दोनों फ़र्मेट बिन्दु, दोनों आइसोडायनामिक बिन्दु, पैरी बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिभुज के शीर्षों से होकर गुजरता है।

आलेख और गुणों के लिए, 'K018' को 'त्रिकोण तल में घन' पर देखें।

पहला बराबर क्षेत्रफल घन

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त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

त्रिरेखीय समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अतिरिक्त, यह घन X का बिन्दुपथ है जिसके लिए X* रेखा S*X पर है, जहाँ S स्टेनर बिन्दु है। ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में S = X (99) )

पहला बराबर क्षेत्र घन अंत:केंद्र, स्टेनर बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड बिन्दु और बाह्ययकेंद्र से होकर गुजरता है।

आलेख और गुणों के लिए, देखें 'K021' को 'त्रिकोण तल में घन'।

दूसरा बराबर क्षेत्र घन

त्रिरेखीय समीकरण : $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$

बेरसेंट्रिक समीकरण : $\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$

किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X_Y = y:z:x और X_Z = z:x:y। दूसरा बराबर क्षेत्र घन X का बिन्दुपथ है जिसमे X_Y के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X_Z के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

दूसरा समान क्षेत्र घन अंत:केंद्र, केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु और त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिन्दु X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053) और अन्य बिन्दु से होकर गुजरता है।

आलेख और गुणों के लिए, देखें 'K155' को 'त्रिकोण तल में घन'।

यह भी देखें

दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर, केली-बछराच प्रमेय
मुड़ घन, एक घन त्रिविम वक्र
अण्डाकार वक्र
अगनेसी का जादू
त्रिभुज घनो की सूची

संदर्भ

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Cerin, Zvonko (1998), "Locus properties of the Neuberg cubic", Journal of Geometry, 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237, S2CID 116778499.
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Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), "Some cubic curves associated with a triangle", Journal of Geometry, 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039, S2CID 122633134.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)", Journal of Geometry, 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673, S2CID 119886462.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)", Journal of Geometry, 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061, S2CID 126542269.
Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), "A Morley configuration", Forum Geometricorum, 1: 51–58.
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Gibert, Bernard (2003), "Orthocorrespondence and orthopivotal cubics", Forum Geometricorum, 3: 1–27.
Kimberling, Clark (1998), "Triangle Centers and Central Triangles", Congressus Numerantium, 129: 1–295. See Chapter 8 for cubics.
Kimberling, Clark (2001), "Cubics associated with triangles of equal areas", Forum Geometricorum, 1: 161–171.
Lang, Fred (2002), "Geometry and group structures of some cubics", Forum Geometricorum, 2: 135–146.
Pinkernell, Guido M. (1996), "Cubic curves in the triangle plane", Journal of Geometry, 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040, S2CID 123411561

बाहरी संबंध

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Type of a mathematical curve}}
-{{redirect|Cubic curve|information on polynomial functions of degree 3|Cubic function}}
+{{redirect|घन वक्र|डिग्री 3 के बहुपद फलन के बारे में जानकारी|घनीय फलन}}
-[[Image:CubicCurve.svg|right|thumb|घन घटता का चयन। <span class= noprint >विवरण के लिए जानकारी पृष्ठ देखने के लिए चित्र पर क्लिक करें।</span>]]गणित में, घन समतल वक्र एक समतल बीजीय वक्र है {{mvar|C}} घन समीकरण द्वारा परिभाषित
+[[Image:CubicCurve.svg|right|thumb|घनीय वक्र का चयन। <span class= noprint >विवरण के लिए सूचना पृष्ठ देखने के लिए छवि पर क्लिक करें।</span>]]गणित में, एक [[घन समीकरण|घनीय समीकरण]] द्वारा परिभाषित, एक घनीय समतल वक्र एक [[समतल बीजगणितीय वक्र]] {{mvar|C}} होता है।
 :{{tmath|1=F(x, y, z) = 0}}
-सजातीय निर्देशांक के लिए लागू {{tmath|(x:y:z)}} प्रक्षेप्य विमान के लिए; या सेटिंग द्वारा निर्धारित affine स्थान के लिए अमानवीय संस्करण {{math|1=''z'' = 1}} ऐसे समीकरण में। यहां {{mvar|F}} तृतीय-डिग्री मोनोमियल का एक गैर-शून्य रैखिक संयोजन है
+[[प्रक्षेपी विमान|प्रक्षेप्य गति]] के लिए [[सजातीय निर्देशांक]] {{tmath|(x:y:z)}} पर लागू होता है। या {{math|1=''z'' = 1}} निर्धारित करके सेटिंग द्वारा  affine स्थान के लिए विषम संस्करण  ऐसे समीकरण में यहाँ {{mvar|F}} तृतीय कोटि के [[एकपद|एकपदीयों]] का शून्येतर रैखिक संयोजन है।
 :{{tmath|x^3, y^3, z^3, x^2 y, x^2 z, y^2 x, y^2 z, z^2 x, z^2 y, xyz}}
-ये संख्या में दस हैं; इसलिए घन वक्र किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) पर आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। {{mvar|K}}. प्रत्येक बिंदु {{mvar|P}} पर एक एकल रैखिक शर्त लगाता है {{mvar|F}}, अगर हम यह पूछें कि {{mvar|C}} निकासी {{mvar|P}}. इसलिए, हम किन्हीं नौ बिंदुओं के माध्यम से कुछ घन वक्र पा सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं भी हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं तो अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और पांच बिंदु एक शंकु को कैसे निर्धारित करते हैं। यदि दो घन नौ बिंदुओं के दिए गए सेट से गुजरते हैं, तो वास्तव में घन का एक पेंसिल (गणित) करता है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं; केली-बचारच प्रमेय देखें।
+ये संख्या में दस हैं। इसलिए किसी दिए गए [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] {{mvar|K}} पर, घनीय वक्र आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। यदि हम यह कहे कि {{mvar|C}}, {{mvar|P}} से होकर गुजरता है,  तो {{mvar|P}} का प्रत्येक बिंदु  {{mvar|F}} पर एक एकल रेखीय शर्त आरोपित करता है। इसलिए, हम किन्ही दिए हुए नौ बिंदुओं से होकर जाने वाले कुछ घनीय वक्र प्राप्त कर सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु [[सामान्य स्थिति]] में हैं, तो वे अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और कैसे पांच बिंदु एक वक्र का निर्धारण करते हैं। यदि दो घन, नौ बिंदुओं के एक दिए गए समूह से होकर गुजरते हैं, तो वास्तव में घन की एक [[पेंसिल (गणित)|पेंसिल]]  करती है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं। ( केली-बछराच प्रमेय देखें )
-[[Image:Cubic with double point.svg|thumb|right|एकवचन घन {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|2}} ⋅ (''x'' + 1)}}. एक पैरामीट्रिजेशन द्वारा दिया जाता है {{math|''t'' ↦ (''t''{{sup|2}} – 1, ''t'' ⋅ (''t''{{sup|2}} – 1))}}.]]एक घन वक्र में एक बीजीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, जिस स्थिति में इसमें प्रक्षेप्य रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। अन्यथा एक गैर-एकवचन घन वक्र को जटिल संख्या जैसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, विभक्ति बिंदु के नौ अंक के लिए जाना जाता है। यह हेसियन मैट्रिक्स के सजातीय संस्करण को लेकर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक क्यूबिक को परिभाषित करता है, और इसके साथ प्रतिच्छेद करता है {{mvar|C}}; तब चौराहों की गिनती बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु वास्तविक हो सकते हैं, ताकि अन्य को वक्र खींचकर वास्तविक प्रक्षेप्य तल में न देखा जा सके। एक गैर-एकवचन घन के नौ विभक्ति बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में ठीक तीन विभक्ति बिंदु होते हैं।
+[[Image:Cubic with double point.svg|thumb|right|विलक्षण घन {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|2}} ⋅ (''x'' + 1)}}. एक पैरामीट्रिजेशन दिया जाता है {{math|''t'' ↦ (''t''{{sup|2}} – 1, ''t'' ⋅ (''t''{{sup|2}} – 1))}}.]]एक घन वक्र में एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, इस स्थिति में प्रक्षेपी रेखा के संदर्भ में एक [[पैरामीट्रिक समीकरण]] होता है। इसके अतिरिक्त, एक [[बीजगणितीय रूप से बंद]] क्षेत्र जैसे कि [[जटिल संख्या]] के ऊपर, एक गैर-विलक्षण घनीय वक्र को, विभक्ति बिंदु के नौ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। यह [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] के सजातीय संस्करण को लेकर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक घन को परिभाषित करता है, और इसे {{mvar|C}} के साथ प्रतिच्छेद करता है ;तब प्रतिच्छेद बिन्दुओ की गणना बेजाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु ही वास्तविक हो सकते हैं, जिससे कि अन्य को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में वक्र बनाकर न देखा जा सके। एक गैर-विलक्षण घन के नौ मोड़ बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से किन्ही दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में, ठीक तीन मोड़ बिंदु होते हैं।
-आइजैक न्यूटन द्वारा घन वक्रों के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन किया गया था। एक गैर-एकवचन प्रक्षेप्य घन के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अंडाकार' में आते हैं। इन अंडाकारों में से एक प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा को पार करता है, और इस प्रकार जब यूक्लिडियन तल में घन खींचा जाता है तो यह कभी भी बाध्य नहीं होता है; यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है, जिसमें तीन वास्तविक विभक्ति बिंदु होते हैं। अन्य अंडाकार, यदि यह मौजूद है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं है और या तो अंडाकार या दो अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है। शंकु वर्गों की तरह, एक रेखा इस अंडाकार को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।
+घनीय वक्र के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन [[आइजैक न्यूटन]] ने किया था। एक गैर-विलक्षण प्रक्षेप्य घन के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अण्डवक्र' में प्राप्त होते हैं। इन अण्डवक्र में से एक, प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेपी रेखा को पार करता है और इस प्रकार [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन क्षेत्र]] में घन खींचा जाने पर कभी भी बाध्यता नहीं होती है;  तीन वास्तविक विभक्ति बिंदुओ को सम्मलित किए हुए यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होती हैं। अन्य अण्डवक्र, यदि वह उपस्थित है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं होता है और वह या तो एक अण्डवक्र या दो अनंत शाखाओं के रूप में दिखाई देता है। शंक्वाकार वर्गों की तरह, एक रेखा इस अण्डवक्र को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।
-एक गैर-एकवचन समतल घन किसी भी क्षेत्र के ऊपर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है {{mvar|K}} जिसके लिए एक बिंदु निर्धारित किया गया है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो एक घन के वर्गमूल को निकालकर बनाए गए तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह एक होने पर निर्भर करता है {{mvar|K}}-तर्कसंगत बिंदु, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत पर बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे कई घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं है, उदाहरण के लिए जब {{mvar|K}} परिमेय संख्या क्षेत्र है।
+एक गैर-विलक्षण समतल घन किसी भी क्षेत्र {{mvar|K}} पर एक [[अण्डाकार वक्र]] को परिभाषित करता है  जिसके लिए इसमें एक बिंदु परिभाषित है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार फलनो के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो घन के वर्गमूल को निकालकर बनाए गए [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलनों]] के क्षेत्र के [[द्विघात विस्तार]] को परिभाषित करता है। यह {{mvar|K}}-[[तर्कसंगत बिंदु|परिमेय बिंदुओ]] पर निर्भर करता है, जो वीयरस्ट्रैस रूप में [[अनंत पर बिंदु|अनंत के बिंदु]] के रूप में कार्य करता है। ऐसे अनेक घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं होता है, उदाहरण के लिए जब  [[परिमेय संख्या]] क्षेत्र {{mvar|K}} है।
-एक इरेड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक कर्व के विलक्षण बिंदु काफी सीमित होते हैं: एक डबल पॉइंट, या एक क्यूस्प (विलक्षण)। एक रिड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक कर्व या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और तदनुसार दो दोहरे बिंदु या एक टैक्नोड (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन दोहरे बिंदु या एक एकल ट्रिपल बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) होते हैं। तीन पंक्तियाँ।
+एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के विलक्षण बिंदु बहुत सीमित हैं: एक [[दोहरा बिंदु]], या एक [[पुच्छ (विलक्षणता)|अंतराल]]। एक लघुकरणीय समतल घनीय वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और उसके अनुसार दो दोहरे बिंदु या एक [[fancode|टेकनोद]] (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन पंक्तियाँ हो तो तीन दोहरे बिंदु या एकल तिहरा बिंदु ([[समवर्ती रेखाएँ]]) तक होते हैं।
-== त्रिभुज के तल में घन वक्र ==
+== त्रिभुज के तल में घनीय वक्र ==
-मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई है {{nowrap|1=''a'' = {{abs|''BC''}}}}, {{nowrap|1=''b'' = {{abs|''CA''}}}}, {{nowrap|1=''c'' = {{abs|''AB''}}}}. एबीसी के सापेक्ष, कई नामित क्यूबिक प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांक का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)।
+मान लीजिए कि ABC , ''a'' भुजा वाला एक त्रिभुज है  जहाँ {{nowrap|1=''a'' = {{abs|''BC''}}}}, {{nowrap|1=''b'' = {{abs|''CA''}}}}, {{nowrap|1=''c'' = {{abs|''AB''}}}}.
-एक घन समीकरण में त्रिरेखीय से बैरसेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार स्थानापन्न करें:
+''ABC'' के सापेक्ष, अनेक नामित घन भली- भांति पहचाने हुए बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)|बैरीसेंट्रिक निर्देशांक]]।
-:x bcx, y cay, z abz;
+घनीय समीकरण में, त्रिरेखीय निर्देशांक को बैरीसेंट्रिक निर्देशांक में बदलने के लिए, निम्न प्रतिस्थापन का प्रयोग करें:
-बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें
+:''x'' ↦ ''bcx'', ''y'' ↦ ''cay'', ''z'' ↦ ''abz'';
-:x कुल्हाड़ी, y by, z cz.
+बैरीसेंट्रिक निर्देशांक से त्रिरेखीय निर्देशांक मे बदलने के लिए, निम्न  प्रतिस्थापन का प्रयोग करें :
-क्यूबिक के लिए कई समीकरणों का रूप है
+:x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.
-:f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.
+घन के लिए अनेक समीकरणों का रूप इस प्रकार है
-नीचे दिए गए उदाहरणों में, इस तरह के समीकरण चक्रीय योग संकेतन में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखे गए हैं, जैसे:
+: ''f''(''a'', ''b'', ''c'', ''x'', ''y'', ''z'') + ''f''(''b'', ''c'', ''a'', ''y'', ''z'', ''x'') + ''f''(''c'', ''a'', ''b'', ''z'', ''x'', ''y'') = 0.
+नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में  "चक्रीय योग अंकन " में लिखा गया है, जैसे:
 :<math>\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 </math>.
-नीचे सूचीबद्ध क्यूबिक्स को समभुज संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक्स * द्वारा दर्शाया गया है, एक बिंदु एक्स के एबीसी के किनारे पर नहीं। X* की रचना इस प्रकार है। चलो L<sub>A</sub>कोण A के आंतरिक कोण समद्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L . को परिभाषित करें<sub>B</sub>और मैं<sub>C</sub>समान रूप से। फिर तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = {{sfrac|''x''}}:{{sfrac|''y''}}:{{sfrac|''z''}}.
+नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X*, X का एक बिंदु जो ABC के किनारे पर नहीं है, द्वारा निरूपित किया जाता है। X* की रचना इस प्रकार है।  माना ''L<sub>A</sub>''  कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के सापेक्ष रेखा XA का प्रतिबिंब है,  L<sub>B</sub> और ''L<sub>C</sub>''  भी उसी प्रकार से परिभाषित है। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = {{sfrac|''x''}}:{{sfrac|''y''}}:{{sfrac|''z''}}.
-=== न्यूबर्ग क्यूबिक ===
+=== न्यूबर्ग घन ===
-[[File:NeubergCurve.png|thumb|त्रिभुज एबीसी का न्यूबर्ग क्यूबिक: एक्स का स्थान ऐसा है कि यदि <math>X_A, X_B, X_C</math> ए, बी, सी के प्रतिबिंब बीसी, सीए, एबी में हैं तो रेखाएं <math>AX_A, BX_B, CX_C</math> समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:NeubergCurve.png|thumb|त्रिभुज ABC का न्युबर्ग घन: X का बिंदुपथ ऐसा है जिसमे <math>X_A, X_B, X_C</math> A, B, C के किनारे  BC, CA, AB फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं <math>AX_A, BX_B, CX_C</math> समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>[[न्युबर्ग क्यूबिक|न्युबर्ग घन]] ( [[जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग]] के नाम पर रखा गया ) बिंदु X का  इस प्रकार का बिन्दुपथ जिसमे  X* रेखा ''EX'' पर गति करता है, जहाँ ''E''  यूलर इन्फिनिटी बिन्दु है ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में X(30) )। साथ ही, घनाकार X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि त्रिभुज X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub> , ABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub> क्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है।
-न्यूबर्ग क्यूबिक (जोसेफ जीन बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर) एक बिंदु X का स्थान (गणित) है, जैसे कि X * लाइन EX पर है, जहां E त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में यूलर इन्फिनिटी पॉइंट (X (30) है) . साथ ही, यह घन X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि त्रिभुज X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>एबीसी के लिए परिप्रेक्ष्य है, जहां एक्स<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>क्रमशः BC, CA, AB, रेखाओं में X का प्रतिबिंब है
-न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: इंसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, दोनों फ़र्मेट पॉइंट, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट, यूलर इनफिनिटी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे में ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और एबीसी के किनारों पर बने छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।
+न्यूबर्ग घन निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों [[फर्मेट बिंदु]], दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, बाह्ययकेंद्र,  ABC के किनारे ''A'', ''B'', ''C'' के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर बनाए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।
-न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और विस्तृत सूची के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html 'K001' पर बरहार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन']।
+एक आलेखनीय प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग घन के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html त्रिभुज तल में बर्नहार्ड गिल्बर्ट के घन' को]   [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html 'K001'] में देखें।
-=== थॉमसन क्यूबिक ===
+===थॉमसन घन===
-[[File:Thomson cubic.svg|thumb|right|थॉमसन क्यूबिक (ब्लैक कर्व) का उदाहरण। X घन पर है, इस प्रकार X (X′) का समद्विबाहु संयुग्म रेखा X(2) - X पर है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:Thomson cubic.svg|thumb|right|थॉमसन घन (काला वक्र) का उदाहरण। X घन पर है, जैसे कि X (X') का समकोणीय संयुग्मी रेखा X(2) - X पर है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math> थॉमसन घन बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहाँ G केंद्रक है।
-थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केन्द्रक है।
-थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: इनसेंटर, सेंट्रोइड, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, सिमेडियन पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, ए, बी, सी, एक्सेंटर, बीसी, सीए, एबी, और मिडपॉइंट्स के मध्य बिंदु। एबीसी की ऊंचाई घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समद्विबाहु संयुग्म भी घन पर होता है।
+थॉमसन घन निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, बाह्ययकेंद्र, भुजाओं BC, CA, AB के मध्य बिंदु ,और ABC की ऊँचाई के मध्य बिंदु। घन पर स्थित प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समकोणीय संयुग्मी भी घन पर है।
-ग्राफ़ और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html 'K002' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
+आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html 'K002' को 'त्रिभुजीय तल में घन में' पर देखें]।
-===डारबौक्स क्यूबिक===
+=== डार्बौक्स घन ===
-[[File:DarbouxCubic.png|thumb|त्रिभुज एबीसी का डारबौक्स क्यूबिक: एक्स का स्थान ऐसा है कि यदि डी, ई, एफ एक्स से बीसी, सीए, एबी के लंबवत के पैर हैं तो रेखाएं एडी, बीई, सीएफ समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:DarbouxCubic.png|thumb|त्रिभुज  ABC का डार्बौक्स घन: X का बिन्दुपथ इस तरह है कि यदि  D, E, F, X से किनारे BC, CA, AB के लंबवत के पैर हैं तो AD, BE,CF समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>डार्बौक्स घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X* रेखा LX पर है, जहाँ L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अतिरिक्त, यह घन X का लोकस इस प्रकार है कि X का पेडल त्रिभुज, किसी बिंदु का सीवियन त्रिभुज है (जो लुकास घन पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जैसे कि X का पेडल त्रिभुज और X का एंटीसेवियन त्रिभुज परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन घन पर स्थित है।
-डारबौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L, लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। साथ ही, यह घन X का ठिकाना है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सेवियन त्रिभुज है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X का पेडल त्रिभुज और X का एंटीसेवियन त्रिभुज परिप्रेक्ष्य है; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।
-डारबौक्स क्यूबिक इनसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, डे लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड से होकर गुजरता है। घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समद्विबाहु संयुग्म भी घन पर होता है।
+डार्बौक्स घन अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, [[लॉन्गचैम्प्स बिंदु से]], अन्य त्रिभुज केंद्रों, शीर्ष ''A'', ''B'', ''C'', बाह्ययकेंद्र और परिवृत्त पर ''A'', ''B'', ''C'', के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समकोणीय संयुग्मी भी घन पर है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html 'K004' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'] देखें।
+आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html 'K004' को 'त्रिकोण तल में घन' पर देखें]
-===नेपोलियन–फ्यूरबैक क्यूबिक===
+===नेपोलियन–फायरबैक घन===
 त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
-नेपोलियन-फ़्यूरबैक क्यूबिक एक बिंदु X* का ठिकाना है जो लाइन NX पर है, जहाँ N नौ-बिंदु केंद्र है, (N = X(5) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में)।
-नेपोलियन-फ़्यूरबैक क्यूबिक इनसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर समबाहु त्रिभुज बनाए गए हैं।
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
+नेपोलियन-फायरबैक घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X* रेखा NX पर है, जहाँ N नौ-बिंदु केंद्र है ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5) )।
+नेपोलियन-फायरबैक घन, अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, पहला और दूसरा नेपोलियन बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, ''A'', ''B'', ''C'', बाह्ययकेंद्र, ऊंचाई पर केन्द्रक के प्रक्षेप और  ABC की भुजाओं पर बने 6 समबाहु त्रिभुजो के केंद्रों से होकर गुजरता है। ।
+आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k005.html 'K005' पर '][http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html त्रिकोण तल में घन]'।
+===लुकास घन===
+[[File:LucasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का लुकास घन: एक बिंदु X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स घन पर स्थित है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
+लुकास घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसमे X का सीवियन त्रिभुज, किसी दूसरे बिंदु का पेडल त्रिभुज है और बिंदु डार्बौक्स घन पर स्थित है।
+लुकास घन केन्द्रक, लंबकेन्द्र, गेर्गोन बिन्दु, नागल बिन्दु, डी लॉन्गचैम्प्स बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, प्रतिपूरक त्रिभुज त्रिभुज के शीर्ष और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फोकस से होकर गुजरता है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k005.html 'K005' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'] देखें।
+आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html 'K007' को 'त्रिकोण तल में घन']।
-=== लुकास क्यूबिक ===
+===पहला ब्रोकेड घन===
-[[File:LucasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का लुकास क्यूब: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X का सेवियन त्रिभुज किसी बिंदु X का पेडल त्रिकोण है; बिंदु X' डारबौक्स क्यूबिक पर स्थित है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>
+[[File:FirstBrocardCubic.png|thumb|पहला ब्रोकार्ड घन: यह X का बिन्दुपथ है जिसमे XA′, XB′, XC′ का  BC, CA, AB  के साथ  प्रतिच्छेदन बिन्दु क्रमशः  X<sub>A</sub>, X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub>, जहाँ ''A''′''B''′''C''′ त्रिभुज  ABC का पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
-लुकास क्यूबिक एक बिंदु एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स का सेवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु Darboux घन पर स्थित है।
-लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागेल पॉइंट, डे लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, एंटी-पूरक त्रिभुज के कोने और स्टीनर सर्किललिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।
+माना कि ''A''′''B''′''C''′  पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है। किसी बिंदु X के लिए,  माना X<sub>A</sub>, X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub> क्रमशः रेखाओं XA′, XB′, XC′ की भुजाओं BC, CA, AB के साथ प्रतिच्छेदन बिन्दु है। पहला ब्रोकार्ड घन,    X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु  X<sub>A</sub>, X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub> संरेख हैं।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
+पहला ब्रोकार्ड घन केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु, स्टेनर बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिभुज के शीर्ष से होकर गुजरता है।
-===1पहला ब्रोकेड क्यूबिक ===
+आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k017.html 'K017' को '][http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html त्रिकोण तल] में घन' पर देखें।
-[[File:FirstBrocardCubic.png|thumb|पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक: यह एक्स का लोकस है जैसे एक्सए', एक्सबी', एक्ससी' के चौराहे बीसी, सीए, सीबी के साथ, जहां ए'बी'सी' त्रिभुज एबीसी का पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है, समरेख हैं। चित्र में और पहले और दूसरे ब्रोकार्ड अंक हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
-माना A′B′C′ पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है। मनमाना बिंदु X के लिए, मान लीजिए X<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>क्रमशः BC, CA, AB के साथ XA′, XB′, XC′ रेखाओं का प्रतिच्छेदन हो। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक एक्स का स्थान है जिसके लिए बिंदु X<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>समरेखीय हैं।
-पहला ब्रोकार्ड क्यूब सेंट्रोइड, सिमेडियन पॉइंट, स्टीनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।
+===दूसरा ब्रोकार्ड घन===
+त्रिरेखीय समीकरण:    <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k017.html 'K017' at 'Cubics in the Triangle समतल']।
+बेरसेंट्रिक समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
-=== दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक ===
+दूसरा ब्रोकार्ड घन एक बिंदु X का बिन्दुपथ है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में रेखा XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (मतलब, ब्रोकार्ड अक्ष ) की रेखा पर स्थित है। घन केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु, दोनों फ़र्मेट बिन्दु, दोनों आइसोडायनामिक बिन्दु, पैरी बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिभुज के शीर्षों से होकर गुजरता है।
-त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
-दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए एक्स और एक्स * के माध्यम से सर्कोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिधि और सिमेडियन बिंदु (यानी ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक केंद्रक, सिमेडियन बिंदु, दोनों फ़र्मेट बिंदुओं, दोनों आइसोडायनामिक बिंदुओं, पैरी बिंदु, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k018.html 'K018' at 'Cubics in the Triangle समतल']।
+आलेख और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k018.html 'K018' को '][http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html त्रिकोण तल में घन]' पर देखें।
 ===पहला बराबर क्षेत्रफल घन===
-[[File:FirstEqualAreasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के सेवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर हो।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:FirstEqualAreasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।]]त्रिरेखीय समीकरण:    <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण:   <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
-पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के सेवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। साथ ही, यह घन X का स्थान है जिसके लिए X* रेखा S*X पर है, जहां S स्टेनर बिंदु है। (एस = एक्स (99) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में)।
-पहला बराबर क्षेत्र घन केंद्र, स्टीनर बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदुओं और उत्सर्जक से होकर गुजरता है।
+पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अतिरिक्त, यह घन X का बिन्दुपथ है जिसके लिए   X* रेखा ''S''*''X'' पर है, जहाँ ''S'' स्टेनर बिन्दु है। ( त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में ''S'' = X (99) )
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k021.html 'K021' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'] देखें।
+पहला बराबर क्षेत्र घन अंत:केंद्र, स्टेनर बिन्दु, अन्य त्रिभुज केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड बिन्दु और बाह्ययकेंद्र से होकर गुजरता है।
-===दूसरा बराबर क्षेत्रफल घन===
+आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k021.html 'K021' को 'त्रिकोण तल में घन']।
-त्रिरेखीय समीकरण: <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>
-किसी भी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X<sub>Y</sub>= y:z:x और X<sub>Z</sub>= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्रफल घन, X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X . के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल<sub>Y</sub>X . के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर<sub>Z</sub>.
-दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूब एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिमेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स(1453), एक्स(1931), एक्स(2053), और अन्य।
+=== दूसरा बराबर क्षेत्र घन ===
+त्रिरेखीय समीकरण : <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k155.html 'K155' पर 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन']।
+बेरसेंट्रिक समीकरण :   <math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>
+किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए ''X<sub>Y</sub>'' = ''y'':''z'':''x'' और ''X<sub>Z</sub>'' = ''z'':''x'':''y''। दूसरा बराबर क्षेत्र घन X का बिन्दुपथ है जिसमे X<sub>Y</sub> के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X<sub>Z</sub> के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
+दूसरा समान क्षेत्र घन अंत:केंद्र, केन्द्रक, सिम्मेडियन बिन्दु और  त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिन्दु  ''X''(31), ''X''(105), ''X''(238), ''X''(292), ''X''(365), ''X''(672), ''X''(1453), ''X''(1931), ''X''(2053) और अन्य बिन्दु से होकर गुजरता है।
+आलेख और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k155.html 'K155' को 'त्रिकोण तल में घन']।
 == यह भी देखें ==
-* केली-बचारच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
+* दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर, केली-बछराच प्रमेय
-* ट्विस्टेड क्यूबिक, एक क्यूबिक स्पेस कर्व
+* [[मुड़ घन]], एक घन त्रिविम वक्र
-*अण्डाकार वक्र
+* अण्डाकार वक्र
-* एग्नेस की चुड़ैल
+* [[अगनेसी की चुड़ैल|अगनेसी का जादू]]
-* त्रिभुज घनों की सूची
+* [[त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची|त्रिभुज घनो की सूची]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 137: / Line 145: @@
 *{{Citation |first=Clark |last=Kimberling |title=Cubics associated with triangles of equal areas |journal=Forum Geometricorum |volume=1 |year=2001 |pages=161–171 }}.
 *{{Citation |first=Fred |last=Lang |title=Geometry and group structures of some cubics |journal=Forum Geometricorum |volume=2 |year=2002 |pages=135–146 }}.
-*{{Citation |first=Guido M. |last=Pinkernell |title=Cubic curves in the triangle plane |journal=Journal of Geometry |volume=55 |issue=1–2 |year=1996 |pages=142–161 |doi=10.1007/BF01223040 |s2cid=123411561 }}.
+*{{Citation |first=Guido M. |last=Pinkernell |title=Cubic curves in the triangle plane |journal=Journal of Geometry |volume=55 |issue=1–2 |year=1996 |pages=142–161 |doi=10.1007/BF01223040 |s2cid=123411561 }}
-*{{Citation |first=George |last=Salmon |title=Higher Plane Curves |edition=3rd |publisher=Chelea |location=New York |year=1879 }}.
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची==
 ==बाहरी संबंध==
-* [http://www.milefoot.com/math/planecurves/cubics.htm A Catalog of Cubic Plane Curves] [https://web.archive.org/web/20110717121751/http://staff.jccc.net/swilson/planecurves/cubics.htm (archived version)]
+* [http://www.milefoot.com/math/planecurves/cubics.htm A Cकोalog of Cubic Plane Curves] [https://web.archive.org/web/20110717121751/http://staff.jccc.net/swilson/planecurves/cubics.htm (archived version)]
 * [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/Intro&Zcubics.html Points on Cubics]
-* [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/index.html Cubics in the Triangle Plane]
+* [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/index.html त्रिकोण तल में घन]
 * [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/files/isocubics.html Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert]
-{{Algebraic curves navbox}}[[Category: बीजीय वक्र]]
+{{Algebraic curves navbox}}
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