खुला सेट: Difference between revisions

[[File:red blue circle.svg|right|thumb|उदाहरण: नीला वृत्त बिंदुओं (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''x''² + ''y''² = ''r''²}}. लाल [[डिस्क (गणित)]] अंक (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करती है {{math|''x''² + ''y''² < ''r''²}}. लाल सेट एक खुला सेट है, नीला सेट इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] सेट है, और लाल और नीले सेट का मिलन एक [[बंद सेट]] है।]]गणित में, खुले सेट [[वास्तविक रेखा]] में खुले सेटों का सामान्यीकरण हैं।

एक [[मीट्रिक स्थान]] में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित दूरी  [[मीट्रिक (गणित)]] के साथ एक [[सेट (गणित)]]), खुले सेट वे सेट हैं जो प्रत्येक बिंदु P के साथ हैं, उन सभी बिंदुओं को सम्मालित करता है जो P के पर्याप्त निकट हैं (अर्थात, वे सभी बिंदु जिनकी P से दूरी P के आधार पर कुछ मान से कम है).

अधिक सामान्यतः, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक [[संघ (सेट सिद्धांत)|समूह (सेट सिद्धांत)]], इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), [[खाली सेट]], और पूरा सेट को ही सम्मालित करने का गुण होता है। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] कहा जाता है, और संग्रह को [[टोपोलॉजी (संरचना)]] कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत अव्यवस्थित हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सबसेट खुला ([<nowiki/>[[असतत टोपोलॉजी]]]) हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर, कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है।

व्यवहार में, चूंकि, खुले सेट सामान्यतः दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी [[निरंतर कार्य]], [[जुड़ा हुआ स्थान]] और [[सघनता]] जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।

बिना किसी भी दूरी के एक टोपोलॉजी का सबसे साधारण स्थितिय [[विविध]] द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर कोई दूरी सामान्य रूप से परिभाषित नहीं है। गणित की अन्य शाखाओं में टोपोलॉजी का प्रयोग कम किया जाता है; उदाहरण के लिए, [[जरिस्की टोपोलॉजी]], जो [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[योजना सिद्धांत]] में मौलिक है।

सहजता से, एक खुला [[सबसेट|सेट]] दो [[बिंदु (ज्यामिति)]] को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट उपस्थित है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को [[टोपोलॉजिकल रूप से अलग]]-अलग कहा जाता है। इस विधि से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक सामान्यतः दो सबसेट दूरी को स्पष्ट रूप से परिभाषित किए बिना "निकट" हैं, इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।

सभी [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओ]] के सेट में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात, एक फलन जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: {{math|1=''d''(''x'', ''y'') = {{mabs|''x'' − ''y''}}}}. इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के निकट सभी बिंदुओं के सेट के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε घात की उपयुक्त के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को उपयुक्त के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल बिंदु ठीक अंतराल (−1, 1) के बिंदु हैं; अर्थात, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है। चूंकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में उपयुक्त की एक बड़ी घात के करीब x का अनुमान लगाते हैं।

पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले सेटो के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके ( सेटो (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस स्थितिय में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।

सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को ' खुला  सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या के अतिरिक्त। इस स्थितिय में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना प्रारंभ करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष स्वतः सिद्ध को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में सेटो के परिवार की आवश्यकता होती है।

तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। सभी एक अगले का एक विशेष स्थितिय है।

यूक्लिडियन {{math|''n''}}-अंतरिक्ष {{math|'''R'''^''n''}} का एक सबसेट <math>U</math> खुला है यदि,U में प्रत्येक बिन्दु  {{mvar|x}} के लिए एक धनात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|ε}} (इस पर निर्भर करते हुए {{mvar|x}}) उपस्थित है जैसे की {{math|'''R'''^''n''}} में कोई बिन्दु जिसका  {{mvar|x}} से [[यूक्लिडियन दूरी]] {{mvar|ε}} से कम है समान रूप से  {{math|'''R'''^''n''}} का सबसेट  <math>U</math> खुला होता है यदि <math>U</math> का प्रत्येक बिंदु <math>U.</math> में  निहित एक [[खुली गेंद]] का केंद्र है।<ref>{{cite book |last1=Ueno |first1=Kenji |display-authors=etal |year=2005 |title=एक गणितीय उपहार: टोपोलॉजी, फ़ंक्शंस, ज्यामिति और बीजगणित के बीच परस्पर क्रिया|chapter=The birth of manifolds |volume=3 |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821832844 |page=38 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38}}</ref>  

 

{{math|'''R'''}} के एक सबसेट का उदाहरण जो खुला नहीं है वह बंद अंतराल {{closed-closed|0,1}} है, क्योकि न तो {{math|0 - ''ε''}} न {{math|1 + ''ε''}} किसी भी {{math|''ε'' > 0}} के लिए {{closed-closed|0,1}} से संबंधित है, इससे कोई फर्क नहीं सम्मालित़ता, कि कितना छोटा है।

मीट्रिक स्पेस का एक सबसेट U {{math|(''M'', ''d'')}} खुला कहा जाता है, यदि U में किसी भी बिंदु X  के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 उपस्थित है जैसे कि कोई बिंदु <math>y \in M</math> संतुष्टि देने वाला {{math|''d''(''x'', ''y'') < ''ε''}} U से संबंधित है। समान रूप से, U खुला है यदि U में प्रत्येक बिंदु U में निहित निकट है।

सेट {{mvar|X}}  पर एक टोपोलॉजी (संरचना) <math>\tau</math> नीचे के गुणों के साथ {{mvar|X}} के सबसेट का सेट है।  <math>\tau</math> के प्रत्येक सदस्य को एक खुला सेट कहा जाता है।

* <math>\tau</math> में सेट का कोई भी  समूह <math>\tau</math> से संबंधित है: यदि <math>\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau</math> फिर <math display="block">\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau</math>

* <math>\tau</math> में सेट का कोई भी परिमित चौराहा <math>\tau</math> से संबंधित है: यदि <math>U_1, \ldots, U_n \in \tau</math> फिर <math display="block">U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau</math>

 

खुला  सेट के परिमित इंटरसेक्शन को खुला  होने की जरूरत नहीं है। उदाहरण के लिए, फॉर्म के सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन <math>\left( -1/n, 1/n \right),</math> जहाँ  <math>n</math> एक धनात्मक पूर्णांक है, सेट <math>\{ 0 \}</math>है जो वास्तविक रेखा में नहीं खुलता है।

एक मेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसकी टोपोलॉजी में सभी सबसेट का संग्रह होता है जो खुला  बॉल्स के समूह होते हैं। चूँकि, ऐसे टोपोलॉजिकल स्पेस हैं जो मेट्रिक स्पेस नहीं हैं।

=== क्लोपेन सेट और नॉन- खुला  और/या नॉन-बंद सेट ===

 

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>(X, \tau),</math> खाली सेट <math>\varnothing</math> और सेट <math>X</math> खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट सभी टोपोलॉजिकल स्पेस में उपस्थित हैं। यह देखने के लिए कि <math>X</math> क्लोपेन क्यों है,यह याद करते हुए प्रारंभ करें कि सेट <math>X</math> तथा <math>\varnothing</math> परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट ( <math>X</math> के) होते है. साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट <math>S</math> को {{em|बंद}} कहा जाता है यदि पूरे सेट का पूरक  <math>S := X</math> खाली सेट है (अर्थात् <math>X \setminus S = \varnothing</math>) <math>X,</math> जो एक खुला सबसेट है।  इसका मतलब है कि <math>S = X</math> का <math>X</math> बंद सबसेट है (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि <math>X,</math> पर कोई टोपोलॉजी रखी गई है, सम्पूर्ण स्पेस  <math>X</math> एक साथ एक खुला सबसेट भी है और <math>X</math> एक बंद सबसेट भी है ; दूसरे शब्दों में कहा गया है <math>X</math> {{em|हमेशा}} <math>X.</math> का एक क्लोपेन सबसेट होता है क्योंकि खाली सेट का पूरक <math>X \setminus \varnothing = X,</math>है जो एक खुला सबसेट है, इसी तर्क का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है कि <math>S := \varnothing</math> भी <math>X.</math> का एक क्लोपेन सबसेट है  वास्तविक रेखा <math>\R</math> पर विचार करें अपने सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल <math>(a, b)</math> वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक समूह, उदा <math>(a, b) \cup (c, d),</math> टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों <math>\R</math> तथा <math>\varnothing</math> टोपोलॉजी से संबंधित हैं।

* अंतराल <math>I = (0, 1)</math> में खुला है <math>\R</math> क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि <math>I</math> एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि <math>I</math> हमने बंद कर दिया। परंतु <math>I</math> एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है <math>\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),</math> जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित {{em|नहीं}} हैं क्योंकि यह <math>(a, b).</math> के रूप के खुले अंतराल (गणित) का एक  समूह नहीं है अत, <math>I</math> एक ऐसे सेट  का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।  

* इसी तरह के तर्क से, अंतराल <math>J = [0, 1]</math> एक बंद सबसेट है लेकिन एक खुला सबसेट नहीं है।

* अंत में, न तो <math>K = [0, 1)</math> न ही इसका पूरक <math>\R \setminus K = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)</math> यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है (क्योंकि इसे फॉर्म के अंतराल के समूह के रूप में नहीं लिखा जा सकता है <math>(a, b)</math>), इस का मतलब है कि <math>K</math> न तो खुला है और न ही बंद है।

 

 

टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का एक सबसेट <math>S</math> एक {{em|[[नियमित खुले सेट]]}} कहलाता है | यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> जहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>) <math>S</math> में <math>X.</math>की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]) को दर्शाता हैएक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए नियमित रूप से खुले सेटों से युक्त एक आधार उपस्थित होता है, उसे सेमिरेगुलर स्पेस {{em|[[अर्द्ध नियमित स्पेस]]}}.कहा जाता है  <math>X</math> का एक उप सेट  एक नियमित खुला सेट है