घन समतल वक्र

"घन वक्र" redirects here. For डिग्री 3 के बहुपद फलन के बारे में जानकारी, see घनीय फलन.

घनीय वक्र का चयन।

गणित में, एक घनीय समीकरण द्वारा परिभाषित, एक घनीय समतल वक्र एक समतल बीजगणितीय वक्र C होता है।

$F(x,y,z)=0$

प्रक्षेप्य गति के लिए सजातीय निर्देशांक $(x:y:z)$ पर लागू होता है। या z = 1 निर्धारित करके सेटिंग द्वारा affine स्थान के लिए विषम संस्करण ऐसे समीकरण में यहाँ F तृतीय कोटि के एकपदीयों का शून्येतर रैखिक संयोजन है।

$x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz$

ये संख्या में दस हैं। इसलिए किसी दिए गए क्षेत्र K पर, घनीय वक्र आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। यदि हम यह कहे कि C, P से होकर गुजरता है, तो P का प्रत्येक बिंदु F पर एक एकल रेखीय शर्त आरोपित करता है। इसलिए, हम किन्ही दिए हुए नौ बिंदुओं से होकर जाने वाले कुछ घनीय वक्र प्राप्त कर सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, तो वे अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और कैसे पांच बिंदु एक वक्र का निर्धारण करते हैं। यदि दो घन, नौ बिंदुओं के एक दिए गए समूह से होकर गुजरते हैं, तो वास्तव में घन की एक पेंसिल करती है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं। ( केली-बछराच प्रमेय देखें )

विलक्षण घन y² = x² ⋅ (x + 1). एक पैरामीट्रिजेशन दिया जाता है t ↦ (t² – 1, t ⋅ (t² – 1)).

एक घन वक्र में एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, इस स्थिति में प्रक्षेपी रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। इसके अतिरिक्त, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जैसे कि जटिल संख्या के ऊपर, एक गैर-विलक्षण घनीय वक्र को, विभक्ति बिंदु के नौ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। यह हेसियन आव्यूह के सजातीय संस्करण को लेकर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक घन को परिभाषित करता है, और इसे C के साथ प्रतिच्छेद करता है ;तब प्रतिच्छेद बिन्दुओ की गणना बेजाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु ही वास्तविक हो सकते हैं, जिससे कि अन्य को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में वक्र बनाकर न देखा जा सके। एक गैर-विलक्षण घन के नौ मोड़ बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से किन्ही दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में, ठीक तीन मोड़ बिंदु होते हैं।

घनीय वक्र के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन आइजैक न्यूटन ने किया था। एक गैर-विलक्षण प्रक्षेप्य घन के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अण्डवक्र' में प्राप्त होते हैं। इन अण्डवक्र में से एक, प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेपी रेखा को पार करता है और इस प्रकार यूक्लिडियन क्षेत्र में घन खींचा जाने पर कभी भी बाध्यता नहीं होती है; तीन वास्तविक विभक्ति बिंदुओ को सम्मलित किए हुए यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होती हैं। अन्य अण्डवक्र, यदि वह उपस्थित है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं होता है और वह या तो एक अण्डवक्र या दो अनंत शाखाओं के रूप में दिखाई देता है। शंक्वाकार वर्गों की तरह, एक रेखा इस अण्डवक्र को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।

एक गैर-विलक्षण समतल घन किसी भी क्षेत्र K पर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है जिसके लिए इसमें एक बिंदु परिभाषित है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार फलनो के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो घन के वर्गमूल को निकालकर बनाए गए परिमेय फलनों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह K-परिमेय बिंदुओ पर निर्भर करता है, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत के बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे अनेक घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं होता है, उदाहरण के लिए जब परिमेय संख्या क्षेत्र K है।

एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के विलक्षण बिंदु बहुत सीमित हैं: एक दोहरा बिंदु, या एक अंतराल। एक लघुकरणीय समतल घनीय वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और उसके अनुसार दो दोहरे बिंदु या एक टेकनोद (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन पंक्तियाँ हो तो तीन दोहरे बिंदु या एकल तिहरा बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) तक होते हैं।

त्रिभुज के तल में घन वक्र

मान लीजिए कि ABC भुजाओं वाला एक त्रिभुज है a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|. एबीसी के सापेक्ष, अनेक नामित घन प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)।

क्यूबिक इक्वेशन में ट्रिलिनियर से बेरिकेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार प्रतिस्थापित करें:

x ↦ बीसीएक्स, y ↦ रेती, z ↦ abz;

बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

घन के लिए अनेक समीकरणों का रूप है

एफ (ए, बी, सी, एक्स, वाई, जेड) + एफ (बी, सी, ए, वाई, जेड, एक्स) + एफ (सी, ए, बी, जेड, एक्स, वाई) = 0।

नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में चक्रीय योग अंकन में लिखा गया है, जैसे:

$\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0$.

नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X* द्वारा निरूपित किया जाता है, एक बिंदु X जो ABC के किनारे पर नहीं है। X* की रचना इस प्रकार है। चलो एल_Aकोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L को परिभाषित करें_Bऔर मैं_Cसमान रूप से। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = 1/x:1/y:1/z.

न्यूबर्ग क्यूबिक

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त्रिभुज ABC का न्युबर्ग क्यूबिक: X का स्थान ऐसा है कि यदि $X_{A},X_{B},X_{C}$ ए, बी, सी के किनारे बीसी, सीए, एबी फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं $AX_{A},BX_{B},CX_{C}$ समवर्ती हैं।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ न्युबर्ग क्यूबिक (जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर रखा गया) बिंदु एक्स का लोकस (गणित) है जैसे कि एक्स * लाइन ईएक्स पर है, जहां ई यूलर इन्फिनिटी पॉइंट है (त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में एक्स (30)) . साथ ही, यह घनाकार X का स्थान इस प्रकार है कि त्रिभुज X_AX_BX_CABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X_AX_BX_Cक्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है

न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों फर्मेट बिंदु, दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर खड़े किए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।

एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, 'K001' को बर्हार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्राएंगल प्लेन' में देखें।

थॉमसन क्यूबिक

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थॉमसन क्यूबिक (काला वक्र) का उदाहरण। X क्यूबिक पर है, जैसे कि X (X') का आइसोगोनल कॉन्जुगेट लाइन X(2) - X पर है।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केंद्रक है।

थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, एक्सेंटर, भुजाओं के मध्य बिंदु BC, CA, AB, और मध्य बिंदु एबीसी की ऊंचाई। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।

ग्राफ़ और गुणों के लिए, 'K002' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें।

डार्बौक्स क्यूबिक

File:DarbouxCubic.png

त्रिभुज एबीसी का डार्बौक्स क्यूबिक: एक्स का स्थान इस तरह है कि यदि डी, ई, एफ एक्स से किनारे बीसी, सीए, एबी के लंबवत के पैर हैं तो एडी, बीई, सीएफ समवर्ती हैं।

ट्रिलिनियर समीकरण:$\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ डार्बौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का ठिकाना है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का लोकस है जैसे एक्स का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सीवियन त्रिकोण है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण और X का एंटीसेवियन त्रिकोण परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।

डार्बौक्स क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, लॉन्गचैम्प्स बिंदु से, अन्य त्रिकोण केंद्रों, वर्टिकल ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।

ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, 'K004' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें।

नेपोलियन–फायरबैक क्यूबिक

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है * रेखा NX पर है, जहां N नौ-बिंदु केंद्र है, (त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5)।

नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर खड़े समबाहु त्रिभुज।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K005' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

लुकास क्यूबिक

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त्रिभुज ABC का लुकास क्यूबिक: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$ लुकास क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का सीवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।

लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागल पॉइंट, डी लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिभुज केंद्रों, एंटीकोम्प्लीमेंट्री त्रिकोण के कोने और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।

ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, देखें 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

पहला ब्रोकेड क्यूबिक

File:FirstBrocardCubic.png

पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक: यह एक्स का लोकस है जैसे एक्सए', एक्सबी', एक्ससी' के चौराहे बीसी, सीए, सीबी के साथ, जहां ए'बी'सी' त्रिभुज एबीसी का पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।

ट्रिलिनियर समीकरण:$\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$ बता दें कि AB'C' पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है। मनमाना बिंदु X के लिए, X दें_A, एक्स_B, एक्स_Cरेखाओं XA′, XB′, XC′ के प्रतिच्छेदन क्रमशः भुजाओं BC, CA, AB के साथ हों। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु X है_A, एक्स_B, एक्स_Cसंरेख हैं।

पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के शीर्ष से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K017' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें।

दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$ दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (यानी, ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, दोनों फ़र्मेट पॉइंट्स, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट्स, पैरी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K018' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें।

पहला बराबर क्षेत्रफल घन

त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिकोण के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का ठिकाना है जिसके लिए एक्स * लाइन एस * एक्स पर है, जहां एस स्टेनर पॉइंट है। (एस = एक्स (99) त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में)।

पहला बराबर क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड पॉइंट और एक्सेंटर से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K021' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

दूसरा बराबर क्षेत्र घन

ट्रिलिनियर समीकरण: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$ बेरसेंट्रिक समीकरण:$\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$ किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X_Y= वाई: जेड: एक्स और एक्स_Z= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूबिक एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स के सेवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल_YX के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है_Z.

एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में दूसरा समान क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स (1453), एक्स (1931), एक्स (2053), और अन्य।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K155' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

यह भी देखें

• केली-बचराच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
• मुड़ घन, एक क्यूबिक स्पेस कर्व
• अण्डाकार वक्र
• अगनेसी की चुड़ैल
• त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची

संदर्भ

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• Cerin, Zvonko (1998), "Locus properties of the Neuberg cubic", Journal of Geometry, 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237, S2CID 116778499.
• Cerin, Zvonko (1999), "On the cubic of Napoleon", Journal of Geometry, 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672, S2CID 120174967.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), "Some cubic curves associated with a triangle", Journal of Geometry, 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039, S2CID 122633134.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)", Journal of Geometry, 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673, S2CID 119886462.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)", Journal of Geometry, 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061, S2CID 126542269.
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), "A Morley configuration", Forum Geometricorum, 1: 51–58.
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), "The Simson cubic", Forum Geometricorum, 1: 107–114.
• Gibert, Bernard (2003), "Orthocorrespondence and orthopivotal cubics", Forum Geometricorum, 3: 1–27.
• Kimberling, Clark (1998), "Triangle Centers and Central Triangles", Congressus Numerantium, 129: 1–295. See Chapter 8 for cubics.
• Kimberling, Clark (2001), "Cubics associated with triangles of equal areas", Forum Geometricorum, 1: 161–171.
• Lang, Fred (2002), "Geometry and group structures of some cubics", Forum Geometricorum, 2: 135–146.
• Pinkernell, Guido M. (1996), "Cubic curves in the triangle plane", Journal of Geometry, 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040, S2CID 123411561.
• Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), New York: Chelea.

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• त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश
• circumcenter
• केंद्र में
• orthocenter
• आइसोडायनामिक बिंदु

बाहरी संबंध

• A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
• Points on Cubics
• Cubics in the Triangle Plane
• Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert