घन समतल वक्र: Difference between revisions

Revision as of 22:06, 24 November 2022

क्यूबिक कर्व्स का चयन। विवरण के लिए सूचना पृष्ठ देखने के लिए छवि पर क्लिक करें।

गणित में, एक घन समतल वक्र एक समतल बीजगणितीय वक्र होता है $C$ एक घन समीकरण द्वारा परिभाषित

F(x,y,z)=0

सजातीय निर्देशांक पर लागू $(x:y:z)$ प्रक्षेपी विमान के लिए; या सेटिंग द्वारा निर्धारित affine स्थान के लिए विषम संस्करण $z = 1$ ऐसे समीकरण में यहां $F$ तृतीय कोटि के एकपदीयों का शून्येतर रैखिक संयोजन है

x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz

ये संख्या में दस हैं; इसलिए घन वक्र किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) पर आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। $K$ . प्रत्येक बिंदु $P$ पर एकल रेखीय शर्त लगाता है $F$ , अगर हम पूछें $C$ निकासी $P$ . इसलिए, हम किसी भी नौ दिए गए बिंदुओं के माध्यम से कुछ घन वक्र पा सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, तो वे अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और कैसे पांच बिंदु एक शंकु का निर्धारण करते हैं। यदि दो घन नौ बिंदुओं के एक दिए गए समूह से होकर गुजरते हैं, तो वास्तव में घन की एक पेंसिल (गणित) करती है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं; केली-बछराच प्रमेय देखें।

एकवचन घन

y 2 = x 2 \cdot (x + 1)

. द्वारा एक पैरामीट्रिजेशन दिया जाता है

t \mapsto (t 2 - 1, t \cdot (t 2 - 1))

.

एक घन वक्र में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, इस मामले में प्रक्षेपी रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। अन्यथा एक गैर-एकवचन घन वक्र को एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जैसे कि जटिल संख्या के ऊपर, विभक्ति बिंदु के नौ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। यह हेसियन मैट्रिक्स के सजातीय संस्करण को ले कर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक घन को परिभाषित करता है, और इसके साथ प्रतिच्छेद करता है $C$ ; तब चौराहों की गणना बेजाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु ही वास्तविक हो सकते हैं, ताकि अन्य को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में वक्र बनाकर नहीं देखा जा सके। एक गैर-एकवचन घन के नौ मोड़ बिंदुओं में यह संपत्ति होती है कि उनमें से दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में ठीक तीन मोड़ बिंदु होते हैं।

क्यूबिक कर्व्स के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन आइजैक न्यूटन ने किया था। एक गैर-एकवचन प्रोजेक्टिव क्यूबिक के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अंडाकार' में आते हैं। इन अंडाकारों में से एक प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेपी रेखा को पार करता है, और इस प्रकार यूक्लिडियन विमान में घन खींचा जाने पर कभी भी बाध्य नहीं होता है; यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है, जिसमें तीन वास्तविक विभक्ति बिंदु होते हैं। अन्य अंडाकार, यदि यह मौजूद है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं है और या तो एक अंडाकार या दो अनंत शाखाओं के रूप में दिखाई देता है। शंक्वाकार वर्गों की तरह, एक रेखा इस अंडाकार को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।

एक गैर-एकवचन समतल घन किसी भी क्षेत्र पर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है $K$ जिसके लिए इसमें एक बिंदु परिभाषित है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो एक घन के वर्गमूल को निकालने के द्वारा किए गए तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह एक होने पर निर्भर करता है $K$ -तर्कसंगत बिंदु, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत पर बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे कई घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं होता है, उदाहरण के लिए जब $K$ परिमेय संख्या क्षेत्र है।

एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के एकवचन बिंदु काफी सीमित हैं: एक दोहरा बिंदु, या एक पुच्छ (विलक्षणता)। एक रिड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और तदनुसार दो दोहरे बिंदु या एक fancode (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन दोहरे बिंदु या एक ट्रिपल बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) तक होते हैं। तीन पंक्तियाँ।

त्रिभुज के तल में घन वक्र

मान लीजिए कि ABC भुजाओं वाला एक त्रिभुज है a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|. एबीसी के सापेक्ष, कई नामित घन प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)।

क्यूबिक इक्वेशन में ट्रिलिनियर से बेरिकेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार प्रतिस्थापित करें:

x ↦ बीसीएक्स, y ↦ रेती, z ↦ abz;

बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

घन के लिए कई समीकरणों का रूप है

एफ (ए, बी, सी, एक्स, वाई, जेड) + एफ (बी, सी, ए, वाई, जेड, एक्स) + एफ (सी, ए, बी, जेड, एक्स, वाई) = 0।

नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में चक्रीय योग अंकन में लिखा गया है, जैसे:

\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0

.

नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X* द्वारा निरूपित किया जाता है, एक बिंदु X जो ABC के किनारे पर नहीं है। X* की रचना इस प्रकार है। चलो एल_Aकोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L को परिभाषित करें_Bऔर मैं_Cसमान रूप से। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = 1/x:1/y:1/z.

न्यूबर्ग क्यूबिक

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त्रिभुज ABC का न्युबर्ग क्यूबिक: X का स्थान ऐसा है कि यदि

X_{A},X_{B},X_{C}

ए, बी, सी के किनारे बीसी, सीए, एबी फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं

AX_{A},BX_{B},CX_{C}

समवर्ती हैं।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ न्युबर्ग क्यूबिक (जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर रखा गया) बिंदु एक्स का लोकस (गणित) है जैसे कि एक्स * लाइन ईएक्स पर है, जहां ई यूलर इन्फिनिटी पॉइंट है (त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में एक्स (30)) . साथ ही, यह घनाकार X का स्थान इस प्रकार है कि त्रिभुज X_AX_BX_CABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X_AX_BX_Cक्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है

न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों फर्मेट बिंदु, दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर खड़े किए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।

एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, 'K001' को बर्हार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्राएंगल प्लेन' में देखें।

थॉमसन क्यूबिक

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थॉमसन क्यूबिक (काला वक्र) का उदाहरण। X क्यूबिक पर है, जैसे कि X (X') का आइसोगोनल कॉन्जुगेट लाइन X(2) - X पर है।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केंद्रक है।

थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, एक्सेंटर, भुजाओं के मध्य बिंदु BC, CA, AB, और मध्य बिंदु एबीसी की ऊंचाई। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।

ग्राफ़ और गुणों के लिए, 'K002' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें।

डार्बौक्स क्यूबिक

File:DarbouxCubic.png

त्रिभुज एबीसी का डार्बौक्स क्यूबिक: एक्स का स्थान इस तरह है कि यदि डी, ई, एफ एक्स से किनारे बीसी, सीए, एबी के लंबवत के पैर हैं तो एडी, बीई, सीएफ समवर्ती हैं।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ डार्बौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का ठिकाना है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का लोकस है जैसे एक्स का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सीवियन त्रिकोण है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण और X का एंटीसेवियन त्रिकोण परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।

डार्बौक्स क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, लॉन्गचैम्प्स बिंदु से, अन्य त्रिकोण केंद्रों, वर्टिकल ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।

ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, 'K004' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें।

नेपोलियन–फायरबैक क्यूबिक

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है * रेखा NX पर है, जहां N नौ-बिंदु केंद्र है, (त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5)।

नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर खड़े समबाहु त्रिभुज।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K005' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

लुकास क्यूबिक

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त्रिभुज ABC का लुकास क्यूबिक: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$ लुकास क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का सीवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।

लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागल पॉइंट, डी लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिभुज केंद्रों, एंटीकोम्प्लीमेंट्री त्रिकोण के कोने और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।

ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, देखें 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

पहला ब्रोकेड क्यूबिक

File:FirstBrocardCubic.png

पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक: यह एक्स का लोकस है जैसे एक्सए', एक्सबी', एक्ससी' के चौराहे बीसी, सीए, सीबी के साथ, जहां ए'बी'सी' त्रिभुज एबीसी का पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$ बता दें कि AB'C' पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है। मनमाना बिंदु X के लिए, X दें_A, एक्स_B, एक्स_Cरेखाओं XA′, XB′, XC′ के प्रतिच्छेदन क्रमशः भुजाओं BC, CA, AB के साथ हों। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु X है_A, एक्स_B, एक्स_Cसंरेख हैं।

पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के शीर्ष से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K017' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें।

दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$ दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (यानी, ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, दोनों फ़र्मेट पॉइंट्स, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट्स, पैरी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K018' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें।

पहला बराबर क्षेत्रफल घन

त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

ट्रिलिनियर समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$ पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिकोण के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का ठिकाना है जिसके लिए एक्स * लाइन एस * एक्स पर है, जहां एस स्टेनर पॉइंट है। (एस = एक्स (99) त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में)।

पहला बराबर क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड पॉइंट और एक्सेंटर से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K021' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

दूसरा बराबर क्षेत्र घन

ट्रिलिनियर समीकरण: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$ किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X_Y= वाई: जेड: एक्स और एक्स_Z= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूबिक एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स के सेवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल_YX के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है_Z.

एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में दूसरा समान क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स (1453), एक्स (1931), एक्स (2053), और अन्य।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K155' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

यह भी देखें

केली-बचराच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
मुड़ घन, एक क्यूबिक स्पेस कर्व
अण्डाकार वक्र
अगनेसी की चुड़ैल
त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची

संदर्भ

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Cerin, Zvonko (1999), "On the cubic of Napoleon", Journal of Geometry, 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672, S2CID 120174967.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), "Some cubic curves associated with a triangle", Journal of Geometry, 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039, S2CID 122633134.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)", Journal of Geometry, 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673, S2CID 119886462.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)", Journal of Geometry, 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061, S2CID 126542269.
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Kimberling, Clark (1998), "Triangle Centers and Central Triangles", Congressus Numerantium, 129: 1–295. See Chapter 8 for cubics.
Kimberling, Clark (2001), "Cubics associated with triangles of equal areas", Forum Geometricorum, 1: 161–171.
Lang, Fred (2002), "Geometry and group structures of some cubics", Forum Geometricorum, 2: 135–146.
Pinkernell, Guido M. (1996), "Cubic curves in the triangle plane", Journal of Geometry, 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040, S2CID 123411561.
Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), New York: Chelea.

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अंक शास्त्र
affine अंतरिक्ष
प्रक्षेपण स्थान
पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं
प्रक्षेपण रेखा
एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु
संक्रमण का बिन्दु
शंकु खंड
ट्रिलिनियर निर्देशांक
ठिकाना (गणित)
त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश
circumcenter
केंद्र में
orthocenter
आइसोडायनामिक बिंदु

बाहरी संबंध

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Type of a mathematical curve}}
 {{redirect|Cubic curve|information on polynomial functions of degree 3|Cubic function}}
-[[Image:CubicCurve.svg|right|thumb|घन घटता का चयन। <span class= noprint >विवरण के लिए जानकारी पृष्ठ देखने के लिए चित्र पर क्लिक करें।</span>]]गणित में, घन समतल वक्र एक समतल बीजीय वक्र है {{mvar|C}} घन समीकरण द्वारा परिभाषित
+[[Image:CubicCurve.svg|right|thumb|क्यूबिक कर्व्स का चयन। <span class= noprint >विवरण के लिए सूचना पृष्ठ देखने के लिए छवि पर क्लिक करें।</span>]]गणित में, एक घन समतल वक्र एक [[समतल बीजगणितीय वक्र]] होता है {{mvar|C}} एक [[घन समीकरण]] द्वारा परिभाषित
 :{{tmath|1=F(x, y, z) = 0}}
-सजातीय निर्देशांक के लिए लागू {{tmath|(x:y:z)}} प्रक्षेप्य विमान के लिए; या सेटिंग द्वारा निर्धारित affine स्थान के लिए अमानवीय संस्करण {{math|1=''z'' = 1}} ऐसे समीकरण में। यहां {{mvar|F}} तृतीय-डिग्री मोनोमियल का एक गैर-शून्य रैखिक संयोजन है
+[[सजातीय निर्देशांक]] पर लागू {{tmath|(x:y:z)}} [[प्रक्षेपी विमान]] के लिए; या सेटिंग द्वारा निर्धारित affine स्थान के लिए विषम संस्करण {{math|1=''z'' = 1}} ऐसे समीकरण में यहां {{mvar|F}} तृतीय कोटि के [[एकपद]]ीयों का शून्येतर रैखिक संयोजन है
 :{{tmath|x^3, y^3, z^3, x^2 y, x^2 z, y^2 x, y^2 z, z^2 x, z^2 y, xyz}}
-ये संख्या में दस हैं; इसलिए घन वक्र किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) पर आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। {{mvar|K}}. प्रत्येक बिंदु {{mvar|P}} पर एक एकल रैखिक शर्त लगाता है {{mvar|F}}, अगर हम यह पूछें कि {{mvar|C}} निकासी {{mvar|P}}. इसलिए, हम किन्हीं नौ बिंदुओं के माध्यम से कुछ घन वक्र पा सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं भी हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं तो अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और पांच बिंदु एक शंकु को कैसे निर्धारित करते हैं। यदि दो घन नौ बिंदुओं के दिए गए सेट से गुजरते हैं, तो वास्तव में घन का एक पेंसिल (गणित) करता है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं; केली-बचारच प्रमेय देखें।
+ये संख्या में दस हैं; इसलिए घन वक्र किसी दिए गए [[क्षेत्र (गणित)]] पर आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। {{mvar|K}}. प्रत्येक बिंदु {{mvar|P}} पर एकल रेखीय शर्त लगाता है {{mvar|F}}, अगर हम पूछें {{mvar|C}} निकासी {{mvar|P}}. इसलिए, हम किसी भी नौ दिए गए बिंदुओं के माध्यम से कुछ घन वक्र पा सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु [[सामान्य स्थिति]] में हैं, तो वे अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और कैसे पांच बिंदु एक शंकु का निर्धारण करते हैं। यदि दो घन नौ बिंदुओं के एक दिए गए समूह से होकर गुजरते हैं, तो वास्तव में घन की एक [[पेंसिल (गणित)]] करती है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं; केली-बछराच प्रमेय देखें।
-[[Image:Cubic with double point.svg|thumb|right|एकवचन घन {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|2}} ⋅ (''x'' + 1)}}. एक पैरामीट्रिजेशन द्वारा दिया जाता है {{math|''t'' ↦ (''t''{{sup|2}} – 1, ''t'' ⋅ (''t''{{sup|2}} – 1))}}.]]एक घन वक्र में एक बीजीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, जिस स्थिति में इसमें प्रक्षेप्य रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। अन्यथा एक गैर-एकवचन घन वक्र को जटिल संख्या जैसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, विभक्ति बिंदु के नौ अंक के लिए जाना जाता है। यह हेसियन मैट्रिक्स के सजातीय संस्करण को लेकर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक क्यूबिक को परिभाषित करता है, और इसके साथ प्रतिच्छेद करता है {{mvar|C}}; तब चौराहों की गिनती बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु वास्तविक हो सकते हैं, ताकि अन्य को वक्र खींचकर वास्तविक प्रक्षेप्य तल में न देखा जा सके। एक गैर-एकवचन घन के नौ विभक्ति बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में ठीक तीन विभक्ति बिंदु होते हैं।
+[[Image:Cubic with double point.svg|thumb|right|एकवचन घन {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|2}} ⋅ (''x'' + 1)}}. द्वारा एक पैरामीट्रिजेशन दिया जाता है {{math|''t'' ↦ (''t''{{sup|2}} – 1, ''t'' ⋅ (''t''{{sup|2}} – 1))}}.]]एक घन वक्र में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, इस मामले में प्रक्षेपी रेखा के संदर्भ में एक [[पैरामीट्रिक समीकरण]] होता है। अन्यथा एक गैर-एकवचन घन वक्र को एक [[बीजगणितीय रूप से बंद]] क्षेत्र जैसे कि [[जटिल संख्या]] के ऊपर, विभक्ति बिंदु के नौ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। यह [[हेसियन मैट्रिक्स]] के सजातीय संस्करण को ले कर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक घन को परिभाषित करता है, और इसके साथ प्रतिच्छेद करता है {{mvar|C}}; तब चौराहों की गणना बेजाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु ही वास्तविक हो सकते हैं, ताकि अन्य को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में वक्र बनाकर नहीं देखा जा सके। एक गैर-एकवचन घन के नौ मोड़ बिंदुओं में यह संपत्ति होती है कि उनमें से दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में ठीक तीन मोड़ बिंदु होते हैं।
-आइजैक न्यूटन द्वारा घन वक्रों के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन किया गया था। एक गैर-एकवचन प्रक्षेप्य घन के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अंडाकार' में आते हैं। इन अंडाकारों में से एक प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा को पार करता है, और इस प्रकार जब यूक्लिडियन तल में घन खींचा जाता है तो यह कभी भी बाध्य नहीं होता है; यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है, जिसमें तीन वास्तविक विभक्ति बिंदु होते हैं। अन्य अंडाकार, यदि यह मौजूद है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं है और या तो अंडाकार या दो अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है। शंकु वर्गों की तरह, एक रेखा इस अंडाकार को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।
+क्यूबिक कर्व्स के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन [[आइजैक न्यूटन]] ने किया था। एक गैर-एकवचन प्रोजेक्टिव क्यूबिक के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अंडाकार' में आते हैं। इन अंडाकारों में से एक प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेपी रेखा को पार करता है, और इस प्रकार [[यूक्लिडियन विमान]] में घन खींचा जाने पर कभी भी बाध्य नहीं होता है; यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है, जिसमें तीन वास्तविक विभक्ति बिंदु होते हैं। अन्य अंडाकार, यदि यह मौजूद है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं है और या तो एक अंडाकार या दो अनंत शाखाओं के रूप में दिखाई देता है। शंक्वाकार वर्गों की तरह, एक रेखा इस अंडाकार को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।
-एक गैर-एकवचन समतल घन किसी भी क्षेत्र के ऊपर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है {{mvar|K}} जिसके लिए एक बिंदु निर्धारित किया गया है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो एक घन के वर्गमूल को निकालकर बनाए गए तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह एक होने पर निर्भर करता है {{mvar|K}}-तर्कसंगत बिंदु, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत पर बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे कई घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं है, उदाहरण के लिए जब {{mvar|K}} परिमेय संख्या क्षेत्र है।
+एक गैर-एकवचन समतल घन किसी भी क्षेत्र पर एक [[अण्डाकार वक्र]] को परिभाषित करता है {{mvar|K}} जिसके लिए इसमें एक बिंदु परिभाषित है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो एक घन के वर्गमूल को निकालने के द्वारा किए गए [[तर्कसंगत कार्य]]ों के क्षेत्र के [[द्विघात विस्तार]] को परिभाषित करता है। यह एक होने पर निर्भर करता है {{mvar|K}}-[[तर्कसंगत बिंदु]], जो वीयरस्ट्रैस रूप में [[अनंत पर बिंदु]] के रूप में कार्य करता है। ऐसे कई घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं होता है, उदाहरण के लिए जब {{mvar|K}} [[परिमेय संख्या]] क्षेत्र है।
-एक इरेड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक कर्व के विलक्षण बिंदु काफी सीमित होते हैं: एक डबल पॉइंट, या एक क्यूस्प (विलक्षण)। एक रिड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक कर्व या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और तदनुसार दो दोहरे बिंदु या एक टैक्नोड (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन दोहरे बिंदु या एक एकल ट्रिपल बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) होते हैं। तीन पंक्तियाँ।
+एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के एकवचन बिंदु काफी सीमित हैं: एक [[दोहरा बिंदु]], या एक [[पुच्छ (विलक्षणता)]]। एक रिड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और तदनुसार दो दोहरे बिंदु या एक [[fancode]] (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन दोहरे बिंदु या एक ट्रिपल बिंदु ([[समवर्ती रेखाएँ]]) तक होते हैं। तीन पंक्तियाँ।
 == त्रिभुज के तल में घन वक्र ==
-मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई है {{nowrap|1=''a'' = {{abs|''BC''}}}}, {{nowrap|1=''b'' = {{abs|''CA''}}}}, {{nowrap|1=''c'' = {{abs|''AB''}}}}. एबीसी के सापेक्ष, कई नामित क्यूबिक प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांक का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)।
+मान लीजिए कि ABC भुजाओं वाला एक त्रिभुज है {{nowrap|1=''a'' = {{abs|''BC''}}}}, {{nowrap|1=''b'' = {{abs|''CA''}}}}, {{nowrap|1=''c'' = {{abs|''AB''}}}}. एबीसी के सापेक्ष, कई नामित घन प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)]]।
-एक घन समीकरण में त्रिरेखीय से बैरसेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार स्थानापन्न करें:
+क्यूबिक इक्वेशन में ट्रिलिनियर से बेरिकेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार प्रतिस्थापित करें:
-:x bcx, y cay, z abz;
+:x ↦ बीसीएक्स, y ↦ रेती, z ↦ abz;
 बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें
-:x कुल्हाड़ी, y by, z cz.
+:x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.
-क्यूबिक के लिए कई समीकरणों का रूप है
+घन के लिए कई समीकरणों का रूप है
-:f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.
+: एफ (ए, बी, सी, एक्स, वाई, जेड) + एफ (बी, सी, ए, वाई, जेड, एक्स) + एफ (सी, ए, बी, जेड, एक्स, वाई) = 0।
-नीचे दिए गए उदाहरणों में, इस तरह के समीकरण चक्रीय योग संकेतन में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखे गए हैं, जैसे:
+नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में चक्रीय योग अंकन में लिखा गया है, जैसे:
 :<math>\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 </math>.
-नीचे सूचीबद्ध क्यूबिक्स को समभुज संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक्स * द्वारा दर्शाया गया है, एक बिंदु एक्स के एबीसी के किनारे पर नहीं। X* की रचना इस प्रकार है। चलो L<sub>A</sub>कोण A के आंतरिक कोण समद्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L . को परिभाषित करें<sub>B</sub>और मैं<sub>C</sub>समान रूप से। फिर तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = {{sfrac|''x''}}:{{sfrac|''y''}}:{{sfrac|''z''}}.
+नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X* द्वारा निरूपित किया जाता है, एक बिंदु X जो ABC के किनारे पर नहीं है। X* की रचना इस प्रकार है। चलो एल<sub>A</sub>कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L को परिभाषित करें<sub>B</sub>और मैं<sub>C</sub>समान रूप से। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = {{sfrac|''x''}}:{{sfrac|''y''}}:{{sfrac|''z''}}.
 === न्यूबर्ग क्यूबिक ===
-[[File:NeubergCurve.png|thumb|त्रिभुज एबीसी का न्यूबर्ग क्यूबिक: एक्स का स्थान ऐसा है कि यदि <math>X_A, X_B, X_C</math> ए, बी, सी के प्रतिबिंब बीसी, सीए, एबी में हैं तो रेखाएं <math>AX_A, BX_B, CX_C</math> समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:NeubergCurve.png|thumb|त्रिभुज ABC का न्युबर्ग क्यूबिक: X का स्थान ऐसा है कि यदि <math>X_A, X_B, X_C</math> ए, बी, सी के किनारे बीसी, सीए, एबी फिर रेखाओं में प्रतिबिंब हैं <math>AX_A, BX_B, CX_C</math> समवर्ती हैं।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
-न्यूबर्ग क्यूबिक (जोसेफ जीन बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर) एक बिंदु X का स्थान (गणित) है, जैसे कि X * लाइन EX पर है, जहां E त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में यूलर इन्फिनिटी पॉइंट (X (30) है) . साथ ही, यह घन X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि त्रिभुज X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>एबीसी के लिए परिप्रेक्ष्य है, जहां एक्स<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>क्रमशः BC, CA, AB, रेखाओं में X का प्रतिबिंब है
+[[न्युबर्ग क्यूबिक]] ([[जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग]] के नाम पर रखा गया) बिंदु एक्स का लोकस (गणित) है जैसे कि एक्स * लाइन ईएक्स पर है, जहां ई यूलर इन्फिनिटी पॉइंट है (त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में एक्स (30)) . साथ ही, यह घनाकार X का स्थान इस प्रकार है कि त्रिभुज X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>ABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>क्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है
-न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: इंसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, दोनों फ़र्मेट पॉइंट, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट, यूलर इनफिनिटी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे में ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और एबीसी के किनारों पर बने छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।
+न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों [[फर्मेट बिंदु]], दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर खड़े किए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।
-न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और विस्तृत सूची के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html 'K001' पर बरहार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन']।
+एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html 'K001' को बर्हार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्राएंगल प्लेन'] में देखें।
-=== थॉमसन क्यूबिक ===
+===थॉमसन क्यूबिक===
-[[File:Thomson cubic.svg|thumb|right|थॉमसन क्यूबिक (ब्लैक कर्व) का उदाहरण। X घन पर है, इस प्रकार X (X′) का समद्विबाहु संयुग्म रेखा X(2) - X पर है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:Thomson cubic.svg|thumb|right|थॉमसन क्यूबिक (काला वक्र) का उदाहरण। X क्यूबिक पर है, जैसे कि X (X') का आइसोगोनल कॉन्जुगेट लाइन X(2) - X पर है।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
-थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केन्द्रक है।
+थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केंद्रक है।
-थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: इनसेंटर, सेंट्रोइड, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, सिमेडियन पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, ए, बी, सी, एक्सेंटर, बीसी, सीए, एबी, और मिडपॉइंट्स के मध्य बिंदु। एबीसी की ऊंचाई घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समद्विबाहु संयुग्म भी घन पर होता है।
+थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, एक्सेंटर, भुजाओं के मध्य बिंदु BC, CA, AB, और मध्य बिंदु एबीसी की ऊंचाई। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।
-ग्राफ़ और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html 'K002' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
+ग्राफ़ और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html 'K002' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें]।
-===डारबौक्स क्यूबिक===
+=== डार्बौक्स क्यूबिक ===
-[[File:DarbouxCubic.png|thumb|त्रिभुज एबीसी का डारबौक्स क्यूबिक: एक्स का स्थान ऐसा है कि यदि डी, ई, एफ एक्स से बीसी, सीए, एबी के लंबवत के पैर हैं तो रेखाएं एडी, बीई, सीएफ समवर्ती हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:DarbouxCubic.png|thumb|त्रिभुज एबीसी का डार्बौक्स क्यूबिक: एक्स का स्थान इस तरह है कि यदि डी, ई, एफ एक्स से किनारे बीसी, सीए, एबी के लंबवत के पैर हैं तो एडी, बीई, सीएफ समवर्ती हैं।]]ट्रिलिनियर समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
-डारबौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L, लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। साथ ही, यह घन X का ठिकाना है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सेवियन त्रिभुज है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X का पेडल त्रिभुज और X का एंटीसेवियन त्रिभुज परिप्रेक्ष्य है; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।
+डार्बौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का ठिकाना है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का लोकस है जैसे एक्स का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सीवियन त्रिकोण है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण और X का एंटीसेवियन त्रिकोण परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।
-डारबौक्स क्यूबिक इनसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, डे लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड से होकर गुजरता है। घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समद्विबाहु संयुग्म भी घन पर होता है।
+डार्बौक्स क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, [[लॉन्गचैम्प्स बिंदु से]], अन्य त्रिकोण केंद्रों, वर्टिकल ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html 'K004' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'] देखें।
+ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html 'K004' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें]।
-===नेपोलियन–फ्यूरबैक क्यूबिक===
+===नेपोलियन–फायरबैक क्यूबिक===
-त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 </math>
+ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>
-नेपोलियन-फ़्यूरबैक क्यूबिक एक बिंदु X* का ठिकाना है जो लाइन NX पर है, जहाँ N नौ-बिंदु केंद्र है, (N = X(5) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में)।
+नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है * रेखा NX पर है, जहां N नौ-बिंदु केंद्र है, (त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5)।
-नेपोलियन-फ़्यूरबैक क्यूबिक इनसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर समबाहु त्रिभुज बनाए गए हैं।
+नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर खड़े समबाहु त्रिभुज।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k005.html 'K005' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'] देखें।
+ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k005.html 'K005' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
-=== लुकास क्यूबिक ===
+===लुकास क्यूबिक===
-[[File:LucasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का लुकास क्यूब: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X का सेवियन त्रिभुज किसी बिंदु X का पेडल त्रिकोण है; बिंदु X' डारबौक्स क्यूबिक पर स्थित है।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>
+[[File:LucasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का लुकास क्यूबिक: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X का सीवियन त्रिभुज किसी बिंदु X' का पैडल त्रिभुज है; बिंदु X' डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
-लुकास क्यूबिक एक बिंदु एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स का सेवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु Darboux घन पर स्थित है।
+लुकास क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का सीवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।
-लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागेल पॉइंट, डे लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, एंटी-पूरक त्रिभुज के कोने और स्टीनर सर्किललिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।
+लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागल पॉइंट, डी लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिभुज केंद्रों, एंटीकोम्प्लीमेंट्री त्रिकोण के कोने और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
+ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k007.html 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
-===1पहला ब्रोकेड क्यूबिक ===
+===पहला ब्रोकेड क्यूबिक===
-[[File:FirstBrocardCubic.png|thumb|पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक: यह एक्स का लोकस है जैसे एक्सए', एक्सबी', एक्ससी' के चौराहे बीसी, सीए, सीबी के साथ, जहां ए'बी'सी' त्रिभुज एबीसी का पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है, समरेख हैं। चित्र में और पहले और दूसरे ब्रोकार्ड अंक हैं।]]त्रिरेखीय समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
+[[File:FirstBrocardCubic.png|thumb|पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक: यह एक्स का लोकस है जैसे एक्सए', एक्सबी', एक्ससी' के चौराहे बीसी, सीए, सीबी के साथ, जहां ए'बी'सी' त्रिभुज एबीसी का पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है, संरेख हैं। चित्र में Ω और Ω' पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु हैं।]]ट्रिलिनियर समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
-माना A′B′C′ पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है। मनमाना बिंदु X के लिए, मान लीजिए X<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>क्रमशः BC, CA, AB के साथ XA′, XB′, XC′ रेखाओं का प्रतिच्छेदन हो। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक एक्स का स्थान है जिसके लिए बिंदु X<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>समरेखीय हैं।
+बता दें कि AB'C' पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है। मनमाना बिंदु X के लिए, X दें<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>रेखाओं XA′, XB′, XC′ के प्रतिच्छेदन क्रमशः भुजाओं BC, CA, AB के साथ हों। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु X है<sub>A</sub>, एक्स<sub>B</sub>, एक्स<sub>C</sub>संरेख हैं।
-पहला ब्रोकार्ड क्यूब सेंट्रोइड, सिमेडियन पॉइंट, स्टीनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।
+पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के शीर्ष से होकर गुजरता है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k017.html 'K017' at 'Cubics in the Triangle समतल']।
+ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k017.html 'K017' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें]।
-=== दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक ===
+===दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक===
-त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
+ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>
-दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए एक्स और एक्स * के माध्यम से सर्कोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिधि और सिमेडियन बिंदु (यानी ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक केंद्रक, सिमेडियन बिंदु, दोनों फ़र्मेट बिंदुओं, दोनों आइसोडायनामिक बिंदुओं, पैरी बिंदु, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।
+दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (यानी, ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, दोनों फ़र्मेट पॉइंट्स, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट्स, पैरी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k018.html 'K018' at 'Cubics in the Triangle समतल']।
+ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k018.html 'K018' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें]।
 ===पहला बराबर क्षेत्रफल घन===
-[[File:FirstEqualAreasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के सेवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर हो।]]त्रिरेखीय समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
+[[File:FirstEqualAreasCubic.png|thumb|त्रिभुज ABC का पहला बराबर क्षेत्रफल घन: एक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X के केवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।]]ट्रिलिनियर समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण: <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>
-पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के सेवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। साथ ही, यह घन X का स्थान है जिसके लिए X* रेखा S*X पर है, जहां S स्टेनर बिंदु है। (एस = एक्स (99) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में)।
+पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिकोण के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का ठिकाना है जिसके लिए एक्स * लाइन एस * एक्स पर है, जहां एस स्टेनर पॉइंट है। (एस = एक्स (99) त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में)।
-पहला बराबर क्षेत्र घन केंद्र, स्टीनर बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदुओं और उत्सर्जक से होकर गुजरता है।
+पहला बराबर क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड पॉइंट और एक्सेंटर से होकर गुजरता है।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k021.html 'K021' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'] देखें।
+ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k021.html 'K021' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
-===दूसरा बराबर क्षेत्रफल घन===
+=== दूसरा बराबर क्षेत्र घन ===
-त्रिरेखीय समीकरण: <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>
+ट्रिलिनियर समीकरण: <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>
-बैरीसेंट्रिक समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>
+बेरसेंट्रिक समीकरण:<math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>
-किसी भी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X<sub>Y</sub>= y:z:x और X<sub>Z</sub>= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्रफल घन, X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X . के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल<sub>Y</sub>X . के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर<sub>Z</sub>.
+किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए X<sub>Y</sub>= वाई: जेड: एक्स और एक्स<sub>Z</sub>= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूबिक एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स के सेवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल<sub>Y</sub>X के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है<sub>Z</sub>.
-दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूब एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिमेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स(1453), एक्स(1931), एक्स(2053), और अन्य।
+एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में दूसरा समान क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स (1453), एक्स (1931), एक्स (2053), और अन्य।
-ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k155.html 'K155' पर 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन']।
+ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k155.html 'K155' at 'Cubics in the Triangle Plane']।
 == यह भी देखें ==
-* केली-बचारच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
+* केली-बचराच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
-* ट्विस्टेड क्यूबिक, एक क्यूबिक स्पेस कर्व
+* [[मुड़ घन]], एक क्यूबिक स्पेस कर्व
-*अण्डाकार वक्र
+* अण्डाकार वक्र
-* एग्नेस की चुड़ैल
+* [[अगनेसी की चुड़ैल]]
-* त्रिभुज घनों की सूची
+* [[त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 142: / Line 142: @@
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची==
+==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
+*अंक शास्त्र
+*affine अंतरिक्ष
+*प्रक्षेपण स्थान
+*पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं
+*प्रक्षेपण रेखा
+*एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु
+*संक्रमण का बिन्दु
+*शंकु खंड
+*ट्रिलिनियर निर्देशांक
+*ठिकाना (गणित)
+*त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश
+*circumcenter
+*केंद्र में
+*orthocenter
+*आइसोडायनामिक बिंदु
 ==बाहरी संबंध==
 * [http://www.milefoot.com/math/planecurves/cubics.htm A Catalog of Cubic Plane Curves] [https://web.archive.org/web/20110717121751/http://staff.jccc.net/swilson/planecurves/cubics.htm (archived version)]
@@ Line 149: / Line 164: @@
 * [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/index.html Cubics in the Triangle Plane]
 * [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/files/isocubics.html Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert]
-{{Algebraic curves navbox}}[[Category: बीजीय वक्र]]
+{{Algebraic curves navbox}}[[Category: बीजगणितीय वक्र]]
 [[Category: Machine Translated Page]]
-[[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Created On 24/11/2022]]

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