घनमूल

File:Cube-root function.svg

का प्लॉट y = ³√x. कथानक उत्पत्ति के संबंध में सममित है, क्योंकि यह एक विषम कार्य है। पर x = 0 इस ग्राफ में एक लंबवत स्पर्शरेखा है।

File:Cube and doubled cube.svg

एक इकाई घन (भुजा = 1) और एक घन जिसका आयतन दोगुना (भुजा = ³√2 = 1.2599... OEIS: A002580).

गणित में, किसी संख्या का घनमूल x एक संख्या है y ऐसा है कि y³ = x. सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं में ठीक एक वास्तविक घनमूल और जटिल संयुग्मी घनमूलों की एक जोड़ी होती है, और सभी गैर-शून्य जटिल संख्याओं में तीन अलग-अलग जटिल घनमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, का वास्तविक घनमूल 8, निरूपित ${\sqrt[{3}]{8}}$, है 2, इसलिये 2³ = 8, जबकि अन्य घनमूल 8 हैं $-1+i{\sqrt {3}}$ तथा $-1-i{\sqrt {3}}$. के तीन घनमूल −27i हैं

$3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{and}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.$

कुछ संदर्भों में, विशेष रूप से जब वह संख्या जिसका घनमूल लिया जाना है, एक वास्तविक संख्या है, तो घनमूलों में से एक (इस विशेष मामले में वास्तविक) को मूल घनमूल के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे मूल चिह्न के साथ दर्शाया जाता है। ${\sqrt[{3}]{~^{~}}}.$ घनमूल केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करने पर घन (बीजगणित) का व्युत्क्रम कार्य है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं पर भी विचार नहीं किया जाता है: हालांकि किसी के पास हमेशा होता है $\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,$ एक शून्येतर संख्या के घन में एक से अधिक सम्मिश्र घनमूल होते हैं और इसका मुख्य घनमूल वह संख्या नहीं हो सकती है जिसका घनीकरण किया गया था। उदाहरण के लिए, $(-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8$, लेकिन $-1+i{\sqrt {3}}\neq {\sqrt[{3}]{8}}=2.$

औपचारिक परिभाषा

किसी संख्या x का घनमूल वह संख्या y है जो समीकरण को संतुष्ट करती है

$y^{3}=x.\$

गुण

वास्तविक संख्या

किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, एक वास्तविक संख्या y ऐसी होती है कि y³ = x. घन (बीजगणित) बढ़ रहा है, इसलिए दो अलग-अलग इनपुट के लिए समान परिणाम नहीं देता है, और यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक आक्षेप, या एक-से-एक है। फिर हम एक उलटा कार्य परिभाषित कर सकते हैं जो एक-से-एक भी है। वास्तविक संख्याओं के लिए, हम सभी वास्तविक संख्याओं के एक अद्वितीय घनमूल को परिभाषित कर सकते हैं। यदि इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल एक ऋणात्मक संख्या होती है।

File:3rd roots of unity.svg

1 के तीन घनमूल

यदि x और y को सम्मिश्र संख्या होने की अनुमति है, तो इसके तीन समाधान हैं (यदि x गैर-शून्य है) और इसलिए x के तीन घनमूल हैं। एक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक घनमूल और दो और घनमूल होते हैं जो एक जटिल संयुग्म जोड़ी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, 1 का घनमूल हैं:

$1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.$

इनमें से अंतिम दो मूल किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या के सभी मूलों के बीच संबंध की ओर ले जाते हैं। यदि कोई संख्या किसी विशेष वास्तविक या सम्मिश्र संख्या का एक घनमूल है, तो अन्य दो घनमूल उस घनमूल को 1 के दो जटिल घनमूलों में से एक या दूसरे से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

जटिल संख्या

File:Complex cube root.jpg

इसके दो अतिरिक्त पत्तों के साथ जटिल घनमूल का प्लॉट। पहली छवि मुख्य शाखा को दिखाती है, जिसका वर्णन पाठ में किया गया है।

घनमूल की रीमैन सतह। कोई देख सकता है कि तीनों पत्ते एक साथ कैसे फिट होते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के लिए, मुख्य घनमूल को आमतौर पर उस घनमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग होता है, या, समकक्ष रूप से, वह घनमूल जिसका तर्क (जटिल विश्लेषण) सबसे कम निरपेक्ष मान रखता है। यह सूत्र द्वारा प्राकृतिक लघुगणक के प्रमुख मान से संबंधित है

$x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).$

यदि हम x को इस रूप में लिखते हैं

$x=r\exp(i\theta )\,$

जहाँ r एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है और θ परिसर में स्थित है

$-\pi <\theta \leq \pi$,

तो प्रिंसिपल कॉम्प्लेक्स क्यूब रूट है

${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).$

इसका मतलब है कि ध्रुवीय निर्देशांक में, हम घनमूल को परिभाषित करने के लिए त्रिज्या का घनमूल ले रहे हैं और ध्रुवीय कोण को तीन से विभाजित कर रहे हैं। इस परिभाषा के साथ, एक ऋणात्मक संख्या का मुख्य घनमूल एक सम्मिश्र संख्या है, और उदाहरण के लिए ³√−8 -2 नहीं होगा, बल्कि होगा 1 + i√3.

क्यूब रूट को बहु-मूल्यवान कार्य के रूप में मानकर इस कठिनाई को भी हल किया जा सकता है: यदि हम मूल जटिल संख्या x को तीन समतुल्य रूपों में लिखते हैं, अर्थात्

$x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}$

File:Visualisation complex number roots.svg

Geometric representation of the 2nd to 6th roots of a complex number z, in polar form re^iφ  where r = |z | and φ = arg z. If z is real, φ = 0 or π. Principal roots are shown in black.

इन तीन रूपों के प्रमुख जटिल घनमूल क्रमशः हैं

$\sqrt[3]{x}=\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{r}\exp <!--\; \; -->\left(\frac{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}\right),\\ \sqrt[3]{r}\end{array}$