अवकलज: Difference between revisions

गणित में, वास्तविक चर के एक प्रकार्य का व्युत्पन्न इसके तर्क (निविष्ट मान) में परिवर्तन के संबंध में प्रकार्य मान (प्रक्षेपण मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए समूहीकृत किया जा सकता है। इस सामूहीकरण में, व्युत्पन्न की एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्यूह]]([[मैट्रिक्स (गणित)|गणित)]] है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी [[गणना]] स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह [[ग्रेडिएंट वेक्टर|प्रवणता संवाहक]] में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को '[[antiderivative|विरोधी विशिष्टीकरण]] ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}}

एक वास्तविक चर f(x) का एक फलन अपने प्रांत के एक बिंदु a पर अवकलनीय होता है, यदि इसके प्रांत में एक खुला अंतराल I होता है जिसमें a सम्मिलित है, और जिसकी सीमा निम्न होती है:

इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] <math>\varepsilon</math> के लिए (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या <math>\delta</math> ऐसे उपस्थित है कि, हर {{mvar|h}} के लिए ऐसे कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और

जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें(ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।

यदि समारोह {{mvar|f}} पर {{mvar|a}} अवकलनीय है, यानी अगर सीमा {{mvar|L}} उपस्थित है, तो इस सीमा को {{mvar|f}} पर {{mvar|a}} का व्युत्पन्न और निरूपित <math>f'(a)</math> कहा जाता है, ({{math|''a''}} के प्रमुख {{math|''f''}} के रूप में पढ़ें) या <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math>({{math|''f''}} के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें  इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या {{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink|| प्रतीकांकन (सूचना )}}, नीचे

[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है(विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि f, a पर अवकलनीय है, तो ''f'' भी ''a'' पर निरंतर होना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, कोई बिंदु a चुनें और f को चरण फलन होने दें जो a से कम सभी x के लिए मान 1 लौटाता है, और a से अधिक या उसके बराबर सभी x के लिए भिन्न मान 10 लौटाता है, f का a पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता। यदि h ऋणात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, अतः a से a + h तक की छेदक रेखा बहुत खड़ी है, और वैसे ही h शून्य की ओर जाता है जैसे ढलान अनंत की ओर जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: a से a + h तक की छेदक रेखा का ढाल शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं है।  

अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या इतस्ततः [[लगभग हर जगह|हर जगह]] व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य एक [[मोनोटोन समारोह|एकदिष्ट समारोह]] या [[लिप्सचिट्ज़ समारोह]] है, तो यह सत्य है। यद्यपि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब [[वीयरस्ट्रैस समारोह]] के रूप में जाना जाता है। 1931 में, [[स्टीफन बानाच]] ने सिद्ध किया कि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न वाले कार्य का निर्धारित सभी निरंतर कार्य के स्थान पर एक [[अल्प सेट|अल्प निर्धारित]] है।<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia Math.|issue=3|year=1931|volume=3|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|postscript=.|url=https://scholar.google.com/scholar?output=instlink&q=info:SkKdCEmUd6QJ:scholar.google.com/&hl=en&as_sdt=0,50&scillfp=3432975470163241186&oi=lle|doi-access=free}}.  Cited by {{Citation|author1=Hewitt, E |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका उद्देश्य यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है।

== एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning -->

कभी-कभी f का व्युत्पन्न अधिक से अधिक होता है, लेकिन सभी का नहीं, इसके अनुक्षेत्र के अंको का। वह फलन जिसका मान a पर f′(a) के बराबर होता है जब भी f′(a) परिभाषित होता है और अन्यत्र अपरिभाषित होता है, उसे f का व्युत्पन्न भी कहा जाता है। यह अभी भी एक फलन है, लेकिन इसका प्रांत f के प्रांत से छोटा हो सकता है।

इस विचार का उपयोग करते हुए, विवेक कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)|संचालक (गणित)]] है जिसका अधिक्षेत्र उन सभी कार्यों का निर्धारित है जिनके अधिक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक निर्धारित है। यदि हम इस संकारक को D से निरूपित करते हैं, तो D(f) का फलन f′ है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु a पर किया जा सकता हैै। व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, {{math|''D''(''f'')(''a'') {{=}} ''f''{{′}}(''a'')}}.

तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}} पर विचार करें, {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है:

परिचालक {{math|''D''}} यद्यपि, अलग-अलग अंको पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह केवल कार्यों पर परिभाषित किया गया है:

मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है और f ′ इसका व्युत्पन्न है। यदि  f<nowiki>' का व्युत्पन्न (यदि इसमें एक है) को f'' ​​लिखा जाता है और इसे f का दूसरा  व्युत्पन्न कहते हैं। इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का अवकलज, यदि उसका अस्तित्व है, को f'</nowiki> लिखा जाता है और इसे f का तीसरा व्युत्पन्न कहा जाता हैैं। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, ''n''th व्युत्पन्न को (n−1) वें व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह अस्तित्व में है। इन पुनरावर्ती गए व्युत्पन्न को उच्च-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है। ''n''th व्युत्पन्न को कोटि n का व्युत्पन्न भी कहा जाता है और इसे f(n) से निरूपित किया जाता है।.

यदि x(t) समय t पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, तब x के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न की भौतिकी में विशिष्ट व्याख्या होती है। पहला व्युत्पन्न {{math|''x''}} वस्तु का वेग है। दूसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[त्वरण]] है। तीसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[झटका (भौतिकी)]] है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न {{math|''x''}} हैं उछाल, गुर्राना, भड़कना, और लोकप्रिय; [[खगोल भौतिकी]] के लिए सबसे अधिक लागू।

एक समारोह {{math|''f''}} व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, समान ही {{math|''f''}} एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो

f'(x) x पर निरपेक्ष मान फलन का दुगुना है, और इसका शून्य पर कोई व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक कार्य में प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए kth व्युत्पन्न हो सकता है, लेकिन (k + 1) वें व्युत्पन्न नहीं हो सकता। एक कार्य जिसमें k क्रमिक व्युत्पन्न होते हैं, k गुना अवकलनीय कहलाता है। यदि इसके अलावा kth व्युत्पन्न निरंतर है, तो कार्य अवकलनीयता वर्ग ''C^k'' का कहा जाता है। (''k'' व्युत्पन्न होने की तुलना में यह एक मजबूत स्थिति है, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink| सहजता|उदहारण}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक  व्युत्पन्न होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या सहजता कहलाता है।

एक बिंदु x पर कार्य f के व्युत्पन्न उस कार्य को x के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''}} तब दो बार अवकलनीय है

यदि {{math|''f''}} असीम रूप से भिन्न है, तो यह [[टेलर श्रृंखला]] की शुरुआत है {{math|''f''}} पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' + ''h''}} चारों शैली {{math|''x''}}.

एक बिंदु जहां किसी कार्य का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है।<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^3</math>, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^\frac{1}{3}</math>. एक मोड़ बिंदु पर, एक कार्य उत्तल कार्य होने से अवतल कार्य या इसके विपरीत होने पर विपर्येण करता है।

{{Main|Leibniz's अंकन पद्धति}}

प्रतीक <math>dx</math>, <math>dy</math>, तथा <math>\frac{dy}{dx}</math> 1675 में [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] द्वारा पेश किए गए थे।<ref>Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)</ref> यह तब भी सामान्यतः प्रयोग किया जाता है जब समीकरण {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच कार्यात्मक संबंध के रूप में देखा जाता है। फिर पहले व्युत्पन्न द्वारा निरूपित किया जाता है

के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>y = f(x)</math>. ये व्युत्पन्न संचालक के कई अनुप्रयोगों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। उदाहरण के लिए,

Leibniz's के अंकन के साथ, हम का व्युत्पन्न लिख सकते हैं <math>y</math> बिंदु पर <math>x = a</math> दो अलग-अलग तरीकों से:

Leibniz's के अंकन से विभेदीकरण (हर में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति मिलती है, जो आंशिक व्युत्पन्न में प्रासंगिक है। इसकी उपयोग [[श्रृंखला नियम]] को लिखने के लिए भी की जा सकती है{{#tag:ref|In the formulation of calculus in terms of limits, the ''du'' symbol has been assigned various meanings by various authors.  Some authors do not assign a meaning to ''du'' by itself, but only as part of the symbol ''du''/''dx''.  Others define ''dx'' as an independent variable, and define ''du'' by {{nowrap|1=''du'' = ''dx''⋅''f''{{′}}(''x'')}}.  In [[non-standard analysis]] ''du'' is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the [[exterior derivative]] of a function ''u''. See [[differential (infinitesimal)]] for further information.|group=Note}}

कभी-कभी मुख्य अंकन पद्धति के रूप में जाना जाता है,<ref>{{cite web|title=विभेदन का अंकन|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|access-date=24 October 2012|year=1998}}</ref> विवेक के लिए सबसे सामान्य आधुनिक अंकन पद्धति में से एक [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] के कारण है और मुख्य (प्रतीक) का उपयोग करता है, ताकि किसी कार्य का व्युत्पन्न हो सके <math>f</math> निरूपित किया जाता है <math>f'</math>। इसी तरह, दूसरे और तीसरे व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता हैै।

बाद वाला अंकन संकेतन प्राप्त करने के लिए समूहीकृत करता है <math>f^{(n)}</math> के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>f</math> - यह संकेतन सबसे उपयोगी होता है जब हम व्युत्पन्न के बारे में एक कार्य के रूप में बात करना चाहते हैं, क्योंकि इस मामले में लाइबनिज संकेतन बोझिल हो सकता है।

अवकलन के लिए न्यूटन के अंकन, जिसे डॉट संकेतन भी कहा जाता है, समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य नाम पर एक बिंदु रखता है। यदि <math>y = f(t)</math>, फिर

निरूपित, क्रमशः, के पहले और दूसरे व्युत्पन्न <math>y</math>. यह संकेतन विशेष रूप से समय या चाप की लंबाई के संबंध में व्युत्पन्न के लिए उपयोग किया जाता है। यह सामान्यतः पर भौतिकी और [[अंतर ज्यामिति]] में [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] में प्रयोग किया जाता है।<ref>{{Cite book|title=आंशिक अंतर समीकरण|last=Evans|first=Lawrence|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=0-8218-0772-2|pages=63}}</ref><ref>{{Cite book|title=विभेदक ज्यामिति|last=Kreyszig|first=Erwin|publisher=Dover|year=1991|isbn=0-486-66721-9|location=New York|pages=1}}</ref> डॉट अंकन पद्धति, यद्यपि उच्च-अनुक्रम व्युत्पन्न (अनुक्रम 4 या अधिक) के लिए असहनीय हो जाता है और कई स्वतंत्र चर के साथ काम नहीं कर सकता।

[[लियोनहार्ड यूलर]] का अंकन अवकल संकारक का <math>D</math> उपयोग करता है, जो एक समारोह <math>f</math> पर लागू होता है  पहला व्युत्पन्न <math>Df</math> देने के लिए। Nth व्युत्पन्न को <math>D^nf</math> निरूपित किया जाता हैै।

[[अति वास्तविक संख्या]] विस्तारण के सापेक्ष {{math|'''R''' ⊂ {{sup|⁎}}'''R'''}} वास्तविक संख्याओं का, वास्तविक फलन का  व्युत्पन्न {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} एक वास्तविक बिंदु पर {{math|''x''}} भागफल की [[छाया (गणित)|