अवकलज: Difference between revisions

गणित में, वास्तविक चर के एक प्रकार्य का व्युत्पन्न इसके तर्क (निविष्ट मान) में परिवर्तन के संबंध में प्रकार्य मान (प्रक्षेपण मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब उपस्थित होता है, तो उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर [[स्पर्शरेखा]] का ढलान होता है। स्पर्शरेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को '[[antiderivative|विरोधी विशिष्टीकरण]] ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}}

एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य के अपने अधिक्षेत्र का, यदि उसके अधिक्षेत्र में एक [[खुला अंतराल]] है {{mvar|I}} युक्त {{mvar|a}}, और [[सीमा (गणित)|सीमा(गणित)]]

इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>\varepsilon</math>(यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta</math> ऐसा है कि, हर के लिए {{mvar|h}} ऐसा है कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और

यदि समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय है {{mvar|a}}, वह अगर सीमा {{mvar|L}} उपस्थित है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है {{mvar|f}} पर {{mvar|a}}, और निरूपित <math>f'(a)</math>(के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} के प्रमुख {{math|''a''}}) या <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math>(के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या {{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink|| प्रतीकांकन (सूचना )}}, नीचे।

[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है(विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके एकरूप {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और रूप में {{math|''h''}} शून्य की शैली में जाता है ढलान अनंत की शैली जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है।

[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।]]यद्यपि, समान ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे लेखाचित्रिक रूप से लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है {{math|''x'' {{=}} 0}}. यहां तक ​​​​कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''^1/3}} पर अवकलनीय नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}.

सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता।

अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या इतस्ततः [[लगभग हर जगह|हर जगह]] व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य एक [[मोनोटोन समारोह|एकदिष्ट समारोह]] या [[लिप्सचिट्ज़ समारोह]] है, तो यह सत्य है। यद्यपि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब [[वीयरस्ट्रैस समारोह]] के रूप में जाना जाता है। 1931 में, [[स्टीफन बानाच]] ने सिद्ध किया कि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न वाले कार्य का निर्धारित सभी निरंतर कार्य के स्थान पर एक [[अल्प सेट|अल्प निर्धारित]] है।<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia Math.|issue=3|year=1931|volume=3|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|postscript=.|url=https://scholar.google.com/scholar?output=instlink&q=info:SkKdCEmUd6QJ:scholar.google.com/&hl=en&as_sdt=0,50&scillfp=3432975470163241186&oi=lle|doi-access=free}}.  Cited by {{Citation|author1=Hewitt, E |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका उद्देश्य यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है।

== एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning -->

[[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के एकरूप है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]होने देना {{math|''f''}} ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मानचित्र करता है {{mvar|x}} के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए {{mvar|f}} पर {{mvar|x}}. यह समारोह लिखा है {{math|''f''{{′}}}} और इसे व्युत्पन्न कार्य या व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}.

कभी-कभी {{math|''f''}} इसके अधिक्षेत्र के अधिकांश बिंदुओं पर व्युत्पन्न है, लेकिन सभी नहीं। वह कार्य जिसका मूल्य at {{mvar|a}} एकरूपी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} जब भी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} परिभाषित किया गया है और कहीं और अपरिभाषित है, इसे व्युत्पन्न भी कहा जाता है {{math|''f''}}. यह अभी भी एक कार्य है, लेकिन इसका अधिक्षेत्र के अधिक्षेत्र से छोटा हो सकता है {{math|''f''}}.

इस विचार का उपयोग करते हुए, विवेक कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)|संचालक(गणित)]] है जिसका अधिक्षेत्र उन सभी कार्यों का निर्धारित है जिनके अधिक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक निर्धारित है। यदि हम इस संचालक को निरूपित करते हैं {{math|''D''}}, फिर {{math|''D''(''f'')}} कार्य है {{math|''f''{{′}}}}. तब से {{math|''D''(''f'')}} एक कार्य है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है {{mvar|a}}. व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, {{math|''D''(''f'')(''a'') {{=}} ''f''{{′}}(''a'')}}.

तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है:

परिचालक {{math|''D''}} यद्यपि, अलग-अलग अंको पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह केवल कार्यों पर परिभाषित किया गया है:

क्योंकि का उत्पादन {{math|''D''}} एक कार्य है, का प्रक्षेपण {{math|''D''}} एक बिंदु पर मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कब {{math|''D''}} चौकोर कार्य पर लागू होता है, {{math|''x'' ↦ ''x''²}}, {{math|''D''}} दोहरीकरण समारोह को प्रक्षेपण करता है {{math|''x'' ↦ 2''x''}} जिसे हमने नाम दिया है {{math|''f''(''x'')}}. इस प्रक्षेपण कार्य का मूल्यांकन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है {{math|''f''(1) {{=}} 2}}, {{math|''f''(2) {{=}} 4}}, और इसी तरह।

होने देना {{math|''f''}} एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो {{math|''f'' ′}} इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न {{math|''f'' ′}}(यदि है तो) लिखा हुआ है {{math|''f'' ′′}} और का [[दूसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह उपस्थित है, लिखा गया है {{math|''f'' ′′′}} का [[तीसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह उपस्थित है, तो {{math|''n''}}वें व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में {{math|(''n''−1)}}वें व्युत्पन्न। इन पुनरावर्ती गए व्युत्पन्न को उच्च-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है। {{math|''n''}}'}}वें अवकलज को क्रम का अवकलज भी कहा जाता है {{math|''n''}} और # लैग्रेंज का अंकन {{math|''f'' ^(''n'')}}.

यदि {{math|''x''(''t'')}} समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''t''}}, फिर के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न {{math|''x''}} भौतिकी में विशिष्ट व्याख्याएँ हैं। पहला व्युत्पन्न {{math|''x''}} वस्तु का वेग है। दूसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[त्वरण]] है। तीसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[झटका (भौतिकी)|झटका(भौतिकी)]] है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न के {{math|''x''}} हैं उछाल, गुर्राना, भड़कना, और लोकप्रिय; [[खगोल भौतिकी]] के लिए सबसे अधिक लागू।

एक समारोह {{math|''f''}} व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है(उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, समान ही {{math|''f''}} एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो

गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है <math>x</math> द्वारा दिया गया है

{{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है <math>x</math>, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है {{math|''k''}}प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न {{math|''k''}} लेकिन नहीं {{math|(''k'' + 1)}}वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है {{math|''k''}} उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैं{{math|k}} बार अलग करने योग्य है। अगर इसके अपवाद {{math|''k''}}वां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है {{math|''C^k''}}.(यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है {{math|''k''}} व्युत्पन्न, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink| सहजता|उदहारण}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या सहजता कहलाता है।

वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक [[भेदभाव नियम|विवेक नियमों]] द्वारा, यदि श्रेणी का बहुपद {{math|''n''}} विभेदित है {{math|''n''}} समय, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे उपस्थित हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं।

एक समारोह के व्युत्पन्न {{math|''f''}} एक बिंदु पर {{math|''x''}} उस कार्य के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करें {{math|''x''}}. उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''}} तब दो बार अवकलनीय है

यदि {{math|''f''}} असीम रूप से भिन्न है, तो यह [[टेलर श्रृंखला]] की शुरुआत है {{math|''f''}} पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' + ''h''}} चारों शैली {{math|''x''}}.

एक बिंदु जहां किसी कार्य का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है।<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^3</math>, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^\frac{1}{3}</math>. एक मोड़ बिंदु पर, एक कार्य उत्तल कार्य होने से अवतल कार्य या इसके विपरीत होने पर विपर्येण करता है।

{{Main|Leibniz's अंकन पद्धति}}

प्रतीक <math>dx</math>, <math>dy</math>, तथा <math>\frac{dy}{dx}</math> 1675 में [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] द्वारा पेश किए गए थे।<ref>Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)</ref> यह तब भी सामान्यतः प्रयोग किया जाता है जब समीकरण {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच कार्यात्मक संबंध के रूप में देखा जाता है। फिर पहले व्युत्पन्न द्वारा निरूपित किया जाता है