अवकलज: Difference between revisions
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{{about|शब्द के रूप में कलन प्रयोग किया जाता है|विषय का एक कम तकनीकी अवलोकन|अंतर कलन|अन्य उपयोग|}} | |||
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{{Short description|Instantaneous rate of change (mathematics)}} | {{Short description|Instantaneous rate of change (mathematics)}} | ||
{{good article}} | {{good article}} | ||
[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक | [[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। [[स्पर्शरेखा]] रेखा का [[ढलान]] चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।]] | ||
{{Calculus |differential}} | {{Calculus |differential}} | ||
गणित में, | गणित में, वास्तविक चर के एक प्रकार्य का व्युत्पन्न इसके तर्क(निविष्ट मान) में परिवर्तन के संबंध में प्रकार्य मान(प्रक्षेपण मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | ||
व्युत्पन्न | किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न जब उपस्थित होता है, तो उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर [[स्पर्शरेखा]] का ढलान होता है। स्पर्शरेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है। | ||
व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए समूहीकृत किया जा सकता है। इस सामूहीकरण में, व्युत्पन्न की एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र(उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्यूह]]([[मैट्रिक्स (गणित)|गणित)]] है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी [[गणना]] स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह [[ग्रेडिएंट वेक्टर|प्रवणता संवाहक]] में कम हो जाता है। | |||
व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को '[[antiderivative|विरोधी विशिष्टीकरण]]' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}} | |||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
वास्तविक चर f(x) का एक फलन इसके प्रांत के एक बिंदु a पर अवकलनीय है, यदि इसके प्रांत में एक खुला अंतराल I होता है जिसमें a सम्मिलित है, और जिसकी सीमा निम्न होती है: | |||
:<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | :<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | ||
इसका उद्देश्य यह है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] <math>\varepsilon</math> के लिए(यहां तक कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या <math>\delta</math> ऐसे उपस्थित होती है, जैसे कि, प्रत्येक h के लिए <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और | |||
:<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | :<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | ||
जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष | जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं(देखें(ε, δ)-सीमा की परिभाषा)। | ||
यदि | यदि फलन {{mvar|f}} पर {{mvar|a}} अवकलनीय है, यानी अगर सीमा {{mvar|L}} उपस्थित है, तो इस सीमा को {{mvar|f}} पर {{mvar|a}} का व्युत्पन्न और निरूपित <math>f'(a)</math> कहा जाता है,({{math|''a''}} के प्रमुख {{math|''f''}} के रूप में पढ़ें) या <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math>({{math|''f''}} के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या {{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink|| प्रतीकांकन (सूचना )}}, नीचे | ||
== निरंतरता और भिन्नता == | == निरंतरता और भिन्नता == | ||
[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस | [[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है(विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि f, a पर अवकलनीय है, तो ''f'' भी ''a'' पर निरंतर होना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, कोई बिंदु a चुनें और f को चरण फलन होने दें जो a से कम सभी x के लिए मान 1 लौटाता है, और a से अधिक या उसके बराबर सभी x के लिए भिन्न मान 10 लौटाता है, f का a पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता। यदि h ऋणात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, अतः a से a + h तक की छेदक रेखा बहुत खड़ी है, और वैसे ही h शून्य की ओर जाता है जैसे ढलान अनंत की ओर जाती है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: a से a + h तक की छेदक रेखा का ढाल शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं है। | ||
[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष | [[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।]]यद्यपि, समान ही कोई कार्य किसी बिंदु पर निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए,f(x) = |x| द्वारा दिया गया निरपेक्ष मान फलन x = 0 पर निरंतर है, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि h धनात्मक है, तो 0 से h तक छेदक रेखा का ढाल एक होता है, जबकि यदि h ऋणात्मक है, तो 0 से h तक की छेदक रेखा का ढाल ऋणात्मक है। इसे रेखांकन के रूप में x = 0 पर लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है। यहां तक कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य उस बिंदु पर अलग-अलग नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, f(x) = x1/3 द्वारा दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। | ||
सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक | सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक व्युत्पन्न होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई व्युत्पन्न नहीं होता। | ||
अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या [[लगभग हर जगह]] | अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या इतस्ततः [[लगभग हर जगह|हर जगह]] व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य [[मोनोटोन समारोह|एकदिष्ट फलन]] या [[लिप्सचिट्ज़ समारोह|लिप्सचिट्ज़ फलन]] है, तो यह सत्य है। यद्यपि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब [[वीयरस्ट्रैस समारोह|वीयरस्ट्रैस फलन]] के रूप में जाना जाता है। 1931 में, [[स्टीफन बानाच]] ने सिद्ध किया कि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न वाले कार्य का निर्धारित सभी निरंतर कार्य के स्थान पर एक [[अल्प सेट|अल्प निर्धारित]] है।<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia Math.|issue=3|year=1931|volume=3|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|postscript=.|url=https://scholar.google.com/scholar?output=instlink&q=info:SkKdCEmUd6QJ:scholar.google.com/&hl=en&as_sdt=0,50&scillfp=3432975470163241186&oi=lle|doi-access=free}}. Cited by {{Citation|author1=Hewitt, E |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका उद्देश्य यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है। | ||
== एक | == एक फलन के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning --> | ||
[[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के | [[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के एकरूप है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]मान लीजिए कि f एक ऐसा फलन है जिसके प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्नहै। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु x को मानचित्र करता है x पर f के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए। इसे फलन f' लिखा जाता है और इसे व्युत्पन्न फलन या f का व्युत्पन्न कहते हैं। | ||
कभी-कभी | कभी-कभी f का व्युत्पन्न अधिक से अधिक होता है, लेकिन सभी का नहीं, इसके अनुक्षेत्र के अंको का। वह फलन जिसका मान a f′(a) के बराबर होता है जब भी f′(a) परिभाषित होता है और अन्यत्र अपरिभाषित होता है, उसे f का व्युत्पन्न भी कहा जाता है। यह अभी भी एक फलन है, लेकिन इसका प्रांत f के प्रांत से छोटा हो सकता है। | ||
इस विचार का उपयोग करते हुए, | इस विचार का उपयोग करते हुए, विवेक कार्यों का कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)|संचालक(गणित)]] है जिसका अधिक्षेत्र उन सभी कार्यों का निर्धारित है जिनके अधिक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक निर्धारित है। यदि हम इस संकारक को D से निरूपित करते हैं, तो D(f) का फलन f′ है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु a पर किया जा सकता हैै। व्युत्पन्न फलन की परिभाषा के द्वारा, {{math|''D''(''f'')(''a'') {{=}} ''f''{{′}}(''a'')}}. | ||
तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण | तुलना के लिए, f(x) = 2x द्वारा दिए गए दोहरीकरण फलन पर विचार करें , {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
1 &{}\mapsto 2,\\ | 1 &{}\mapsto 2,\\ | ||
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3 &{}\mapsto 6. | 3 &{}\mapsto 6. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
परिचालक {{math|''D''}} | परिचालक {{math|''D''}} यद्यपि, अलग-अलग नंबरों पर परिभाषित नहीं है। यह केवल कार्यों पर परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\ | D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\ | ||
| Line 52: | Line 49: | ||
D\left(x \mapsto x^2\right) &= (x \mapsto 2\cdot x). | D\left(x \mapsto x^2\right) &= (x \mapsto 2\cdot x). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
क्योंकि का | क्योंकि D का प्रक्षेपण एक कार्य है, D के प्रक्षेपण का मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब ''D'' को चौकोर कार्य पर लागू किया जाता है, ''x'' ↦ ''x''<sup>2</sup>, D दोहरीकरण कार्य x ↦ 2x को प्रक्षेपण करता है, जिसे हमने f(x) नाम दिया है। इस प्रक्षेपण कार्य का मूल्यांकन f(1)= 2, f(2)= 4, और इसी तरह प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। | ||
== | ==उच्च व्युत्पन्न == | ||
मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है और f ′ इसका व्युत्पन्न है। यदि f<nowiki>' का व्युत्पन्न(यदि इसमें एक है) को f'' लिखा जाता है और इसे f का दूसरा व्युत्पन्न कहते हैं। इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का अवकलज, यदि उसका अस्तित्व है, को f'</nowiki> लिखा जाता है तो उसे f का तीसरा व्युत्पन्न कहा जाता हैैं। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, ''n''th व्युत्पन्न को(n−1)th व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह अस्तित्व में है। इन पुनरावर्ती गए व्युत्पन्न को उच्च-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है। ''n''th व्युत्पन्न को कोटि n का व्युत्पन्न भी कहा जाता है और इसे f(n) से निरूपित किया जाता है।. | |||
यदि | यदि x(t) समय t पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, तब x के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न की भौतिकी में विशिष्ट व्याख्या होती है। पहला व्युत्पन्न {{math|''x''}} वस्तु का वेग है। दूसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[त्वरण]] है। तीसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[झटका (भौतिकी)|झटका(भौतिकी)]] है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न {{math|''x''}} हैं उछाल, लोकप्रिय; [[खगोल भौतिकी]] के लिए सबसे अधिक लागू। | ||
एक | एक फलन {{math|''f''}} व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है(उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, समान ही {{math|''f''}} एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लेते हैं | ||
:<math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | :<math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | ||
गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न | गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न <math>x</math> द्वारा दिया गया है | ||
:<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | :<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | ||
f'(x) x पर निरपेक्ष मान फलन का दुगुना है, और इसका शून्य पर कोई व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक कार्य में प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए kth व्युत्पन्न हो सकता है, लेकिन(k + 1) वें व्युत्पन्न नहीं हो सकता। एक कार्य जिसमें k क्रमिक व्युत्पन्न होते हैं, k गुना अवकलनीय कहलाता है। यदि इसके अलावा kth व्युत्पन्न निरंतर है, तो कार्य अवकलनीयता वर्ग ''C<sup>k</sup>'' का कहा जाता है।(''k'' व्युत्पन्न होने की तुलना में यह एक मजबूत स्थिति है, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink| सहजता|उदहारण}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक व्युत्पन्न होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या सहजता कहलाता है। | |||
वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मानक | वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मानक विभेदन नियमों के अनुसार, यदि n श्रेणी के एक बहुपद को n बार अवकलित किया जाता है, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे उपस्थित हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं। | ||
एक बिंदु x पर एक कार्य f के व्युत्पन्न उस कार्य को x के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''}} दो बार अवकलनीय है, तब | |||
:<math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math> | :<math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math> | ||
इस अर्थ में कि | इस अर्थ में कि | ||
:<math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2} = 0.</math> | :<math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2} = 0.</math> | ||
यदि {{math|''f''}} असीम रूप से भिन्न है, तो यह | |||