अवकलज: Difference between revisions
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गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | ||
किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह उपस्थित होता है, उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर [[स्पर्शरेखा]] का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को | किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह उपस्थित होता है, उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर [[स्पर्शरेखा]] का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है। | ||
व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्यूह]] [[मैट्रिक्स (गणित)|(गणित)]] है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी [[गणना]] स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह [[ग्रेडिएंट वेक्टर|प्रवणता संवाहक]] में कम हो जाता है। | व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्यूह]] [[मैट्रिक्स (गणित)|(गणित)]] है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी [[गणना]] स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह [[ग्रेडिएंट वेक्टर|प्रवणता संवाहक]] में कम हो जाता है। | ||
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3 &{}\mapsto 6. | 3 &{}\mapsto 6. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
परिचालक {{math|''D''}} | परिचालक {{math|''D''}} यद्यपि, अलग-अलग अंको पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह केवल कार्यों पर परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\ | D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\ | ||
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एक बिंदु जहां किसी कार्य का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है।<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^3</math>, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^\frac{1}{3}</math>. एक मोड़ बिंदु पर, एक कार्य उत्तल कार्य होने से अवतल कार्य या इसके विपरीत होने पर विपर्येण करता है। | एक बिंदु जहां किसी कार्य का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है।<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^3</math>, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^\frac{1}{3}</math>. एक मोड़ बिंदु पर, एक कार्य उत्तल कार्य होने से अवतल कार्य या इसके विपरीत होने पर विपर्येण करता है। | ||
== | == अंकन (विवरण) == | ||
{{Main| | {{Main| अंकन पद्धति के प्रति विशिष्टीकरण }} | ||
=== लीबनिज का अंकन === | === लीबनिज का अंकन === | ||
{{Main|Leibniz's | {{Main|Leibniz's अंकन पद्धति}} | ||
प्रतीक <math>dx</math>, <math>dy</math>, तथा <math>\frac{dy}{dx}</math> 1675 में [[Gottfried Leibniz]] द्वारा पेश किए गए थे।<ref>Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)</ref> यह तब भी | प्रतीक <math>dx</math>, <math>dy</math>, तथा <math>\frac{dy}{dx}</math> 1675 में [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] द्वारा पेश किए गए थे।<ref>Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)</ref> यह तब भी सामान्यतः प्रयोग किया जाता है जब समीकरण {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच कार्यात्मक संबंध के रूप में देखा जाता है। फिर पहले व्युत्पन्न द्वारा निरूपित किया जाता है | ||
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}, \text{ or }\frac{d}{dx}f,</math> | : <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}, \text{ or }\frac{d}{dx}f,</math> | ||
| Line 95: | Line 95: | ||
के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>y = f(x)</math>. ये व्युत्पन्न संचालक के कई अनुप्रयोगों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। उदाहरण के लिए, | के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>y = f(x)</math>. ये व्युत्पन्न संचालक के कई अनुप्रयोगों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math> | :<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math> | ||
Leibniz's के अंकन के साथ, हम का व्युत्पन्न लिख सकते हैं <math>y</math> बिंदु पर <math>x = a</math> दो अलग-अलग तरीकों से: | |||
: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math> | : <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math> | ||
Leibniz's के अंकन से विभेदीकरण (हर में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति मिलती है, जो आंशिक व्युत्पन्न में प्रासंगिक है। इसकी उपयोग [[श्रृंखला नियम]] को लिखने के लिए भी की जा सकती है{{#tag:ref|In the formulation of calculus in terms of limits, the ''du'' symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to ''du'' by itself, but only as part of the symbol ''du''/''dx''. Others define ''dx'' as an independent variable, and define ''du'' by {{nowrap|1=''du'' = ''dx''⋅''f''{{′}}(''x'')}}. In [[non-standard analysis]] ''du'' is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the [[exterior derivative]] of a function ''u''. See [[differential (infinitesimal)]] for further information.|group=Note}} | |||
: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math> | : <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math> | ||
=== लैग्रेंज का अंकन === | === लैग्रेंज का अंकन === | ||
कभी-कभी | कभी-कभी मुख्य अंकन पद्धति के रूप में जाना जाता है,<ref>{{cite web|title=विभेदन का अंकन|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|access-date=24 October 2012|year=1998}}</ref> विवेक के लिए सबसे सामान्य आधुनिक अंकन पद्धति में से एक [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] के कारण है और मुख्य (प्रतीक) का उपयोग करता है, ताकि किसी कार्य का व्युत्पन्न हो सके <math>f</math> निरूपित किया जाता है <math>f'</math>. इसी तरह, दूसरे और तीसरे व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है | ||
:<math>(f')'=f''</math> तथा <math>(f'')'=f'''.</math> | :<math>(f')'=f''</math> तथा <math>(f'')'=f'''.</math> | ||
इस बिंदु से परे व्युत्पन्न की संख्या को निरूपित करने के लिए, कुछ लेखक [[सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट]] में | इस बिंदु से परे व्युत्पन्न की संख्या को निरूपित करने के लिए, कुछ लेखक [[सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट|अधिलेख]] में प्राचीन रोमी अंकों का उपयोग करते हैं, जबकि अन्य संख्या को कोष्ठक में रखते हैं: | ||
:<math>f^{\mathrm{iv}}</math> या <math>f^{(4)}.</math> | :<math>f^{\mathrm{iv}}</math> या <math>f^{(4)}.</math> | ||
बाद वाला अंकन संकेतन प्राप्त करने के लिए सामूल्य्यीकृत करता है <math>f^{(n)}</math> के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>f</math> - यह संकेतन सबसे उपयोगी होता है जब हम व्युत्पन्न के बारे में एक कार्य के रूप में बात करना चाहते हैं, क्योंकि इस मामले में लाइबनिज संकेतन बोझिल हो सकता है। | बाद वाला अंकन संकेतन प्राप्त करने के लिए सामूल्य्यीकृत करता है <math>f^{(n)}</math> के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>f</math> - यह संकेतन सबसे उपयोगी होता है जब हम व्युत्पन्न के बारे में एक कार्य के रूप में बात करना चाहते हैं, क्योंकि इस मामले में लाइबनिज संकेतन बोझिल हो सकता है। | ||
=== न्यूटन का अंकन === | === न्यूटन का अंकन === | ||
अवकलन के लिए न्यूटन के अंकन, जिसे डॉट संकेतन भी कहा जाता है, समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य | अवकलन के लिए न्यूटन के अंकन, जिसे डॉट संकेतन भी कहा जाता है, समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य नाम पर एक बिंदु रखता है। यदि <math>y = f(t)</math>, फिर | ||
:<math>\dot{y}</math> तथा <math>\ddot{y}</math> | :<math>\dot{y}</math> तथा <math>\ddot{y}</math> | ||
निरूपित, क्रमशः, के पहले और दूसरे व्युत्पन्न <math>y</math>. यह संकेतन विशेष रूप से समय या चाप की लंबाई के संबंध में व्युत्पन्न के लिए उपयोग किया जाता है। यह | निरूपित, क्रमशः, के पहले और दूसरे व्युत्पन्न <math>y</math>. यह संकेतन विशेष रूप से समय या चाप की लंबाई के संबंध में व्युत्पन्न के लिए उपयोग किया जाता है। यह सामान्यतः पर भौतिकी और [[अंतर ज्यामिति]] में [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] में प्रयोग किया जाता है।<ref>{{Cite book|title=आंशिक अंतर समीकरण|last=Evans|first=Lawrence|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=0-8218-0772-2|pages=63}}</ref><ref>{{Cite book|title=विभेदक ज्यामिति|last=Kreyszig|first=Erwin|publisher=Dover|year=1991|isbn=0-486-66721-9|location=New York|pages=1}}</ref> डॉट अंकन पद्धति , यद्यपि उच्च-अनुक्रम व्युत्पन्न (अनुक्रम 4 या अधिक) के लिए असहनीय हो जाता है और कई स्वतंत्र चर के साथ काम नहीं कर सकता। | ||
===यूलर का अंकन=== | ===यूलर का अंकन=== | ||
[[लियोनहार्ड यूलर]] का अंकन अवकल संकारक का उपयोग करता है <math>D</math>, जो एक समारोह पर लागू होता है <math>f</math> पहला व्युत्पन्न देने के लिए <math>Df</math>. Nth व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है <math>D^nf</math>. | [[लियोनहार्ड यूलर]] का अंकन अवकल संकारक का उपयोग करता है <math>D</math>, जो एक समारोह पर लागू होता है <math>f</math> पहला व्युत्पन्न देने के लिए <math>Df</math>. Nth व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है <math>D^nf</math>. | ||
यदि {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} एक आश्रित चर है, तो | यदि {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} एक आश्रित चर है, तो प्रायः स्वतंत्र चर x को स्पष्ट करने के लिए पादांक x को D से जोड़ा जाता है। | ||
इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है | इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है | ||
:<math>D_x y</math> या <math>D_x f(x)</math>, | :<math>D_x y</math> या <math>D_x f(x)</math>, | ||
यद्यपि यह | यद्यपि यह पादांक प्रायः छोड़ दिया जाता है जब चर x को समझा जाता है, उदाहरण के लिए जब यह अभिव्यक्ति में उपस्थित एकमात्र स्वतंत्र चर है। | ||
रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है। | रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है। | ||
==गणना के नियम== | ==गणना के नियम== | ||
{{Main| | {{Main|विशिष्टीकरण के नियम}} | ||
एक कार्य के व्युत्पन्न, सिद्धांत रूप में, अंतर भागफल पर विचार करके और इसकी सीमा की गणना करके परिभाषा से गणना की जा सकती है। व्यवहार में, एक बार कुछ सरल कार्यों के व्युत्पन्न ज्ञात हो जाने के बाद, सरल कार्यों से अधिक जटिल कार्यों के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए अन्य कार्यों के व्युत्पन्न को नियमों का उपयोग करके अधिक आसानी से गणना की जाती है। | एक कार्य के व्युत्पन्न, सिद्धांत रूप में, अंतर भागफल पर विचार करके और इसकी सीमा की गणना करके परिभाषा से गणना की जा सकती है। व्यवहार में, एक बार कुछ सरल कार्यों के व्युत्पन्न ज्ञात हो जाने के बाद, सरल कार्यों से अधिक जटिल कार्यों के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए अन्य कार्यों के व्युत्पन्न को नियमों का उपयोग करके अधिक आसानी से गणना की जाती है। | ||
=== | === मूलतत्त्व कार्यों के लिए नियम === | ||
यहां सबसे सामूल्य्य | यहां सबसे सामूल्य्य मूलतत्त्व कार्यों के व्युत्पन्न के नियम हैं, जहां एक वास्तविक संख्या है। | ||
* [[शक्ति नियम]]: | * [[शक्ति नियम]]: | ||
*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math> | *: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math> | ||
<!--DO NOT ADD TO THIS LIST--> | <!--DO NOT ADD TO THIS LIST--> | ||
* | * '''<u>घातांकीकार्य और लघुगणक कार्य:</u>''' | ||
*: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math> | *: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math> | ||
*: <math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a),\qquad a > 0</math> | *: <math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a),\qquad a > 0</math> | ||
| Line 153: | Line 151: | ||
==={{anchor|Rules}}संयुक्त कार्यों के लिए नियम === | ==={{anchor|Rules}}संयुक्त कार्यों के लिए नियम === | ||
मूलतत्त्व कार्यों के व्युत्पन्न से कार्य संरचना के व्युत्पन्न को निकालने के लिए यहां कुछ सबसे मूलतत्त्व नियम दिए गए हैं। | |||
* स्थिर नियम: यदि f(x) स्थिर है, तो | * '''<u>स्थिर नियम:</u>''' यदि f(x) स्थिर है, तो | ||
*: <math>f'(x) = 0. </math> | *: <math>f'(x) = 0. </math> | ||
* विभेदन की रैखिकता: | * '''<u>विभेदन की रैखिकता:</u>''' | ||
*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> सभी कार्यों f और g और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए<math>\alpha</math>तथा<math>\beta</math>. | *: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> सभी कार्यों f और g और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए<math>\alpha</math>तथा<math>\beta</math>. | ||
* [[प्रॉडक्ट नियम]]: | * [[प्रॉडक्ट नियम|उत्पादन नियम]]: | ||
*: <math>(fg)' = f 'g + fg' </math> सभी कार्यों के लिए | *: <math>(fg)' = f 'g + fg' </math> सभी कार्यों के लिए ''f'' और ''g''। एक विशेष मामले के रूप में, इस नियम में तथ्य शामिल है <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> जब भी <math>\alpha</math> एक स्थिर है, क्योंकि <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math> निरंतर नियम से। | ||
* [[भागफल नियम]]: | * [[भागफल नियम]]: | ||
*: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> सभी कार्यों के लिए | *: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> सभी कार्यों के लिए ''f'' और ''g'' सभी निवेश पर जहां {{nowrap|''g'' ≠ 0}}. | ||
* समग्र कार्यों के लिए चेन नियम: यदि <math>f(x) = h(g(x))</math>, फिर | * समग्र कार्यों के लिए चेन नियम: यदि <math>f(x) = h(g(x))</math>, फिर | ||
*: <math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). </math> | *: <math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). </math> | ||
=== संगणना उदाहरण === | === संगणना उदाहरण === | ||
द्वारा दिए गए कार्य का व्युत्पन्न | द्वारा दिए गए कार्य का व्युत्पन्न | ||
| Line 179: | Line 175: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
यहाँ दूसरे पद की गणना श्रृंखला नियम का उपयोग करके और तीसरे पद की गणना उत्पाद नियम का उपयोग करके की गई है। प्रारंभिक कार्यों x के ज्ञात व्युत्पन्न<sup>2</सुप>, एक्स<sup>4</sup>, sin(x), ln(x) और {{nowrap|1=exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}}, साथ ही साथ स्थिरांक 7 का भी उपयोग किया गया था। | यहाँ दूसरे पद की गणना श्रृंखला नियम का उपयोग करके और तीसरे पद की गणना उत्पाद नियम का उपयोग करके की गई है। प्रारंभिक कार्यों x के ज्ञात व्युत्पन्न<sup>2</सुप>, एक्स<sup>4</sup>, sin(x), ln(x) और {{nowrap|1=exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}}, <big>साथ ही साथ स्थिरांक 7 का भी उपयोग किया गया था।</big> | ||
== हाइपररियल्स के साथ परिभाषा == | == हाइपररियल्स के साथ परिभाषा == | ||
[[अति वास्तविक संख्या]] | [[अति वास्तविक संख्या]] विस्तारण के सापेक्ष {{math|'''R''' ⊂ {{sup|⁎}}'''R'''}} वास्तविक संख्याओं का, वास्तविक फलन का अवकलज {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} एक वास्तविक बिंदु पर {{math|''x''}} भागफल की [[छाया (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} अनंत के लिए {{math|∆''x''}}, कहाँ पे {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x'' + ∆''x'') − ''f''(''x'')}}. यहाँ का स्वाभाविक विस्तार है {{math|''f''}} हाइपररियल्स को अभी भी निरूपित किया गया है {{math|''f''}}. यहाँ कहा जाता है कि व्युत्पत्ति का अस्तित्व है यदि छाया सुचयनित अपरिमेय से स्वतंत्र है। | ||
== उच्च आयामों में == | == उच्च आयामों में == | ||
{{See also| | {{See also|वायुमार्ग गणना|बहुचर नियंत्रण गणना}} | ||
=== संवाहक -मूल्यवान कार्य === | === '''<u>संवाहक -मूल्यवान कार्य</u>''' === | ||
एक वास्तविक चर का सदिश-मूल्यवान कार्य y कुछ सदिश स्थान R में सदिशों को वास्तविक संख्याएँ भेजता है<sup>एन</sup>. एक संवाहक -मूल्यवान कार्य को इसके समन्वय कार्यों में विभाजित किया जा सकता है {{nowrap|''y''<sub>1</sub>(''t''), ''y''<sub>2</sub>(''t''), ..., ''y''<sub>''n''</sub>(''t'')}}, जिसका अर्थ है कि {{nowrap|1='''y'''(''t'') = (''y''<sub>1</sub>(''t''), ..., ''y''<sub>''n''</sub>(''t''))}}. इसमें शामिल है, उदाहरण के लिए, आर में [[पैरामीट्रिक वक्र]]<sup>2</sup> या आर<sup>3</उप>। समन्वय कार्य वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं, इसलिए व्युत्पन्न की उपरोक्त परिभाषा उन पर लागू होती है। Y(''t'') के व्युत्पन्न को [[वेक्टर (ज्यामितीय)|संवाहक (ज्यामितीय)]] के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे [[वक्रों की विभेदक ज्यामिति]] कहा जाता है, जिसके निर्देशांक समन्वय कार्यों के व्युत्पन्न हैं। वह है, | एक वास्तविक चर का सदिश-मूल्यवान कार्य y कुछ सदिश स्थान R में सदिशों को वास्तविक संख्याएँ भेजता है<sup>एन</sup>. एक संवाहक -मूल्यवान कार्य को इसके समन्वय कार्यों में विभाजित किया जा सकता है {{nowrap|''y''<sub>1</sub>(''t''), ''y''<sub>2</sub>(''t''), ..., ''y''<sub>''n''</sub>(''t'')}}, जिसका अर्थ है कि {{nowrap|1='''y'''(''t'') = (''y''<sub>1</sub>(''t''), ..., ''y''<sub>''n''</sub>(''t''))}}. इसमें शामिल है, उदाहरण के लिए, आर में [[पैरामीट्रिक वक्र]]<sup>2</sup> या आर<sup>3</उप>। समन्वय कार्य वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं, इसलिए व्युत्पन्न की उपरोक्त परिभाषा उन पर लागू होती है। Y(''t'') के व्युत्पन्न को [[वेक्टर (ज्यामितीय)|संवाहक (ज्यामितीय)]] के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे [[वक्रों की विभेदक ज्यामिति]] कहा जाता है, जिसके निर्देशांक समन्वय कार्यों के व्युत्पन्न हैं। वह है, | ||
:<math>\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math> | :<math>\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math> | ||
| Line 233: | Line 228: | ||
=== दिशात्मक व्युत्पन्न === | === दिशात्मक व्युत्पन्न === | ||
{{Main|Directional derivative}} | {{Main|Directional derivative}} | ||
यदि f 'R' पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है<sup>n</sup>, तो f का आंशिक व्युत्पन्न निर्देशांक अक्षों की दिशा में इसकी भिन्नता को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि f, x और y का एक फलन है, तो इसका आंशिक अवकलज f में x दिशा और y दिशा में परिवर्तन को मापता है। | यदि f 'R' पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है<sup>n</sup>, तो f का आंशिक व्युत्पन्न निर्देशांक अक्षों की दिशा में इसकी भिन्नता को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि f, x और y का एक फलन है, तो इसका आंशिक अवकलज f में x दिशा और y दिशा में परिवर्तन को मापता है। यद्यपि, वे सीधे किसी अन्य दिशा में f की भिन्नता को मापते नहीं हैं, जैसे कि विकर्ण रेखा के साथ {{nowrap|1=''y'' = ''x''}}. इन्हें दिशात्मक व्युत्पन्न का उपयोग करके मापा जाता है। एक संवाहक चुनें | ||
:<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math> | :<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math> | ||
बिंदु x पर v की दिशा में 'f'' की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है | बिंदु x पर v की दिशा में 'f'' की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है | ||
:<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math> | :<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math> | ||
कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमूल्य लगाना आसान हो सकता है। यूनिट संवाहक की दिशा में एक दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना में समस्या को चालू करने के लिए | कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमूल्य लगाना आसान हो सकता है। यूनिट संवाहक की दिशा में एक दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना में समस्या को चालू करने के लिए प्रायः ऐसा किया जाता है। यह कैसे काम करता है यह देखने के लिए, मूल्य लीजिए {{nowrap|1='''v''' = ''λ'''''u'''}} जहाँ u v की दिशा में एक इकाई सदिश है। स्थानापन्न {{nowrap|1=''h'' = ''k''/''λ''}} अंतर भागफल में। अंतर भागफल बन जाता है: | ||
:<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | :<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | ||
= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | = \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | ||
यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की शैली प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की शैली ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, {{nowrap|1=''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') = λ''D''<sub>'''u'''</sub>(''f'')}}. इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक व्युत्पन्न को | यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की शैली प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की शैली ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, {{nowrap|1=''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') = λ''D''<sub>'''u'''</sub>(''f'')}}. इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक व्युत्पन्न को प्रायः यूनिट वैक्टर के लिए ही मूल्या जाता है। | ||
यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | ||
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इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n</sup> सदिश स्थान 'R' के लिए<sup>मी</sup>. वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मूल्य लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की शैली बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। चूंकि हम कुल व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। | इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n</sup> सदिश स्थान 'R' के लिए<sup>मी</sup>. वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मूल्य लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की शैली बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। चूंकि हम कुल व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। | ||
एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। | एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। यद्यपि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि सामान्यतः पर वैक्टरों को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश कोअधि क्षेत्र आर में स्थित है<sup>m</sup> जबकि हर 'R' अधि क्षेत्र में स्थित है<sup>एन</sup>. इसके अलावा, व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, अंश और भाजक दोनों से एक अलग प्रकार की वस्तु। सटीक विचार करने के लिए कि {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, एक-चर व्युत्पन्न के लिए एक अलग सूत्र को अनुकूलित करना आवश्यक है जिसमें ये समस्याएं गायब हो जाती हैं। यदि {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}, तो व्युत्पन्न की सामूल्य्य परिभाषा को यह दिखाने के लिए हेरफेर किया जा सकता है कि a पर f का व्युत्पन्न अद्वितीय संख्या है {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | ||
यह इसके एकरूप है | यह इसके एकरूप है | ||
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इसलिए, "f" के कुल व्युत्पन्न की परिभाषा यह है कि यह अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है {{nowrap|''f'' ′('''a''') : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} ऐसा है कि | इसलिए, "f" के कुल व्युत्पन्न की परिभाषा यह है कि यह अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है {{nowrap|''f'' ′('''a''') : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert}{\lVert\mathbf{h}\rVert} = 0.</math> | :<math>\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert}{\lVert\mathbf{h}\rVert} = 0.</math> | ||
यहाँ h, R में एक सदिश राशि है<sup>n</sup>, इसलिए हर में मूल्यक 'R' पर मूल्यक लंबाई है<sup>एन</sup>. | यहाँ h, R में एक सदिश राशि है<sup>n</sup>, इसलिए हर में मूल्यक 'R' पर मूल्यक लंबाई है<sup>एन</sup>. यद्यपि, f′('a')'h' 'R' में एक संवाहक है<sup>m</sup>, और अंश में मूल्यदंड 'R' पर मूल्यक लंबाई है<sup>मी</sup>. यदि v एक संवाहक है जो a से शुरू होता है, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} 'f' द्वारा v का पुशफॉरवर्ड (अंतर) कहा जाता है और कभी-कभी लिखा जाता है {{nowrap|''f''<sub>∗</sub>'''v'''}}. | ||
यदि कुल व्युत्पन्न a पर उपस्थित है, तो ''f'' के सभी आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न a पर उपस्थित हैं, और सभी v के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} दिशा 'v' में f का दिशात्मक व्युत्पन्न है। यदि हम समन्वय फलन का उपयोग करके f लिखते हैं, ताकि {{nowrap|1=''f'' = (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ..., ''f''<sub>''m''</sub>)}}, तो कुल व्युत्पन्न को आव्यूह (गणित) के रूप में आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस आव्यूह को a पर ''f'' का जैकबियन आव्यूह कहा जाता है: | यदि कुल व्युत्पन्न a पर उपस्थित है, तो ''f'' के सभी आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न a पर उपस्थित हैं, और सभी v के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} दिशा 'v' में f का दिशात्मक व्युत्पन्न है। यदि हम समन्वय फलन का उपयोग करके f लिखते हैं, ताकि {{nowrap|1=''f'' = (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ..., ''f''<sub>''m''</sub>)}}, तो कुल व्युत्पन्न को आव्यूह (गणित) के रूप में आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस आव्यूह को a पर ''f'' का जैकबियन आव्यूह कहा जाता है: | ||
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किसी कार्य का कुल व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक कार्य देता है। | किसी कार्य का कुल व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक कार्य देता है। | ||
दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के कुल व्युत्पन्न का प्राकृतिक एनालॉग ए | |||