अवकलज: Difference between revisions
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[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। [[स्पर्शरेखा]] रेखा का [[ढलान]] चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के | [[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। [[स्पर्शरेखा]] रेखा का [[ढलान]] चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।]] | ||
{{Calculus |differential}} | {{Calculus |differential}} | ||
गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | ||
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एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य के अपने अधि क्षेत्र का, यदि उसके अधि क्षेत्र में एक [[खुला अंतराल]] है {{mvar|I}} युक्त {{mvar|a}}, और [[सीमा (गणित)]] | एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य के अपने अधि क्षेत्र का, यदि उसके अधि क्षेत्र में एक [[खुला अंतराल]] है {{mvar|I}} युक्त {{mvar|a}}, और [[सीमा (गणित)]] | ||
:<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | :<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | ||
उपस्थित। इसका | उपस्थित। इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>\varepsilon</math> (यहां तक कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta</math> ऐसा है कि, हर के लिए {{mvar|h}} ऐसा है कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और | ||
:<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | :<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | ||
जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)। | जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)। | ||
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== निरंतरता और भिन्नता == | == निरंतरता और भिन्नता == | ||
[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके | [[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके एकरूप {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और रूप में {{math|''h''}} शून्य की शैली में जाता है ढलान अनंत की शैली जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है। | ||
[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं | [[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।]]यद्यपि, भले ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे लेखाचित्रिक रूप से लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है {{math|''x'' {{=}} 0}}. यहां तक कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} पर अवकलनीय नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}. | ||
सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता। | सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता। | ||
अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या [[लगभग हर जगह]] व्युत्पन्न होते हैं। | अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या इतस्ततः [[लगभग हर जगह|हर जगह]] व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य एक [[मोनोटोन समारोह|एकदिष्ट समारोह]] या [[लिप्सचिट्ज़ समारोह|'''लिप्सचिट्ज़''' समारोह]] है, तो यह सत्य है। यद्यपि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब [[वीयरस्ट्रैस समारोह]] के रूप में जाना जाता है। 1931 में, [[स्टीफन बानाच]] ने सिद्ध किया कि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न वाले कार्य का निर्धारित सभी निरंतर कार्य के स्थान पर एक [[अल्प सेट|अल्प निर्धारित]] है।<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia Math.|issue=3|year=1931|volume=3|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|postscript=.|url=https://scholar.google.com/scholar?output=instlink&q=info:SkKdCEmUd6QJ:scholar.google.com/&hl=en&as_sdt=0,50&scillfp=3432975470163241186&oi=lle|doi-access=free}}. Cited by {{Citation|author1=Hewitt, E |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका उद्देश्य यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है। | ||
== एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning --> | == एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning --> | ||
[[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के | [[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के एकरूप है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]होने देना {{math|''f''}} ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मैप करता है {{mvar|x}} के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए {{mvar|f}} पर {{mvar|x}}. यह समारोह लिखा है {{math|''f''{{′}}}} और इसे व्युत्पन्न फंक्शन या व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}. | ||
कभी-कभी {{math|''f''}} इसके अधि क्षेत्र के अधिकांश बिंदुओं पर व्युत्पन्न है, लेकिन सभी नहीं। वह कार्य जिसका मूल्य at {{mvar|a}} | कभी-कभी {{math|''f''}} इसके अधि क्षेत्र के अधिकांश बिंदुओं पर व्युत्पन्न है, लेकिन सभी नहीं। वह कार्य जिसका मूल्य at {{mvar|a}} एकरूपी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} जब भी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} परिभाषित किया गया है और कहीं और अपरिभाषित है, इसे व्युत्पन्न भी कहा जाता है {{math|''f''}}. यह अभी भी एक कार्य है, लेकिन इसका अधि क्षेत्र के अधि क्षेत्र से छोटा हो सकता है {{math|''f''}}. | ||
इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसका अधि क्षेत्र उन सभी कार्यों का | इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसका अधि क्षेत्र उन सभी कार्यों का निर्धारित है जिनके अधि क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक निर्धारित है। यदि हम इस ऑपरेटर को निरूपित करते हैं {{math|''D''}}, फिर {{math|''D''(''f'')}} कार्य है {{math|''f''{{′}}}}. तब से {{math|''D''(''f'')}} एक कार्य है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है {{mvar|a}}. व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, {{math|''D''(''f'')(''a'') {{=}} ''f''{{′}}(''a'')}}. | ||
तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है: | तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है: | ||
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इस अर्थ में कि | इस अर्थ में कि | ||
:<math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2} = 0.</math> | :<math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2} = 0.</math> | ||
यदि {{math|''f''}} असीम रूप से भिन्न है, तो यह [[टेलर श्रृंखला]] की शुरुआत है {{math|''f''}} पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' + ''h''}} चारों | यदि {{math|''f''}} असीम रूप से भिन्न है, तो यह [[टेलर श्रृंखला]] की शुरुआत है {{math|''f''}} पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' + ''h''}} चारों शैली {{math|''x''}}. | ||
===विभक्ति बिंदु=== | ===विभक्ति बिंदु=== | ||
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इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है | इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है | ||
:<math>D_x y</math> या <math>D_x f(x)</math>, | :<math>D_x y</math> या <math>D_x f(x)</math>, | ||
यद्यपि यह सबस्क्रिप्ट अक्सर छोड़ दिया जाता है जब चर x को समझा जाता है, उदाहरण के लिए जब यह अभिव्यक्ति में उपस्थित एकमात्र स्वतंत्र चर है। | |||
रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है। | रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है। | ||
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:<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | :<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | ||
= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | = \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | ||
यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की | यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की शैली प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की शैली ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, {{nowrap|1=''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') = λ''D''<sub>'''u'''</sub>(''f'')}}. इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक व्युत्पन्न को अक्सर यूनिट वैक्टर के लिए ही मूल्या जाता है। | ||
यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | ||
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:<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) + f(\mathbf{a}) | :<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{a} + \mathbf{w}) + f(\mathbf{a}) | ||
\approx f'(\mathbf{a} + \mathbf{v})\mathbf{w} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}.</math> | \approx f'(\mathbf{a} + \mathbf{v})\mathbf{w} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}.</math> | ||
अगर हम मूल्यते हैं कि वी छोटा है और व्युत्पन्न लगातार एक में बदलता रहता है, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''' + '''v''')}} | अगर हम मूल्यते हैं कि वी छोटा है और व्युत्पन्न लगातार एक में बदलता रहता है, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''' + '''v''')}}इतस्ततः एकरूप है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}}, और इसलिए दाहिनी शैलीइतस्ततः शून्य है। के साथ रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करके बाएं हाथ की शैली को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है {{nowrap|'''v''' + '''w'''}} वी के लिए प्रतिस्थापित। रैखिक सन्निकटन सूत्र का अर्थ है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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&\approx f'(\mathbf{a})(\mathbf{v} + \mathbf{w}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{v} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}. | &\approx f'(\mathbf{a})(\mathbf{v} + \mathbf{w}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{v} - f'(\mathbf{a})\mathbf{w}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n</sup> सदिश स्थान 'R' के लिए<sup>मी</sup>. वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मूल्य लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की | इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n</sup> सदिश स्थान 'R' के लिए<sup>मी</sup>. वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मूल्य लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की शैली बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। चूंकि हम कुल व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। | ||
एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। हालांकि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि आमतौर पर वैक्टरों को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश कोअधि क्षेत्र आर में स्थित है<sup>m</sup> जबकि हर 'R' अधि क्षेत्र में स्थित है<sup>एन</sup>. इसके अलावा, व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, अंश और भाजक दोनों से एक अलग प्रकार की वस्तु। सटीक विचार करने के लिए कि {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, एक-चर व्युत्पन्न के लिए एक अलग सूत्र को अनुकूलित करना आवश्यक है जिसमें ये समस्याएं गायब हो जाती हैं। यदि {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}, तो व्युत्पन्न की सामूल्य्य परिभाषा को यह दिखाने के लिए हेरफेर किया जा सकता है कि a पर f का व्युत्पन्न अद्वितीय संख्या है {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} ऐसा है कि | एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। हालांकि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि आमतौर पर वैक्टरों को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश कोअधि क्षेत्र आर में स्थित है<sup>m</sup> जबकि हर 'R' अधि क्षेत्र में स्थित है<sup>एन</sup>. इसके अलावा, व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, अंश और भाजक दोनों से एक अलग प्रकार की वस्तु। सटीक विचार करने के लिए कि {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, एक-चर व्युत्पन्न के लिए एक अलग सूत्र को अनुकूलित करना आवश्यक है जिसमें ये समस्याएं गायब हो जाती हैं। यदि {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}, तो व्युत्पन्न की सामूल्य्य परिभाषा को यह दिखाने के लिए हेरफेर किया जा सकता है कि a पर f का व्युत्पन्न अद्वितीय संख्या है {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | ||
यह इसके | यह इसके एकरूप है | ||
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)|}{|h|} = 0</math> | :<math>\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)|}{|h|} = 0</math> | ||
क्योंकि किसी कार्य की सीमा शून्य हो जाती है यदि और केवल यदि कार्य के पूर्ण मूल्य की सीमा शून्य हो जाती है। यह अंतिम सूत्र मूल्यक (गणित) के साथ पूर्ण मूल्यों को बदलकर कई-चर स्थिति में अनुकूलित किया जा सकता है। | क्योंकि किसी कार्य की सीमा शून्य हो जाती है यदि और केवल यदि कार्य के पूर्ण मूल्य की सीमा शून्य हो जाती है। यह अंतिम सूत्र मूल्यक (गणित) के साथ पूर्ण मूल्यों को बदलकर कई-चर स्थिति में अनुकूलित किया जा सकता है। | ||
| Line 284: | Line 284: | ||
कुल व्युत्पन्न एफ'('ए') का अस्तित्व सभी आंशिक व्युत्पन्न के अस्तित्व से सख्ती से मजबूत है, लेकिन यदि आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और निरंतर हैं, तो कुल व्युत्पन्न उपस्थित है, जैकबियन द्वारा दिया गया है, और लगातार निर्भर करता है एक पर'। | कुल व्युत्पन्न एफ'('ए') का अस्तित्व सभी आंशिक व्युत्पन्न के अस्तित्व से सख्ती से मजबूत है, लेकिन यदि आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और निरंतर हैं, तो कुल व्युत्पन्न उपस्थित है, जैकबियन द्वारा दिया गया है, और लगातार निर्भर करता है एक पर'। | ||
कुल व्युत्पन्न की परिभाषा एक चर में व्युत्पन्न की परिभाषा को समाहित करती है। यही है, यदि f वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, तो कुल व्युत्पन्न उपस्थित है यदि और केवल सामूल्य्य व्युत्पन्न उपस्थित है। जेकोबियन आव्यूह 1×1 आव्यूह में कम हो जाता है जिसका एकमात्र प्रवेश व्युत्पन्न f'(x) है। यह 1×1 आव्यूह उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जो {{nowrap|''f''(''a'' + ''h'') − (''f''(''a'') + ''f'' ′(''a'')''h'')}} | कुल व्युत्पन्न की परिभाषा एक चर में व्युत्पन्न की परिभाषा को समाहित करती है। यही है, यदि f वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, तो कुल व्युत्पन्न उपस्थित है यदि और केवल सामूल्य्य व्युत्पन्न उपस्थित है। जेकोबियन आव्यूह 1×1 आव्यूह में कम हो जाता है जिसका एकमात्र प्रवेश व्युत्पन्न f'(x) है। यह 1×1 आव्यूह उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जो {{nowrap|''f''(''a'' + ''h'') − (''f''(''a'') + ''f'' ′(''a'')''h'')}}इतस्ततः शून्य है, दूसरे शब्दों में कि | ||
:<math>f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h.</math> | :<math>f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h.</math> | ||
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किसी कार्य का कुल व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक कार्य देता है। | किसी कार्य का कुल व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक कार्य देता है। | ||
दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के कुल व्युत्पन्न का प्राकृतिक एनालॉग एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा बंडल पर कोई कार्य नहीं है, और कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का एनालॉग, जिसे [[जेट (गणित)]] कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक डेटा जैसे वैक्टर के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह स्पर्शरेखा बंडल पर एक कार्य नहीं हो सकता क्योंकि स्पर्शरेखा बंडल में केवल आधार स्थान और दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए जगह होती है। क्योंकि जेट उच्च-क्रम की जानकारी प्राप्त करते हैं, वे तर्क के रूप में दिशा में उच्च-क्रम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले अतिरिक्त निर्देशांक लेते हैं। इन अतिरिक्त निर्देशांकों द्वारा निर्धारित स्थान को [[जेट बंडल]] कहा जाता है। किसी कार्य के कुल व्युत्पन्न और आंशिक व्युत्पन्न के बीच का संबंध किसी कार्य के k वें ऑर्डर जेट और k से कम या उसके | दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के कुल व्युत्पन्न का प्राकृतिक एनालॉग एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा बंडल पर कोई कार्य नहीं है, और कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का एनालॉग, जिसे [[जेट (गणित)]] कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक डेटा जैसे वैक्टर के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह स्पर्शरेखा बंडल पर एक कार्य नहीं हो सकता क्योंकि स्पर्शरेखा बंडल में केवल आधार स्थान और दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए जगह होती है। क्योंकि जेट उच्च-क्रम की जानकारी प्राप्त करते हैं, वे तर्क के रूप में दिशा में उच्च-क्रम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले अतिरिक्त निर्देशांक लेते हैं। इन अतिरिक्त निर्देशांकों द्वारा निर्धारित स्थान को [[जेट बंडल]] कहा जाता है। किसी कार्य के कुल व्युत्पन्न और आंशिक व्युत्पन्न के बीच का संबंध किसी कार्य के k वें ऑर्डर जेट और k से कम या उसके एकरूप ऑर्डर के आंशिक व्युत्पन्न के बीच के संबंध में समूल्यांतर है। | ||
कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, 'आर' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं।<sup>पी</सुप>. kवें क्रम के कुल अवकलज की व्याख्या मूल्यचित्र के रूप में की जा सकती है | कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, 'आर' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं।<sup>पी</सुप>. kवें क्रम के कुल अवकलज की व्याख्या मूल्यचित्र के रूप में की जा सकती है | ||
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== सामूल्य्यीकरण == | == सामूल्य्यीकरण == | ||
{{Main|Generalizations of the derivative}} | {{Main|Generalizations of the derivative}} | ||
व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य | व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य निर्धारितिंग्स तक बढ़ाया जा सकता है। सामूल्य्य सूत्र यह है कि किसी बिंदु पर किसी कार्य का व्युत्पन्न उस बिंदु पर कार्य के रैखिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है। | ||
* व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामूल्य्यीकरण [[जटिल संख्या]]ओं के जटिल कार्यों से संबंधित है, जैसे कि (एक अधि क्षेत्र में) जटिल संख्या C से C तक के कार्य। इस तरह के एक समारोह के व्युत्पन्न की धारणा वास्तविक चर को जटिल चर के साथ बदलकर प्राप्त की जाती है। परिभाषा। यदि C की पहचान R से की जाती है<sup>2</sup> को एक सम्मिश्र संख्या z के रूप में लिखकर {{nowrap|''x'' + ''iy''}}, तो C से C तक एक अवकलनीय फलन निश्चित रूप से R से एक फलन के रूप में अवकलनीय है<sup>2</sup> से आर<sup>2</sup> (इस अर्थ में कि इसके आंशिक व्युत्पन्न सभी उपस्थित हैं), लेकिन इसका विलोम सामूल्य्य रूप से सत्य नहीं है: जटिल व्युत्पन्न केवल तभी उपस्थित होता है जब वास्तविक व्युत्पन्न जटिल रैखिक होता है और यह आंशिक व्युत्पन्न के बीच संबंधों को लागू करता है जिसे कॉची- कहा जाता है। रीमैन समीकरण - [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक कार्य]] देखें। | * व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामूल्य्यीकरण [[जटिल संख्या]]ओं के जटिल कार्यों से संबंधित है, जैसे कि (एक अधि क्षेत्र में) जटिल संख्या C से C तक के कार्य। इस तरह के एक समारोह के व्युत्पन्न की धारणा वास्तविक चर को जटिल चर के साथ बदलकर प्राप्त की जाती है। परिभाषा। यदि C की पहचान R से की जाती है<sup>2</sup> को एक सम्मिश्र संख्या z के रूप में लिखकर {{nowrap|''x'' + ''iy''}}, तो C से C तक एक अवकलनीय फलन निश्चित रूप से R से एक फलन के रूप में अवकलनीय है<sup>2</sup> से आर<sup>2</sup> (इस अर्थ में कि इसके आंशिक व्युत्पन्न सभी उपस्थित हैं), लेकिन इसका विलोम सामूल्य्य रूप से सत्य नहीं है: जटिल व्युत्पन्न केवल तभी उपस्थित होता है जब वास्तविक व्युत्पन्न जटिल रैखिक होता है और यह आंशिक व्युत्पन्न के बीच संबंधों को लागू करता है जिसे कॉची- कहा जाता है। रीमैन समीकरण - [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक कार्य]] देखें। | ||
* एक अन्य सामूल्य्यीकरण | * एक अन्य सामूल्य्यीकरण सुचारू कई गुना के बीच कार्य करता है। सहज रूप से इस तरह के कई गुना M बोलना एक ऐसा स्थान है जिसे प्रत्येक बिंदु x के पास एक सदिश स्थान द्वारा अनुमूल्यित किया जा सकता है जिसे इसकी [[स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है: प्रोटोटाइपिकल उदाहरण 'R' में एक सुचारू सतह है।<sup>3</उप>। एक (विभेदक) मूल्यचित्र का व्युत्पन्न (या अंतर)। {{nowrap|''f'': ''M'' → ''N''}} मैनिफोल्ड्स के बीच, एम में एक बिंदु एक्स पर, फिर एक्स पर एम के स्पर्शरेखा स्थान से एफ (एक्स) पर एन के स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक नक्शा है। व्युत्पन्न कार्य एम और एन के स्पर्शरेखा बंडलों के बीच एक नक्शा बन जाता है। यह परिभाषा अंतर ज्यामिति में मौलिक है और इसके कई उपयोग हैं - पुशफॉरवर्ड (अंतर) और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)]] देखें। | ||
* डायमेंशन (संवाहक स्पेस) संवाहक स्पेस जैसे [[बनच स्थान]] और फ्रेचेट स्पेस के बीच के मैप के लिए भी भेदभाव को परिभाषित किया जा सकता है। दोनों दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक सामूल्य्यीकरण है, जिसे गेटॉक्स व्युत्पन्न कहा जाता है, और अंतर का, जिसे फ्रेचेट व्युत्पन्न कहा जाता है। | * डायमेंशन (संवाहक स्पेस) संवाहक स्पेस जैसे [[बनच स्थान]] और फ्रेचेट स्पेस के बीच के मैप के लिए भी भेदभाव को परिभाषित किया जा सकता है। दोनों दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक सामूल्य्यीकरण है, जिसे गेटॉक्स व्युत्पन्न कहा जाता है, और अंतर का, जिसे फ्रेचेट व्युत्पन्न कहा जाता है। | ||
* शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि [[कमजोर व्युत्पन्न]] के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में एम्बेड करना है जिसे वितरण का स्थान (गणित) कहा जाता है और केवल यह आवश्यक है कि एक कार्य औसत पर अलग-अलग हो। | * शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि [[कमजोर व्युत्पन्न]] के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में एम्बेड करना है जिसे वितरण का स्थान (गणित) कहा जाता है और केवल यह आवश्यक है कि एक कार्य औसत पर अलग-अलग हो। | ||
Revision as of 12:37, 2 December 2022
File:Tangent to a curve.svg
एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।