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{{Short description|Instantaneous rate of change (mathematics)}} | {{Short description|Instantaneous rate of change (mathematics)}} | ||
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[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक | [[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक कार्य का ग्राफ़, काले रंग में खींचा गया है, और उस ग्राफ़ की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। [[स्पर्शरेखा]] रेखा का [[ढलान]] चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के बराबर है।]] | ||
{{Calculus |differential}} | {{Calculus |differential}} | ||
गणित में, एक वास्तविक चर के एक | गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (इनपुट मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | ||
किसी चुने हुए इनपुट | किसी चुने हुए इनपुट मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह मौजूद होता है, उस बिंदु पर कार्य के ग्राफ़ पर [[स्पर्शरेखा]] का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस इनपुट मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को अक्सर परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है। | ||
व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका ग्राफ (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के ग्राफ के लिए सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। [[जैकबियन मैट्रिक्स]] [[मैट्रिक्स (गणित)]] है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी [[गणना]] स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन मैट्रिक्स [[ग्रेडिएंट वेक्टर]] में कम हो जाता है। | |||
व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। रिवर्स प्रोसेस को '[[antiderivative]]' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}} | व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। रिवर्स प्रोसेस को '[[antiderivative]]' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}} | ||
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी | एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य के अपने डोमेन का, यदि उसके डोमेन में एक [[खुला अंतराल]] है {{mvar|I}} युक्त {{mvar|a}}, और [[सीमा (गणित)]] | ||
:<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | :<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | ||
मौजूद। इसका मतलब है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>\varepsilon</math> (यहां तक कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है <math>\delta</math> ऐसा है कि, हर के लिए {{mvar|h}} ऐसा है कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और | मौजूद। इसका मतलब है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>\varepsilon</math> (यहां तक कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है <math>\delta</math> ऐसा है कि, हर के लिए {{mvar|h}} ऐसा है कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और | ||
:<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | :<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | ||
जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष | जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)। | ||
यदि समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय है {{mvar|a}}, वह है अगर सीमा {{mvar|L}} मौजूद है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है {{mvar|f}} पर {{mvar|a}}, और निरूपित <math>f'(a)</math> (के रूप में पढ़ें{{math|''f''}} के प्रमुख {{math|''a''}}) या <math DISPLAY=inline>\frac{df}{dx}(a)</math> (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या{{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink||Notation (details)}}, नीचे। | यदि समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय है {{mvar|a}}, वह है अगर सीमा {{mvar|L}} मौजूद है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है {{mvar|f}} पर {{mvar|a}}, और निरूपित <math>f'(a)</math> (के रूप में पढ़ें{{math|''f''}} के प्रमुख {{math|''a''}}) या <math DISPLAY=inline>\frac{df}{dx}(a)</math> (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या{{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink||Notation (details)}}, नीचे। | ||
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== निरंतरता और भिन्नता == | == निरंतरता और भिन्नता == | ||
[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस | [[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके बराबर {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और के रूप में {{math|''h''}} शून्य की ओर जाता है ढलान अनंत की ओर जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा मौजूद नहीं होती है। | ||
[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष | [[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं ओर से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं ओर से करते हैं।]]हालाँकि, भले ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे ग्राफ़िक रूप से ग्राफ़ में किंक या कस्प के रूप में देखा जा सकता है {{math|''x'' {{=}} 0}}. यहां तक कि एक चिकनी ग्राफ वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} पर अवकलनीय नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}. | ||
सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता। | सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता। | ||
अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या [[लगभग हर जगह]] | अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या [[लगभग हर जगह]] व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य एक [[मोनोटोन समारोह]] या [[लिप्सचिट्ज़ समारोह]] है, तो यह सत्य है। हालाँकि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब [[वीयरस्ट्रैस समारोह]] के रूप में जाना जाता है। 1931 में, [[स्टीफन बानाच]] ने साबित किया कि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शंस का सेट सभी निरंतर फ़ंक्शंस के स्थान पर एक [[अल्प सेट]] है।<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia Math.|issue=3|year=1931|volume=3|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|postscript=.|url=https://scholar.google.com/scholar?output=instlink&q=info:SkKdCEmUd6QJ:scholar.google.com/&hl=en&as_sdt=0,50&scillfp=3432975470163241186&oi=lle|doi-access=free}}. Cited by {{Citation|author1=Hewitt, E |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है। | ||
== एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning --> | == एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न == <!-- Removing "The derivative as a" completely changes the meaning --> | ||
[[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के बराबर है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]होने देना {{math|''f''}} ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक | [[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के बराबर है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]होने देना {{math|''f''}} ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मैप करता है {{mvar|x}} के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए {{mvar|f}} पर {{mvar|x}}. यह समारोह लिखा है {{math|''f''{{′}}}} और इसे व्युत्पन्न फंक्शन या व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}. | ||
कभी-कभी {{math|''f''}} इसके डोमेन के अधिकांश बिंदुओं पर | कभी-कभी {{math|''f''}} इसके डोमेन के अधिकांश बिंदुओं पर व्युत्पन्न है, लेकिन सभी नहीं। वह कार्य जिसका मूल्य at {{mvar|a}} बराबरी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} जब भी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} परिभाषित किया गया है और कहीं और अपरिभाषित है, इसे व्युत्पन्न भी कहा जाता है {{math|''f''}}. यह अभी भी एक कार्य है, लेकिन इसका डोमेन के डोमेन से छोटा हो सकता है {{math|''f''}}. | ||
इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसका डोमेन उन सभी कार्यों का सेट है जिनके डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर | इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसका डोमेन उन सभी कार्यों का सेट है जिनके डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक सेट है। यदि हम इस ऑपरेटर को निरूपित करते हैं {{math|''D''}}, फिर {{math|''D''(''f'')}} कार्य है {{math|''f''{{′}}}}. तब से {{math|''D''(''f'')}} एक कार्य है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है {{mvar|a}}. व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, {{math|''D''(''f'')(''a'') {{=}} ''f''{{′}}(''a'')}}. | ||
तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को इनपुट के रूप में लेता है और संख्याओं को | तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को इनपुट के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
1 &{}\mapsto 2,\\ | 1 &{}\mapsto 2,\\ | ||
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D\left(x \mapsto x^2\right) &= (x \mapsto 2\cdot x). | D\left(x \mapsto x^2\right) &= (x \mapsto 2\cdot x). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
क्योंकि का उत्पादन {{math|''D''}} एक | क्योंकि का उत्पादन {{math|''D''}} एक कार्य है, का प्रक्षेपण {{math|''D''}} एक बिंदु पर मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कब {{math|''D''}} स्क्वायर कार्य पर लागू होता है, {{math|''x'' ↦ ''x''<sup>2</sup>}}, {{math|''D''}} दोहरीकरण समारोह को प्रक्षेपण करता है {{math|''x'' ↦ 2''x''}}जिसे हमने नाम दिया है {{math|''f''(''x'')}}. इस प्रक्षेपण कार्य का मूल्यांकन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है {{math|''f''(1) {{=}} 2}}, {{math|''f''(2) {{=}} 4}}, और इसी तरह। | ||
=={{anchor|order of derivation}} उच्च व्युत्पन्न == | =={{anchor|order of derivation}} उच्च व्युत्पन्न == | ||
होने देना {{math|''f''}} एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो {{math|''f'' ′}} इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न {{math|''f'' ′}} (यदि है तो) लिखा हुआ है {{math|''f'' ′′}} और का [[दूसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह मौजूद है, लिखा गया है {{math|''f'' ′′′}} का [[तीसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह मौजूद है, तो {{math|''n''}}वें व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में {{math|(''n''−1)}}वें व्युत्पन्न। इन दोहराए गए | होने देना {{math|''f''}} एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो {{math|''f'' ′}} इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न {{math|''f'' ′}} (यदि है तो) लिखा हुआ है {{math|''f'' ′′}} और का [[दूसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह मौजूद है, लिखा गया है {{math|''f'' ′′′}} का [[तीसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह मौजूद है, तो {{math|''n''}}वें व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में {{math|(''n''−1)}}वें व्युत्पन्न। इन दोहराए गए व्युत्पन्न को उच्च-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है। {{math|''n''}}'}}वें अवकलज को क्रम का अवकलज भी कहा जाता है {{math|''n''}}और # लैग्रेंज का अंकन {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}}. | ||
यदि {{math|''x''(''t'')}} समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''t''}}, फिर के उच्च-क्रम के | यदि {{math|''x''(''t'')}} समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''t''}}, फिर के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न {{math|''x''}} भौतिकी में विशिष्ट व्याख्याएँ हैं। का पहला व्युत्पन्न {{math|''x''}} वस्तु का वेग है। का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[त्वरण]] है। का तीसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[झटका (भौतिकी)]] है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न के {{math|''x''}} हैं उछाल|स्नैप, क्रैकल, और पॉप; [[खगोल भौतिकी]] के लिए सबसे अधिक लागू। | ||
एक समारोह {{math|''f''}} व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, भले ही {{math|''f''}} एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो | एक समारोह {{math|''f''}} व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, भले ही {{math|''f''}} एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो | ||
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गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है <math>x</math> द्वारा दिया गया है | गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है <math>x</math> द्वारा दिया गया है | ||
:<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | :<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | ||
{{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष | {{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है <math>x</math>, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है {{math|''k''}}प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न {{math|''k''}} लेकिन नहीं {{math|(''k'' + 1)}}वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है {{math|''k''}} उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैं{{math|k}} बार अलग करने योग्य। अगर इसके अलावा {{math|''k''}}वां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है {{math|''C<sup>k</sup>''}}. (यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है {{math|''k''}} व्युत्पन्न, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink|Smoothness|Examples}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या चिकनापन कहलाता है। | ||
वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। | वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक [[भेदभाव नियम]]ों द्वारा, यदि डिग्री का बहुपद {{math|''n''}} विभेदित है {{math|''n''}} समय, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे मौजूद हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं। | ||
एक समारोह के | एक समारोह के व्युत्पन्न {{math|''f''}} एक बिंदु पर {{math|''x''}} उस कार्य के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करें {{math|''x''}}. उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''}} तब दो बार अवकलनीय है | ||
:<math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math> | :<math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math> | ||
इस अर्थ में कि | इस अर्थ में कि | ||
| Line 76: | Line 76: | ||
===विभक्ति बिंदु=== | ===विभक्ति बिंदु=== | ||
{{Main|Inflection point}} | {{Main|Inflection point}} | ||
एक बिंदु जहां किसी | एक बिंदु जहां किसी कार्य का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है।<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^3</math>, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है {{math|''x'' {{=}} 0}} द्वारा दिए गए समारोह का <math>f(x) = x^\frac{1}{3}</math>. एक मोड़ बिंदु पर, एक कार्य उत्तल कार्य होने से अवतल कार्य या इसके विपरीत होने पर स्विच करता है। | ||
== अंकन (विवरण) == | == अंकन (विवरण) == | ||
| Line 87: | Line 87: | ||
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}, \text{ or }\frac{d}{dx}f,</math> | : <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}, \text{ or }\frac{d}{dx}f,</math> | ||
और एक बार एक अतिसूक्ष्म भागफल के रूप में सोचा गया था। उच्च | और एक बार एक अतिसूक्ष्म भागफल के रूप में सोचा गया था। उच्च व्युत्पन्न्स को संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है | ||
<!-- In the following formula, the function is a lower-case f, not an upper case F. Please do not change it.--> | <!-- In the following formula, the function is a lower-case f, not an upper case F. Please do not change it.--> | ||
| Line 94: | Line 94: | ||
\text{ or } | \text{ or } | ||
\frac{d^n}{dx^n}f</math> | \frac{d^n}{dx^n}f</math> | ||
के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>y = f(x)</math>. ये | के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>y = f(x)</math>. ये व्युत्पन्न ऑपरेटर के कई अनुप्रयोगों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math> | :<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math> | ||
लीबनिज के अंकन के साथ, हम का व्युत्पन्न लिख सकते हैं <math>y</math> बिंदु पर <math>x = a</math> दो अलग-अलग तरीकों से: | लीबनिज के अंकन के साथ, हम का व्युत्पन्न लिख सकते हैं <math>y</math> बिंदु पर <math>x = a</math> दो अलग-अलग तरीकों से: | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
=== लैग्रेंज का अंकन === | === लैग्रेंज का अंकन === | ||
कभी-कभी प्राइम नोटेशन के रूप में जाना जाता है,<ref>{{cite web|title=विभेदन का अंकन|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|access-date=24 October 2012|year=1998}}</ref> भेदभाव के लिए सबसे आम आधुनिक नोटेशन में से एक [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] के कारण है और प्राइम (प्रतीक) का उपयोग करता है, ताकि किसी | कभी-कभी प्राइम नोटेशन के रूप में जाना जाता है,<ref>{{cite web|title=विभेदन का अंकन|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|access-date=24 October 2012|year=1998}}</ref> भेदभाव के लिए सबसे आम आधुनिक नोटेशन में से एक [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] के कारण है और प्राइम (प्रतीक) का उपयोग करता है, ताकि किसी कार्य का व्युत्पन्न हो सके <math>f</math> निरूपित किया जाता है <math>f'</math>. इसी तरह, दूसरे और तीसरे व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है | ||
:<math>(f')'=f''</math> तथा <math>(f'')'=f'''.</math> | :<math>(f')'=f''</math> तथा <math>(f'')'=f'''.</math> | ||
इस बिंदु से परे | इस बिंदु से परे व्युत्पन्न की संख्या को निरूपित करने के लिए, कुछ लेखक [[सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट]] में रोमन अंकों का उपयोग करते हैं, जबकि अन्य संख्या को कोष्ठक में रखते हैं: | ||
:<math>f^{\mathrm{iv}}</math> या <math>f^{(4)}.</math> | :<math>f^{\mathrm{iv}}</math> या <math>f^{(4)}.</math> | ||
बाद वाला अंकन संकेतन प्राप्त करने के लिए | बाद वाला अंकन संकेतन प्राप्त करने के लिए सामूल्य्यीकृत करता है <math>f^{(n)}</math> के n वें व्युत्पन्न के लिए <math>f</math> - यह संकेतन सबसे उपयोगी होता है जब हम व्युत्पन्न के बारे में एक कार्य के रूप में बात करना चाहते हैं, क्योंकि इस मामले में लाइबनिज संकेतन बोझिल हो सकता है। | ||
=== न्यूटन का अंकन === | === न्यूटन का अंकन === | ||
अवकलन के लिए न्यूटन के अंकन, जिसे डॉट संकेतन भी कहा जाता है, समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए | अवकलन के लिए न्यूटन के अंकन, जिसे डॉट संकेतन भी कहा जाता है, समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य नाम पर एक बिंदु रखता है। यदि <math>y = f(t)</math>, फिर | ||
:<math>\dot{y}</math> तथा <math>\ddot{y}</math> | :<math>\dot{y}</math> तथा <math>\ddot{y}</math> | ||
निरूपित, क्रमशः, के पहले और दूसरे | निरूपित, क्रमशः, के पहले और दूसरे व्युत्पन्न <math>y</math>. यह संकेतन विशेष रूप से समय या चाप की लंबाई के संबंध में व्युत्पन्न के लिए उपयोग किया जाता है। यह आमतौर पर भौतिकी और [[अंतर ज्यामिति]] में [[अंतर समीकरण]]ों में प्रयोग किया जाता है।<ref>{{Cite book|title=आंशिक अंतर समीकरण|last=Evans|first=Lawrence|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=0-8218-0772-2|pages=63}}</ref><ref>{{Cite book|title=विभेदक ज्यामिति|last=Kreyszig|first=Erwin|publisher=Dover|year=1991|isbn=0-486-66721-9|location=New York|pages=1}}</ref> डॉट नोटेशन, हालांकि, उच्च-ऑर्डर व्युत्पन्न (ऑर्डर 4 या अधिक) के लिए असहनीय हो जाता है और कई स्वतंत्र चर के साथ काम नहीं कर सकता। | ||
===यूलर का अंकन=== | ===यूलर का अंकन=== | ||
[[लियोनहार्ड यूलर]] का अंकन अवकल संकारक का उपयोग करता है <math>D</math>, जो एक समारोह पर लागू होता है <math>f</math> पहला व्युत्पन्न देने के लिए <math>Df</math>. Nth | [[लियोनहार्ड यूलर]] का अंकन अवकल संकारक का उपयोग करता है <math>D</math>, जो एक समारोह पर लागू होता है <math>f</math> पहला व्युत्पन्न देने के लिए <math>Df</math>. Nth व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है <math>D^nf</math>. | ||
यदि {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} एक आश्रित चर है, तो अक्सर स्वतंत्र चर x को स्पष्ट करने के लिए सबस्क्रिप्ट x को D से जोड़ा जाता है। | यदि {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} एक आश्रित चर है, तो अक्सर स्वतंत्र चर x को स्पष्ट करने के लिए सबस्क्रिप्ट x को D से जोड़ा जाता है। | ||
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==गणना के नियम== | ==गणना के नियम== | ||
{{Main|Differentiation rules}} | {{Main|Differentiation rules}} | ||
एक | एक कार्य के व्युत्पन्न, सिद्धांत रूप में, अंतर भागफल पर विचार करके और इसकी सीमा की गणना करके परिभाषा से गणना की जा सकती है। व्यवहार में, एक बार कुछ सरल कार्यों के व्युत्पन्न ज्ञात हो जाने के बाद, सरल कार्यों से अधिक जटिल कार्यों के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए अन्य कार्यों के व्युत्पन्न को नियमों का उपयोग करके अधिक आसानी से गणना की जाती है। | ||
=== बुनियादी कार्यों के लिए नियम === | === बुनियादी कार्यों के लिए नियम === | ||
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