अवमुख समुच्चय: Difference between revisions

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{{short description|In geometry, set whose intersection with every line is a single line segment}}
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[[File:Convex polygon illustration1.svg|right|thumb|उत्तल सेट का चित्रण जो कुछ-कुछ विकृत वृत्त जैसा दिखता है। रेखा खंड, जो ऊपर काले रंग में दिखाया गया है, बिंदु x और y को मिलाते हुए, सेट के भीतर पूरी तरह से स्थित है, जिसे हरे रंग में दिखाया गया है। चूंकि यह उपरोक्त सेट के भीतर किन्हीं दो बिंदुओं के संभावित स्थानों के लिए सही है, सेट उत्तल है।]]
[[File:Convex polygon illustration1.svg|right|thumb|उत्तल समुच्चय का चित्रण जो कुछ-कुछ विकृत वृत्त जैसा दिखता है। रेखा खंड, जो ऊपर काले रंग में दिखाया गया है, बिंदु x और y को मिलाते हुए, समुच्चय के भीतर पूरी तरह से स्थित है, जिसे हरे रंग में दिखाया गया है। चूंकि यह उपरोक्त समुच्चय के भीतर किन्हीं दो बिंदुओं के संभावित स्थानों के लिए सही है, समुच्चय उत्तल है।]]
[[File:Convex polygon illustration2.svg|right|thumb|एक गैर-उत्तल सेट का चित्रण। उपरोक्त रेखा खंड द्वारा चित्रित किया गया है जिससे यह काले रंग से लाल रंग में बदल जाता है। हरे रंग में दिखाया गया यह उपरोक्त सेट गैर-उत्तल क्यों है इसका उदाहरण।]][[ज्यामिति]] में, एक [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] का एक उपसमुच्चय, या अधिक सामान्यतः [[वास्तविक संख्या]] पर एक संबधित स्थान उत्तल होता है, यदि उपसमुच्चय में कोई दो बिंदु दिए गए हों, तो उपसमुच्चय में उनसे जुड़ने वाला संपूर्ण [[रेखा खंड]] होता है। समतुल्य रूप से, उत्तल सेट या उत्तल क्षेत्र एक उपसमुच्चय है जो प्रत्येक [[रेखा (ज्यामिति)]] को एक रेखा खंड (संभवतः खाली) में प्रतिच्छेद करता है।<ref>{{cite book|last1=Morris|first1=Carla C.|last2=Stark|first2=Robert M.|title=परिमित गणित: मॉडल और अनुप्रयोग|date=24 August 2015|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781119015383|page=121|url=https://books.google.com/books?id=ZgJyCgAAQBAJ&q=convex+region&pg=PA121|access-date=5 April 2017|language=en}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kjeldsen|first1=Tinne Hoff|title=उत्तलता और गणितीय प्रोग्रामिंग का इतिहास|journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians|issue=ICM 2010|pages=3233–3257|doi=10.1142/9789814324359_0187|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf|access-date=5 April 2017|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20170811100026/http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf|archive-date=2017-08-11}}</ref>
[[File:Convex polygon illustration2.svg|right|thumb|एक गैर-उत्तल समुच्चय का चित्रण। उपरोक्त रेखा खंड द्वारा चित्रित किया गया है जिससे यह काले रंग से लाल रंग में बदल जाता है। हरे रंग में दिखाया गया यह उपरोक्त समुच्चय गैर-उत्तल क्यों है इसका उदाहरण।]][[ज्यामिति]] में, एक [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] का एक उपसमुच्चय, या अधिक सामान्यतः [[वास्तविक संख्या]] पर एक संबधित स्थान उत्तल होता है, यदि उपसमुच्चय में कोई दो बिंदु दिए गए हों, तो उपसमुच्चय में उनसे जुड़ने वाला संपूर्ण [[रेखा खंड]] होता है। समतुल्य रूप से, उत्तल समुच्चय या उत्तल क्षेत्र एक उपसमुच्चय है जो प्रत्येक [[रेखा (ज्यामिति)]] को एक रेखा खंड (संभवतः खाली) में प्रतिच्छेद करता है।<ref>{{cite book|last1=Morris|first1=Carla C.|last2=Stark|first2=Robert M.|title=परिमित गणित: मॉडल और अनुप्रयोग|date=24 August 2015|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781119015383|page=121|url=https://books.google.com/books?id=ZgJyCgAAQBAJ&q=convex+region&pg=PA121|access-date=5 April 2017|language=en}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kjeldsen|first1=Tinne Hoff|title=उत्तलता और गणितीय प्रोग्रामिंग का इतिहास|journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians|issue=ICM 2010|pages=3233–3257|doi=10.1142/9789814324359_0187|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf|access-date=5 April 2017|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20170811100026/http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf|archive-date=2017-08-11}}</ref>
उदाहरण के लिए, एक ठोस [[घन (ज्यामिति)]] एक उत्तल सेट है, लेकिन कुछ भी जो खोखला या इंडेंट है, उदाहरण के लिए, एक [[वर्धमान]] आकार, उत्तल नहीं है।
उदाहरण के लिए, एक ठोस [[घन (ज्यामिति)]] एक उत्तल समुच्चय है, लेकिन कुछ भी जो खोखला या मांगपत्र है, उदाहरण के लिए, एक [[वर्धमान]] आकार, उत्तल नहीं है।


उत्तल सेट की [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा (सांस्थिति)]] हमेशा एक [[उत्तल वक्र]] होती है। दिए गए सबसेट वाले सभी उत्तल सेटों का प्रतिच्छेदन {{mvar|A}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष की [[उत्तल पतवार]] कहा जाता है {{mvar|A}}. यह युक्त सबसे छोटा उत्तल सेट है {{mvar|A}}.
उत्तल समुच्चय की [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा (सांस्थिति)]] हमेशा एक [[उत्तल वक्र]] होती है। दिए गए सबसमुच्चय वाले सभी उत्तल समूह का प्रतिच्छेदन {{mvar|A}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष की [[उत्तल पतवार]] कहा जाता है {{mvar|A}}. यह युक्त सबसे छोटा उत्तल समुच्चय है {{mvar|A}}.


एक उत्तल फलन एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो एक [[अंतराल (गणित)]] पर इस गुण के साथ परिभाषित होता है कि इसका [[पुरालेख (गणित)]] (फ़ंक्शन के किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर बिंदुओं का समुच्चय) एक उत्तल समुच्चय है। [[उत्तल न्यूनीकरण]] [[गणितीय अनुकूलन]] का एक उपक्षेत्र है जो उत्तल सेटों पर उत्तल कार्यों को कम करने की समस्या का अध्ययन करता है। उत्तल सेट और कार्यों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा [[उत्तल विश्लेषण]] कहलाती है।
एक उत्तल फलन एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो एक [[अंतराल (गणित)|अंतराल]] पर इस गुण के साथ परिभाषित होता है कि इसका [[पुरालेख (गणित)|पुरालेख]] (फलन के किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर बिंदुओं का समुच्चय) एक उत्तल समुच्चय है। [[उत्तल न्यूनीकरण]] [[गणितीय अनुकूलन]] का एक उपक्षेत्र है जो उत्तल समूह पर उत्तल कार्यों को कम करने की समस्या का अध्ययन करता है। उत्तल समुच्चय और कार्यों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा [[उत्तल विश्लेषण]] कहलाती है।


उत्तल समुच्चय की धारणा को नीचे वर्णित के अनुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है।
उत्तल समुच्चय की धारणा को नीचे वर्णित के अनुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
[[File:Convex supergraph.svg|right|thumb|एक उत्तल फलन उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसका एपीग्राफ (गणित), इसके फलन के ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समुच्चय है।]]मान लीजिए कि {{mvar|S}} सदिश समष्टि हो या वास्तविक संख्याओं के ऊपर एक संबंद्ध स्थान हो, या, सामान्यतः, कुछ [[आदेशित क्षेत्र]] पर। इसमें यूक्लिडियन स्पेस सम्मलित हैं, जो एफ़िन स्पेस हैं। उपसमुच्चय {{mvar|C}} का {{mvar|S}} उत्तल है अगर, सभी के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में {{mvar|C}}, जोड़ने वाला रेखा खंड {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में सम्मलित है {{mvar|C}}. इसका मतलब है कि एफ़िन संयोजन {{math|(1 − ''t'')''x'' + ''ty''}} का है {{mvar|C}}, सभी के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में {{mvar|C}}, तथा {{mvar|t}} अंतराल में (गणित) {{math|[0, 1]}}. इसका तात्पर्य है कि उत्तलता (उत्तल होने की संपत्ति) [[affine परिवर्तन|एफ़िन परिवर्तन]]ों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। इसका तात्पर्य यह भी है कि वास्तविक संख्या या [[जटिल संख्या]] [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक वेक्टर स्पेस]] में एक उत्तल सेट [[पथ से जुड़ा हुआ]] है, इस प्रकार [[जुड़ा हुआ स्थान]] है।
[[File:Convex supergraph.svg|right|thumb|एक उत्तल फलन उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसका एपीग्राफ (गणित), इसके फलन के ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समुच्चय है।]]मान लीजिए कि {{mvar|S}} सदिश समष्टि हो या वास्तविक संख्याओं के ऊपर एक संबंद्ध स्थान हो, या, सामान्यतः, कुछ [[आदेशित क्षेत्र]] पर। इसमें यूक्लिडियन स्पेस सम्मलित हैं, जो एफ़िन स्पेस हैं। उपसमुच्चय {{mvar|C}} का {{mvar|S}} उत्तल है यदि, सभी के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में {{mvar|C}}, जोड़ने वाला रेखा खंड {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में सम्मलित है {{mvar|C}}. इसका मतलब है कि एफ़िन संयोजन {{math|(1 − ''t'')''x'' + ''ty''}} का है {{mvar|C}}, सभी के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में {{mvar|C}}, तथा {{mvar|t}} अंतराल में (गणित) {{math|[0, 1]}}. इसका तात्पर्य है कि उत्तलता (उत्तल होने की संपत्ति) [[affine परिवर्तन|एफ़िन परिवर्तन]]ों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। इसका तात्पर्य यह भी है कि वास्तविक संख्या या [[जटिल संख्या]] [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश स्पेस]] में एक उत्तल समुच्चय [[पथ से जुड़ा हुआ]] है, इस प्रकार [[जुड़ा हुआ स्थान]] है।


एक सेट {{mvar|C}} {{visible anchor|सख्ती से उत्तल}} है यदि प्रत्येक बिंदु जुड़ा हुआ है रेखा खंड पर  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} अंतिमबिंदु के अतिरिक्त अन्य की आंतरिक सांस्थिति के अंदर है {{mvar|C}}. एक बंद उत्तल उपसमुच्चय सख्ती से उत्तल होता है यदि और केवल अगर इसकी प्रत्येक सीमा एक [[चरम बिंदु]] है।<ref>{{Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982|p=5}}</ref>
एक समुच्चय {{mvar|C}} {{visible anchor|सख्ती से उत्तल}} है यदि प्रत्येक बिंदु जुड़ा हुआ है रेखा खंड पर  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} अंतिमबिंदु के अतिरिक्त अन्य की आंतरिक सांस्थिति के अंदर है {{mvar|C}}. एक बंद उत्तल उपसमुच्चय सख्ती से उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसकी प्रत्येक सीमा एक [[चरम बिंदु]] है।<ref>{{Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982|p=5}}</ref>


एक सेट {{mvar|C}} उत्तल और [[संतुलित सेट]] होने पर [[बिल्कुल उत्तल]] है।
एक समुच्चय {{mvar|C}} उत्तल और [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] होने पर [[बिल्कुल उत्तल]] है।


{{math|'''R'''}} का उत्तल उपसमुच्चय (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) अंतराल और {{math|'''R'''}} के बिंदु हैं . [[यूक्लिडियन विमान]] के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण ठोस [[नियमित बहुभुज]], ठोस त्रिकोण और ठोस त्रिकोण के चौराहे हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण| यूक्लिडियन-3 आयामी अंतरिक्ष आर्किमिडीयन ठोस और [[प्लेटोनिक ठोस]] हैं। [[केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा]] गैर-उत्तल सेट के उदाहरण हैं।
{{math|'''R'''}} का उत्तल उपसमुच्चय (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) अंतराल और {{math|'''R'''}} के बिंदु हैं . [[यूक्लिडियन विमान]] के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण ठोस [[नियमित बहुभुज]], ठोस त्रिकोण और ठोस त्रिकोण के चौराहे हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण| यूक्लिडियन-3 आयामी अंतरिक्ष आर्किमिडीयन ठोस और [[प्लेटोनिक ठोस]] हैं। [[केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा]] गैर-उत्तल समुच्चय के उदाहरण हैं।


=== गैर-उत्तल सेट ===
=== गैर-उत्तल समुच्चय ===
एक सेट जो उत्तल नहीं होता है उसे गैर-उत्तल सेट कहा जाता है। एक [[बहुभुज]] जो [[उत्तल बहुभुज]] नहीं है, उसे कभी-कभी [[अवतल बहुभुज]] कहा जाता है,<ref>{{cite book |first=Jeffrey J. |last=McConnell |year=2006 |title=कंप्यूटर ग्राफिक्स: व्यवहार में सिद्धांत|isbn=0-7637-2250-2 |page=[https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/130 130] |url=https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/130 }}.</ref> और कुछ स्रोत अधिक सामान्यतः अवतल सेट शब्द का उपयोग गैर-उत्तल सेट के लिए करते हैं,<ref>{{MathWorld|title=Concave|id=Concave}}</ref> लेकिन अधिकांश अधिकारी इस प्रयोग पर रोक लगाते हैं।<ref>{{cite book|title=अर्थशास्त्र में विश्लेषणात्मक तरीके|first=Akira|last=Takayama|publisher=University of Michigan Press|year=1994|isbn=9780472081356|url=https://books.google.com/books?id=_WmZA0MPlmEC&pg=PA54|page=54|quote=अक्सर देखा जाने वाला भ्रम एक "अवतल सेट" है। अवतल और उत्तल कार्य कुछ वर्गों के कार्यों को निर्दिष्ट करते हैं, सेटों के नहीं, जबकि उत्तल सेट सेटों के एक निश्चित वर्ग को निर्दिष्ट करते हैं, न कि कार्यों के वर्ग को। एक "अवतल सेट" कार्यों के साथ सेट को भ्रमित करता है।}}</ref><ref>{{cite book|title=आर्थिक सिद्धांत और अर्थमिति के लिए गणितीय विश्लेषण का परिचय|first1=Dean|last1=Corbae|first2=Maxwell B.|last2=Stinchcombe|first3= Juraj|last3=Zeman|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=9781400833085|url=https://books.google.com/books?id=j5P83LtzVO8C&pg=PT347|page=347|quote=अवतल समुच्चय जैसी कोई चीज़ नहीं होती।}}</ref>
एक समुच्चय जो उत्तल नहीं होता है उसे गैर-उत्तल समुच्चय कहा जाता है। एक [[बहुभुज]] जो [[उत्तल बहुभुज]] नहीं है, उसे कभी-कभी [[अवतल बहुभुज]] कहा जाता है,<ref>{{cite book |first=Jeffrey J. |last=McConnell |year=2006 |title=कंप्यूटर ग्राफिक्स: व्यवहार में सिद्धांत|isbn=0-7637-2250-2 |page=[https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/130 130] |url=https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/130 }}.</ref> और कुछ स्रोत अधिक सामान्यतः अवतल समुच्चय शब्द का उपयोग गैर-उत्तल समुच्चय के लिए करते हैं,<ref>{{MathWorld|title=Concave|id=Concave}}</ref> लेकिन अधिकांश अधिकारी इस प्रयोग पर रोक लगाते हैं।<ref>{{cite book|title=अर्थशास्त्र में विश्लेषणात्मक तरीके|first=Akira|last=Takayama|publisher=University of Michigan Press|year=1994|isbn=9780472081356|url=https://books.google.com/books?id=_WmZA0MPlmEC&pg=PA54|page=54|quote=अक्सर देखा जाने वाला भ्रम एक "अवतल सेट" है। अवतल और उत्तल कार्य कुछ वर्गों के कार्यों को निर्दिष्ट करते हैं, सेटों के नहीं, जबकि उत्तल सेट सेटों के एक निश्चित वर्ग को निर्दिष्ट करते हैं, न कि कार्यों के वर्ग को। एक "अवतल सेट" कार्यों के साथ सेट को भ्रमित करता है।}}</ref><ref>{{cite book|title=आर्थिक सिद्धांत और अर्थमिति के लिए गणितीय विश्लेषण का परिचय|first1=Dean|last1=Corbae|first2=Maxwell B.|last2=Stinchcombe|first3= Juraj|last3=Zeman|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=9781400833085|url=https://books.google.com/books?id=j5P83LtzVO8C&pg=PT347|page=347|quote=अवतल समुच्चय जैसी कोई चीज़ नहीं होती।}}</ref>
एक उत्तल सेट का [[पूरक (सेट सिद्धांत)]], जैसे एक अवतल फ़ंक्शन के एपिग्राफ, को कभी-कभी रिवर्स उत्तल सेट कहा जाता है, विशेष रूप से गणितीय अनुकूलन के संदर्भ में।<ref>{{cite journal | last = Meyer | first = Robert | journal = SIAM Journal on Control and Optimization | mr = 0312915 | pages = 41–54 | title = अनुकूलन विधियों के एक परिवार की वैधता| volume = 8 | year = 1970| doi = 10.1137/0308003 | url = https://minds.wisconsin.edu/bitstream/handle/1793/57508/TR28.pdf?sequence=1 }}.</ref>
एक उत्तल समुच्चय का [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]], जैसे एक अवतल फलन के एपिग्राफ, को कभी-कभी रिवर्स उत्तल समुच्चय कहा जाता है, विशेष रूप से गणितीय अनुकूलन के संदर्भ में।<ref>{{cite journal | last = Meyer | first = Robert | journal = SIAM Journal on Control and Optimization | mr = 0312915 | pages = 41–54 | title = अनुकूलन विधियों के एक परिवार की वैधता| volume = 8 | year = 1970| doi = 10.1137/0308003 | url = https://minds.wisconsin.edu/bitstream/handle/1793/57508/TR28.pdf?sequence=1 }}.</ref>




== गुण ==
== गुण ==


दिया गया {{mvar|r}} अंक {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>r</sub>''}} उत्तल सेट में {{mvar|S}}, तथा {{mvar|r}} नकारात्मक संख्या {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ<sub>r</sub>''}} ऐसा है कि {{math|''λ''<sub>1</sub> + ... + ''λ<sub>r</sub>'' {{=}} 1}}, एफाइन संयोजन
दिया गया {{mvar|r}} अंक {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>r</sub>''}} उत्तल समुच्चय में {{mvar|S}}, तथा {{mvar|r}} नकारात्मक संख्या {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ<sub>r</sub>''}} ऐसा है कि {{math|''λ''<sub>1</sub> + ... + ''λ<sub>r</sub>'' {{=}} 1}}, एफाइन संयोजन
<math display=block>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>
<math display=block>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>
का है {{mvar|S}}. जैसा कि एक उत्तल सेट की परिभाषा है {{math|1=''r'' = 2}}, यह संपत्ति उत्तल सेटों की विशेषता है।
का है {{mvar|S}}. जैसा कि एक उत्तल समुच्चय की परिभाषा है {{math|1=''r'' = 2}}, यह संपत्ति उत्तल समूह की विशेषता है।


इस तरह के एक एफाइन संयोजन को एक [[उत्तल संयोजन]] कहा जाता है {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>r</sub>''}}.
इस तरह के एक एफाइन संयोजन को एक [[उत्तल संयोजन]] कहा जाता है {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>r</sub>''}}.


=== चौराहे और संघ ===
=== चौराहे और संघ ===
वेक्टर स्पेस, एफाइन स्पेस या यूक्लिडियन स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय के संग्रह में निम्नलिखित गुण होते हैं:<ref name="Soltan" >Soltan, Valeriu, ''Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity'', Ştiinţa, [[Chişinău]], 1984 (in Russian).
सदिश स्पेस, एफाइन स्पेस या यूक्लिडियन स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय के संग्रह में निम्नलिखित गुण होते हैं:<ref name="Soltan" >Soltan, Valeriu, ''Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity'', Ştiinţa, [[Chişinău]], 1984 (in Russian).
</ref><ref name="Singer" >{{cite book|last=Singer|first=Ivan|title=सार उत्तल विश्लेषण|series=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts|publisher=John Wiley&nbsp;&&nbsp;Sons, Inc.|location=New&nbsp;York|year= 1997|pages=xxii+491|isbn=0-471-16015-6|mr=1461544}}</ref>
</ref><ref name="Singer" >{{cite book|last=Singer|first=Ivan|title=सार उत्तल विश्लेषण|series=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts|publisher=John Wiley&nbsp;&&nbsp;Sons, Inc.|location=New&nbsp;York|year= 1997|pages=xxii+491|isbn=0-471-16015-6|mr=1461544}}</ref>
# [[खाली सेट]] और पूरा स्थान उत्तल है।
# [[खाली सेट|खाली समुच्चय]] और पूरा स्थान उत्तल है।
# उत्तल सेटों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन उत्तल है।
# उत्तल समूह के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन उत्तल है।
#उत्तल सेटों के एक अनुक्रम का [[संघ (सेट)]] उत्तल है, यदि वे समावेशन के लिए कुल क्रम चेन| गैर-घटती श्रृंखला बनाते हैं। इस संपत्ति के लिए, जंजीरों पर प्रतिबंध महत्वपूर्ण है, क्योंकि दो उत्तल सेटों के मिलन को उत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।
#उत्तल समूह के एक अनुक्रम का [[संघ (सेट)|संघ (समुच्चय)]] उत्तल है, यदि वे समावेशन के लिए कुल क्रम चेन| गैर-घटती श्रृंखला बनाते हैं। इस संपत्ति के लिए, जंजीरों पर प्रतिबंध महत्वपूर्ण है, क्योंकि दो उत्तल समूह के मिलन को उत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।


=== बंद उत्तल सेट ===
=== बंद उत्तल समुच्चय ===
[[बंद सेट]] उत्तल सेट होते हैं जिनमें उनके सभी सीमा बिंदु होते हैं। उन्हें बंद आधे स्थान के इंटरसेक्शन के रूप में चित्रित किया जा सकता है।
[[बंद सेट|बंद समुच्चय]] उत्तल समुच्चय होते हैं जिनमें उनके सभी सीमा बिंदु होते हैं। उन्हें बंद आधे स्थान के इंटरसेक्शन के रूप में चित्रित किया जा सकता है।


अभी जो कहा गया है, उससे यह स्पष्ट है कि ऐसे चौराहे उत्तल हैं, और वे बंद सेट भी होंगे। उलटा सिद्ध करने के लिए, यानी, प्रत्येक बंद उत्तल सेट को इस तरह के चौराहे के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, किसी को [[hyperplane|हाइपरप्लेन]] प्रमेय को इस रूप में समर्थन देने की आवश्यकता होती है कि किसी दिए गए बंद उत्तल सेट के लिए {{mvar|C}} और बिंदु {{mvar|P}} इसके बाहर एक बंद अर्ध-आकाश है {{mvar|H}} उसमें सम्मिलित है {{mvar|C}} और नहीं {{mvar|P}}. सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के हन-बनाक प्रमेय का एक विशेष मामला है।
अभी जो कहा गया है, उससे यह स्पष्ट है कि ऐसे चौराहे उत्तल हैं, और वे बंद समुच्चय भी होंगे। उलटा सिद्ध करने के लिए, अर्थात, प्रत्येक बंद उत्तल समुच्चय को इस तरह के चौराहे के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, किसी को [[hyperplane|अधिसमतल]] प्रमेय को इस रूप में समर्थन देने की आवश्यकता होती है कि किसी दिए गए बंद उत्तल समुच्चय के लिए {{mvar|C}} और बिंदु {{mvar|P}} इसके बाहर एक बंद अर्ध-आकाश है {{mvar|H}} उसमें सम्मिलित है {{mvar|C}} और नहीं {{mvar|P}}. सहायक अधिसमतल प्रमेय [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के हन-बनाक प्रमेय का एक विशेष मामला है।


=== उत्तल सेट और आयत ===
=== उत्तल समुच्चय और आयत ===
होने देना {{mvar|C}} विमान में एक [[उत्तल शरीर]] हो (एक उत्तल सेट जिसका आंतरिक खाली नहीं है)। हम एक आयत r को अंदर अंकित कर सकते हैं {{mvar|C}} जैसे कि r की एक [[होमोथेटिक परिवर्तन]] कॉपी R के बारे में बताया गया है {{mvar|C}}. धनात्मक समरूपता अनुपात अधिक से अधिक 2 है और:<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF01263495| title = आयतों द्वारा उत्तल पिंडों का सन्निकटन| journal = Geometriae Dedicata| volume = 47| pages = 111–117| year = 1993| last1 = Lassak | first1 = M. | s2cid = 119508642}}</ref>
होने देना {{mvar|C}} विमान में एक [[उत्तल शरीर]] हो (एक उत्तल समुच्चय जिसका आंतरिक खाली नहीं है)। हम एक आयत r को अंदर अंकित कर सकते हैं {{mvar|C}} जैसे कि r की एक [[होमोथेटिक परिवर्तन]] कॉपी R के बारे में बताया गया है {{mvar|C}}. धनात्मक समरूपता अनुपात अधिक से अधिक 2 है और:<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF01263495| title = आयतों द्वारा उत्तल पिंडों का सन्निकटन| journal = Geometriae Dedicata| volume = 47| pages = 111–117| year = 1993| last1 = Lassak | first1 = M. | s2cid = 119508642}}</ref>
<math display=block>\tfrac{1}{2} \cdot\operatorname{Area}(R) \leq \operatorname{Area}(C) \leq 2\cdot \operatorname{Area}(r)</math>
<math display=block>\tfrac{1}{2} \cdot\operatorname{Area}(R) \leq \operatorname{Area}(C) \leq 2\cdot \operatorname{Area}(r)</math>
=== ब्लाश्के-संतालो आरेख ===
=== ब्लाश्के-संतालो आरेख ===
सेट <math>\mathcal{K}^2</math> उत्तल शरीर व्यास सामान्यीकरण डी, इसके अंतःत्रिज्या आर (उत्तल शरीर में निहित सबसे बड़ा वृत्त) और इसकी परिधि आर (उत्तल शरीर वाला सबसे छोटा वृत्त) के संदर्भ में सभी तलीय उत्तल पिंडों को परिचालित किया जा सकता है। वास्तव में, इस सेट को असमानताओं के सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है<ref name=":0">{{Cite journal|last=Santaló|first=L.|date=1961|title=समतल उत्तल आकृति के तीन तत्वों के बीच असमानताओं की पूरी प्रणाली पर|journal=Mathematicae Notae|volume=17|pages=82–104}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last1=Brandenberg|first1=René|last2=González Merino|first2=Bernardo|date=2017|title=एक पूर्ण 3-आयामी ब्लाश्के-सैंटलो आरेख|url=http://mia.ele-math.com/20-22|journal=Mathematical Inequalities & Applications|language=en|issue=2|pages=301–348|doi=10.7153/mia-20-22|issn=1331-4343|doi-access=free}}</ref>
समुच्चय <math>\mathcal{K}^2</math> उत्तल शरीर व्यास सामान्यीकरण d, इसके अंतःत्रिज्या r (उत्तल शरीर में निहित सबसे बड़ा वृत्त) और इसकी परिधि r (उत्तल शरीर वाला सबसे छोटा वृत्त) के संदर्भ में सभी तलीय उत्तल पिंडों को परिचालित किया जा सकता है। वास्तव में, इस समुच्चय को असमानताओं के समुच्चय द्वारा वर्णित किया जा सकता है<ref name=":0">{{Cite journal|last=Santaló|first=L.|date=1961|title=समतल उत्तल आकृति के तीन तत्वों के बीच असमानताओं की पूरी प्रणाली पर|journal=Mathematicae Notae|volume=17|pages=82–104}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last1=Brandenberg|first1=René|last2=González Merino|first2=Bernardo|date=2017|title=एक पूर्ण 3-आयामी ब्लाश्के-सैंटलो आरेख|url=http://mia.ele-math.com/20-22|journal=Mathematical Inequalities & Applications|language=en|issue=2|pages=301–348|doi=10.7153/mia-20-22|issn=1331-4343|doi-access=free}}</ref>
<math display=block>2r \le D \le 2R</math>
<math display=block>2r \le D \le 2R</math>
<math display=block>R \le \frac{\sqrt{3}}{3} D</math>
<math display=block>R \le \frac{\sqrt{3}}{3} D</math>
<math display=block>r + R \le D</math>
<math display=block>r + R \le D</math>
<math display=block>D^2 \sqrt{4R^2-D^2} \le 2R (2R + \sqrt{4R^2 -D^2})</math>
<math display=block>D^2 \sqrt{4R^2-D^2} \le 2R (2R + \sqrt{4R^2 -D^2})</math>
और फ़ंक्शन g की छवि के रूप में देखा जा सकता है जो एक उत्तल शरीर को प्रतिचित्रित करता है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} (r/r, d/2,r) द्वारा दिया गया बिंदु। इस फ़ंक्शन की छवि को एक (r, d, r) ब्लाचके-संतालो आरेख के रूप में जाना जाता है।<ref name=":1" />फ़ाइल: ब्लास्चके-सैंटलो_डायग्राम_फॉर_प्लानर_कोनवेक्स_बॉडीज़.पीडीएफ|alt=|center|thumb|673x673px|ब्लाशके-सैंटलो (r, d, r) प्लानर उत्तल पिंडों के लिए आरेख। <math>\mathbb{L}</math> रेखा खंड को दर्शाता है, <math>\mathbb{I}_{\frac{\pi}{3}}</math> समबाहु त्रिभुज, <math>\mathbb{RT}</math> Reuleaux त्रिकोण और <math>\mathbb{B}_2</math> यूनिट सर्कल। वैकल्पिक रूप से, सेट <math>\mathcal{K}^2</math> इसकी चौड़ाई (किसी भी दो अलग-अलग समानांतर समर्थन हाइपरप्लेन के बीच की सबसे छोटी दूरी), परिधि और क्षेत्र द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है।<ref name=":0" /><ref name=":1" />
और फलन g की छवि के रूप में देखा जा सकता है जो एक उत्तल शरीर को प्रतिचित्रित करता है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} (r/r, d/2,r) द्वारा दिया गया बिंदु। इस फलन की छवि को एक (r, d, r) ब्लाचके-संतालो आरेख के रूप में जाना जाता है।<ref name=":1" />फ़ाइल: ब्लास्चके-सैंटलो_डायग्राम_फॉर_प्लानर_कोनवेक्स_बॉडीज़.पीडीएफ|alt=|center|thumb|673x673px|ब्लाशके-सैंटलो (r, d, r) प्लानर उत्तल पिंडों के लिए आरेख। <math>\mathbb{L}</math> रेखा खंड को दर्शाता है, <math>\mathbb{I}_{\frac{\pi}{3}}</math> समबाहु त्रिभुज, <math>\mathbb{RT}</math> Reuleaux त्रिकोण और <math>\mathbb{B}_2</math> यूनिट सर्कल। वैकल्पिक रूप से, समुच्चय <math>\mathcal{K}^2</math> इसकी चौड़ाई (किसी भी दो अलग-अलग समानांतर समर्थन अधिसमतल के बीच की सबसे छोटी दूरी), परिधि और क्षेत्र द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है।<ref name=":0" /><ref name=":1" />




=== अन्य गुण ===
=== अन्य गुण ===
मान लीजिए कि X एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है और <math>C \subseteq X</math> उत्तल हो।
मान लीजिए कि X एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है और <math>C \subseteq X</math> उत्तल हो।
* <math>\operatorname{Cl} C</math> तथा <math>\operatorname{Int} C</math> दोनों उत्तल हैं (अर्थात उत्तल सेट का संवरण और आंतरिक भाग उत्तल हैं)।
* <math>\operatorname{Cl} C</math> तथा <math>\operatorname{Int} C</math> दोनों उत्तल हैं (अर्थात उत्तल समुच्चय का संवरण और आंतरिक भाग उत्तल हैं)।
* यदि <math>a \in \operatorname{Int} C</math> तथा <math>b \in \operatorname{Cl} C</math> फिर <math>[a, b[ \, \subseteq \operatorname{Int} C</math> (कहाँ पे <math>[a, b[ \, := \left\{ (1 - r) a + r b : 0 \leq r < 1 \right\}</math>).
* यदि <math>a \in \operatorname{Int} C</math> तथा <math>b \in \operatorname{Cl} C</math> फिर <math>[a, b[ \, \subseteq \operatorname{Int} C</math> (कहाँ पे <math>[a, b[ \, := \left\{ (1 - r) a + r b : 0 \leq r < 1 \right\}</math>).
* यदि <math>\operatorname{Int} C \neq \emptyset</math> फिर:
* यदि <math>\operatorname{Int} C \neq \emptyset</math> फिर:
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=== उत्तल पतवार ===
=== उत्तल पतवार ===
{{Main|convex hull}}
{{Main|उत्तल पतवार}}
हर उपसमुच्चय {{mvar|A}} सदिश स्थान का एक सबसे छोटा उत्तल सेट (जिसे उत्तल पतवार कहा जाता है) के भीतर समाहित है {{mvar|A}}), अर्थात् सभी उत्तल सेटों का चौराहा {{mvar|A}}. उत्तल-पतवार ऑपरेटर कनव () में [[बंद करने वाला ऑपरेटर]] के विशिष्ट गुण हैं:
हर उपसमुच्चय {{mvar|A}} सदिश स्थान का एक सबसे छोटा उत्तल समुच्चय (जिसे उत्तल पतवार कहा जाता है) के भीतर समाहित है {{mvar|A}}), अर्थात् सभी उत्तल समूह का चौराहा {{mvar|A}}. उत्तल-पतवार ऑपरेटर कनव () में [[बंद करने वाला ऑपरेटर]] के विशिष्ट गुण हैं:
* बहुत बड़ा: {{math|''S''&nbsp;⊆&nbsp;Conv(''S'')}},
* बहुत बड़ा: {{math|''S''&nbsp;⊆&nbsp;Conv(''S'')}},
* मोनोटोन फ़ंक्शन # क्रम सिद्धांत में एकरसता | गैर-घटता: {{math|''S''&nbsp;⊆&nbsp;''T''}} इसका आशय है {{math|Conv(''S'')&nbsp;⊆&nbsp;Conv(''T'')}}, तथा
* मोनोटोन फलन # क्रम सिद्धांत में एकरसता | गैर-घटता: {{math|''S''&nbsp;⊆&nbsp;''T''}} इसका आशय है {{math|Conv(''S'')&nbsp;⊆&nbsp;Conv(''T'')}}, तथा
* [[आलस्य]] : {{math|Conv(Conv(''S'')) {{=}} Conv(''S'')}}.
* [[आलस्य]] : {{math|Conv(Conv(''S'')) {{=}} Conv(''S'')}}.
उत्तल सेट के सेट को a बनाने के लिए उत्तल-पतवार ऑपरेशन की आवश्यकता होती है <!-- complete  -->जाली (क्रम), जिसमें जुड़ना और मिलना | ज्वाइन ऑपरेशन दो उत्तल सेटों के मिलन का उत्तल पतवार है
उत्तल समुच्चय के समुच्चय को a बनाने के लिए उत्तल-पतवार ऑपरेशन की आवश्यकता होती है <!-- complete  -->जाली (क्रम), जिसमें जुड़ना और मिलना | ज्वाइन ऑपरेशन दो उत्तल समूह के मिलन का उत्तल पतवार है
<math display=block>\operatorname{Conv}(S)\vee\operatorname{Conv}(T) = \operatorname{Conv}(S\cup T) = \operatorname{Conv}\bigl(\operatorname{Conv}(S)\cup\operatorname{Conv}(T)\bigr).</math>
<math display=block>\operatorname{Conv}(S)\vee\operatorname{Conv}(T) = \operatorname{Conv}(S\cup T) = \operatorname{Conv}\bigl(\operatorname{Conv}(S)\cup\operatorname{Conv}(T)\bigr).</math>
उत्तल सेटों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन स्वयं उत्तल होता है, इसलिए एक (वास्तविक या जटिल) वेक्टर स्थान के उत्तल उपसमुच्चय एक पूर्ण जाली (क्रम) बनाते हैं।
उत्तल समूह के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन स्वयं उत्तल होता है, इसलिए एक (वास्तविक या जटिल) सदिश स्थान के उत्तल उपसमुच्चय एक पूर्ण जाली (क्रम) बनाते हैं।


=== मिन्कोव्स्की जोड़ ===
=== मिन्कोव्स्की जोड़ ===
{{Main|
{{Main|
मिन्कोव्स्की अतिरिक्त}}
मिन्कोव्स्की अतिरिक्त}}
[[File:Minkowski sum graph - vector version.svg|thumb|alt=Three squares are shown in the nonnegative quadrant of the Cartesian plane. चौराहा {{math|''Q''<sub>1</sub> {{=}} [0, 1] × [0, 1]}} हरा है। चौराहा {{math|''Q''<sub>2</sub> {{=}} [1, 2] × [1, 2]}} भूरा है, और यह फ़िरोज़ा वर्ग के अंदर बैठता है {{math|1=Q<sub>1</sub>+Q<sub>2</sub>{{=}}[1,3]×[1,3]}}. सेट का। <!-- [[Minkowski addition|Minkowski]]&nbsp; -->-->वर्गों का योग Q<sub>1</sub>=[0,1]<sup>2</sup> और Q<sub>2</sub>=[1,2]<sup>2</sup> वर्ग Q है<sub>1</sub>+ क्यू<sub>2</sub>=[1,3]<sup>2</उप>।]]एक वास्तविक वेक्टर-स्पेस में, दो (गैर-खाली) सेटों का मिन्कोव्स्की जोड़, {{math|''S''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''S''<sub>2</sub>}}, सारांश के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''S''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''S''<sub>2</sub>}} सारांश-सेट से तत्व-वार वैक्टर के योग से बनता है
[[File:Minkowski sum graph - vector version.svg|thumb|alt=Three squares are shown in the nonnegative quadrant of the Cartesian plane. चौराहा {{math|''Q''<sub>1</sub> {{=}} [0, 1] × [0, 1]}} हरा है। चौराहा {{math|''Q''<sub>2</sub> {{=}} [1, 2] × [1, 2]}} भूरा है, और यह फ़िरोज़ा वर्ग के अंदर बैठता है {{math|1=Q<sub>1</sub>+Q<sub>2</sub>{{=}}[1,3]×[1,3]}}. सेट का। <!-- [[Minkowski addition|Minkowski]]&nbsp; -->-->वर्गों का योग Q<sub>1</sub>=[0,1]<sup>2</sup> और Q<sub>2</sub>=[1,2]<sup>2</sup> वर्ग Q है<sub>1</sub>+ क्यू<sub>2</sub>=[1,3]<sup>2</उप>।]]एक वास्तविक सदिश-स्पेस में, दो (गैर-खाली) समूह का मिन्कोव्स्की जोड़, {{math|''S''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''S''<sub>2</sub>}}, सारांश के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''S''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''S''<sub>2</sub>}} सारांश-समुच्चय से तत्व-वार वैक्टर के योग से बनता है
<math display=block>S_1+S_2=\{x_1+x_2: x_1\in S_1, x_2\in S_2\}.</math>
<math display=block>S_1+S_2=\{x_1+x_2: x_1\in S_1, x_2\in S_2\}.</math>
अधिक सामान्यतः, (गैर-रिक्त) सेटों के परिमित परिवार का मिन्कोव्स्की योग {{math|''S<sub>n</sub>''}} है <!-- defined to be --> सेट <!-- of vectors --> वैक्टर के तत्व-वार जोड़ से बनता है<!--  from the summand-sets -->
अधिक सामान्यतः, (गैर-रिक्त) समूह के परिमित परिवार का मिन्कोव्स्की योग {{math|''S<sub>n</sub>''}} है <!-- defined to be --> समुच्चय <!-- of vectors --> वैक्टर के तत्व-वार जोड़ से बनता है<!--  from the summand-sets -->
<math display=block> \sum_n S_n = \left \{ \sum_n x_n : x_n \in S_n \right \}.</math>
<math display=block> \sum_n S_n = \left \{ \sum_n x_n : x_n \in S_n \right \}.</math>
मिन्कोव्स्की योग के लिए, शून्य सेट{{math|{0} }} जिसमें केवल शून्य वेक्टर| शून्य वेक्टर हो {{math|0}} [[पहचान तत्व]] है: सदिश स्थान के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S के लिए
मिन्कोव्स्की योग के लिए, शून्य समुच्चय{{math|{0} }} जिसमें केवल शून्य सदिश| शून्य सदिश हो {{math|0}} [[पहचान तत्व]] है: सदिश स्थान के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S के लिए
<math display=block>S+\{0\}=S;</math>
<math display=block>S+\{0\}=S;</math>
बीजीय शब्दावली में, {{math|{0} }}मिन्कोव्स्की जोड़ का पहचान तत्व है (गैर-खाली सेटों के संग्रह पर)।<ref>The [[empty set]] is important in Minkowski addition, because the empty set annihilates every other subset: For every subset {{mvar|S}} of a vector space, its sum with the empty set is empty: <math>S+\emptyset=\emptyset</math>.</ref>
बीजीय शब्दावली में, {{math|{0} }}मिन्कोव्स्की जोड़ का पहचान तत्व है (गैर-खाली समूह के संग्रह पर)।<ref>The [[empty set]] is important in Minkowski addition, because the empty set annihilates every other subset: For every subset {{mvar|S}} of a vector space, its sum with the empty set is empty: <math>S+\emptyset=\emptyset</math>.</ref>




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उत्तल हल्स लेने की संक्रिया के संबंध में मिन्कोवस्की योग अच्छा व्यवहार करता है, जैसा कि निम्नलिखित प्रस्ताव द्वारा दिखाया गया है:
उत्तल हल्स लेने की संक्रिया के संबंध में मिन्कोवस्की योग अच्छा व्यवहार करता है, जैसा कि निम्नलिखित प्रस्ताव द्वारा दिखाया गया है:


होने देना {{math|''S''<sub>1</sub>, ''S''<sub>2</sub>}} एक वास्तविक सदिश-स्थान के उपसमुच्चय हों, उनके मिन्कोव्स्की योग का उत्तल हल उनके उत्तल हलों का मिन्कोव्स्की योग है
मान लीजिए  {{math|''S''<sub>1</sub>, ''S''<sub>2</sub>}} एक वास्तविक सदिश-स्थान के उपसमुच्चय हों, उनके मिन्कोव्स्की योग का उत्तल हल उनके उत्तल हलों का मिन्कोव्स्की योग है
<math display=block>\operatorname{Conv}(S_1+S_2)=\operatorname{Conv}(S_1)+\operatorname{Conv}(S_2).</math>
<math display=block>\operatorname{Conv}(S_1+S_2)=\operatorname{Conv}(S_1)+\operatorname{Conv}(S_2).</math>
यह परिणाम आमतौर पर गैर-रिक्त सेटों के प्रत्येक सीमित संग्रह के लिए अधिक होता है:
यह परिणाम आमतौर पर गैर-रिक्त समूह के प्रत्येक सीमित संग्रह के लिए अधिक होता है:
<math display=block>\text{Conv}\left ( \sum_n S_n \right ) = \sum_n \text{Conv} \left (S_n \right).</math>
<math display=block>\text{Conv}\left ( \sum_n S_n \right ) = \sum_n \text{Conv} \left (S_n \right).</math>
गणितीय शब्दावली में, मिन्कोवस्की संकलन की [[संक्रिया (गणित)]] और उत्तल पतवार बनाने की संक्रियाएँ [[क्रमविनिमेयता]] संक्रियाएँ हैं।<ref>Theorem&nbsp;3 (pages&nbsp;562–563): {{cite journal|first1=M.|last1=Krein|author-link1=Mark Krein|first2=V.|last2=Šmulian|year=1940|title=On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series| volume=41 |issue=3 |pages=556–583|jstor=1968735|doi=10.2307/1968735}}</ref><ref name="Schneider">For the commutativity of [[Minkowski addition]] and [[convex hull|convexification]], see Theorem&nbsp;1.1.2 (pages&nbsp;2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the [[convex hull]]s of [[Minkowski addition|Minkowski]] [[sumset]]s in its "Chapter&nbsp;3 Minkowski addition" (pages&nbsp;126–196): {{cite book|last=Schneider|first=Rolf|title=Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory|series=Encyclopedia of mathematics and its applications|volume=44|publisher=Cambridge&nbsp;University Press|location=Cambridge|year=1993|pages=xiv+490|isbn=0-521-35220-7|mr=1216521|url=https://archive.org/details/convexbodiesbrun0000schn}}</ref>
गणितीय शब्दावली में, मिन्कोवस्की संकलन की [[संक्रिया (गणित)]] और उत्तल पतवार बनाने की संक्रियाएँ [[क्रमविनिमेयता]] संक्रियाएँ हैं।<ref>Theorem&nbsp;3 (pages&nbsp;562–563): {{cite journal|first1=M.|last1=Krein|author-link1=Mark Krein|first2=V.|last2=Šmulian|year=1940|title=On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series| volume=41 |issue=3 |pages=556–583|jstor=1968735|doi=10.2307/1968735}}</ref><ref name="Schneider">For the commutativity of [[Minkowski addition]] and [[convex hull|convexification]], see Theorem&nbsp;1.1.2 (pages&nbsp;2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the [[convex hull]]s of [[Minkowski addition|Minkowski]] [[sumset]]s in its "Chapter&nbsp;3 Minkowski addition" (pages&nbsp;126–196): {{cite book|last=Schneider|first=Rolf|title=Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory|series=Encyclopedia of mathematics and its applications|volume=44|publisher=Cambridge&nbsp;University Press|location=Cambridge|year=1993|pages=xiv+490|isbn=0-521-35220-7|mr=1216521|url=https://archive.org/details/convexbodiesbrun0000schn}}</ref>




=== उत्तल सेटों के मिन्कोवस्की योग ===
=== उत्तल समूह के मिन्कोवस्की योग ===
दो सघन उत्तल समुच्चयों का मिन्कोव्स्की योग संहत है। एक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट और एक बंद उत्तल सेट का योग बंद है।<ref>Lemma&nbsp;5.3: {{cite book|first1=C.D.|last1= Aliprantis|first2=K.C.| last2=Border|title=Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide| publisher=Springer| location=Berlin|year=2006|isbn=978-3-540-29587-7}}</ref>
दो सघन उत्तल समुच्चयों का मिन्कोव्स्की योग संहत है। एक कॉम्पैक्ट उत्तल समुच्चय और एक बंद उत्तल समुच्चय का योग बंद है।<ref>Lemma&nbsp;5.3: {{cite book|first1=C.D.|last1= Aliprantis|first2=K.C.| last2=Border|title=Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide| publisher=Springer| location=Berlin|year=2006|isbn=978-3-540-29587-7}}</ref>
निम्नलिखित प्रसिद्ध प्रमेय, 1966 में डियूडोने द्वारा सिद्ध किया गया, दो बंद उत्तल उपसमुच्चय के अंतर को बंद करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।<ref name="Zalinescu p. 7">{{cite book|last=Zălinescu|first=C.|title=सामान्य सदिश स्थानों में उत्तल विश्लेषण|url=https://archive.org/details/convexanalysisge00zali_934|url-access=limited|publisher=World Scientific Publishing Co., Inc|location= River Edge, NJ |date= 2002|page=[https://archive.org/details/convexanalysisge00zali_934/page/n27 7]|isbn=981-238-067-1|mr=1921556}}</ref> यह एक गैर-खाली उत्तल उपसमुच्चय ''S'' के मंदी शंकु की अवधारणा का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
निम्नलिखित प्रसिद्ध प्रमेय, 1966 में डियूडोने द्वारा सिद्ध किया गया, दो बंद उत्तल उपसमुच्चय के अंतर को बंद करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।<ref name="Zalinescu p. 7">{{cite book|last=Zălinescu|first=C.|title=सामान्य सदिश स्थानों में उत्तल विश्लेषण|url=https://archive.org/details/convexanalysisge00zali_934|url-access=limited|publisher=World Scientific Publishing Co., Inc|location= River Edge, NJ |date= 2002|page=[https://archive.org/details/convexanalysisge00zali_934/page/n27 7]|isbn=981-238-067-1|mr=1921556}}</ref> यह एक गैर-खाली उत्तल उपसमुच्चय ''S'' के मंदी शंकु की अवधारणा का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
<math display=block>\operatorname{rec} S = \left\{ x \in X \, : \, x + S \subseteq S \right\},</math>
<math display=block>\operatorname{rec} S = \left\{ x \in X \, : \, x + S \subseteq S \right\},</math>
जहां यह सेट [[उत्तल शंकु]] युक्त है <math>0 \in X </math> और संतोषजनक <math>S + \operatorname{rec} S = S</math>. ध्यान दें कि यदि S बंद है और तब उत्तल है <math>\operatorname{rec} S</math> बंद है और सभी के लिए है <math>s_0 \in S</math>,
जहां यह समुच्चय [[उत्तल शंकु]] युक्त है <math>0 \in X </math> और संतोषजनक <math>S + \operatorname{rec} S = S</math>. ध्या