आश्लेषी वृत्त

"चुंबन मंडलियां" redirects here. For पारस्परिक रूप से स्पर्शरेखा (चुंबन) हलकों पर डेसकार्टेस प्रमेय, see डेसकार्टेस प्रमेय.

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एक ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल

File:Osculating circles of the Archimedean spiral.svg

आर्किमिडीज़ सर्पिल के ओस्क्यूलेटिंग सर्कल, टैट-नेसर प्रमेय द्वारा घोंसला। सर्पिल स्वयं नहीं खींचा जाता है: हम इसे उन बिंदुओं के स्थान के रूप में देखते हैं जहां मंडल विशेष रूप से एक-दूसरे के करीब होते हैं।

वक्रों की विभेदक ज्यामिति में, वक्र पर दिए गए बिंदु p पर पूर्ण रूप से कोमल समतल वक्र के दोलन चक्र को पारंपरिक रूप से p से गुजरने वाले वृत्त और वक्र पर अतिरिक्त बिंदुओं की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित किया गया है।इसका केंद्र आंतरिक सामान्य रेखा पर स्थित है और इसकी वक्रता उस बिंदु पर दिए गए वक्र की वक्रता को परिभाषित करती है।यह वृत्त, जो दिए गए बिंदु पर प्रत्येक स्पर्शरेखा व्रतों में से एक है, जो वक्र को सबसे अधिक दृढ़ता से प्राप्त करता है, को गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो द्वारा सर्कुलस ऑस्कुलन्स (चुंबन चक्र के लिए लैटिन) नाम दिया गया था।

किसी दिए गए बिंदु पर दोलन वृत्त के केंद्र और त्रिज्या को वक्रता का केंद्र और उस बिंदु पर वक्र की वक्रता त्रिज्या कहा जाता है।आइजैक न्यूटन ने अपने फिलॉसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका में एक ज्यामितीय निर्माण का वर्णन किया था:

वहाँ दिया जा रहा है, किसी भी स्थान पर,जिस वेग के साथ एक शरीर किसी दिए गए आंकड़े का वर्णन करता है, बलों के माध्यम से कुछ सामान्य केंद्र को निर्देशित किया जाता है: उस केंद्र को ज्ञात करने के लिए.

— आइजैक न्यूटन, प्रिंसिपिया; प्रस्ताव V. समस्या I.

गैर-तकनीकी विवरण

एक विशाल समतल विमान पर घुमावदार सड़क के साथ चलती कार की कल्पना करें। अचानक, सड़क के एक बिंदु पर, स्टीयरिंग व्हील अपनी वर्तमान स्थिति में लॉक हो जाता है। इसके बाद, कार एक सर्कल में चलती है जो लॉकिंग के बिंदु पर सड़क को चूमती है। वृत्त की वक्रता उस बिंदु पर सड़क की वक्रता के बराबर होती है। वह वृत्त उस बिंदु पर सड़क वक्र का दोलनशील वृत्त है।

गणितीय विवरण

See also: Curvature

होने देना γ(s) एक नियमित पैरामीट्रिक वक्र बनें, जहां s चाप की लंबाई है (विभेदनीय वक्र#लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन)। यह इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर निर्धारित करता है T(s), इकाई सामान्य वेक्टर N(s), वक्रता#सटीक परिभाषा k(s) और वक्रता त्रिज्या R(s) प्रत्येक बिंदु पर जिसके लिए s बना है:

$$T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.$$

मान लीजिए कि P पर एक बिंदु है जहाँ k ≠ 0. वक्रता का संगत केंद्र बिंदु Q है जो N के अनुदिश R की दूरी पर है, यदि k धनात्मक है और विपरीत दिशा में k ऋणात्मक है तो उसी दिशा में है। Q पर केंद्र वाला और R त्रिज्या वाले वृत्त को बिंदु P पर वक्र पर 'स्पष्ट रूप से दोलन ' कहा जाता है।

यदि सी एक नियमित अंतरिक्ष वक्र है तो मुख्य सामान्य वेक्टर एन का उपयोग करके ऑस्कुलेटिंग सर्कल को इसी तरह परिभाषित किया जाता है। यह ऑस्क्यूलेटिंग विमान में स्थित है, स्पर्शरेखा और प्रमुख सामान्य वैक्टर टी और एन द्वारा बिंदु पी पर फैला हुआ विमान।

समतल वक्र को एक भिन्न नियमित पैरामीट्रिजेशन में भी दिया जा सकता है

$$\gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}$$

जहां नियमित का अर्थ है कि $\gamma '(t)\neq 0$ सभी के लिए $t$. फिर हस्ताक्षरित वक्रता k(t), सामान्य इकाई वेक्टर N(t), वक्रता त्रिज्या R(t), और केंद्र Q(t) के सूत्र हैं

$$k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}$$

$$R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.$$

कार्तीय निर्देशांक

यदि हम स्थानापन्न करें तो हम कार्टेशियन निर्देशांक में ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल का केंद्र प्राप्त कर सकते हैं t = x तथा y = f(x) किसी फ़ंक्शन के लिए f. यदि हम परिकलन करते हैं तो ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल के केंद्र के एक्स और वाई निर्देशांक के परिणाम हैं:

$$x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}$$

प्रत्यक्ष ज्यामितीय व्युत्पत्ति

तीन बिंदुओं पर विचार करें ${\textstyle P_{0}}$,${\textstyle P_{1}}$ तथा ${\textstyle P_{2}}$, कहाँ पे ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$. इन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात करने के लिए, हमें पहले के खंड समद्विभाजक ज्ञात करने होंगे ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ तथा ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ और फिर बिंदु ${\textstyle C}$ जहां ये रेखाएं पार करती हैं। इसलिए, के निर्देशांक ${\textstyle C}$ दो समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली को हल करके प्राप्त किया जाता है:

$$\left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2$$

कहाँ पे ${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$, ${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$ के लिये ${\textstyle u=x,y}$.

अब वक्र पर विचार करें ${\textstyle P=P(\tau )}$ और सेट करें ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$, ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ तथा ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$. दूसरे क्रम में ${\textstyle d\tau }$, अपने पास

$${\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}$$
 और के लिए एक समान अभिव्यक्ति ${\textstyle \delta u_{2}}$ तथा ${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$ जहां का चिन्ह ${\textstyle d\tau ^{2}}$ उलट जाता है। के लिए समीकरण विकसित करना ${\textstyle x_{c},y_{c}}$ और शर्तों को में समूहित करना ${\textstyle d\tau }$ तथा ${\textstyle d\tau ^{2}}$, हमने प्राप्त किया
$${\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}$$
 दर्शाने ${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$, पहले समीकरण का अर्थ है कि ${\textstyle \mathbf {r} }$ इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है ${\textstyle P_{1}}$:
$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0$$
 दूसरे संबंध का अर्थ है कि
$$\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1$$
 कहाँ पे
$$\mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}$$
 वक्रता वेक्टर है। समतल ज्यामिति में, ${\textstyle \mathbf {k} }$ यह ओर्थोगोनल है ${\textstyle \mathbf {t} }$ इसलिये

$$\mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0$$

इसलिए ${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$ और दोलन वृत्त की त्रिज्या वक्रता के ठीक व्युत्क्रम है।

के निर्देशांक के लिए समीकरण को हल करना ${\textstyle C}$, हम देखतें है

$${\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}$$

कम से कम समस्या के रूप में ओस्कुलेटिंग सर्कल

एक वक्र पर विचार करें ${\textstyle C}$ समीकरण द्वारा आंतरिक रूप से परिभाषित

$$f(x,y)=0$$

जिसे हम सतह के खंड के रूप में कल्पना कर सकते हैं ${\textstyle z=f(x,y)}$ विमान से ${\textstyle z=0}$. साधारण ${\textstyle \mathbf {n} }$ एक बिंदु पर वक्र के लिए ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ इस बिंदु पर ढाल है

$$\mathbf {n} =(f_{x},f_{y})$$

इसलिए, स्पर्शरेखा वृत्तों के केंद्र ${\textstyle B_{\alpha }}$ द्वारा दिए गए हैं

$$X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}$$

कहाँ पे ${\textstyle \alpha }$ पैरामीटर है। किसी प्रदत्त के लिए ${\textstyle \alpha ,}$त्रिज्या ${\textstyle R}$ का ${\textstyle B_{\alpha }}$ है

$$R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})$$

हम सभी संभावित मंडलियों में से खोजना चाहते हैं ${\textstyle B_{\alpha }}$, वह जो सबसे अच्छे वक्र से मेल खाता है।

एक बिंदु के निर्देशांक ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ के रूप में लिखा जा सकता है

$$x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta$$
 कहाँ के लिए ${\textstyle \theta =\theta _{0}}$, ${\textstyle P_{1}=P_{0}}$, अर्थात।
$$R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}$$
 अब एक बिंदु पर विचार करें ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ के करीब ${\textstyle P_{0}}$, जहां इसका कोण है ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$. त्रिकोणमितीय कार्यों को दूसरे क्रम में विकसित करना ${\textstyle d\theta }$ और उपरोक्त संबंधों का उपयोग करते हुए, के निर्देशांक $P_{1}$ हैं
$${\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}$$
 अब हम फ़ंक्शन का मूल्यांकन कर सकते हैं ${\textstyle f}$ बिंदु पर ${\textstyle P_{1}}$ और इसकी भिन्नता  $f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})$.

पहले क्रम में भिन्नता शून्य है ${\textstyle d\theta }$ निर्माण द्वारा (पहले क्रम में ${\textstyle \theta }$, ${\textstyle P_{1}}$ वक्र की स्पर्श रेखा पर है ${\textstyle C}$) के अनुपात में भिन्नता $(d\theta )^{2}$ है

$$df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)$$

और यह भिन्नता शून्य है यदि हम चुनते हैं

$$\alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}$$
 अत: दोलन वृत्त की त्रिज्या है
$$R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|$$

एक स्पष्ट समारोह के लिए $f(x,y)=y-g(x)$, हम पिछले खंड के परिणाम पाते हैं।

गुण

पर्याप्त रूप से चिकनी पैरामीट्रिक समीकरणों (दो बार लगातार अलग-अलग) द्वारा दिए गए वक्र सी के लिए, ऑस्कुलेटिंग सर्कल एक सीमित प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: यह सी पर तीन अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाले मंडलियों की सीमा है क्योंकि ये बिंदु पी के करीब पहुंचते हैं। यह पूरी तरह से वक्र के स्पर्शरेखा के निर्माण के समान है, जो कि सी पर अलग-अलग बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से छेदक रेखाओं की सीमा के रूप में है, जो कि पी के निकट है।

एक नियमित बिंदु P पर एक समतल वक्र C से दोलनशील वृत्त S को निम्नलिखित गुणों द्वारा चित्रित किया जा सकता है:

• वृत्त S, P से होकर गुजरता है।
• वृत्त S और वक्र C में P पर वृत्त रेखा की स्पर्श रेखाएँ हैं, और इसलिए उभयनिष्ठ सामान्य रेखा है।
• P के करीब, वक्र C के बिंदुओं और सामान्य दिशा में वृत्त S के बीच की दूरी घन के रूप में या स्पर्शरेखा दिशा में P से दूरी की उच्च शक्ति के रूप में घट जाती है।

इसे आमतौर पर वक्र के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसके ऑस्कुलेटिंग सर्कल में पी पर दूसरा या उच्च क्रम संपर्क (गणित) होता है। संक्षेप में, सी और एस का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर फ़ंक्शन पी पर उनके पहले और दूसरे डेरिवेटिव के साथ सहमत होते हैं।

यदि s के संबंध में वक्रता का व्युत्पन्न P पर गैर-शून्य है, तो दोलन वृत्त वक्र C को P पर पार करता है। बिंदु P जिस पर वक्रता का व्युत्पन्न शून्य होता है, शीर्ष (वक्र) कहलाता है। यदि P एक शीर्ष है तो C और उसके दोलन वृत्त में कम से कम तीन क्रम का संपर्क है। यदि, इसके अलावा, वक्रता में P पर एक गैर-शून्य स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होता है, तो दोलन वृत्त वक्र C को P पर स्पर्श करता है लेकिन इसे पार नहीं करता है।

वक्र C को इसके दोलन वृत्तों के एक-पैरामीटर परिवार के लिफ़ाफ़े (गणित) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। उनके केंद्र, यानी वक्रता के केंद्र, एक और वक्र बनाते हैं, जिसे C का विकसित कहा जाता है। C के वर्टिस इसके एवोल्यूट पर एकवचन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं।

वक्र C के किसी भी चाप के भीतर, जिसके भीतर वक्रता मोनोटोनिक है (अर्थात, वक्र के किसी भी शीर्ष (वक्र) से दूर), ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल सभी एक दूसरे के भीतर अलग और नेस्टेड हैं। इस परिणाम को टैट-नेसर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

परबोला

इसके शीर्ष पर परवलय के दोलन वृत्त की त्रिज्या 0.5 और चौथे क्रम का संपर्क है।

परवलय के लिए

$$\gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}$$

वक्रता त्रिज्या है

$$R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|$$

शीर्ष पर $\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$ वक्रता त्रिज्या बराबर होती है R(0) = 0.5 (रेखा - चित्र देखें)। परवलय का चौथे क्रम का संपर्क वहां अपने दोलन चक्र के साथ होता है। बड़े के लिए t वक्रता त्रिज्या बढ़ जाती है ~ t³, यानी वक्र अधिक से अधिक सीधा होता है।

लिसाजस वक्र

फ्रेमआवृत्तियों के अनुपात (3:2) के साथ एक लिसाजस वक्र को निम्नानुसार पैरामीट्रिज किया जा सकता है

$\gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.$

इसने वक्रता पर हस्ताक्षर किए हैं k(t), सामान्य इकाई वेक्टर N(t) और वक्रता त्रिज्या R(t) के द्वारा दिया गया

$$k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,$$

$$N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}$$

तथा

$$R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.$$

एनीमेशन के लिए चित्र देखें। वहाँ त्वरण वेक्टर दूसरा व्युत्पन्न है ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ चाप की लंबाई के संबंध में s.

चक्रवात

File:Cycloid osculating circle evolute 2.gif

साइक्लॉयड (नीला), इसका ऑस्कुलेटिंग सर्कल (लाल) और एवोल्यूट (हरा)।

त्रिज्या वाला एक चक्रज r निम्नानुसार पैरामीट्रिज किया जा सकता है:

$$\gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}$$

इसकी वक्रता निम्न सूत्र द्वारा दी गई है:

$$\kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}$$

जो देता है:

$$R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}$$

यह भी देखें

• सर्कल पैकिंग प्रमेय
• ओस्कुलेटिंग कर्व
• ओस्कुलेटिंग क्षेत्र

अग्रिम पठन

For some historical notes on the study of curvature, see

• Grattan-Guinness & H. J. M. Bos (2000). From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History. Princeton University Press. p. 72. ISBN 0-691-07082-2.
• Roy Porter, ed. (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science. Cambridge University Press. p. 313. ISBN 0-521-57243-6.

For application to maneuvering vehicles see

• JC Alexander and JH Maddocks (1988): On the maneuvering of vehicles doi:10.1137/0148002
• Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. p. 1. ISBN 0-89871-259-9.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

• आर्किमिडीयन सर्पिल
• बहुत छोता
• वक्राकार लंबाई
• प्रमुख सामान्य वेक्टर
• वृत्तों की स्पर्श रेखाएं
• टैट-कनेसर प्रमेय
• लिफाफा (गणित)

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Osculating Circle". MathWorld.
• math3d : osculating_circle