भिन्न: Difference between revisions

{{short description|Mathematical representation of a portion of a whole}}

{{other uses}}

एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं<!--boldface per WP:R#PLA-->। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) {{sfrac|1|3}}), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में {{Fraction|4|9}})।<ref name=ambrose/> इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Fraction.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या भिन्न स्लैश।{{refn|group=n|Some typographers such as [[Robert Bringhurst|Bringhurst]] mistakenly distinguish the slash {{angle brackets|[[/]]}} as the ''[[wikt:virgule|virgule]]'' and the fraction slash {{angle brackets|[[⁄]]}} as the ''[[solidus mark|solidus]]'',<ref name="bringhurst">{{cite book |last=Bringhurst |first=Robert |year=2002 |title=The Elements of Typographic Style |edition=3rd |publisher=Hartley & Marks |isbn=978-0-88179-206-5 |pages=81–82 |contribution=5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions |location=[[Point Roberts, Washington|Point Roberts]]}}</ref> although in fact both are synonyms for the standard slash.<ref name=verg>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=virgule, ''n.'' |date=1917 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref><ref name=oedsolid>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=solidus, ''n.¹'' |date=1913 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref>}} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।<ref name=ambrose>{{cite book |last=Ambrose |first=Gavin |author2=Paul Harris |display-authors=1 |ref={{harvid|Ambrose & al.}} |page=[https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&pg=PA74 74] |url=https://books.google.com/books?id=IW9MAQAAQBAJ |title=The Fundamentals of Typography |edition=2nd |publisher=AVA Publishing |location=Lausanne |date=2006 |isbn=978-2-940411-76-4 |access-date=2016-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022742/https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&printsec=frontcover |archive-date=2016-03-04 |url-status=live }}.</ref> पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। {{sfrac|1|2}}) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा भिन्न कहा जाता था।

जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।

एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण है। इसका उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, इंच वैज्ञानिक माप मिश्रित संख्याओं के बजाय हमेशा दशमलव अंक का उपयोग करते हैं। राशि को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त जैसे  "+" उदाहरण के लिए-  दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन-चौथाई का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक विषम भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

जब गुणन का इरादा होता है, <math> 2 \tfrac{b}{c}</math> के रूप में लिखा जा सकता है

एक विषम भिन्न को निम्नानुसार मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है:

# नया हर विषम भिन्न के हर के समान है।उदाहरण में, यह 4. इस प्रकार है, <math>\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}</math>।

==== मिस्र का भिन्न ====

==== जटिल और यौगिक भिन्न ====

{{distinguish|Complex numbers}}

:<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}</math>

:<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math>

:<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.</math>

:<math>5/(10/(20/40)) = \frac{5}{10/\tfrac{20}{40}} = \frac{1}{4}\quad</math> या के रूप में <math>\quad (5/10)/(20/40) = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{20}{40}} = 1</math>

फिर भी, जटिल भिन्न और यौगिक भिन्न दोनों को पुराना माना जा सकता है<ref>https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |date=2017-12-01 }} et al.</ref> और अब कोई अच्छी तरह से परिभाषित तरीके से उपयोग किया जाता है, आंशिक रूप से एक दूसरे के लिए समानार्थी रूप से लिया जाता है<ref>{{cite web |url=https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |title=Complex fraction definition and meaning |publisher=Collins English Dictionary |date=2018-03-09 |access-date=2018-03-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |archive-date=2017-12-01 |url-status=live }}</ref> या मिश्रित अंकों के लिए।<ref>{{cite web |url=http://www.sosmath.com/algebra/fraction/frac5/frac5.html |title=Compound Fractions |publisher=Sosmath.com |date=1996-02-05 |access-date=2018-03-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180314105714/http://www.sosmath.com/algebra/fraction/frac5/frac5.html |archive-date=2018-03-14 |url-status=live }}</ref> उन्होंने तकनीकी शब्दों के रूप में अपना अर्थ खो दिया है और विशेषताओं को जटिल और यौगिक का उपयोग उनके हर दिन में भागों से मिलकर किया जाता है।

== भिन्नों के साथ अंकगणित ==

=== समकक्ष भिन्न ===

==== सरलीकरण (कम करना) भिन्न{{anchor|Simplification|Reduction}}====

एक अन्य उदाहरण के रूप में, चूंकि 63 और 462 का सबसे बड़ा आम हर 21 है, इसलिए भिन्न <math>\tfrac{63}{462}</math> न्यूमरेटर और हर को 21 से विभाजित करके सबसे कम शब्दों में कम किया जा सकता है:

यदि समान हर नकारात्मक हैं, तो भिन्नों की तुलना करने का विपरीत परिणाम भिन्नों के लिए रखता है:

:<math>\tfrac24+\tfrac34=\tfrac54=1\tfrac14</math>.

निम्नलिखित दो मात्राओं को जोड़ने पर विचार करें:

:<math>\frac35+\frac23</math>

अब यह देखा जा सकता है कि:

इस विधि को बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

:<math>\frac{a}{b} + \frac {c}{d} = \frac{ad+cb}{bd}</math>