भिन्न: Difference between revisions
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जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)। | जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)। | ||
पूरे भिन्न को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक भिन्न के साथ कई भिन्नों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें भिन्न है {{sfrac|2|5}} और दो पांचवें एक ही भिन्न है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है {{sfrac|1|5}}।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक भिन्न का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर भिन्न के रूप में पढ़कर, मूल अंक के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस भिन्नों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है। (उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े हर के साथ भिन्न जो दस की | पूरे भिन्न को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक भिन्न के साथ कई भिन्नों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें भिन्न है {{sfrac|2|5}} और दो पांचवें एक ही भिन्न है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है {{sfrac|1|5}}।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक भिन्न का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर भिन्न के रूप में पढ़कर, मूल अंक के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस भिन्नों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है। (उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े हर के साथ भिन्न जो दस की घात यां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, {{sfrac|1|117}} एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, {{sfrac|6|1000000}} छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)। | ||
== भिन्नों के रूप == | == भिन्नों के रूप == | ||
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=== सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न === | === सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न === | ||
<!-- Real number links here. --> | <!-- Real number links here. --> | ||
एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे '' a/b या <math>\tfrac{a}{b}</math>,के रूप में लिखा गया है जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं।<ref>{{MathWorld |title=Common Fraction |id=CommonFraction}}</ref> अन्य भिन्नों के साथ, हर (b) शून्य नहीं हो सकता है। उदाहरणों में शामिल <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>-\tfrac{8}{5}</math>, <math>\tfrac{-8}{5}</math>, तथा <math>\tfrac{8}{-5}</math>, इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल भिन्न से इस प्रकार के भिन्न को अलग करने के लिए किया गया था।<ref name="Smith1958">{{cite book|author=David E. Smith|title=History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC|date=1 June 1958|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-20430-7|page=219}}</ref>'' सामान्य भिन्न सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या | एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे '' a/b या <math>\tfrac{a}{b}</math>,के रूप में लिखा गया है जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं।<ref>{{MathWorld |title=Common Fraction |id=CommonFraction}}</ref> अन्य भिन्नों के साथ, हर (b) शून्य नहीं हो सकता है। उदाहरणों में शामिल <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>-\tfrac{8}{5}</math>, <math>\tfrac{-8}{5}</math>, तथा <math>\tfrac{8}{-5}</math>, इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल भिन्न से इस प्रकार के भिन्न को अलग करने के लिए किया गया था।<ref name="Smith1958">{{cite book|author=David E. Smith|title=History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC|date=1 June 1958|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-20430-7|page=219}}</ref>'' सामान्य भिन्न सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या विषम हो सकते हैं (नीचे देखें)। यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न, मिश्रित अंक, और दशमलव (नीचे देखें) सामान्य भिन्न नहीं हैं; हालांकि, जब तक तर्कहीन नहीं होता है, तब तक उन्हें एक सामान्य भिन्न का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है। | ||
* एक इकाई भिन्न 1 के एक भिन्न के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट भिन्नों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है<sup>−1 </sup>, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>−2 </sup>, जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2 </sup>) या 1/4। | * एक इकाई भिन्न 1 के एक भिन्न के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट भिन्नों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है<sup>−1 </sup>, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>−2 </sup>, जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2 </sup>) या 1/4। | ||
* एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की | * एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की घात है, उदा। <math>\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2^3}</math>। | ||
यूनिकोड में, प्रीकोम्ड भिन्न वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं। | यूनिकोड में, प्रीकोम्ड भिन्न वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं। | ||
=== सम और विषम भिन्न === | === सम और विषम भिन्न === | ||
सामान्य भिन्नों को या तो उचित या | सामान्य भिन्नों को या तो उचित या विषम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। जब भिन्न और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो भिन्न को उचित कहा जाता है यदि भिन्न हर से कम है, और अन्यथा विषम है।<ref>{{cite web |url=http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |title=World Wide Words: Vulgar fractions |work=World Wide Words |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141030183347/http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |archive-date=2014-10-30 |url-status=live}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Improper Fraction |id=ImproperFraction}}</ref> एक विषम भिन्न की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि भिन्न का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित भिन्न 1 से कम होना चाहिए।<ref name="Smith1958"/>यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।<ref name="Williams2011">{{cite book |author=Jack Williams |title=Robert Recorde: Tudor Polymath, Expositor and Practitioner of Computation |url=https://books.google.com/books?id=dTqHIM1ds1kC&pg=PA87 |date=19 November 2011 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-85729-862-1 |pages=87–}}</ref><ref name="Record1654">{{cite book |last=Record |first=Robert |title=Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick ... Made by Mr. Robert Record ... Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise ... By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected ... and Enlarged ; with an Appendix of Figurative Numbers ... with Tables of Board and Timber Measure ... the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter ... Calculated by Ro. Hartwell ... |url=https://books.google.com/books?id=colv-l9SOlcC&pg=PA266 |year=1654 |publisher=James Flesher, and are to be sold by Edward Dod |pages=266–}}</ref> | ||
सामान्य तौर पर, एक सामान्य भिन्न को एक उचित भिन्न कहा जाता है, यदि भिन्न का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि भिन्न −1 से अधिक है और 1 से कम है।<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |title=Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper? |author=Laurel |date=31 March 2004 |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141109010850/http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |archive-date=9 November 2014 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |title=New England Compact Math Resources |access-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120415053421/http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |archive-date=2012-04-15 |url-status=dead}}</ref> यह एक | सामान्य तौर पर, एक सामान्य भिन्न को एक उचित भिन्न कहा जाता है, यदि भिन्न का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि भिन्न −1 से अधिक है और 1 से कम है।<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |title=Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper? |author=Laurel |date=31 March 2004 |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141109010850/http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |archive-date=9 November 2014 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |title=New England Compact Math Resources |access-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120415053421/http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |archive-date=2012-04-15 |url-status=dead}}</ref> यह एक विषम भिन्न, या कभी-कभी शीर्ष-भारी भिन्न कहा जाता है,<ref>{{cite book |last1=Greer |first1=A. |title=New comprehensive mathematics for 'O' level |date=1986 |publisher=Thornes |location=Cheltenham |isbn=978-0-85950-159-0 |page=5 |edition=2nd ed., reprinted |url=https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |access-date=2014-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190119204758/https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |archive-date=2019-01-19 |url-status=live}}</ref> यदि भिन्न का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित भिन्नों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि विषम भिन्नों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और 3/3। | ||
=== व्युत्क्रम और अदृश्य हर === | === व्युत्क्रम और अदृश्य हर === | ||
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=== दशमलव भिन्न और प्रतिशत === | === दशमलव भिन्न और प्रतिशत === | ||
एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक | एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक घात माना जाता है। दशमलव भिन्नों को आमतौर पर दशमलव अंकन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर को दशमलव विहर के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि, एक उठाया अवधि (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव विहर#हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें | दशमलव विहर)।इस प्रकार, 0.75 के लिए भिन्न 75 है और निहित हर 10 से दूसरी घात है, '' अर्थात। '' 100, क्योंकि दशमलव विहर के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है। 3.75 या तो एक विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, <math>3\tfrac{75}{100}</math>। | ||
दशमलव भिन्नों को नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे {{val|6.023|e=-7}}, जो 0.0000006023 का प्रतिनिधित्व करता | दशमलव भिन्नों को नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे {{val|6.023|e=-7}}, जो 0.0000006023 का प्रतिनिधित्व करता है, यहां {{val|e=-7}} के हर एक का {{val|e=7}} प्रतिनिधित्व करता है। विभाजित करना {{val|e=7}}भाग करने पर दशमलव बिंदु 7 स्थानों को बाईं ओर ले जाता है। | ||
दशमलव विहर के दाईं ओर असीम रूप से कई अंकों के साथ दशमलव भिन्न एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते | दशमलव विहर के दाईं ओर असीम रूप से कई अंकों के साथ दशमलव भिन्न एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, {{sfrac|1|3}} = 0.333 ... अनंत श्रृंखला 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
एक अन्य प्रकार का भिन्न प्रतिशत (लैटिन प्रतिशत प्रति सौ अर्थ, प्रतीक % द्वारा दर्शाया गया) है, जिसमें निहित हर हमेशा 100 होता है। इस प्रकार, 51 % का अर्थ है 51/100। शून्य से 100 या उससे कम प्रतिशत का | एक अन्य प्रकार का भिन्न प्रतिशत (लैटिन प्रतिशत प्रति सौ अर्थ, प्रतीक % द्वारा दर्शाया गया) है, जिसमें निहित हर हमेशा 100 होता है। इस प्रकार, 51% का अर्थ है 51/100। शून्य से 100 या उससे कम प्रतिशत का व्यवहार उसी तरह से किया जाता है, उदा- 311% 311/100 के बराबर है, और −27% −27/100 के बराबर है। | ||
पर्मिल या पार्ट्स प्रति हजार (पीपीटी) की संबंधित अवधारणा में 1000 का एक निहित हर है, जबकि अधिक सामान्य भागों-प्रति संकेतन, जैसा कि 75 भागों प्रति मिलियन (पीपीएम) में है, इसका मतलब है कि अनुपात 75/1,000,000 है। | पर्मिल या पार्ट्स प्रति हजार (पीपीटी) की संबंधित अवधारणा में 1000 का एक निहित हर है, जबकि अधिक सामान्य भागों-प्रति संकेतन, जैसा कि 75 भागों प्रति मिलियन (पीपीएम) में है, इसका मतलब है कि अनुपात 75/1,000,000 है। | ||
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==={{anchor|Mixed numbers}}मिश्रित संख्या === | ==={{anchor|Mixed numbers}}मिश्रित संख्या === | ||
एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण है।इसका उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, इंच।वैज्ञानिक माप मिश्रित संख्याओं के बजाय लगभग हमेशा दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।राशि को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त +।उदाहरण के लिए, दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन तिमाहियों का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक | एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण है।इसका उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, इंच।वैज्ञानिक माप मिश्रित संख्याओं के बजाय लगभग हमेशा दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।राशि को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त +।उदाहरण के लिए, दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन तिमाहियों का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक विषम भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। | ||
यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के साथ संघर्ष में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना, एक उत्पाद को निरूपित करते हैं।अभिव्यक्ति में <math>2x</math>, समझा गया ऑपरेशन गुणा है।यदि {{mvar|x}} उदाहरण के लिए, भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math> \tfrac{3}{4}</math>, मिश्रित संख्या की उपस्थिति से बचने के लिए, स्पष्ट गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। | यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के साथ संघर्ष में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना, एक उत्पाद को निरूपित करते हैं।अभिव्यक्ति में <math>2x</math>, समझा गया ऑपरेशन गुणा है।यदि {{mvar|x}} उदाहरण के लिए, भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math> \tfrac{3}{4}</math>, मिश्रित संख्या की उपस्थिति से बचने के लिए, स्पष्ट गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। | ||
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: <math> 2 \cdot \frac{b}{c},\quad</math> या <math>\quad 2 \times \frac{b}{c},\quad</math> या <math> \quad 2 \left(\frac{b}{c}\right),\;\ldots</math> | : <math> 2 \cdot \frac{b}{c},\quad</math> या <math>\quad 2 \times \frac{b}{c},\quad</math> या <math> \quad 2 \left(\frac{b}{c}\right),\;\ldots</math> | ||
एक | एक विषम भिन्न को निम्नानुसार मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है: | ||
# यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करते हुए, भिन्न को हर द्वारा विभाजित करें।उदाहरण में, <math>\tfrac{11}{4}</math>, 11 को विभाजित करें 4. 11 = 4 = 2 शेष 3। | # यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करते हुए, भिन्न को हर द्वारा विभाजित करें।उदाहरण में, <math>\tfrac{11}{4}</math>, 11 को विभाजित करें 4. 11 = 4 = 2 शेष 3। | ||
# भागफल (शेष के बिना) मिश्रित संख्या का पूरा हिस्सा बन जाता है।शेष आंशिक भाग का भिन्न बन जाता है।उदाहरण में, 2 पूरे नंबर भाग है और 3 आंशिक भाग का भिन्न है। | # भागफल (शेष के बिना) मिश्रित संख्या का पूरा हिस्सा बन जाता है।शेष आंशिक भाग का भिन्न बन जाता है।उदाहरण में, 2 पूरे नंबर भाग है और 3 आंशिक भाग का भिन्न है। | ||
# नया हर | # नया हर विषम भिन्न के हर के समान है।उदाहरण में, यह 4. इस प्रकार है, <math>\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}</math>। | ||
=== ऐतिहासिक धारणाएँ === | === ऐतिहासिक धारणाएँ === | ||
| Line 98: | Line 98: | ||
:<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math> | :<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math> | ||
:<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.</math> | :<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.</math> | ||
यदि, एक जटिल भिन्न में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं पूर्ववर्तीता लेती हैं, तो यह अभिव्यक्ति | यदि, एक जटिल भिन्न में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं पूर्ववर्तीता लेती हैं, तो यह अभिव्यक्ति विषम रूप से बनती है, क्योंकि अस्पष्टता के कारण।इसलिए 5/10/20/40 एक वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि कई संभावित व्याख्याओं के कारण, उदा।जैसा | ||
:<math>5/(10/(20/40)) = \frac{5}{10/\tfrac{20}{40}} = \frac{1}{4}\quad</math> या के रूप में <math>\quad (5/10)/(20/40) = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{20}{40}} = 1</math> | :<math>5/(10/(20/40)) = \frac{5}{10/\tfrac{20}{40}} = \frac{1}{4}\quad</math> या के रूप में <math>\quad (5/10)/(20/40) = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{20}{40}} = 1</math> | ||
एक यौगिक भिन्न एक भिन्न का एक भिन्न है, या '' शब्द '' शब्द से जुड़े किसी भी संख्या में भिन्न,<ref name="Trotter" /><ref name="Barlow" />भिन्नों के गुणन के अनुरूप।एक साधारण भिन्न में एक यौगिक भिन्न को कम करने के लिए, बस गुणन को बाहर ले जाएं (गुणन पर अनुभाग देखें)।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{4}</math> का <math>\tfrac{5}{7}</math> एक यौगिक भिन्न है, के अनुरूप <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{28}</math>।शब्द यौगिक भिन्न और जटिल भिन्न निकटता से संबंधित हैं और कभी -कभी एक का उपयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है।(उदाहरण के लिए, यौगिक भिन्न <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}</math> जटिल भिन्न के बराबर है <math>\tfrac{3/4}{7/5}</math>।) | एक यौगिक भिन्न एक भिन्न का एक भिन्न है, या '' शब्द '' शब्द से जुड़े किसी भी संख्या में भिन्न,<ref name="Trotter" /><ref name="Barlow" />भिन्नों के गुणन के अनुरूप।एक साधारण भिन्न में एक यौगिक भिन्न को कम करने के लिए, बस गुणन को बाहर ले जाएं (गुणन पर अनुभाग देखें)।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{4}</math> का <math>\tfrac{5}{7}</math> एक यौगिक भिन्न है, के अनुरूप <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{28}</math>।शब्द यौगिक भिन्न और जटिल भिन्न निकटता से संबंधित हैं और कभी -कभी एक का उपयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है।(उदाहरण के लिए, यौगिक भिन्न <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}</math> जटिल भिन्न के बराबर है <math>\tfrac{3/4}{7/5}</math>।) | ||
| Line 198: | Line 198: | ||
==== गुणा मिश्रित संख्या ==== | ==== गुणा मिश्रित संख्या ==== | ||
मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय, मिश्रित संख्या को एक | मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय, मिश्रित संख्या को एक विषम भिन्न में परिवर्तित करना बेहतर माना जाता है।<ref>{{cite book|last1=Schoenborn |first1=Barry |last2=Simkins |first2=Bradley |year=2010 |title=Technical Math For Dummies |chapter=8. Fun with Fractions |publisher=[[Wiley (publisher)|Wiley Publishing Inc.]] |page=120 |location=Hoboken |language=en |isbn=978-0-470-59874-0 |oclc=719886424 |chapter-url=https://archive.org/details/technical-math-for-dummies_202007/page/120 |access-date=28 September 2020}}</ref> उदाहरण के लिए: | ||
:<math>3 \times 2\frac{3}{4} = 3 \times \left (\frac{8}{4} + \frac{3}{4} \right ) = 3 \times \frac{11}{4} = \frac{33}{4} = 8\frac{1}{4}</math> | :<math>3 \times 2\frac{3}{4} = 3 \times \left (\frac{8}{4} + \frac{3}{4} \right ) = 3 \times \frac{11}{4} = \frac{33}{4} = 8\frac{1}{4}</math> | ||
| Line 233: | Line 233: | ||
# लेट एक्स = दोहराने वाला दशमलव: | # लेट एक्स = दोहराने वाला दशमलव: | ||
#: x = {{overline|0.1523|987}} | #: x = {{overline|0.1523|987}} | ||
# दोनों पक्षों को 10 की | # दोनों पक्षों को 10 की घात से गुणा करें, जो कि इस मामले में 10 (इस मामले में 10)<sup>दशमलव संख्या के दोहराने वाले भाग से ठीक पहले दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए 4 </sup>): | ||
#: 10,000x = {{overline|1,523.|987}} | #: 10,000x = {{overline|1,523.|987}} | ||
# 10 की | # 10 की घात से दोनों पक्षों को गुणा करें (इस मामले में 10<sup>3 </sup>) यह उन स्थानों की संख्या के समान है जो दोहराते हैं: | ||
#: 10,000,000x = {{overline|1,523,987.|987}} | #: 10,000,000x = {{overline|1,523,987.|987}} | ||
# दो समीकरणों को एक दूसरे से घटाएं (यदि a = b और c = d, तो a - c = b - d): | # दो समीकरणों को एक दूसरे से घटाएं (यदि a = b और c = d, तो a - c = b - d): | ||
Revision as of 20:32, 5 September 2022
[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न द्वारा लेबल किया गया है 1/4।
एक भिन्न (लैटिन शब्द fractus से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: तथा ) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले 1⁄2), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में 3/4, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।
एक सामान्य भिन्न एक अंक है जो एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक घातांक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1% और 10−2 सभी भिन्न 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित हर के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7, 7/1 के बराबर)।
भिन्नों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।[1] इस प्रकार भिन्न 3/4 अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य हर नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।
हम नकारात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक भिन्न के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 1/2 एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -1/2 एक आधा डॉलर के हानि का प्रतिनिधित्व करता है। चिह्न वाली संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -1/2, −1/2 तथा 1/−2 सभी एक ही भिन्न का प्रतिनिधित्व करते हैं -नकारात्मक एक-आधा। और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, −1/−2 सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।
गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है, को परिमेय संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक Q द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ भागफल है। एक संख्या एक परिमेय संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य भिन्न के रूप में)। हालांकि, शब्द भिन्न का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो परिमेय संख्या नहीं हैं। इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय भिन्न (बीजगणितीय व्यंजकों के भागफल), और व्यंजक शामिल हैं जिनमें अपरिमेय संख्या हैं, जैसे (देखें 2 का वर्गमूल) और π/4 (प्रमाण देखें कि π अपरिमेय है)।
शब्दावली
एक भिन्न में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या भिन्न (लैटिन शब्द numerātor, काउंटर या नंबरर से है), और भागों का प्रकार 'हर' (लैटिन शब्द dēnōminātor,से है जो नाम या नामित करती है) है।[2][3] एक उदाहरण के रूप में, भिन्न 8/5 आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है। विभाजन के संदर्भ में, भिन्न भाज्य से मेल खाती है, और हर भाजक से मेल खाता है।
अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) 1/3), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में 4⁄9)।[4] इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,[5] या भिन्न स्लैश।[n 1] टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।[4] पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। 1/2) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्