भिन्न: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 25: | Line 25: | ||
जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)। | जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)। | ||
पूरे भिन्न को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक भिन्न के साथ कई भिन्नों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें भिन्न है {{sfrac|2|5}} और दो पांचवें एक ही भिन्न है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है {{sfrac|1|5}}।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक भिन्न का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर भिन्न के रूप में पढ़कर, | पूरे भिन्न को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक भिन्न के साथ कई भिन्नों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें भिन्न है {{sfrac|2|5}} और दो पांचवें एक ही भिन्न है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है {{sfrac|1|5}}।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक भिन्न का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर भिन्न के रूप में पढ़कर, मूल अंक के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस भिन्नों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है। (उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े हर के साथ भिन्न जो दस की शक्तियां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, {{sfrac|1|117}} एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, {{sfrac|6|1000000}} छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)। | ||
== भिन्नों के रूप == | == भिन्नों के रूप == | ||
| Line 31: | Line 31: | ||
=== सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न === | === सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न === | ||
<!-- Real number links here. --> | <!-- Real number links here. --> | ||
एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे '' a/b | एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे '' a/b या <math>\tfrac{a}{b}</math>,के रूप में लिखा गया है जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं।<ref>{{MathWorld |title=Common Fraction |id=CommonFraction}}</ref> अन्य भिन्नों के साथ, हर (b) शून्य नहीं हो सकता है। उदाहरणों में शामिल <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>-\tfrac{8}{5}</math>, <math>\tfrac{-8}{5}</math>, तथा <math>\tfrac{8}{-5}</math>, इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल भिन्न से इस प्रकार के भिन्न को अलग करने के लिए किया गया था।<ref name="Smith1958">{{cite book|author=David E. Smith|title=History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC|date=1 June 1958|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-20430-7|page=219}}</ref>'' सामान्य भिन्न सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या अनुचित हो सकते हैं (नीचे देखें)। यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न, मिश्रित अंक, और दशमलव (नीचे देखें) सामान्य भिन्न नहीं हैं; हालांकि, जब तक तर्कहीन नहीं होता है, तब तक उन्हें एक सामान्य भिन्न का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है। | ||
* एक इकाई भिन्न 1 के एक भिन्न के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट भिन्नों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है<sup>−1 </sup>, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>−2 </sup>, जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2 </sup>) या 1/4। | * एक इकाई भिन्न 1 के एक भिन्न के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट भिन्नों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है<sup>−1 </sup>, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>−2 </sup>, जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2 </sup>) या 1/4। | ||
* एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की शक्ति है, उदा। <math>\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2^3}</math>। | * एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की शक्ति है, उदा। <math>\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2^3}</math>। | ||
| Line 38: | Line 38: | ||
=== सम और विषम भिन्न === | === सम और विषम भिन्न === | ||
सामान्य भिन्नों को या तो उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता | सामान्य भिन्नों को या तो उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। जब भिन्न और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो भिन्न को उचित कहा जाता है यदि भिन्न हर से कम है, और अन्यथा अनुचित है।<ref>{{cite web |url=http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |title=World Wide Words: Vulgar fractions |work=World Wide Words |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141030183347/http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |archive-date=2014-10-30 |url-status=live}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Improper Fraction |id=ImproperFraction}}</ref> एक अनुचित भिन्न की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि भिन्न का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित भिन्न 1 से कम होना चाहिए।<ref name="Smith1958"/>यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।<ref name="Williams2011">{{cite book |author=Jack Williams |title=Robert Recorde: Tudor Polymath, Expositor and Practitioner of Computation |url=https://books.google.com/books?id=dTqHIM1ds1kC&pg=PA87 |date=19 November 2011 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-85729-862-1 |pages=87–}}</ref><ref name="Record1654">{{cite book |last=Record |first=Robert |title=Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick ... Made by Mr. Robert Record ... Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise ... By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected ... and Enlarged ; with an Appendix of Figurative Numbers ... with Tables of Board and Timber Measure ... the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter ... Calculated by Ro. Hartwell ... |url=https://books.google.com/books?id=colv-l9SOlcC&pg=PA266 |year=1654 |publisher=James Flesher, and are to be sold by Edward Dod |pages=266–}}</ref> | ||
सामान्य तौर पर, एक सामान्य भिन्न को एक उचित भिन्न कहा जाता है, यदि भिन्न का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि भिन्न −1 से अधिक है और 1 से कम है।<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |title=Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper? |author=Laurel |date=31 March 2004 |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141109010850/http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |archive-date=9 November 2014 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |title=New England Compact Math Resources |access-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120415053421/http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |archive-date=2012-04-15 |url-status=dead}}</ref> यह एक अनुचित भिन्न, या कभी-कभी शीर्ष-भारी भिन्न कहा जाता है,<ref>{{cite book |last1=Greer |first1=A. |title=New comprehensive mathematics for 'O' level |date=1986 |publisher=Thornes |location=Cheltenham |isbn=978-0-85950-159-0 |page=5 |edition=2nd ed., reprinted |url=https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |access-date=2014-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190119204758/https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |archive-date=2019-01-19 |url-status=live}}</ref> यदि भिन्न का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित भिन्नों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि अनुचित भिन्नों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, | सामान्य तौर पर, एक सामान्य भिन्न को एक उचित भिन्न कहा जाता है, यदि भिन्न का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि भिन्न −1 से अधिक है और 1 से कम है।<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |title=Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper? |author=Laurel |date=31 March 2004 |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141109010850/http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |archive-date=9 November 2014 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |title=New England Compact Math Resources |access-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120415053421/http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |archive-date=2012-04-15 |url-status=dead}}</ref> यह एक अनुचित भिन्न, या कभी-कभी शीर्ष-भारी भिन्न कहा जाता है,<ref>{{cite book |last1=Greer |first1=A. |title=New comprehensive mathematics for 'O' level |date=1986 |publisher=Thornes |location=Cheltenham |isbn=978-0-85950-159-0 |page=5 |edition=2nd ed., reprinted |url=https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |access-date=2014-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190119204758/https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |archive-date=2019-01-19 |url-status=live}}</ref> यदि भिन्न का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित भिन्नों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि अनुचित भिन्नों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और 3/3। | ||
=== | === व्युत्क्रम और अदृश्य हर === | ||
अंश का व्युत्क्रम अंश और हर के आदान-प्रदान के साथ एक और भिन्न है। उदाहरण के लिए <math>\tfrac{3}{7}</math> का व्युत्क्रम <math>\tfrac{7}{3}</math> है। एक भिन्न और इसके व्युत्क्रम का उत्पाद 1 है, इसलिए व्युत्क्रम एक भिन्न का गुणक व्युत्क्रम है। एक सम भिन्न का व्युत्क्रम विषम है, और एक विषम भिन्न का व्युत्क्रम 1 के बराबर नहीं है (यानी, भिन्न और हर समान नहीं हैं) एक सम भिन्न है। | |||
जब एक भिन्न के | जब एक भिन्न के अंश और हर समान होते हैं (उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{7}{7}</math>), इसका मूल्य 1 है, और इसलिए भिन्न विषम है। इसका व्युत्क्रम समान है और इसलिए 1 और विषम के बराबर भी है। | ||
किसी भी पूर्णांक को नंबर एक के साथ एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता | किसी भी पूर्णांक को नंबर एक के साथ एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 17 को लिखा जा सकता है <math>\tfrac{17}{1}</math>, जहां 1 को कभी -कभी अदृश्य हर के रूप में जाना जाता है। इसलिए, शून्य को छोड़कर प्रत्येक भिन्न या पूर्णांक में एक व्युत्क्रम होता है। उदाहरण के लिए 17 का व्युत्क्रम <math>\tfrac{1}{17}</math>है । | ||
=== अनुपात === | === अनुपात === | ||
एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती | एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है। अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से | ||
* 2 सफेद हैं, | * 2 सफेद हैं, | ||
* 6 लाल हैं, और | * 6 लाल हैं, और | ||
| Line 56: | Line 56: | ||
फिर लाल से सफेद से पीली कारों का अनुपात 6 से 2 से 4 है। पीली कारों के लिए सफेद कारों का अनुपात 4 से 2 है और इसे 4: 2 या 2: 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | फिर लाल से सफेद से पीली कारों का अनुपात 6 से 2 से 4 है। पीली कारों के लिए सफेद कारों का अनुपात 4 से 2 है और इसे 4: 2 या 2: 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | ||
एक अनुपात को अक्सर एक भिन्न में परिवर्तित किया जाता है जब इसे पूरे अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता | एक अनुपात को अक्सर एक भिन्न में परिवर्तित किया जाता है जब इसे पूरे अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, लॉट पर सभी कारों के लिए पीली कारों का अनुपात 4:12 या 1: 3 है। हम इन अनुपातों को एक भिन्न में बदल सकते हैं, और कह सकते हैं कि {{sfrac|4|12}} कारों की या {{sfrac|1|3}} बहुत से कारें पीले हैं। इसलिए, यदि किसी व्यक्ति ने बेतरतीब ढंग से एक कार को बहुत से चुना है, तो तीन मौका या संभावना में से एक है कि यह पीला होगा। | ||
=== दशमलव भिन्न और प्रतिशत === | === दशमलव भिन्न और प्रतिशत === | ||
| Line 204: | Line 204: | ||
=== डिवीजन === | === डिवीजन === | ||
एक भिन्न को एक पूरे नंबर से विभाजित करने के लिए, आप या तो संख्या को संख्या से विभाजित कर सकते हैं, यदि यह समान रूप से भिन्न में जाता है, या संख्या से हर को गुणा करता है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{10}{3} \div 5</math> बराबरी <math>\tfrac{2}{3}</math> और बराबरी भी करता है <math>\tfrac{10}{3 \cdot 5} = \tfrac{10}{15}</math>, जो कम कर देता है <math>\tfrac{2}{3}</math>।एक संख्या को एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, उस संख्या को उस भिन्न के | एक भिन्न को एक पूरे नंबर से विभाजित करने के लिए, आप या तो संख्या को संख्या से विभाजित कर सकते हैं, यदि यह समान रूप से भिन्न में जाता है, या संख्या से हर को गुणा करता है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{10}{3} \div 5</math> बराबरी <math>\tfrac{2}{3}</math> और बराबरी भी करता है <math>\tfrac{10}{3 \cdot 5} = \tfrac{10}{15}</math>, जो कम कर देता है <math>\tfrac{2}{3}</math>।एक संख्या को एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, उस संख्या को उस भिन्न के व्युत्क्रम द्वारा गुणा करें।इस प्रकार, <math>\tfrac{1}{2} \div \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3} = \tfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \tfrac{2}{3}</math>। | ||
=== दशमलव और भिन्नों के बीच परिवर्तित करना === | === दशमलव और भिन्नों के बीच परिवर्तित करना === | ||
| Line 305: | Line 305: | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
शुरुआती भिन्न पूर्णांक के | शुरुआती भिन्न पूर्णांक के व्युत्क्रम थे: प्राचीन प्रतीक जो दो के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करते हैं, तीन का एक हिस्सा, चार का एक हिस्सा, और इसी तरह।<ref name="eves">{{cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |year=1990 |publisher=Saunders College Pub. |location=Philadelphia |isbn=978-0-03-029558-4 |edition=6th}}</ref> मिस्रियों ने मिस्र के भिन्नों का इस्तेमाल किया {{circa|lk=no|1000}}& nbsp; bc।लगभग 4000 साल पहले, मिस्रियों ने थोड़ा अलग तरीकों का उपयोग करके भिन्नों के साथ विभाजित किया।उन्होंने यूनिट भिन्नों के साथ कम से कम सामान्य गुणकों का उपयोग किया।उनके तरीकों ने आधुनिक तरीकों के समान ही उत्तर दिया।<ref>{{cite web|url=http://egyptianmath.blogspot.com|title=Math History|author=Milo Gardner|date=December 19, 2005|access-date=2006-01-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20051219160259/http://egyptianmath.blogspot.com/|archive-date=December 19, 2005|url-status=live}} See for examples and an explanation.</ref> मिस्रियों को भी अखमिम वुडन टैबलेट और कई राइंड गणितीय पपीरस समस्याओं में डायडिक भिन्नों के लिए एक अलग संकेतन था। | ||
यूनानियों ने इकाई भिन्नों का उपयोग किया और (बाद में) भिन्नों को जारी रखा।ग्रीक दार्शनिक पाइथागोरस के अनुयायी ({{circa|lk=no|530}}& nbsp; bc) ने पाया कि दो के वर्गमूल को पूर्णांक के एक भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।(यह आमतौर पर हालांकि संभवतः गलत तरीके से मेटापोंटम के हिप्पेसस को बताता है, जिसके बारे में कहा जाता है कि इस तथ्य को प्रकट करने के लिए निष्पादित किया गया है।) {{nowrap|150 BC}} भारत में जैन गणितज्ञों ने स्टानंगा सूत्र लिखा, जिसमें संख्याओं के सिद्धांत, अंकगणितीय संचालन और संचालन के सिद्धांत पर काम शामिल है। | यूनानियों ने इकाई भिन्नों का उपयोग किया और (बाद में) भिन्नों को जारी रखा।ग्रीक दार्शनिक पाइथागोरस के अनुयायी ({{circa|lk=no|530}}& nbsp; bc) ने पाया कि दो के वर्गमूल को पूर्णांक के एक भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।(यह आमतौर पर हालांकि संभवतः गलत तरीके से मेटापोंटम के हिप्पेसस को बताता है, जिसके बारे में कहा जाता है कि इस तथ्य को प्रकट करने के लिए निष्पादित किया गया है।) {{nowrap|150 BC}} भारत में जैन गणितज्ञों ने स्टानंगा सूत्र लिखा, जिसमें संख्याओं के सिद्धांत, अंकगणितीय संचालन और संचालन के सिद्धांत पर काम शामिल है। | ||
Revision as of 19:35, 4 September 2022
[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न द्वारा लेबल किया गया है 1/4।
एक भिन्न (लैटिन शब्द fractus से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: तथा ) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले 1⁄2), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में 3/4, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।
एक सामान्य भिन्न एक अंक है जो एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक घातांक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1% और 10−2 सभी भिन्न 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित हर के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7, 7/1 के बराबर)।
भिन्नों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।[1] इस प्रकार भिन्न 3/4 अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य हर नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।
हम नकारात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक भिन्न के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 1/2 एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -1/2 एक आधा डॉलर के हानि का प्रतिनिधित्व करता है। चिह्न वाली संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -1/2, −1/2 तथा 1/−2 सभी एक ही भिन्न का प्रतिनिधित्व करते हैं -नकारात्मक एक-आधा। और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, −1/−2 सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।
गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है, को परिमेय संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक Q द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ भागफल है। एक संख्या एक परिमेय संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य भिन्न के रूप में)। हालांकि, शब्द भिन्न का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो परिमेय संख्या नहीं हैं। इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय भिन्न (बीजगणितीय व्यंजकों के भागफल), और व्यंजक शामिल हैं जिनमें अपरिमेय संख्या हैं, जैसे (देखें 2 का वर्गमूल) और π/4 (प्रमाण देखें कि π अपरिमेय है)।
शब्दावली
एक भिन्न में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या भिन्न (लैटिन शब्द numerātor, काउंटर या नंबरर से है), और भागों का प्रकार 'हर' (लैटिन शब्द dēnōminātor,से है जो नाम या नामित करती है) है।[2][3] एक उदाहरण के रूप में, भिन्न 8/5 आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है। विभाजन के संदर्भ में, भिन्न भाज्य से मेल खाती है, और हर भाजक से मेल खाता है।
अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) 1/3), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में 4⁄9)।[4] इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,[5] या भिन्न स्लैश।[n 1] टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।[4] पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। 1/2) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा भिन्न कहा जाता था।
अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि भिन्न 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, 2/5 तथा 3/5 दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से क्वार्टर / क्वार्टर या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।
जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, 3/1 तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।
पूरे भिन्न को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक भिन्न के साथ कई भिन्नों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें भिन्न है 2/5 और दो पांचवें एक ही भिन्न है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है 1/5।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक भिन्न का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर भिन्न के रूप में पढ़कर, मूल अंक के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, 3/1 एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस भिन्नों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है। (उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े हर के साथ भिन्न जो दस की शक्तियां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, 1/117 एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, 6/1000000 छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)।
भिन्नों के रूप
सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न
एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे a/b या ,के रूप में लिखा गया है जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं।[9] अन्य भिन्नों के साथ, हर (b) शून्य नहीं हो सकता है। उदाहरणों में शामिल , ,