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[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न द्वारा लेबल किया गया है 1/4।

एक भिन्न (लैटिन शब्द fractus से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: ${\tfrac {1}{2}}$ तथा ${\tfrac {17}{3}}$ ) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले 1⁄2), और एक गैर-शून्य भाजक(हर), नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और भाजक(हर) का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और भाजक प्राकृतिक संख्याएं हैं।अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक(हर) इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते।उदाहरण के लिए, अंश में 3/4, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं।दाईं ओर चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।

एक सामान्य अंश एक अंक है जो एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक प्रतिपादक के साथ भी दर्शाया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 0.01, 1%और 10⁻² सभी अंश 1/100 के बराबर हैं।एक पूर्णांक को एक के निहित भाजक के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 7/1 के बराबर)।

अंशों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।^[1] इस प्रकार अंश 3/4 अनुपात 3: 4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 (4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है।गैर-शून्य भाजक नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।

हम नकारात्मक अंश भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक अंश के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, यदि 1/2 एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -1/2 एक आधा डॉलर के नुकसान का प्रतिनिधित्व करता है।हस्ताक्षरित संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -1/2, −1/2 तथा 1/−2 सभी एक ही अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं-नकारात्मक एक-आधा।और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, −1/−2 सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां ए और बी पूर्णांक हैं और बी शून्य नहीं है, को तर्कसंगत संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक क्यू द्वारा दर्शाया जाता है, जो भागफल के लिए खड़ा है।एक संख्या एक तर्कसंगत संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य अंश के रूप में)।हालांकि, शब्द अंश का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो तर्कसंगत संख्या नहीं हैं।इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय अंश (बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उद्धरण), और अभिव्यक्ति शामिल हैं जिनमें तर्कहीन संख्याएं हैं, जैसे ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ (देखें 2 का वर्गमूल) और π/4 (प्रमाण देखें कि π तर्कहीन है)।

शब्दावली

एक अंश में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या अंश (लैटिन से हैnumerātor, काउंटर या नंबरर), और भागों का प्रकार या विविधता 'हर' (लैटिन से 'हैdēnōminātor, बात जो नाम या नामित करती है)।^[2]^[3] एक उदाहरण के रूप में, अंश 8/5 आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है।विभाजन के संदर्भ में, अंश लाभांश से मेल खाती है, और भाजक भाजक से मेल खाता है।

अनौपचारिक रूप से, अंश और भाजक को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक अंश बार द्वारा अलग किए जाते हैं।अंश बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) 1/3), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में 4⁄9)।^[4]इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है;द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और अंश बार, सॉलिडस,^[5] या अंश स्लैश।^{[n 1]} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए अंशों को एन या अखरोट अंशों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन अंशों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के अंश और हर के साथ एक अंश एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।^[4] पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण अंश को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। 1/2) को एक केस अंश के रूप में जाना जाता था, जबकि अंश के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा अंश कहा जाता था।

अंग्रेजी अंशों के भाजक को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि अंश 1. नहीं है (उदाहरण के लिए, 2/5 तथा 3/5 दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, भाजक 4, जिसे वैकल्पिक रूप से क्वार्टर / क्वार्टर या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और डेनोमिनेटर 100, जो हो सकता हैवैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।

जब भाजक 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, अंश के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है।उदाहरण के लिए, 3/1 तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है।जब अंश 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।

पूरे अंश को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक अंश के साथ कई अंशों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं।(उदाहरण के लिए, दो-पांचवें अंश है 2/5 और दो पांचवें एक ही अंश है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है 1/5।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर अंशों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए।वैकल्पिक रूप से, एक अंश का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर अंश के रूप में पढ़कर, कार्डिनल नंबर के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है।(उदाहरण के लिए, 3/1 एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस अंशों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है।(उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े भाजक के साथ अंश जो दस की शक्तियां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, 1/117 एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, 6/1000000 छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)।

अंशों के रूप

सरल, सामान्य, या अशिष्ट अंश

एक साधारण अंश (जिसे एक सामान्य अंश या अशिष्ट अंश के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक तर्कसंगत संख्या है, जिसे / 'बी' 'या के रूप में लिखा गया है ${\tfrac {a}{b}}$ , जहां ए और बी दोनों पूर्णांक हैं।^[9] अन्य अंशों के साथ, भाजक (बी) शून्य नहीं हो सकता है।उदाहरणों में शामिल ${\tfrac {1}{2}}$ , $-{\tfrac {8}{5}}$ , ${\tfrac {-8}{5}}$ , तथा ${\tfrac {8}{-5}}$ ।इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल अंश से इस प्रकार के अंश को अलग करने के लिए किया गया था।^[10] सामान्य अंश सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या अनुचित हो सकते हैं (नीचे देखें)।यौगिक अंश, जटिल अंश, मिश्रित अंक, और दशमलव (नीचे देखें) सामान्य अंश नहीं हैं;हालांकि, जब तक तर्कहीन नहीं होता है, तब तक उन्हें एक सामान्य अंश का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है।

एक इकाई अंश 1 के एक अंश के साथ एक सामान्य अंश है (जैसे,, ${\tfrac {1}{7}}$ )।यूनिट अंशों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है⁻¹, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है⁻², जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है²) या 1/4।
एक डायडिक अंश एक सामान्य अंश है जिसमें भाजक दो की शक्ति है, उदा। ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}$ ।

यूनिकोड में, प्रीकोम्ड अंश वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं।

उचित और अनुचित अंश

सामान्य अंशों को या तो उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।जब अंश और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो अंश को उचित कहा जाता है यदि अंश भाजक से कम है, और अन्यथा अनुचित है।^[11]^[12] एक अनुचित अंश की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि अंश का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित अंश 1 से कम होना चाहिए।^[10]यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।^[13]^[14] सामान्य तौर पर, एक सामान्य अंश को एक उचित अंश कहा जाता है, यदि अंश का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि अंश −1 से अधिक है और 1 से कम है।^[15]^[16] यह एक अनुचित अंश, या कभी-कभी शीर्ष-भारी अंश कहा जाता है,^[17] यदि अंश का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित अंशों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि अनुचित अंशों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और3/3।

पारस्परिक और अदृश्य हरकिनक

एक अंश का पारस्परिक अंश और भाजक के साथ एक और अंश है।का पारस्परिक ${\tfrac {3}{7}}$ उदाहरण के लिए, है ${\tfrac {7}{3}}$

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 {{short description|Mathematical representation of a portion of a whole}}
 {{other uses}}
-[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया।शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और अंश द्वारा लेबल किया गया है {{sfrac|1|4}}।
+[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न द्वारा लेबल किया गया है {{sfrac|1|4}}।
-एक अंश (लैटिन से){{lang|la|fractus}}, टूटा हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक अंश बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई।एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल अंश (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक अंश के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य भाजक, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और भाजक का उपयोग उन अंशों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक अंश, जटिल अंश और मिश्रित अंक शामिल हैं।
+एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य भाजक(हर), नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और भाजक(हर) का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
-सकारात्मक सामान्य अंशों में, अंश और भाजक प्राकृतिक संख्याएं हैं।अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं।हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते।उदाहरण के लिए, अंश में {{sfrac|3|4}}, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं।दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।
+सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और भाजक प्राकृतिक संख्याएं हैं।अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक(हर) इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते।उदाहरण के लिए, अंश में {{sfrac|3|4}}, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं।दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।
 एक सामान्य अंश एक अंक है जो एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक प्रतिपादक के साथ भी दर्शाया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 0.01, 1%और 10<sup>−2 </sup> सभी अंश 1/100 के बराबर हैं।एक पूर्णांक को एक के निहित भाजक के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 7/1 के बराबर)।
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 भनानारासी के रूप में जाना जाने वाले अंशों की एक आधुनिक अभिव्यक्ति भारत में आर्यभट्ट के काम में उत्पन्न हुई है ({{circa|lk=no|AD 500}}),{{citation needed|date=February 2016}} ब्रह्मगुप्त ({{circa|lk=no|628}}), and Bhāskara II|Bhaskara ({{circa|lk=no|1150}})।<ref name=jeff>{{cite web |last=Miller |first=Jeff |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |date=22 December 2014 |access-date=15 February 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archive-date=20 February 2016 |url-status=live }}</ref> उनके कार्य अंशों को रखकर अंशों का गठन करते हैं ({{lang-sa|amsa}}) भाजक पर ({{lang|sa|cheda}}), लेकिन उनके बीच एक बार के बिना।<ref name=jeff/>संस्कृत साहित्य में, अंशों को हमेशा एक पूर्णांक से एक अतिरिक्त या घटाव के रूप में व्यक्त किया गया था।{{citation needed|date=February 2016}} पूर्णांक एक पंक्ति पर लिखा गया था और अगली पंक्ति में इसके दो भागों में अंश।यदि अंश एक छोटे सर्कल द्वारा चिह्नित किया गया था {{angle brackets|०}} अथवा पार जाना {{angle brackets|+}}, यह पूर्णांक से घटाया जाता है;यदि ऐसा कोई संकेत प्रकट नहीं होता है, तो इसे जोड़ा जाना समझा जाता है।उदाहरण के लिए, भास्कर मैं लिखता हूं:<ref name="filliozat-p152">{{cite book|last1=Filliozat |first1=Pierre-Sylvain |year=2004 |editor1-last=Chemla |editor1-first=Karine |editor1-link=Karine Chemla |editor2-last=Cohen |editor2-first=Robert S. |editor3-last=Renn |editor3-first=Jürgen |editor4-last=Gavroglu |editor4-first=Kostas |display-editors = 3 |title=History of Science, History of Text |chapter=Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature |series=Boston Series in the Philosophy of Science |volume=238 |page=152 |location=Dordrecht |language=en |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Netherlands]] |doi=10.1007/1-4020-2321-9_7 |isbn=978-1-4020-2320-0}}</ref>
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-दशमलव अंशों की उत्पत्ति पर चर्चा करने में, डिर्क जन स्ट्रुइक राज्यों:<ref>{{cite book|title=A Source Book in Mathematics 1200–1800|year=1986|publisher=Princeton University Press|location=New Jersey|isbn=978-0-691-02397-7}}</ref>
-<clocquote> एक सामान्य कम्प्यूटेशनल प्रथा के रूप में दशमलव अंशों की शुरूआत को फ्लेमिश पैम्फलेट डे थिएन्डे में वापस किया जा सकता है, जिसे 1585 में लेडेन में प्रकाशित किया गया था, साथ में एक फ्रांसीसी अनुवाद, ला डिस, फ्लेमिश मैथमेटियन साइमन स्टीविन (1548-1620) द्वारा एक साथ, ला डिस्री के साथ, (1548-1620), फिर उत्तरी नीदरलैंड में बस गए।यह सच है कि स्टेविन से कई शताब्दियों से कई शताब्दियों से दशमलव अंशों का उपयोग किया गया था और फारसी खगोलशास्त्री अल-काशी ने अंकगणित (समरकंद, शुरुआती पंद्रहवीं शताब्दी) के लिए अपनी कुंजी में दशमलव और सेक्सजिमल दोनों अंशों का उपयोग किया था।<ref>{{cite book|title=Die Rechenkunst bei Ğamšīd b. Mas'ūd al-Kāšī|year=1951|publisher=Steiner|location=Wiesbaden}}</ref>
 जबकि फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने दावा किया था कि 15 वीं शताब्दी में खुद दशमलव अंशों की खोज की गई थी, जे। लीनार्ट बर्गग्रेन ने कहा कि उन्हें गलत माना गया था, क्योंकि दशमलव अंशों का उपयोग पहले पांच शताब्दियों से पहले बगदादी गणितज्ञ अबू-हसन अल द्वारा किया गया था।-Uqlidisi 10 वीं शताब्दी की शुरुआत में।<ref>{{Cite book| first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>{{refn|group=n|While there is some disagreement among history of mathematics scholars as to the primacy of al-Uqlidisi's contribution, there is no question as to his major contribution to the concept of decimal fractions.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Uqlidisi.html "MacTutor's al-Uqlidisi biography"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111115163359/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Uqlidisi.html |date=2011-11-15 }}. Retrieved 2011-11-22.</ref>}}
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 === शिक्षकों के लिए दस्तावेज ===
-संयुक्त राज्य अमेरिका के कई राज्यों ने गणित की शिक्षा के लिए कॉमन कोर स्टेट स्टैंडर्ड्स इनिशिएटिव के दिशानिर्देशों से सीखने के प्रक्षेपवक्र को अपनाया है।अंशों के साथ अंशों और संचालन के सीखने को अनुक्रमण करने के अलावा, दस्तावेज़ एक अंश की निम्नलिखित परिभाषा प्रदान करता है: फॉर्म में एक संख्या व्यक्त करने योग्य {{sfrac|<math>a</math>|<math>b</math>}} कहाँ पे <math>a</math> एक पूरी संख्या है और <math>b</math> एक सकारात्मक पूरी संख्या है।(इन मानकों में शब्द अंश हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या को संदर्भित करता है।)<ref>{{cite web |url=http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf |title=Common Core State Standards for Mathematics |publisher=Common Core State Standards Initiative |page=85 |year=2010 |access-date=2013-10-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131019052731/http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf |archive-date=2013-10-19 |url-status=live }}</ref> दस्तावेज़ स्वयं नकारात्मक अंशों को भी संदर्भित करता है।
+संयुक्त राज्य अमेरिका के कई राज्यों ने गणित की शिक्षा के लिए कॉमन कोर स्टेट स्टैंडर्ड्स इनिशिएटिव के दिशानिर्देशों से सीखने के प्रक्षेपवक्र को अपनाया है। अंशों के साथ अंशों और संचालन के सीखने को अनुक्रमण करने के अलावा, दस्तावेज़ एक अंश की निम्नलिखित परिभाषा प्रदान करता है: फॉर्म में एक संख्या व्यक्त करने योग्य {{sfrac|<math>a</math>|<math>b</math>}} कहाँ पे <math>a</math> एक पूरी संख्या है और <math>b</math> एक सकारात्मक पूरी संख्या है। (इन मानकों में शब्द अंश हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या को संदर्भित करता है।)<ref>{{cite web |url=http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf |title=Common Core State Standards for Mathematics |publisher=Common Core State Standards Initiative |page=85 |year=2010 |access-date=2013-10-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131019052731/http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf |archive-date=2013-10-19 |url-status=live }}</ref> दस्तावेज़ स्वयं नकारात्मक अंशों को भी संदर्भित करता है।
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